Przeksztaªcenia liniowe

Przykªady

1. Pokaza¢, »e przeksztaªcenie T : R

2

→ R

2

,

postaci T (x, y) = (x + 4y, x − 6y) jest

przeksztaªceniem liniowym.

Rozwi¡zanie
Sprawdzimy najpierw addytywno±¢ przeksztaªcenia T . Niech v = (x

1

, y

1

)

, w =

(x

2

, y

2

) ∈ R

2

.

Obliczmy

T (v + w) = T ((x

1

, y

1

) + (x

2

, y

2

)) = T (x

1

+ x

2

, y

1

+ y

2

) =

= (x

1

+ x

2

+ 4 (y

1

+ y

2

) , x

1

+ x

2

− 6 (y

1

+ y

2

)) =

= ((x

1

+ 4y

1

) + (x

2

+ 4y

2

) , (x

1

− 6y

1

) + (x

2

− 6y

2

)) =

= (x

1

+ 4y

1

, x

1

− 6y

1

) + (x

2

+ 4y

2

, x

2

− 6y

2

)) =

= T (x

1

, y

1

) + T (x

2

, y

2

) =

= T (v) + T (w) .

Zatem T (v + w) = T (v)+T (w), a wi¦c T jest przeksztaªceniem addytywnym.
Sprawdzimy teraz jednorodno±¢ przeksztaªcenia T . Niech a ∈ R.
Obliczmy

T (av) = T (a (x

1

, y

1

)) = T (ax

1

, ay

1

) = (ax

1

+ 4ay

1

, ax

1

− 6ay

1

) =

= a (x

1

+ 4y

1

, x

1

− 6y

1

) = a T (x

1

, y

1

) = a T (v)

Zatem T (av) = a T (v) , co oznacza, »e T jest przeksztaªceniem jednorodnym.

Skoro T jest przeksztaªceniem addytywnym i jednorodnym, to jest przeksz-

taªceniem liniowym.

2. Wyznaczy¢ baz¦ j¡dra i baz¦ obrazu przeksztaªcenia liniowego T : R

4

→ R

3

danego wzorem

T (x, y, z, t) = (x + 2y + z + t, −x + y − 2z − 2t, 0) .

Poda¢ wymiary j¡dra i obrazu tego przeksztaªcenia.

Rozwi¡zanie
Wyznaczymy najpierw baz¦ j¡dra przeksztaªcenia T.
Z denicji j¡dra wynika, »e nale»¡ do niego te wektory przestrzeni R

4

, których

wspóªrz¦dne speªniaj¡ ukªad równa«

x + 2y + z + t = 0,

−x + y − 2z − 2t = 0.

1

Przyjmuj¡c y = α, t = β, otrzymujemy x = −5α, z = 3α − β. Zatem dowolny

wektor nale»¡cy do j¡dra ma posta¢ (−5α, α, 3α − β, β) . Wektor ten mo»na

przedstawi¢ w postaci

(−5α, α, 3α − β, β) = α (−5, 1, 3, 0) + β (0, 0, −1, 1) .

Z denicji bazy wynika, »e ukªad ((−5, 1, 3, 0) , (0, 0, −1, 1)) stanowi baz¦ j¡dra,

a z denicji wymiaru wynika, »e wymiar j¡dra jest równy 2. Poniewa» wymiar

dziedziny przeksztaªcenia liniowego jest równy sumie wymiarów j¡dra i obrazu,

to wymiar obrazu naszego przeksztaªcenia jest równy 2.
Wyznaczymy teraz baz¦ obrazu przeksztalcenia T.
Oznaczmy T (x, y, z, t) = (y

1

, y

2

, y

3

) .

Wtedy

(y

1

, y

2

, y

3

) = (x + 2y + z + t, −x + y − 2z − 2t, 0) =

= x (1, −1, 0) + y (2, 1, 0) + z (1, −2, 0) + t (1, −2, 0) =

= x (1, −1, 0) + y (2, 1, 0) + (z + t) (1, −2, 0) .

