Artykuł pobrano ze strony

eioba.pl

TOTOLOTEK - Szanse Wygrania a Systemy Gry

Interesujesz się grami losowymi takimi jak Totolotek? Czy wiesz jakie jest prawdopodobieństwo Twojej wygranej? Czy
"systemy gry" sprawdzają się? O tym przeczytasz właśnie tutaj.

Szanse wygrania

w totolotku

(

Duży Lotek i Multi Lotek)

K. M.

Borkowski

Nie należę do namiętnych graczy, ani nie jestem zajadłym przeciwnikiem gier losowych. Gdy więc
przystępowałem do przedstawionej tu analizy, nie było moim zamiarem zachęcać nikogo do grania, ani też
nie chodziło mi o zniechęcanie. Niektórzy z moich przyjaciół grając stosują rozmaite metody w celu
zmaksymalizowania szansy wygranej. Obiektywna ocena szansy wygranej w

Multi Lotka

jawiła mi się całkiem ciekawym zagadnieniem kombinatorycznym, a wyniki przeprowadzonych analiz okazały
się bardziej interesujące, niż mógłbym się spodziewać, dlatego postanowiłem podzielić się nimi na szerokim
polu internetu.
Niezależnie od wspomnianej postawy niezaangażowania oraz wyników tej analizy, mam świadomość, że
gry typu totolotka dają pieniądz raczej brudny przez to, że wygrane sumy pochodzą z kieszeni często dość
biednych ludzi oszukiwanych pokusą łatwego zbogacenia się. Grywam więc bardzo rzadko (w tym względzie
jednak podoba mi się podejście

Bastiana

).
Być może gracze zdają sobie sprawę z tego, że obietnicą wysokich wygranych są wciągani do w istocie
nie całkiem uczciwej gry. Podejrzewam jednak, iż niewielu z nich domyśla się nawet, że zasadniczo wszyscy,
przystępując do gry np. w lotka (Dużego albo Multi Lotka), automatycznie płacą ok. 60 % wydawanych
pieniędzy na inne cele niż pula wygranych. Szacunek tzw. nadziei matematycznej (albo wartości
oczekiwanej) wskazuje bowiem na tak właśnie niekorzystny bilans wygranych w stosunku do wpłat.
Przy analizie szans w Multi Lotku odkryłem, że

dwa z polskich internetowych portali

(reprezentujące firmy handlujące własnym oprogramowaniem) dla zwiększenia zysków w perfidny sposób
zachęcają graczy do stosowania systemów, które prowadzą do praktycznie pewnych i wysokich
przegranych.

Na końcu

podsuwam graczom kilka użytecznych rad.

Duży Lotek i jego odmiany

Zakładając, że wylosowanie każdego numeru spośród N liczb (np. któregoś z 49 w totolotku) w grze liczbowej jest tak
samo prawdopodobne (np. z szansą 1 do 49), możemy stosunkowo łatwo obliczyć szansę zdobycia głównej i niższych
stopni wygranych przy zadanej liczbie sKreśleń (typowań), K. Należy mianowicie obliczyć liczbę możliwych skreśleń
dających spodziewany efekt czyli wygraną danego stopnia (P) i podzielić ją przez liczbę wszystkich różnych skreśleń (C).
Np., gdyby gra polegała na losowaniu L = 2 liczb z N = 49 i gracz typowałby tylko jedną liczbę (K = 1), miałby 49 różnych

możliwości skreślenia robionego zakładu. Oczywiście, wśród tych 49-ciu możliwych typowań dwa muszą trafić na liczby
ostatecznie wylosowane, zatem szansę (prawdopodobieństwo) określimy jako 2 trafienia na 49 prób czyli 1:24,5 albo
0,040816. Odwrotność szansy czy też prawdopodobieństwa (w tym przypadku liczbę 24,5/1 = 24,5) interpretujemy jako
średnią liczbę prób (gier), na którą przypada jedna próba pomyślna (powiemy 'wygrana' lub 'trafienie'); tę liczbę w tym
tekście nazwiemy częstością trafień i oznaczymy przez I.

