Wyznaczanie odporności na pękanie

materiałów kruchych –

metoda MML

Marcin Graba

POLITECHNIKA ŚWIĘTOKRZYSKA W KIELCACH

WYDZIAŁ

MECHATRONIKI I BUDOWY MASZYN

KATEDRA PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN

www.tu.kielce.pl/~mgraba

Copyright

©2008 Marcin Graba –

Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

www.tu.kielce.pl/~mgraba

Copyright

©2008 Marcin Graba –

Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

WYZNACZANIE ODPORNOŚCI NA PĘKANIE MATERIAŁÓW KRUCHYCH –

METODA MML

Cel ćwiczenia

•

Rozrzut wyników doświadczalnych dla wyznaczania K

IC

•

Jak ze zbioru danych K

IC

wybrać

właściwą

wartość?

•

Procedury SINTAP i FITNET

•

Rodzaje pękania i krzywa przejścia krucho plastycznego

•

Omówienie zakresów na krzywej przejścia krucho-plastycznego

•

Metoda MML dla próbek badanych w tej samej temperaturze

•

Metoda MML dla próbek badanych w różnych temperaturach

•

Metoda MML dla zbioru próbek badanych w różnej temperaturze

•

Wpływ liczby wyników na temperaturę

T

0

•

Wykonanie ćwiczenia

www.tu.kielce.pl/~mgraba

Copyright

©2008 Marcin Graba –

Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

WYZNACZANIE ODPORNOŚCI NA PĘKANIE MATERIAŁÓW KRUCHYCH –

METODA MML

Rozrzut wyników doświadczalnych

dla wyznaczonych wartości K

IC

Rozrzut wyników okazje się

być

dość

duży i może sięgać

nawet 50% lub więcej.
Problemem jest więc wybranie
właściwej wartości będącej
odpornością

na pękanie,

oznaczaną

jako K

mat.

2

4

6

8

10

12

grubość próbki, B [mm]

40

50

60

70

80

ws

p

ó

łcz

yn

ni

k i

n

te

ns

yw

no

ści

n

a

p

ręż

e

ń

, K

[M

Pa

(m

)

0,

5

]

T = 0

°

C

T = -20

°

C

T = -30

°

C

T = -40

°

C

T = -50

°

C

T = -70

°

C

www.tu.kielce.pl/~mgraba

Copyright

©2008 Marcin Graba –

Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

WYZNACZANIE ODPORNOŚCI NA PĘKANIE MATERIAŁÓW KRUCHYCH –

METODA MML

Rozrzut wyników doświadczalnych

dla wyznaczonych wartości K

IC

www.tu.kielce.pl/~mgraba

Copyright

©2008 Marcin Graba –

Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

WYZNACZANIE ODPORNOŚCI NA PĘKANIE MATERIAŁÓW KRUCHYCH –

METODA MML

Rozrzut wyników doświadczalnych

dla wyznaczonych wartości K

IC

www.tu.kielce.pl/~mgraba

Copyright

©2008 Marcin Graba –

Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

WYZNACZANIE ODPORNOŚCI NA PĘKANIE MATERIAŁÓW KRUCHYCH –

METODA MML

Jak ze zbioru danych K

IC

wybrać

właściwą

wartość?

•

policzyć

wartość

średnią

ze zbioru wszystkich wyników–

wszystkie dane

muszą

być

dla tej samej temp., grubości i długości pęknięcia;

•

uszeregować

je w kolejności od najmniejszego do największego

i wyznaczyć

medianę

ze zbioru danych –

wszystkie dane muszą

być

dla tej

samej temp., grubości i długości pęknięcia;

•

uszeregować

je w kolejności od najmniejszego do największego

i wyznaczyć

minimalną

wartość

ze zbioru danych –

wszystkie dane muszą

być

dla tej samej temp., grubości i długości pęknięcia; otrzymany wynik

będzie bardzo konserwatywny i bezpieczny ale nie ekonomiczny;

•

uszeregować

je w kolejności od najmniejszego do największego

i wyznaczyć

maksymalną

wartość

ze zbioru danych –

wszystkie dane muszą

być

dla tej samej temp., grubości i długości pęknięcia; otrzymany wynik nie

będzie konserwatywny, będzie ekonomiczny, ale czy bezpieczny;

•

zastosować

procedury SINTAP i FITNET oraz krzywą

MASTER CURVE;

www.tu.kielce.pl/~mgraba

Copyright

©2008 Marcin Graba –

Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

WYZNACZANIE ODPORNOŚCI NA PĘKANIE MATERIAŁÓW KRUCHYCH –

METODA MML

Procedury SINTAP i FITNET

•

zunifikowane podejście do oceny wytrzymałości i niezawodności
elementów konstrukcyjnych zawierających pęknięcia;

•

podstawowym parametrem w procedurze SINTAP/FITNET jest
charakterystyka odporności na pękanie materiału K

mat

;

•

w przypadku pękania kruchego dla wyznaczenia K

mat

zaleca się

wykorzystanie statystycznej procedury maksymalnego
prawdopodobieństwa (Maximum

Likelihood

Method

–

MML) lub

koncepcji krzywej wzorcowej –

„Master Curve”;

•

określając odporność

na pękanie stali ferrytycznych, SINTAP/FITNET

pozwala także wyznaczyć

charakterystyczną

temperaturę

T

0

, będącą

umowną

miarą

temperatury przejścia krucho–plastycznego,

odpowiadającą

K

mat

=100 MPa

⋅m

0,5

;