Wyznacznik

1 −1 0
2

1 0

1 −2 0

utworzony z wektorów (1, −1, 0) , (2, 1, 0) , (1, −2, 0)

jest równy 0. Widzimy wi¦c, »e te trzy wektory s¡ liniowo zale»ne i w zwi¡zku

z tym nie mog¡ stanowi¢ bazy. Liniowo niezale»ne s¡ np. wektory (1, −1, 0) ,
(2, 1, 0) .

Zatem ukªad ((1, −1, 0) , (2, 1, 0)) stanowi baz¦ obrazu naszego przeksztaªce-

nia, gdy» wektory (1, −1, 0) , (2, 1, 0) stanowi¡ uklad liniowo niezale»ny generu-

j¡cy obraz.

3. Przeksztaªcenia liniowe L

1

: R

3

→ R

3

, L

2

: R

3

→ R

3

okre±lone s¡ wzorami:

L

1

(x, y) = (−x − 2y − z, x − 3y + z, y − z) ,

L

2

(x, y) = (2x − 4y, −x + z, x + y + z) .

Znale¹¢ macierze tych przeksztaªce« w bazach standardowych odpowiednich

przestrzeni oraz poda¢ macierze nast¦puj¡cych przeksztaªce« liniowych (w odpowied-

nich bazach standardowych tych przestrzeni):

(a) 5L

1

;

(

b) L

1

− L

2

;

(

c) 3L

1

+ 2L

2

.

Rozwi¡zanie
Macierze przeksztaªce« L

1

L

2

w bazach standardowych przestrzeni R

3

maj¡

odpowiednio posta¢

L

1

:





−1 −2 −1

1 −3

1

0

1 −1





,

L

2

:





2 4 0

−1 0 1

1 1 1





.

Macierz przeksztalcenia 5L

1

w bazach standardowych ma posta¢

5 ·





−1 −2 −1

1 −3

1

0

1 −1





=





−5 −10 −5

5 −15

5

0

5 −5





.

2

Macierz przeksztaªcenia L

1

− L

2

w bazach standardowych ma posta¢





−1 −2 −1

1 −3

1

0

1 −1





−





2 4 0

−1 0 1

1 1 1





=





−3 −6 −1

2 −3

0

−1

0 −2





.

Macierz przeksztaªcenia 3L

1

+ 2L

2

w bazach standardowych ma posta¢

3





−1 −2 −1

1 −3

1

0

1 −1





+ 2





2 4 0

−1 0 1

1 1 1





=





1

2 −3

1 −9

5

2

5 −1





4. Przeksztaªcenia liniowe L

1

: R

2

→ R

3

, L

2

: R

3

→ R

2

,

okre±lone s¡ wzorami:

L

1

(x, y) = (6x − 2y, x − 3y, −y) ,

L

2

(x, y) = (2x − y + z, −x + 2y) .

Znale¹¢ macierze tych przeksztaªce« w bazach standardowych odpowiednich

przestrzeni oraz poda¢ macierze nast¦puj¡cych przeksztaªce« liniowych (w odpowied-

nich bazach standardowych tych przestrzeni):

(a) L

2

◦ L

1

;

(

b) L

1

◦ L

2

.

Rozwi¡zanie
Macierze przeksztaªce« L

1

oraz L

2

w bazach standardowych maj¡ odpowiednio

posta¢

L

1

:





6 −2
1 −3
0 −1





,

L

2

:

2

−1 1

−1

2

0

.

Zatem szukane macierze L

2

◦ L

1

oraz L

1

◦ L

2

w bazach standardowych maj¡

posta¢

macierz L

2

◦ L

1

:

2 −1 1

−1

2 0

·





6 −2
1 −3
0 −1





=

11 −2

−4 −4

,

macierz L

1

◦ L

2

:





6 −2
1 −3
0 −1





·

2 −1 1

−1

2 0

=





14 −10 6

5

−7 1

1

−2 0





.