Szanse wyglądałyby podobnie, gdyby w rozważanej grze losowano L = 1 liczbę, a gracz skreślałby dwie (K =2). W takiej
wersji gry bowiem możliwa liczba zrobienia różnych zakładów wyniosłaby 49·48/2 = 49·24 (gdyż przy każdej jednej
skreślonej liczbie mamy jeszcze 48 możliwości skreślenia drugiej, jednak co druga z wszystkich tego rodzaju kombinacji
skreśleń będzie taka sama, ponieważ np. skreślenie najpierw 1 a potem 2 nie różni się od skreślenia najpierw 2 a potem
1). Nietrudno zauważyć, że wśród tych 49·24 możliwych typowań musi być 48 trafnych, czyli szansa wynosi 48:(49·24) =
1:24,5. Ta równość szans wyraża ciekawy fakt, że w rachunku prawdopodobieństwa liczby L i K możemy traktować
zamiennie, tzn. zamiast maszyny losującej mógłby występować świadomie wybierający numery gracz, a w charakterze
gracza — maszyna skreślająca losowo. Statystycznie rzecz traktując, efekty końcowe (częstości trafień) w obu wersjach
gry byłyby takie same.

Z działu matematyki zwanego kombinatoryką wiadomo, że w ogólności ze zbioru N różnych obiektów (numerów w grze)
można złożyć następującą liczbę różnych podzbiorów (kombinacji) zawierających K różnych obiektów (liczb skreślanych w
grze):

C(N,K) = (

N
K

) =

N!

(N – K)! K!

,

(1)

gdzie symbol n! (n-silnia) jest skrótowym zapisem wyrażenia n·(n–1)·(n–2)·...·2·1, przy czym 1! = 0! = 1.

W przytoczonym prostym przykładzie mieliśmy 49 kombinacji po jednej liczbie, co jest oczywiście równe C(49,1) = 49!/[(49
– 1)!·1!] = 49. Jeśli jednak losuje się 6 liczb, istnieje już dużo więcej możliwych wyników: C(49,6) = 49!/(43!·6!) =
49·48·47·46·45·44/(6·5·4·3·2·1) = 13983816. Gdy w tym przypadku gracz typuje 6 liczb, może to zrobić także na tyle
sposobów, tj. C(49,6). Ponieważ wszystkie kombinacje są różne, wśród nich tylko jedna może być pomyślna [P(49,6,6) =
1], zatem szansa trafienia wynosi P(49,6,6):C(49,6) czyli 1:13983816. To prawdopodobieństwo jest zgrubsza tak małe,
jak to, że moneta rzucona 24 razy spadnie 24 razy z rzędu tak samo, tj. tylko reszką albo tylko orzełkiem do góry (ściślej,
dla monety prawdopodobieństwo to wynosi: 1:2

24

= 1:16777216).

Szanse trafienia '5' będą większe proporcjonalnie do liczby możliwych sposobów trafienia piątki czyli do liczby kombinacji
pięciu trafień w sześciu wylosowanych, C(6,5) = 6!/(1!·5!) = 6. Każdej z tych kombinacji jedno 'pudło' wśród liczb
niewylosowanych może towarzyszyć na C(49–6,1) = 43!/(42!·1!) = 43 sposoby. Pięć trafnych można więc uzyskać w 6
skreśleniach na 6 sposobów, ale każdy z tych sposobów może wystąpić przy jednym z 43 niewylosowanych numerów, na
który padnie nasz nietrafny typ. Razem jest zatem P(49,6,5) = C(6,5)·C(43,1) = 6·43 = 258 sprzyjających kombinacji
trafienia piątki, co daje prawdopodobieństwo 1:13983816/258 trafienia '5' w totolotka (Dużego Lotka). Analogicznym
rozumowaniem możemy wyznaczyć liczbę sprzyjających kombinacji dla dowolnej liczby trafień, j:

P(49,6,j) = C(6,j)·C(43,6–j).