•

wykreślenie krzywej wzorcowej „Master Curve”, z której wyzna się

K

mat

dla dowolnej temperatury z obszaru krucho–plastycznego

przejścia.

www.tu.kielce.pl/~mgraba

Copyright

©2008 Marcin Graba –

Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

WYZNACZANIE ODPORNOŚCI NA PĘKANIE MATERIAŁÓW KRUCHYCH –

METODA MML

Rodzaje pękania i krzywa przejścia

krucho -

plastycznego

-200

-160

-120

-80

-40

0

40

0

50

100

150

200

K

mat

T,

O

C

T

0

100

Górne plateu:
pękanie ciągliwe

Dolne plateu:
pękanie kruche

Obszar przejściowy

www.tu.kielce.pl/~mgraba

Copyright

©2008 Marcin Graba –

Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

WYZNACZANIE ODPORNOŚCI NA PĘKANIE MATERIAŁÓW KRUCHYCH –

METODA MML

Pękanie kruche –

dolne plateu

na

krzywej przejścia krucho -

plastycznego

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0

2

4

6

T= -180

O

C

P

(kN)

u, (mm)

K

JC

= 49.92 MPa(m)

1/2

Na krzywej siła –

przemieszczenie

ekstensometru

obserwuje się

niemal liniowy

przebieg, element konstrukcyjny pęka krucho,
przełom z widocznymi obszarami pękania
transkrystalicznego. Materiał

charakteryzuje

się

niską

odpornością

na pękanie.

Charakterystyka taka widoczna jest dla
zniszczenia w temperaturach bliskich temp.
ciekłego azotu, tj. -196

°C.

www.tu.kielce.pl/~mgraba

Copyright

©2008 Marcin Graba –

Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

WYZNACZANIE ODPORNOŚCI NA PĘKANIE MATERIAŁÓW KRUCHYCH –

METODA MML

Pękanie kruche –

dolne plateu

na

krzywej przejścia krucho -

plastycznego

Wzrost temperatury o około 50% nie zmienia
przedstawionej poprzednio charakterystyki.
Na krzywej siła –

przemieszczenie

ekstensometru

obserwuje się

również

prawie

liniowy przebieg, element konstrukcyjny pęka
krucho, przełom z widocznymi obszarami
pękania transkrystalicznego. Odporność

na

pękanie nieznacznie wzrasta.

0

0.1

0.2

0.3

0

2

4

6

8

T= -100

O

C

P

(kN)

u, (mm)

K

JC

= 62.02 MPa(m)

1/2

www.tu.kielce.pl/~mgraba

Copyright

©2008 Marcin Graba –

Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

WYZNACZANIE ODPORNOŚCI NA PĘKANIE MATERIAŁÓW KRUCHYCH –

METODA MML

Pękanie kruche –

dolne plateu

na

krzywej przejścia krucho -

plastycznego

Nieznacznemu wzrostowi temp., towarzyszy wzrost
odporności na pękanie w bardzo niewielkim stopniu. Na
krzywej siła –

przemieszczenie ekstensometru

obserwuje

się

również

prawie liniowy przebieg, ale w końcowym

etapie krzywa ta się

już

zakrzywia, możliwe że przy

wierzchołku pęknięcia pojawiła się

minimalna strefa

plastyczna, określana mianem SYZ, STRENGTH YIELD
ZONE –

strefa zniszczenia plastycznego. Przełom wciąż

jest kruchy. Jest to charakterystyka na granicy pękania
kruchego i krucho –

plastycznego, bądź

dolny zakres

pękania krucho-plastycznego.

0

0.1

0.2

0.3

0

2

4

6

8

T= -80

O

C

P

(kN)

u, (mm)

K

JC

= 67,16 MPa(m)

1/2

www.tu.kielce.pl/~mgraba

Copyright

©2008 Marcin Graba –

Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

WYZNACZANIE ODPORNOŚCI NA PĘKANIE MATERIAŁÓW KRUCHYCH –

METODA MML

Pękanie kruche –

obszar przejściowy na

krzywej przejścia krucho -

plastycznego

Nieznacznemu wzrostowi temp., towarzyszy wzrost
odporności na pękanie o około 100%, Na krzywej siła –

przemieszczenie ekstensometru

obserwuje się

przebieg

liniowy, z wyraźnym zakrzywieniem po przekroczeniu
punktu odpowiadającego wyznaczaniu KIC. W okolicach
wierzchołka występuje strefa zniszczenia plastycznego -

SYZ, STRENGTH YIELD ZONE. Przełom elementu jest
kruchy z wyraźnymi mostkami plastycznymi. Można
wnioskować że materiał

może pękać

w sposób skokowy.

Jest to charakterystyczne dla środka obszaru
przejściowego.

0

0.2

0.4

0.6

0

2

4

6

8

T= -50

O

C

P

(kN)

u, (mm)

K

JC

= 115,61 MPa(m)

1/2

www.tu.kielce.pl/~mgraba

Copyright

©2008 Marcin Graba –

Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

WYZNACZANIE ODPORNOŚCI NA PĘKANIE MATERIAŁÓW KRUCHYCH –

METODA MML

Pękanie kruche –

obszar przejściowy na

krzywej przejścia krucho -

plastycznego

Nieznacznemu wzrostowi temp., towarzyszy wzrost
odporności na pękanie o około 100%, Na krzywej siła –

przemieszczenie ekstensometru

obserwuje się

przebieg

liniowy, z wyraźnym zakrzywieniem po przekroczeniu
punktu odpowiadającego wyznaczaniu K

IC

. W okolicach

wierzchołka występuje strefa zniszczenia plastycznego -

SYZ, STRENGTH YIELD ZONE. Przełom elementu jest
kruchy z wyraźnymi mostkami plastycznymi. Można
wnioskować że materiał

może pękać

w sposób skokowy.