5. Poda¢ wzory przeksztaªce« L

2

◦ L

1

oraz L

1

◦ L

2

z przykªadu 9.

Rozwi¡zanie

L

2

◦ L

1

: R

2

→ R

2

,

(L

2

◦ L

1

) (x, y) = (11x − 2y, −4x − 4y) ,

L

1

◦L

2

: R

3

→ R

3

,

(L

1

◦ L

2

) (x, y, z) = (14x − 10y + 6z, 5x − 7y + z, x − 2y) .

3

6. Sprawdzi¢, czy dane przeksztaªcenia s¡ odwracalne. Je±li tak, to napisa¢

macierze przeksztaªce« odwrotnych do nich w bazach standardowych rozwa»anych

przestrzeni liniowych. Ponadto ( dla przeksztaªce« odwracalnych) napisa¢

wzory przeksztaªce« odwrotnych, je»eli:

(a) L : R

2

→ R

2

,

L (x, y) = (x − 2y, x + y) ,

(b) L : R

2

→ R

2

,

L (x, y) = (x − y, 2x − 2y) ,

(c) L : R

3

→ R

3

,

L (x, y, z) = (x − y + z, 2x + y, y − z) .

Rozwi¡zanie

(a) Macierz przeksztaªcenia w bazach standardowych L ma posta¢

A =

1 2

1 1

.

Wyznacznik tej macierzy jest równy −1 6= 0. Macierz A jest odwracalna.

Zatem nasze przeksztaªcenie mo»a odwróci¢. Macierz odwrotna do macierzy
A,

ma posta¢

A

−1

=

−1

2

1 −1

.

Zatem przeksztaªcenie L

−1

, odwrotne do L, dane jest wzorem

L

−1

(x, y) = (−x + 2y, x − y) .

(b) Macierz przeksztaªcenia w bazach standardowych L ma posta¢

A =

1 −1

1 −2

.

Wyznacznik tej macierzy jest równy 0. Macierz A nie jest odwracalna.

Zatem i nasze przeksztaªcenie jest nie jest odwracalne.

(c) Macierz przeksztaªcenia w bazach standardowych L ma posta¢

A =





1 −1

1

2

1

0

1

0 −1





.

Wyznacznik tej macierzy jest równy −4 6= 0. Macierz A jest wi¦c odwracalna.

Zatem i nasze przeksztaªcenie mo»a odwróci¢. Macierz odwrotna do macierzy
A,

ma posta¢

A

−1

=





1
4

1
4

1
4

−

1
2

1
2

−

1
2

1
4

1
4

−

3
4





.

Zatem przeksztaªcenie L

−1

, odwrotne do L, dane jest wzorem

L

−1

(x, y, z) =

x + y + z

4

,

−x + y − z

2

,

x + y − 3z

4

.

4

Zadania

Które z nast¦puj¡cych przeksztaªce« s¡ liniowe?

1. (a) T : R

2

→ R

2

,

T (x

1

, x

2

) = (2x

1

, x

1

− x

2

) ,

(b) T : R

2

→ R

2

,

T (x

1

, x

2

) = (4x

1

+ 3x

2

, x

2
1

) ,

(c) T : R

2

→ R, T (x

1

, x

2

) = |4x

1

+ 3x

2

| ,

(d) T : R

3

→ R,

T (x

1

, x

2

, x

3

) = 2 x

1

− x

2

+ 3x

3

,

(e) T : R

3

→ R

2

,

T (x

1

, x

2,

x

3

) = (2x

3

, x

1

+ 4x

2

− x

3

) ,

(f) T : R

3

→ R

2

,

T (x

1

, x

2,

x

3

) = (2x

3

, x

1

+) ,

(g) T : R

4

→ R

3

,

T (x

1

, x

2

, x

3

, x

4

) = (2x

1

, x

1

− x

2

+ 3x

3,

x

2

− 4x

4

) ,

(h) T : R

3

→ R

3

,

T (x

1

, x

2

, x

3

) = (4x

1

+ 3x

2

, x

2
1

, x

2

− 4x

3

) ,

(i) T : R

6

→ R

6

,

T (x

1

, x

2

, x

3

, x

4,

x

5,

x

6

) = (0, 2 x

1

− x

2

+ 3x

3

, −x

2

− 4x

5

, 0, x

1

+ x

3

, 0) .