Wszystkie możliwości trafień w Dużym Lotku i kilku jego odmianach zawiera ta tabelka:

Tab. 1: Liczba gier czy zakładów I(j), na jaką przypada średnio jedna wygrana z j trafieniami

j 6 5 4 3 2 1 Gra

C(49,6)/P(49,6,j) 13983816 54201 1032,4 56,656 7,5541 2,4212 Duży Lotek
C(35,5)/P(35,5,j) — 324632 2164,2 74,628 7,9959 2,3691 Mały Lotek
C(42,5)/P(42,5,j) — 850668 4598,2 127,728 10,9481 2,5760 Express L.
C(45,5)/P(45,5,j) — 1221759 6108,8 156,636 12,3660 2,6737 Zakł. Specj.
C(45,4)/P(45,4,j) — — 148995 908,506 30,2835 3,4943 Twój Szczęś-
Wygrana stopnia (6 – j) 5363820 153252 32706,2 934,463 36,040 liwy Numerek

Prawdopodobieństwo przegranej

Dla gracza może być również interesująca odpowiedź na pytanie jak często może się spodziewać

zera trafień lub braku wygranej. Liczbę kombinacji odpowiadających zeru trafień można łatwo
obliczyć jako C(N–K,K), ale zastosujemy procedurę słuszną w obu przypadkach. Mianowicie, należy
zsumować prawdopodobieństwa zdarzeń składających się na sytuację przeciwną [tzn. np. w oparciu
o

Tab. 1

zsumować wielkości 1/I(j) dla wszystkich j, przy których otrzymuje się nagrody] i sumę odjąć od
jedności. Np., w Dużym Lotku suma odwrotności I od j = 1 do j = 6 wynosi 0,564035 czyli

1 – 1/2,2938 = 1 – C(43,6)/13983816,

co znaczy że w tej grze obędziemy się bez żadnego trafienia średnio tylko raz na ok. 2,3 zakłady
(lub 10 razy w 23 grach), ale jakąś wygraną (j od 3 do 6) zdobędziemy jedynie raz na ok. 57
zagrań. Podobny rachunek dla Ekspress Lotka wskazuje, że całkowicie spudłujemy tu raz na

C(42,5)/C(37,5) = 850668/435897 = 1,95

gier, zaś przegrywamy aż 123 razy na ok. 124 niezależne zagrania. Jak widać, w obu tych grach
o częstości przegrywania czy wygrywania decyduje zasadniczo częstość trafiania w trójkę, bo wyższe
wygrane trafiają się znacznie rzadziej.

Uwagi do Tab. 1: Dla piątki premiowanej, występującej w niektórych grach typu 6/49, prawdopodobieństwo trafienia
obliczamy jako 6:13983816 = 1:2330636, gdyż przy pięciu normalnych trafnych numer premiowy może przypaść na
każdą z sześciu typowanych liczb. Inaczej mówiąc, wsród C(49,6) kombinacji możliwych do wytypowania istnieje tylko 6
pomyślnych, na jakie może paść piątka premiowana. W obecności numeru premiowego nieco inaczej wyglądają też
szanse na trafienie zwykłej piątki, która wygrywa teraz średnio raz na 13983816/(42·6) = 55491,3 prób. Taką wartość
Eureka, 'największy i najlepszy' krajowy

portal lotto

(tak się reklamuje, ale jak wynika z

dalszej analizy

, jest to raczej

największy naciągacz), podaje błędnie jako szansę trafienia zwykłej piątki w Dużym Lotku.
W Twoim Szczęśliwym Numerku losuje się cztery liczby z 45 i osobno jedną z 36. W tabelce (

Tab. 1

) w pierwszym

wierszu dla tej gry podane są tylko szanse trafienia numerów z pierwszej części losowania. Liczby dla j = 4 i j = 3 wyrażają
więc w przybliżeniu szansę wygranych II i IV stopnia, odpowiednio. Ścisłe wartości otrzymamy mnożąc te
prawdopodobieństwa przez prawdopodobieństwo nietrafienia w wylosowaną pojedynczą liczbę w drugim losowaniu, które
wynosi 35:36 czyli 1/(36/35). Stąd dokładniejsze oceny szans na nagrody II i IV stopnia kształtują się jak jeden do
148995·36/35 = 153252 i do 908,506·36/35 = 934,463, odpowiednio. W drugim losowaniu prawdopodobieństwo
trafienia wynosi 1:36, co też jest bliskie szansie wygranej V stopnia, ale poprawny stosunek otrzymamy mnożąc je przez
łączne prawdopodobieństwo, że w pierwszym losowaniu nie będzie ani 4-ki, ani 3-ki, czyli przez 1 – (1/148995 +
1/908,506) = 1/1,0011086. Tak więc szanse na wygraną V stopnia mają się jak 1:(36·1,0011086) = 1:36,04.
Prawdopodobieństwo wygranej I i III stopnia (4+1 i 3+1 trafień) jest 35 razy mniejsze od prawdopodobieństw dla
wygranych II i IV stopnia (czyli 36 razy gorzej niż podpowiadają liczby C(45,4)/P(45,4,j) dla j = 4 i j = 3 w