Jest to charakterystyczne dla środka obszaru
przejściowego.

0

0.2

0.4

0.6

0

2

4

6

8

T= -50

O

C

P

(kN)

u, (mm)

K

JC

= 115,61 MPa(m)

1/2

www.tu.kielce.pl/~mgraba

Copyright

©2008 Marcin Graba –

Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

WYZNACZANIE ODPORNOŚCI NA PĘKANIE MATERIAŁÓW KRUCHYCH –

METODA MML

Pękanie kruche –

obszar przejściowy na

krzywej przejścia krucho -

plastycznego

Wzrostowi temp., o około 50% towarzyszy wzrost odporności na
pękanie o około 70%. Na krzywej siła –

przemieszczenie

ekstensometru

obserwuje się

przebieg liniowy, z wyraźnym

zakrzywieniem po przekroczeniu punktu odpowiadającego
wyznaczaniu K

IC

. W okolicach wierzchołka występuje strefa

zniszczenia plastycznego -

SYZ, STRENGTH YIELD ZONE.

Przełom elementu jest kruchy z wyraźnymi mostkami
plastycznymi. Można wnioskować że materiał

może pękać

w

sposób skokowy. Powstałą

strukturę

przełomu po procesie

pękania można określać

mianem „plastra miodu”

–

obszary

pękania kruchego wyraźnie oddzielone są

obszarami pękania

plastycznego. Jest to charakterystyczne dla górnego zakresu
obszaru przejściowego.

0

0.4

0.8

1.2

0

2

4

6

8

10

T= -20

O

C

P

(kN)

u, (mm)

K

JC

= 179,17 MPa(m)

1/2

www.tu.kielce.pl/~mgraba

Copyright

©2008 Marcin Graba –

Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

WYZNACZANIE ODPORNOŚCI NA PĘKANIE MATERIAŁÓW KRUCHYCH –

METODA MML

Pękanie kruche –

obszar przejściowy na

krzywej przejścia krucho -

plastycznego

Wzrostowi temp., o około 50% towarzyszy wzrost odporności na
pękanie o około 70%. Na krzywej siła –

przemieszczenie

ekstensometru

obserwuje się

przebieg liniowy, z wyraźnym

zakrzywieniem po przekroczeniu punktu odpowiadającego
wyznaczaniu KIC. W okolicach wierzchołka występuje strefa
zniszczenia plastycznego -

SYZ, STRENGTH YIELD ZONE.

Przełom elementu jest kruchy z wyraźnymi mostkami
plastycznymi. Można wnioskować że materiał

może pękać

w

sposób skokowy. Powstałą

strukturę

przełomu po procesie

pękania można określać

mianem „plastra miodu”

–

obszary

pękania kruchego wyraźnie oddzielone są

obszarami pękania

plastycznego. Jest to charakterystyczne dla górnego zakresu
obszaru przejściowego.

0

0.4

0.8

1.2

0

2

4

6

8

10

T= -20

O

C

P

(kN)

u, (mm)

K

JC

= 179,17 MPa(m)

1/2

www.tu.kielce.pl/~mgraba

Copyright

©2008 Marcin Graba –

Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

WYZNACZANIE ODPORNOŚCI NA PĘKANIE MATERIAŁÓW KRUCHYCH –

METODA MML

Pękanie kruche –

górne plateu

na

krzywej przejścia krucho -

plastycznego

Z reguły jest to zakres dodatnich temperatur. Duża
odporność

na pękanie, Należy stosować

sprężysto-plastyczną

mechanikę

pękania, z

koncepcją

całki J, uzyskiwane są

duże przyrosty

pęknięcia. Przełom elementu konstrukcyjnego ma
charakter ciągliwy. Widoczne są

rozległe obszary

odkształceń

plastycznych, liczne mostki

plastyczne, w większej liczbie występujące w
okolicach wtrąceń

i wad materiału.

0

0.4

0.8

1.2

1.6

0

4

8

12

P
(kN)

Δ

u

ekst.

(mm)

K

JC

= 189,1 MPa(m)

1/2

+ 20

°C

www.tu.kielce.pl/~mgraba

Copyright

©2008 Marcin Graba –

Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

WYZNACZANIE ODPORNOŚCI NA PĘKANIE MATERIAŁÓW KRUCHYCH –

METODA MML

Procedury FITNET –

metoda MML -

stosowalność

•

zwykle dla materiałów krucho pękających, lub krucho-

plastycznie o ile posiadają

kruchy przełom;

•

przede wszystkim stale ferrytyczne, można je stosować

do

innego typu stali o kruchym przełomie;

•

dla danych w dowolnej liczbie; jeżeli liczba próbek jest
większa od 9 stosuje się

dwa etapy; jeżeli liczba próbek

jest mniejsza bądź

równa 9 stosuje się

trzy etapy analizy;

•

dla danych badanych w tej samej bądź

różnej

temperaturze;

•

dla danych o różnej grubości i długości pęknięcia;

www.tu.kielce.pl/~mgraba

Copyright

©2008 Marcin Graba –

Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

WYZNACZANIE ODPORNOŚCI NA PĘKANIE MATERIAŁÓW KRUCHYCH –

METODA MML

Metoda MML dla zbioru próbek

badanych w tej samej temperaturze

•

cenzurowanie wyników badań;