2. Zbada¢ liniowo±¢ przeksztaªcenia T

a

b

−b a

= a + b

, a, b ∈ R.

3. Zbada¢ liniowo±¢ podanych przeksztaªce«:

(a) T : R

3

→ R

3

, T

jest rzutem prostok¡tnym na pªaszczyzn¦ x0y,

(b) T : R

2

→ R

2

, T

jest rzutem prostok¡tnym na prost¡ o równaniu x+y = 0,

(c) T : R

2

→ R

2

, T

jest obrotem o k¡t

π

4

wokóª punktu (0, 0).

(d) T : R

2

→ R

2

, T

jest przesuni¦ciem o wektor ~v = [4, −2] .

4. Wykaza¢, »e ka»de przeksztaªcenie liniowe przeksztaªca ukªad wektorów liniowo

zale»nych w ukªad wektorów liniowo zale»nych. Czy prawdziwe jest analogi-

cznie sformuªowanie twierdzenie dla wektorów liniowo niezale»nych?

Obraz i j¡dro przeksztaªcenia liniowego

5. Znale¹¢ baz¦ i wymiar j¡dra oraz baz¦ i wymiar obrazu przeksztaªcenia linio-

wego T : R

4

→ R

4

,

danego wzorem

T (x, y, z, t) = (x + y + z + 2t, x − y + z + 6t, x + y − z − 4t, 2x + 2y − 2z) .

6. Wyznaczy¢ baz¦ j¡dra i baz¦ obrazu przeksztaªcenia liniowego T : R

4

→ R

3

danego wzorem

T (x, y, z, t) = (x + 2z + t, −2x + y − 3z − 5t, x − y + z + 4t) .

5

7. Wyznaczy¢ j¡dro, obraz i rz¡d przeksztaªcenia liniowego T : M

22

→P

2

danego

wzorem

T

a b

c d

= (2a + b − c + 3d) + (a + 3c + d) x + (−2b + c) x

2

,

gdzie

M

22

oznacza przestrze« liniow¡ macierzy stopnia 2, a P

2

oznacza

przestrze« wielomianów stopnia ≤ n.

8. Wyznaczy¢ j¡dro, rz¡d i obraz przeksztaªcenia liniowego

T : P

3

→ M

22

danego wzorem T : (ax

3

+ bx

2

+ cx + d) =

a − 2c

2a − b − 2d

−b + 2d

c − d

.

9. Niech

T : R

4

→ R

3

b¦dzie przeksztaªceniem liniowym, które dowolnemu

wektorowi (x

1

, x

2

, x

3

, x

4

) ∈ R

4

przypisuje wektor (x

1

+ x

2

, −x

1

− x

2

, 2x

3

) .

Znale¹¢ baz¦ j¡dra i rz¡d przeksztaªcenia T.

10. Sprawdzi¢, czy wektory (1, 1, −1, 1) , (1, −1, 1, −3) generuj¡ j¡dro przeksztaªce-

nia liniowego T : R

4

→ R

4

danego wzorem

T (x, y, z, u) = (x + y + 3z + u, −2x − y − 4z − u, y + 2z + u, x + 2y + 3z) .

11. Sprawdzi¢, czy wektory (1, 1, −2, 0, 1) , (−2, 0, 0, 1, 1) generuj¡ j¡dro przeksztaª-

cenia liniowego T : R

5

→ R

4

danego wzorem

T (x, y, z, u, v) = (x − 2y + u + v, x − y + z + 2v, 3x − 4y + 2z + u + 5v, x − 3y − z + 2u) .