tabelce

),

konkretnie: 1 do 5363820 i do 32706, odpowiednio.

Teoria a praktyka

Czy obliczone w powyższy sposób prawdopodobieństwa albo szanse rzeczywiście mają coś wspólnego z praktyką
codzienną? Poniższe przykłady ad hoc nie mogą pretendować do stanowienia solidnych argumentów, ze względu na
wyrywkowość, ale już z nich widać, że w tym wypadku względnie prosta matematyka (kombinatoryka) ma dużo do
powiedzenia.

Tab. 2: Przykłady ogólnokrajowych wyników gier w Dużego Lotka.

j

Losowanie z 7.01.2004

(1 17 19 29 35 40)

Losowanie z 14.01.2004

(8 19 30 31 37 43)

31.12.2003 – 14.01.2004

(5 losowań)

6
5
4
3

R-m:

2

351

20127

372701

1,5

390

20453

372701

21115748

3317563,50

4508,30

103,10

10,00

14019644

0

106

6511

126878

0,5

133

6963

126878

7188400

0

5653,20

142,50

10,00

2795836

3

1172

59333

1091933

4,4

1141

59923

1091933

61864556

2680168,93

3941,50

101,40

10,00

29595800

Z pięciu kolejnych losowań na przełomie lat 2003 i 2004 (takimi tylko wynikami dysponowała jedna z toruńskich kolektur,
którą odwiedziłem 17 stycznia 2004 r.) w Tabeli 2 widnieją jedynie wyniki z największą i najmniejszą liczbą wygranych

trójek oraz wartości zbiorcze wszystkich pięciu losowań. W wierszu 'R-m:' kolorem zielonym zaznaczono ocenę liczby
zakładów jako liczbę trójek (j = 3) pomnożoną przez oczekiwaną częstość trafiania trójki [I(3) z

Tab. 1

], 56,656.

Przykładowo,

21115748

to zaokrąglone 372701·56,656. Z tej oceny zostały z kolei wyliczone spodziewane liczby

wygranych pierwszego, drugiego i trzeciego stopnia (tj. dla j równego 6, 5 i 4) przez podzielenie jej przez odpowiednie
częstości I(j) z

Tabeli 1

. Również te obliczenia, zamieszczone w Tabeli 2 w środkowej kolumnie danego losowania, zostały

wyróżnione kolorem zielonym.

Warto zwrócić uwagę na zgodność liczby spodziewanych wygranych (kolor zielony) z faktycznie wygranymi (w kolumnie z
lewej strony tych pierwszych), która jest lepsza przy większych częstościach (przy 4-kach błąd wynosi tylko kilka procent,
znacznie lepiej niż dla wygranych wyższego stopnia) i większej statystyce (liczbie zakładów). W przypadku statystyki
sumarycznej z pięciu zakładów ocena nawet liczby piątek różni się już zaledwie o ok. 3 % od wartości rzeczywistej.
Niewątpliwie więc dużo, dużo lepszej zgodności moglibyśmy oczekiwać w analizach statystyk np. z całego roku.

Drugi ważny wniosek, obok zadowalającej zgodności naszej predykcji z wynikami gier, dotyczy sumy pieniędzy
przeznaczanych na wypłaty nagród. Obliczona tutaj z sumy iloczynów faktycznej liczby wygranych i odpowiedniej
wysokości nagrody (podanych z prawej strony kolumny 'zielonej'), wynosi w przybliżeniu 50 % wpłat graczy (wpłaty te
sprowadzają się do 'zielonej' liczby złotówek podanej w wierszu 'R-m:' przyjmując, że wpływ z jednego zakładu to 1 zł).