•

analiza Maximum

Likelihood

Method

–

MML:

-

dwa etapy w przypadku zbioru próbek > 9,

-

trzy etapy w przypadku zbioru próbek

≤

9;

•

koncepcja krzywej wzorcowej (wykreślenie krzywej
wzorcowej Master Curve

oraz określenie temperatury

charakterystycznej T

0

, odpowiadającej odporności na

pękanie równej K

c

=100 MPa

⋅m

0.5

www.tu.kielce.pl/~mgraba

Copyright

©2008 Marcin Graba –

Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

WYZNACZANIE ODPORNOŚCI NA PĘKANIE MATERIAŁÓW KRUCHYCH –

METODA MML

Metoda MML dla zbioru próbek

badanych w tej samej temperaturze

•

Przedstawienie charakterystyk
odporności na pękanie w
jednostkach WIN:

)

1

/(

2

ν

δ

−

=

E

mR

K

C

e

JC

•

Dopasowanie odporności na
pękanie do próbki o
grubości 25 mm:

(

)

ych

ferrytyczn

stali

dla

),

m

MPa

(

20

25

/

)

(

min

25

.

0

min

min

25

=

−

+

=

K

B

K

K

K

K

B

)

1

/(

2

ν

−

=

E

J

K

IC

JC

WYKRES I: Populacja danych doświadczalnych Kc oraz Kc(B=25mm)

0

10

20

30

40

50

60

0

2

4

6

8

10

12

14

16

numer próbki

Kc

, Kc

(B

=

25

m

m

)

[M

P

a*

m

^

0,5

]

Kc
Kc(B=25mm)

25

.

0

25

)

25

/

)(

20

(

20

B

K

K

K

B

i

−

+

=

=

www.tu.kielce.pl/~mgraba

Copyright

©2008 Marcin Graba –

Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

WYZNACZANIE ODPORNOŚCI NA PĘKANIE MATERIAŁÓW KRUCHYCH –

METODA MML

Metoda MML dla zbioru próbek

badanych w tej samej temperaturze

•

Wstępna analiza uzyskanych rezultatów
–

wyznaczenie zależności

prawdopodobieństwo zniszczenia w
funkcji odporności na pękanie

25

.

0

1

1

4

min

min

0

)

(

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

=

∑

∑

=

=

n

i

i

n

i

JCi

K

K

K

K

δ

)

(

91

.

0

min

0

min

K

K

K

K

K

med

mat

−

+

=

=

20

;

4

exp

1

}

{

min

min

0

min

=

=

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

=

K

k

K

K

K

K

K

P

k

mat

mat

•

Wstępna analiza uzyskanych rezultatów
–

wyznaczenie odporności na pękanie

jako mediany ze zbioru danych

delta Kroneckera

-

δ

ma wartość

1 dla danej próbki

jeżeli przełom był

kruchy i ma 0 jeżeli przełom miał

inny charakter niż

kruchy

www.tu.kielce.pl/~mgraba

Copyright

©2008 Marcin Graba –

Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

WYZNACZANIE ODPORNOŚCI NA PĘKANIE MATERIAŁÓW KRUCHYCH –

METODA MML

Metoda MML dla zbioru próbek

badanych w tej samej temperaturze

•

Etap 1. Standardowe oszacowanie
wartości medialnej

25

.

0

1

1

4

min

min

)

1

(

0

)

(

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

=

∑

∑

=

=

n

i

i

n

i

JCi

etap

K

K

K

K

δ

)

(

91

.

0

min

)

1

(

0

min

K

K

K

K

K

etap

med

mat

−

+

=

=

1

;

:

dla

)

(

=

<

i

JC

cen

JC

JC

i

i

K

K

K

δ

0

;

:

dla

)

(

)

(

=

=

≥

i

cen

JC

JC

cen

JC

JC

K

K

K

K

i

i

δ

(

)

5

.

0

)

(

30

/

e

o

cen

JC

R

Eb

K

=

Wstępna analiza uzyskanych rezultatów –

wyznaczenie odporności na pękanie jako
mediany ze zbioru danych

tutaj delta Kronecker’a

ma już

nową

wartość,

zmienioną

na etapie cenzurowania danych w

pierwszym etapie

www.tu.kielce.pl/~mgraba

Copyright

©2008 Marcin Graba –

Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

WYZNACZANIE ODPORNOŚCI NA PĘKANIE MATERIAŁÓW KRUCHYCH –

METODA MML

Metoda MML dla zbioru próbek

badanych w tej samej temperaturze

•

Etap 1. Cenzurowanie danych –

przykład

graficznej interpretacji wyników

1

;

:

dla

)

(

=

<

i

JC

cen

JC

JC

i

i

K

K

K

δ

0

;

:

dla

)

(

)

(

=

=

≥

i

cen

JC

JC

cen

JC

JC

K

K

K

K

i

i

δ

(

)

5

.

0

)

(

30

/

e

o

cen

JC

R

Eb

K

=

WYKRES II: Populacja danych doświadczalnych Kc, Kc(B=25mm) oraz K_cen

1

10

100

1000

0

2

4

6

8

10

12

14

16

numer próbki

Kc,

Kc(

B

=

25m

m)

[

M

P

a

*m

^

0

,5

]

Kc
Kc(B=25mm)
K_cen

25

.