12. Znale¹¢ dwie ró»ne bazy obrazu przeksztaªcenia liniowego T : R

5

→ R

4

danego

wzorem

T (x, y, z, u, v) = (x + y − z, −x + 2y + 3z − u, 3y + 2z − u − v, 2v) .

13. Napisa¢ wzór przeksztaªcenia liniowego T : R

4

→ R

3

takiego, »e T (−1, 1, −1, 1) =

(0, 2, 1)

, T (1, 0, 1, 0) = (1, 1, 2) oraz KerT = {(x, 0, 0, t) ; x, t ∈ R}.

Reprezentacja macierzowa przeksztaªcenia liniowego

14. Napisa¢ macierze podanych przeksztaªce« w bazach standardowych rozwa»anych

przestrzeni liniowych:

(a) T : R

3

→ R

3

,

T (x, y, z) = (2x + y − z, x − 5z, y + 4z) ,

(b) T : R

2

→ R

3

,

T (x, y) = (x + 2y, x − y, y) ,

(c) T : R

3

→ R

2

,

T (x, y, z) = (2x + y − z, x − 5z) ,

6

(d) T : R

2

→ R

2

,

T (x, y) = (2x + 4y, 5x − 3y) .

15. Przeksztaªcenia liniowe L

1

: R

2

→ R

2

, L

2

: R

2

→ R

2

, L

3

: R

2

→ R okre±lone s¡

wzorami:
L

1

(x, y) = (6x − 2y, x − 3y) ,

L

2

(x, y) = (2x − y, −x) ,

L

3

(x, y) = 4x + y.

Napisa¢ macierze tych przeksztaªce« w bazach standardowych odpowiednich

przestrzeni oraz poda¢ macierze nast¦puj¡cych przeksztaªce« liniowych (w odpowied-

nich bazach standardowych):

(a) 3L

1

;

(

b) L

1

+ L

2

;

(

c) 3L

1

− 4L

2

;

(

d) L

3

◦ (L

1

+ L

2

) .

16. Przeksztaªcenia liniowe L

1

: R

2

→ R

3

, L

2

: R

3

→ R

2

, L

3

: R

2

→ R okre±lone s¡

wzorami:
L

1

(x, y) = (x + 2y, 3x − 4y, x + y) ,

L

2

(x, y, z) = (y − z, −x + y + z) ,

L

3

(x, y) = 5x − 2y.

Napisa¢ macierze tych przeksztaªce« w bazach standardowych odpowiednich

przestrzeni oraz poda¢ wzory nast¦puj¡cych przeksztaªce« liniowych:

(a) L

2

◦ L

1

;

(

b) L

3

◦ L

2

;

(

c) L

1

◦ L

2

◦ L

3

.

17. Spo±ród przeksztaªce« liniowych wybra¢ przeksztaªcenia odwracalne i napisa¢

macierze przeksztaªce« odwrotnych do nich w bazach standardowych rozwa»anych

przestrzeni liniowych. Ponadto napisa¢ wzory przeksztaªce« odwrotnych, je»eli:

(a) L : R

2

→ R

2

,

L (x, y) = (x − y, 2x + y) ,

(b) L : R

2

→ R

2

,

L (x, y) = (x − y, 2x − 2y) ,

(c) L : R

3

→ R

3

,

L (x, y, z) = (x − y + z, 2x + y, y − z) ,

(d) L : R

3

→ R

3

,

L (x, y, z) = (x − y + z, 2x + y, 3x + z) .

18. Sprawdzi¢, czy istnieje przeksztaªcenie odwrotne do przeksztaªcenia liniowego

T : M

22

→ R

4

okre±lonego wzorem

T [a

ij

]

i,j=1,2

= (a

11

+ a

12

+ a

21

, a

11

− a

12

, a

21

, a

21

− a

22

) .

7