Gry systemem

W Dużym Lotku i Express Lotku istnieje możliwość robienia zakładów systemowych. Zakłady takie dają graczowi swobodę
skreślenia dodatkowych liczb ponad 6 i 5 — aż do 12-tu. Zauważamy od razu, że np. skreślenie 7-mej liczby w jednym
zakładzie w Dużym Lotku jest równoważne C(7,6) = 7 zakładom zwykłym, w których występuje tylko te 7 liczb w różnych
kombinacjach po 6 liczb. W ogólności, jeśli skreślamy dodatkowo k liczb w zakładzie gry z losowaniem K liczb, to jest to
równoważne złożeniu C(K+k,K) zakładów zwykłych, w których wykorzystaliśmy wszystkie kombinacje po K liczb z
obranego zestawu K + k liczb. Tak więc proporcjonalnie do tej liczby C(K+k,K) rosną nasze szanse wygrania najwyższej
nagrody (ale również w takiej samej proporcji rośnie opłata za jeden zakład).

Mówi się, że dodatkową korzyścią gry systemem jest to, że jeśli szczęście nam dopisze i uzyskamy wygraną pewnego
stopnia, to automatycznie mamy zapewnione przynajmniej kilka wygranych niższego stopnia (lub stopni, oczywiście, o ile
taki czy takie istnieją). Dzieje sie tak z tej prostej racji, że systemowe zakłady gwarantują wszystkie możliwe kombinacje
skreślanych liczb po K liczb. Nietrudno zauważyć, że zakład K + k skreślanych liczb zawiera C(K+k–M,K–M) kombinacji M
trafionych liczb. Np., jeśli skreślając w Dużym Lotku 12 liczb [co odpowiada C(12,6) = 924 zakładom zwykłym] trafimy w
trójkę, to wystąpi ona w tych C(12,6) kombinacjach C(12–3,6–3) = 84 razy. Szczegółowe tabele takich i innych
wielokrotności udostępniają kolektury. Jednakże za mówieniem w tym kontekście tylko o 'dodatkowej korzyści' kryje
się także małe oszustwo, o ile nie wyjawi się grającemu, że ta korzyść łączy się z wymierną stratą na szansach.
Wprawdzie maleńkie (dotyczące więc naprawdę nielicznych graczy) prawdopodobieństwo trafienia K numerów rośnie, jak
pisaliśmy, proporcjonalnie do ceny zakładu, ale nie dotyczy to wygranych niższych stopni, gdyż np. każda trójka w
zakładzie 12-skreśleniowym zawsze występuje aż 84 razy, co musimy interpretować jako tyleżkrotne zmniejszenie szansy
jej uzyskania (w stosunku do przypadku, gdy składamy równoważną liczbę 924 zakładów normalnych, w których trójki nie
powtarzają się). Że nie kryje się za tym rozumowaniem żadna sztuczka przekonuje następujący prosty przykład, w którym
obliczymy szanse wprost.

Powiedzmy, że składamy w kolekturze dwa zakłady po sześć skreśleń różniące się tylko jedną liczbą (pięć skreśleń takich
samych w obu zakładach, a szóste różne). Szóstki w obu zakładach są różne, mamy zatem dwa pomyślne zdarzenia
zamiast jednego (jak w jednym zakładzie), więc i szanse trafienia szóstki są dwukrotnie wyższe. Piątkę w sześciu
skreślonych liczbach jednego zakładu można trafić/wybrać na C(6,5) = 6 sposobów; pomyślnych zdarzeń jest tu zatem 6.
W drugim zakładzie naszego przykładu, na sześć możliwych piątek w pięciu pojawi się nowa liczba, ale szósta kombinacja
będzie identyczna jak w pierwszym zakładzie, czyli pomyślnych różnych zdarzeń w tych dwóch zakładach traktowanych
łącznie jest 6 + (6 – 1) = 11. Prawdopodobieństwo trafienia piątki rośnie więc w tym przypadku nie dwukrotnie lecz mniej,
bo o czynnik 11/6 = 1,833... czyli o ok. 8 % gorzej niż w grze dwoma niezależnymi zakładami. Rozpisując explicite
wszystkie możliwości, każdy może sprawdzić, że straty szans są stoniowo większe dla niższych stopni wygranych. I tak,
czwórkę możemy trafić na C(6,4) = 15 sposobów, ale w drugim zakładzie powtórzy się już C(5,4) = 5 kombinacji z
pierwszego zakładu, co oznacza, że sprzyjających zdarzeń jest 15 + (15 – 5) = 25, czyli o czynnik 25/30 = 0,833... (tj. 17
%) gorzej niż dla dwóch niezależnych zakładów. I wreszcie, dla trójek będziemy mieli C(6,3) = 20 kombinacji, ale powtórzy
się C(5,3) = 10, tzn. stracimy 10/(20 + 20)·100 % = 25 % szanas.