0

25

)

25

/

)(

20

(

20

B

K

K

K

B

i

−

+

=

=

(

)

5

.

0

)

(

30

/

e

o

cen

JC

R

Eb

K

=

www.tu.kielce.pl/~mgraba

Copyright

©2008 Marcin Graba –

Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

WYZNACZANIE ODPORNOŚCI NA PĘKANIE MATERIAŁÓW KRUCHYCH –

METODA MML

Metoda MML dla zbioru próbek

badanych w tej samej temperaturze

•

Etap 2. Oszacowanie wartości medialnej
z dolnej części rozkładu P(K

i

)

(

)

min

)

2

(

0

min

91

.

0

K

K

K

K

K

etap

mat

med

−

+

=

=

25

.

0

1

1

4

min

min

)

2

(

0

)

(

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

+

=

∑

∑

=

=

n

i

i

n

i

JCi

etap

K

K

K

K

δ

1

;

:

dla

=

<

i

JC

CEN

JC

i

i

K

K

K

δ

25

.

0

min

0

min

)

2

(ln

)

(

⋅

−

+

=

K

K

K

K

CENZ

0

;

:

dla

i

=

=

≥

i

CEN

JC

CEN

JC

K

K

K

K

i

δ

Wstępna analiza uzyskanych rezultatów –

wyznaczenie odporności na pękanie jako
mediany ze zbioru danych

tutaj delta Kronecker’a

ma już

nową

wartość,

zmienioną

na etapie cenzurowania danych w drugim

etapie

www.tu.kielce.pl/~mgraba

Copyright

©2008 Marcin Graba –

Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

WYZNACZANIE ODPORNOŚCI NA PĘKANIE MATERIAŁÓW KRUCHYCH –

METODA MML

Metoda MML dla zbioru próbek

badanych w tej samej temperaturze

•

Etap 3. Oszacowanie K

mat

z minimalnej

wartości P(K

i

) dla liczby próbek n>9

(

)

25

.

0

min

(min)

min

(min)

0

2

ln

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

+

=

n

K

K

K

K

JC

K

0(min)

<0.9K

o(etap_2)

tak

nie

K

0(etap3)

=K

o(min)

K

0(etap3)

=K

o(etap2)

K

0(min)

<0.9K

o(etap_2)

tak

nie

K

0(etap3)

=K

o(min)

K

0(etap3)

=K

o(etap2)

Obliczenie odporności na pękanie ze
wzoru:

(

)

min

)

2

(

0

min

91

.

0

K

K

K

K

K

etap

mat

med

−

+

=

=

www.tu.kielce.pl/~mgraba

Copyright

©2008 Marcin Graba –

Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

WYZNACZANIE ODPORNOŚCI NA PĘKANIE MATERIAŁÓW KRUCHYCH –

METODA MML

Metoda MML dla zbioru próbek

badanych w tej samej temperaturze

•

Etap 3. Oszacowanie K

mat

z minimalnej

wartości P(K

i

) dla liczby próbek n

≤9

(

)

25

.

0

min

(min)

min

(min)

0

2

ln

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

+

=

n

K

K

K

K

JC

K

0(min)

<0.9K

o(etap_2)

tak

nie

K

0(etap3)

=K

o(min)

K

0(etap3)

=K

o(etap2)

K

0(min)

<0.9K

o(etap_2)

tak

nie

K

0(etap3)

=K

o(min)

K

0(etap3)

=K

o(etap2)

Obliczenie odporności na pękanie ze
wzoru:

r

K

K

etap

25

.

0

1

20

20

(min)

0

)

3

(

0

+

−

+

=

(

)

min

)

3

(

0

min

91

.

0

K

K

K

K

K

etap

mat

med

−

+

=

=

www.tu.kielce.pl/~mgraba

Copyright

©2008 Marcin Graba –

Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

WYZNACZANIE ODPORNOŚCI NA PĘKANIE MATERIAŁÓW KRUCHYCH –

METODA MML

Metoda MML dla zbioru próbek

badanych w tej samej temperaturze

•

Wykreślenie krzywej wzorcowej –

zależności pomiędzy temperaturą

badania a odpornością

na pękanie –

jest

to krzywa „MASTER CURVE”

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

70

30

ln

019

.

0

1

)

_

(

0

i

etap

mat

bad

K

T

T

-200

-150

-100

-50

0

50

0

40

80

120

160

K

mat

K

mat

(T

bad.

, P

f

=0.5)

T,

O

C

T

0

K

mat

(P

f

=0.2)

100

(

)

[

]

0

019

.

0

exp

70

30

T

T

K

mat

−

⋅

+

=

Wyznaczenie temperatury T

0

odpowiadającej

odporności na pękanie równej 100MPa

⋅m

0.5

Wykreślenie krzywej MASTER CURVE,
korzystając z równania:

www.tu.kielce.pl/~mgraba

Copyright

©2008 Marcin Graba –

Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

WYZNACZANIE ODPORNOŚCI NA PĘKANIE MATERIAŁÓW KRUCHYCH –

METODA MML

Metoda MML dla zbioru próbek

badanych w tej samej temperaturze

•

Wykreślenie krzywej wzorcowej –

zależności pomiędzy temperaturą

badania a odpornością

na pękanie –

jest

to krzywa „MASTER CURVE”

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

70

30

ln

019

.

0

1

)

_

(

0

i

etap

mat

bad

K

T

T

-200

-150

-100

-50

0

50

0

40

80

120

160

K

mat

K

mat

(T

bad.

, P

f

=0.5)

T,

O

C

T

0

K

mat

(P

f

=0.2)

100

(

)

[

]

0

019

.

0

exp

70

30

T

T

K

mat

−

⋅

+

=

Wyznaczenie temperatury T

0

odpowiadającej

odporności na pękanie równej 100MPa

⋅m

0.5

Wykreślenie krzywej MASTER CURVE,
korzystając z równania:

Można wyznaczyć

MASTER CURVE z różnym

prawdopodobieństwem zniszczenia P

f

stosując

równanie:

[

]

25

.

0

min

)

_

(

0

min

)

1

ln(

)

(

f

i

etap

mat

P

K

K

K

K

−

−

−

+

=

www.tu.kielce.pl/~mgraba

Copyright

©2008 Marcin Graba –

Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

WYZNACZANIE ODPORNOŚCI NA PĘKANIE MATERIAŁÓW KRUCHYCH –

METODA MML

Metoda MML dla zbioru próbek

badanych w tej samej temperaturze

Zmiana odporności na pękanie Kmat wraz z założonym

prawdopodobieństwem zniszczenia Pf

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

Kmat [MPa*m^0,5]

Pf

[

%

]

•

Wykreślenie zmiany odporności na pękanie K

mat

w funkcji

prawdopodobieństwa zniszczenia P

f

4

0

20

20

exp

1

}

{

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

=

m

mat

mat

K

K

K

P

Można to wykonać

po każdym

etapie analizy, gdzie oznaczono
odporność

na pękanie K

mat

www.tu.kielce.pl/~mgraba

Copyright

©2008 Marcin Graba –

Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

WYZNACZANIE ODPORNOŚCI NA PĘKANIE MATERIAŁÓW KRUCHYCH –

METODA MML

Metoda MML dla zbioru próbek

badanych w tej samej temperaturze

•

Wpływ temperatury badania i prawdopodobieństwa zniszczenia P

f

na krzywą

MASTER CURVE

-80

-40

0

40

20

40

60

80

100

120

T,

o

C

K

, M

P

a

(m

)

1/

2

dla T

0

(-20; -30; -41

o

C)

dla T

0

(-52; -70

o

C)

-40

0

40

0

40

80

120

160

T,

o

C

K

, M

P

a(

m)

1/

2

P

f

= 0.5

P

f

=0.9

P

f

=0.1

Wykresy krzywych wzorcowych dla P

f

=0.5

uzyskane z analizy MML dla różnych zbiorów
próbek

–

wpływ temp. na MASTER CURVE

Wykresy „Master Curve”

uzyskane dla próbek

badanych w temperaturze –30

O

C –

wpływ

prawdopodobieństwa zniszczenia na MASTER
CURVE

www.tu.kielce.pl/~mgraba

Copyright

©2008 Marcin Graba –

Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

WYZNACZANIE ODPORNOŚCI NA PĘKANIE MATERIAŁÓW KRUCHYCH –

METODA MML

Metoda MML dla zbioru próbek

badanych w różnej temperaturze

•

cenzurowanie wyników badań,

•

wyznaczenie metodą

iteracyjną

temperatury

charakterystycznej T0, odpowiadającej odporności na
pękanie równej K

Jc

=100 MPa

⋅m

0.5

(I etap analizy MML);

•

sporządzenie wykresów „Master Curve”

dla

prawdopodobieństwa zniszczenia równego 63%
oraz dla prawdopodobieństwa zniszczenia na poziomie 50%
(II etap analizy MML)

[

]

[

]

(

)

[

]

[

]

{

}

0

)

(

019

,

0

exp

77

11

)

(

019

,

0

exp

20

)

(

019

,

0

exp

77

11

)

(

019

,

0

exp

1

5

0

0

4

1

0

0

=

−

+

−

−

−

−

+

−

∑

∑

=

=

n

i

i

i

i

JC

n

i

i

i

i

T

T

T

T

K

T

T

T

T

δ

www.tu.kielce.pl/~mgraba

Copyright

©2008 Marcin Graba –

Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

WYZNACZANIE ODPORNOŚCI NA PĘKANIE MATERIAŁÓW KRUCHYCH –

METODA MML

Metoda MML dla zbioru próbek

badanych w tej samej temperaturze

•

Przedstawienie charakterystyk odporności na pękanie w jednostkach
WIN:

)

1

/(

2

ν

δ

−

=

E

mR

K

C

e

JC

•

Dopasowanie odporności na pękanie do próbki o grubości 25 mm:

(

)

ych

ferrytyczn

stali

dla

),

m

MPa

(

20

25

/

)

(

min

25

.

0

min

min

25

=

−

+

=

K

B

K

K

K

K

B

)

1

/(

2

ν

−

=

E

J

K

IC

JC

www.tu.kielce.pl/~mgraba

Copyright

©2008 Marcin Graba –

Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

WYZNACZANIE ODPORNOŚCI NA PĘKANIE MATERIAŁÓW KRUCHYCH –

METODA MML

Metoda MML dla zbioru próbek

badanych w różnej temperaturze

•

Wyznaczenie temperatury T

0

odpowiadającej odporności na pękanie
równej 100 MPa

⋅m

0.5

[

]

)

(

019

,

0

exp

77

31

)

_

(

0

0

i

etap

m

T

T

K

−

+

=

)

(

91

.