Tego rodzaju rozumowania prowadzą do wniosku, że te

wielokrotne wygrane niższego stopnia w grach

systemowych w ogóle nie są korzyścią, lecz wyrażają fakt, że gracz w istocie składa odpowiednią
wielokrotność jednakowych zakładów określonego typu, a zatem proporcjonalnie do tego traci na szansach.

Tak więc mówienie o korzyści jest równoważne twierdzeniu, że podwyższenie stawki (zwielokrotnienie opłaty
za zakład) jest korzystne. Oczywiście nie jest korzystne, gdyż jak już wiemy gracze na totolotku praktycznie
zawsze tracą ze swoich opłat za grę około 50 % (60 % jeśli uwzględnimy dodatkowe opłaty na cele kultury;
pomijamy tu fakt, że wyższe wygrane obłożone są ponadto podatkiem), zaś podwyższanie stawki nie
zwiększa prawdopodobieństwa wygranej, a więc musi prowadzić do wprost proporcjonalnie podwyższonych

strat grającego.

Dalsze dane do analizy szansy uzyskania j trafień w systemach Dużego Lotka przedstawia poniższa tabela, w której
podano częstotości trafień przy skreślaniu na jednym kuponie K liczb (zamiast normalnych sześciu). Poniżej tych wierszy
podajemy (odróżnione

kolorem niebieskim

) tak wyliczone częstości pomnożone przez x = C(K,6) odpowiadające krotności

zakładów zwykłych na jeden systemowy. Te wartości są pewną miarą naszej szansy uzyskania określonej liczby trafień, j,
w grze systemem.

Tab. 3: Częstości występowania przynajmniej jednej wygranej z j trafieniami
(zwykle takie trafienia oznaczają jednak wielokrotną wygraną)
w grach systemem w Dużym Lotku