0

min

0

min

K

K

K

K

m

mat

−

+

=

[

]

[

]

(

)

[

]

[

]

{

}

0

)

(

019

,

0

exp

77

11

)

(

019

,

0

exp

20

)

(

019

,

0

exp

77

11

)

(

019

,

0

exp

1

5

0

0

4

1

0

0

=

−

+

−

−

−

−

+

−

∑

∑

=

=

n

i

i

i

i

JC

n

i

i

i

i

T

T

T

T

K

T

T

T

T

δ

•

Wstępna analiza danych:

•

Wyznaczenie odporności na pękanie
jako mediany ze zbioru danych:

www.tu.kielce.pl/~mgraba

Copyright

©2008 Marcin Graba –

Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

WYZNACZANIE ODPORNOŚCI NA PĘKANIE MATERIAŁÓW KRUCHYCH –

METODA MML

Metoda MML dla zbioru próbek

badanych w różnej temperaturze

•

Etap 1. Standardowa analiza uzyskanych
rezultatów. Oszacowanie medialnej
wartości temperatury T

0

Cenzurowanie danych

1

;

:

dla

)

(

=

<

i

JC

cen

JC

JC

i

i

K

K

K

δ

0

;

:

dla

)

(

)

(

=

=

≥

i

cen

JC

JC

cen

JC

JC

K

K

K

K

i

i

δ

(

)

5

.

0

)

(

30

/

e

o

cen

JC

R

Eb

K

=

Ponowne wyznaczenie temp. T

0

[

]

[

]

(

)

[

]

[

]

{

}

0

)

(

019

,

0

exp

77

11

)

(

019

,

0

exp

20

)

(

019

,

0

exp

77

11

)

(

019

,

0

exp

1

5

0

0

4

1

0

0

=

−

+

−

−

−

−

+

−

∑

∑

=

=

n

i

i

i

i

JC

n

i

i

i

i

T

T

T

T

K

T

T

T

T

δ

Wyznaczenie odporności na pękanie jako
mediany ze zbioru analizowanych danych

)

(

91

.

0

min

0

min

K

K

K

K

m

mat

−

+

=

[

]

)

(

019

,

0

exp

77

31

)

1

(

0

0

etap

m

T

T

K

−

+

=

www.tu.kielce.pl/~mgraba

Copyright

©2008 Marcin Graba –

Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

WYZNACZANIE ODPORNOŚCI NA PĘKANIE MATERIAŁÓW KRUCHYCH –

METODA MML

Metoda MML dla zbioru próbek

badanych w różnej temperaturze

[

]

[

]

(

)

[

]

[

]

{

}

0

)

(

019

,

0

exp

77

11

)

(

019

,

0

exp

20

)

(

019

,

0

exp

77

11

)

(

019

,

0

exp

1

5

0

0

4

1

0

0

=

−

+

−

−

−

−

+

−

∑

∑

=

=

n

i

i

i

i

JC

n

i

i

i

i

T

T

T

T

K

T

T

T

T

δ

•

Etap 2. Oszacowanie temperatury T

0

z dolnego zakresu danych

Cenzurowanie danych

Ponowne wyznaczenie temp. T

0

Wyznaczenie odporności na pękanie jako
mediany ze zbioru analizowanych danych

[

]

0

);

(

)

(

:

)

(

)

(

dla

)

(

019

.

0

exp

70

30

)

(

0

0

=

=

>

−

+

=

i

i

CENZ

i

i

i

CENZ

i

i

i

CENZ

T

K

T

K

T

K

T

K

T

T

T

K

δ

[

]

)

(

019

,

0

exp

77

31

)

2

(

0

0

etap

m

T

T

K

−

+

=

)

(

91

.

0

min

0

min

K

K

K

K

m

mat

−

+

=

www.tu.kielce.pl/~mgraba

Copyright

©2008 Marcin Graba –

Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

WYZNACZANIE ODPORNOŚCI NA PĘKANIE MATERIAŁÓW KRUCHYCH –

METODA MML

Metoda MML dla zbioru próbek

badanych w różnej temperaturze

(

)

019

.

0

77

11

2

ln

ln

max

4

/

1

min

)

3

(

0

(max)

0

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−

=

=

n

K

K

T

T

T

i

i

etap

•

Etap 3. Analiza ostateczna zbioru danych

Wyznaczenie temp. T

0

dla zbioru danych

w liczbie n>9

Wyznaczenie temp. T0 dla zbioru danych w
liczbie n>9

Wyznaczenie odporności na pękanie jako
mediany ze zbioru analizowanych danych

r

T

T

etap

14

(max)

0

)

3

(

0

+

=

[

]

)

(

019

,

0

exp

77

31

)

3

(

0

0

etap

m

T

T

K

−

+

=

)

(

91

.