K x j ——> 6 5 4 3 2 1

6 1 13983816 54200,8359 1032,3969 56,6559 7,5541 2,4212

7 1997688 15854,6670 464,0390 34,8029 5,9492 2,3484

7 7 13983816 110982,6720 3248,2732 243,6205 41,6445 16,4386

8 499422 6090,5122 243,6205 23,4250 4,9316 2,3325

8 28 13983816 170534,3440 6821,3735 655,9013 138,0845 65,3102

9 166474 2774,5667 142,2855 16,8496 4,2503 2,3613

9 84 13983816 233063,5940 11951,9805 1415,3661 357,0292 198,3496

10 66589,60 1422,8547 89,8645 12,7510 3,7781 2,4288

10 210 13983816 298799,5000 18871,5469 2677,7195 793,3984 510,0418

11 30268 796,5263 60,2777 10,0463 3,4444 2,5327

11 462 13983816 367995,1560 27848,2832 4641,3804 1591,3304 1170,0958

12 15134 477,1982 42,4176 8,1805 3,2081 2,6734

12 924 13983816 440931,1560 39193,8789 7558,8188 2964,2429 2470,2024

Jak stąd widać, np. trójka w grze systemowej z 12 skreśleniami trafia się średnio raz na 8,1805 gier, co odpowiada
924·8,1805 = 7558,8188 zakładom prostym i można porównać z przypadkiem zwykłej gry, gdzie ta sama trójka trafia się
co ok. 57 zakładów. Wiemy jednak, że w tej grze systemowej zdarzenia nie są niezależne i dlatego jeśli padnie jakaś
wygrana, to bywa ich wiecej lub towarzyszą jej wygrane niższego stopnia. W przypadku najniższej wygranej, trójki, będzie
ich, jak wcześniej zauważyliśmy, od razu 84, tzn. średnio trójkę trafiamy co 7558,8188/84 = 89,9859 zakładów zwykłych.
Zatem w tym przypadku średnie częstości zmalały nie tak drastycznie jak możnaby wnosić z tabeli, ale jednak o blisko 60
%: z jednego trafienia na 57 gier (zakładów) do jednego na 90. Opierając się na wcześniejszej dyskusji, możemy założyć,
że w innych przypadkach gier systemowych Dużego Lotka, dla mniejszej liczby skreśleń i dla wyższych wygranych, straty
na szansach są mniejsze niż te 60 % częstości (co odpowiada ok. 37 % prawdopodobieństwa). Jeśli czas pozwoli, w
przyszłości wrócę jeszcze do tej ciekawej analizy.

Podsumowując możemy stwierdzić, że gry systemowe są czymś pośrednim pomiędzy zwykłą grą i grą z
podwyższoną stawką. O ile decydując się na grę z wyższą stawką całkowicie rezygnujemy z poprawy szans
trafienia licząc w zamian na proporcjonalnie do stawki wyższe wygrane, o tyle gry systemowe poprawiają szanse
trafienia, ale w mniejszym stopniu niż w przypadku składania równoważnej liczby zakładów niezależnych od
siebie.

Multi Lotek

W Multi Lotku sytuacja na pierwszy rzut oka wydaje się nieco bardziej złożona do analizy niż w grach typu Dużego Lotka,
gdyż przedsiębiorstwo losuje aż L = 20 numerów z puli (N) 80-ciu, a gracze mogą skreślać (K) od 1 do 10-ciu. W istocie
jednak można tu zastosować te same schematy, które użyliśmy dla Dużego Lotka. Mianowicie, gracz skreślający K
numerów ma, zgodnie ze

wzorem (1)

, C(80,K) różnych możliwości. Musimy policzyć jeszcze ile i jakich trafień wśród tych

różnych kombinacji mógłby być pewien typując w kolekturze wszystkie C(80,K) kombinacji. Otóż j trafień z owych
wylosowanych 20-tu można uzyskać na C(20,j) sposobów. Dla każdej wygranej z j trafnymi, pozostałe skreślane numerki
(w liczbie K – j) można rozłożyć po niewylosowanych 80 – 20 = 60 liczbach na C(60,K–j) sposobów. Zatem każda
wygrana stopnia odpowiadającego j trafnym wystąpi C(60,K–j) razy, czyli gracz razem miałby P(80,K,j) = C(60,K–j)·C(20,j)
wygranych tego stopnia.

Ostatecznie, możemy sformułować prawdopodobieństwo uzyskania j trafnych numerów przy skreślaniu K numerów w Multi
Lotku jako P(80,K,j):C(80,K) czyli

jeden do

C(80,K)

C(60,K – j)·C(20,j)

.

(2)

Wyrażenie z prawej strony, I = C(80,K)/[C(60,K – j)·C(20,j)], mówi nam ile razy trzeba zagrać, by uzyskać jedną tego
rodzaju wygraną (tzn. j trafnych przy K typowanych). Chodzi tu oczywiście o wartość oczekiwaną przy bardzo dużej liczbie
niezależnych prób; do tej wartości zmierzają średnie z rzeczywistych gier wyliczone zarówno dla jednego gracza, jak i dla
wszystkich uczestników gry wziętych razem.

Jeśli kolektura płaci nam za daną wygraną sumę W (np. w złotych), to w wielu grach możemy oczekiwać średniej wygranej
w wysokości W/I. Wysokość wygranej W w stosunku do wniesionej stawki w Multi Lotku jest stała i przedstawia się tak jak
podano w poniższej

tabeli

, w której 'x' oznacza pomnożenie przez stawkę (obieraną przez grającego). Zwróćmy uwagę,

że z naszego punktu widzenia owo 'x' nie ma znaczenia, gdyż np. podwojenie stawki (x = 2) przez gracza jest
równoważne złożeniu w kolekturze dwóch identycznych zakładów i, chociaż oczywiście wszystkie ewentualne wygrane
wystąpią u niego podwójnie, nie zmienia to nijak szans tego gracza względem innego, który złożył jeden zakład za
podstawową stawkę, natomiast ktoś, kto złoży dwa różne zakłady takiego samego rodzaju (choćby różniły się tylko
jednym numerem) ma dwukrotnie wyższe od tamtych dwóch graczy prawdopodobieństwo zdobycia najwyższej wygranej
(wszystkie skreślenia trafne).