0

min

0

min

K

K

K

K

m

mat

−

+

=

www.tu.kielce.pl/~mgraba

Copyright

©2008 Marcin Graba –

Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

WYZNACZANIE ODPORNOŚCI NA PĘKANIE MATERIAŁÓW KRUCHYCH –

METODA MML

Metoda MML dla zbioru próbek

badanych w tej samej temperaturze

Zmiana odporności na pękanie Kmat wraz z założonym

prawdopodobieństwem zniszczenia Pf

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

Kmat [MPa*m^0,5]

Pf

[

%

]

•

Wykreślenie zmiany odporności na pękanie K

mat

w funkcji

prawdopodobieństwa zniszczenia P

f

4

0

20

20

exp

1

}

{

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

=

m

mat

mat

K

K

K

P

Można to wykonać

po każdym

etapie analizy, gdzie oznaczono
odporność

na pękanie K

mat

www.tu.kielce.pl/~mgraba

Copyright

©2008 Marcin Graba –

Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

WYZNACZANIE ODPORNOŚCI NA PĘKANIE MATERIAŁÓW KRUCHYCH –

METODA MML

Metoda MML dla zbioru próbek

badanych w różnej temperaturze

•

Wpływ temperatury i grubości na odporność

na pękanie

-80

-60

-40

-20

40

60

80

100

T,

o

C

K

JC

, M

P

a

(m

)

1/

2

- 4 mm
- 6 mm
- 12 mm

-80

-60

-40

-20

0

40

60

80

100

K

JC

, M

P

a

(m

)

1/

2

- 4 mm
- 6 mm
- 12 mm

T,

o

C

-80

-60

-40

-20

40

60

80

100

T,

o

C

K

JC

, M

P

a

(m

)

1/

2

- 4 mm
- 6 mm
- 12 mm
- 25 mm

Wpływ grubości i temp. badania na
odporność

na pękanie. Im mniejsza

grubość

tym większa odporność

na

pękanie. Im niższa temp. Tym
niższa wartość

odporności na

pękanie.

Wpływ grubości i temp. badania na
odporność

na pękanie dla B=25mm.

Im mniejsza grubość

tym większa

odporność

na pękanie. Im niższa

temp. Tym niższa wartość

odporności na pękanie.

Wpływ grubości i temp. badania na
średnią

wartość

odporność

na

pękanie dla B=25mm. Im mniejsza
grubość

tym większa odporność

na

pękanie. Im niższa temp. Tym
niższa wartość

odporności na

pękanie.

www.tu.kielce.pl/~mgraba

Copyright

©2008 Marcin Graba –

Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

WYZNACZANIE ODPORNOŚCI NA PĘKANIE MATERIAŁÓW KRUCHYCH –

METODA MML

Metoda MML –

wpływ liczby

wyników na temperaturę

T

0

-80

-60

-40

-20

0

temperatura otoczenia, T [

°

C]

50

55

60

65

70

75

te

mper

at

ur

a odni

es

ie

ni

a

, T

0

[

°

C]

T

0

=51,429

°

C

3,19%

0,08%

1,09%

32,05%

38,33%

Porównanie wartości temperatur odniesienia T

0

,

wyznaczonych dla każdej z grup próbek

badanych w tej samej temperaturze z wartością

T

0

, wyznaczoną

dla prób wykonanych

w różnych temperaturach.

Najdokładniejszy wynik uzyskuje się

dla zbioru

próbek badanych w różnych temperaturach.
Rozważa się

bowiem całe spectrum badań. Im

mniej próbek badanych w tej samej temp. (np.
temp. -70

°C oraz -50°C w obu przypadkach było

po odpowiednio 4 i 6 próbek) tym mniej
dokładny wynik wyznaczania T

0

zgodnie z

procedurą

dla danych badanych w tej samej

temp., z wynikiem dla różnych temp. badania.
Większa liczba próbek poprawia wynik (temp. -

40

°C, -30°C, -20°C –

odpowiednio 12, 16 i 10

próbek). Im większa liczba próbek, przede
wszystkim większa od 9, tym wynik
wyznaczania temp T

0

ze zbioru próbek

badanych w tej samej temp. Jest bardziej
zbliżony do wyniku uzyskanego dla zbioru
próbek badanych w różnej temp.

www.tu.kielce.pl/~mgraba

Copyright

©2008 Marcin Graba –

Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

WYZNACZANIE ODPORNOŚCI NA PĘKANIE MATERIAŁÓW KRUCHYCH –

METODA MML

Wykonanie ćwiczenia -

sporządzenie

sprawozdania –

część

I

•

Analiza uzyskanego zbioru danych –

wykres zbiorczy

•

Oszacowanie wartości średniej, mediany, wartości

minimalnej i maksymalnej ze zbioru zadanych danych

doświadczlanych

•

Zastosowanie metody MML dla danych badanych w tej

samej temperaturze: przedstawienie wyników obliczeń

na każdym etapie obliczeń

–

wyznaczenie odporności

na pękanie K

mat

jako mediany ze zbioru, obliczenie

temperatury T

0

wraz z wykreśleniem krzywej MASTER

CURVE dla prawdopodobieństwa zniszczenia P

f

={0.2;

0.5; 0.7; 0.95}; wykreślenie po każdym etapie

krzywych prawdopodobieństwo zniszczenia w funkcji

odporności na pękanie;

www.tu.kielce.pl/~mgraba

Copyright

©2008 Marcin Graba –

Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

WYZNACZANIE ODPORNOŚCI NA PĘKANIE MATERIAŁÓW KRUCHYCH –

METODA MML

Wykonanie ćwiczenia -

sporządzenie

sprawozdania -

część

II

•

Porównanie rezultatów uzyskanych na każdym etapie

procedury MML –

zestawienie wyników odporności na

pękanie K

mat

, temp. T

0

, oraz krzywych

prawdopodobieństwo zniszczenia w funkcji

odporności na pękanie, a także krzywych MASTER

CURVE;

wnioski;

•

Porównanie rezultatów analizy MML (podanych

powyżej) z wynikami analizy wstępnej, w której liczono

średnią, medianę, wartości minimalną

i maksymalną

ze zbioru danych;

wnioski;

•

Wnioski końcowe przeprowadzonej analizy danych;