Jakiego zysku z wygranych poszczególnych stopni możemy oczekiwać w praktyce. Spodziewane średnie wygrane
zawiera ta sama

tabela

w postaci liczb wyróżnionych

kolorem zielonym

. Każda z tych liczb jest ilorazem dwóch liczb nad

nią stojących, czyli wygranej W i częstości wygrywania oznaczonej wcześniej przez nas przez I, np.

0,0112

=

100000/8911711 dla przypadku j = 10 trafień z K = 10 typowanych liczb. Wymieniona konkretna liczba 0,0112 mówi, że
osoby typujące 10 numerów mogą zasadnie liczyć na odzyskanie drogą wygranych najwyższego stopnia (10 trafnych) ok.
1/100 pieniędzy wniesionych przez siebie do gry. Gracz zwiększający stawkę o czynnik x, efektywnie robi tylko więcej (x)
jednakowych zakładów, dlatego tabela ta pozostaje ważna również dla niego (formalnie powinniśmy postawić x w tabeli
przy wszystkich 'zielonych' liczbach; pominęliśmy ten znak jedynie dla oszczędności miejsca).

Tab. 4: Spodziewane częstości trafień, I,

wysokości wygranych, W

, oraz

(od)zysków graczy, W/I

.

U spodu tabeli podano też częstości występowania zera trafień, wiersz '0,'
oraz częstości wygrywania i przegrywania, wiersze 'I(W)' i 'I(P)'

j K-> 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

10 8911711 <—— I liczba gier na jedno wygranie

100000x <—— W wysokość wygranej [zł]

0,0112 <—— W/I średni zysk gracza z 1 zakładu [zł]

9 163381,4 1380688

5000x 24000x

0,0306 0,0174

8 7384,469 30681,9 230115

260x 1000x 10000x

0,0352 0,0326 0,0435

7 620,6773 1690,11 6232,3 40979

70x 150x 300x 2500x

0,1128 0,0888 0,0481 0,0610

6 87,1126 174,839 422,53 1366,0 7752,8

6x 20x 30x 100x 600x

0,0689 0,1144 0,0710 0,0732 0,0774

5 19,4448 30,6735 54,637 115,76 323,04 1550,6

2x 4x 10x 10x 60x 330x

0,1029 0,1304 0,1830 0,0864 0,1857 0,2128

4 6,7880 8,7638 12,269 19,160 35,041 82,697 326,44

1x 1x 2x 2x 4x 10x 40x

0,1473 0,1141 0,1630 0,1044 0,1142 0,1209 0,1225

3 3,7397 4,0632 4,6558 5,7145 7,7030 11,914 23,123 72,070

1x 1x 2x 4x 26x

0,1750 0,1298 0,1679 0,1730 0,3608

2 3,3869 3,1603 3,0474 3,0613 3,2434 3,6974 4,7029 7,2070 16,632

1x 1x 8x

0,2126 0,1388 0,4810

1 5,5688 4,5317 3,7529 3,1727 2,7511 2,4650 2,3109 2,3209 2,6333 4,000

2x

0,5000

0 21,8385 15,6868 11,329 8,2254 6,0023 4,4017 3,2434 2,4009 1,7853 1,3333

I(W) 4,7175 6,5338 9,7716 4,2269 6,1888 10,344 3,8618 6,5518 16,632 4,0000
I(P) 1,2690 1,1807 1,1140 1,3099 1,1927 1,1070 1,3494 1,1801 1,0640 1,3333

R-m: 0,5089 0,4976 0,5086 0,5000 0,5071 0,5016 0,5082 0,4995 0,4810 0,5000

Typowań: 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Oczywiście nie jest aż tak źle, byśmy odzyskiwali tylko te 1,1 %, gdyż skreślając 10 numerów mamy spore szanse uzyskać
wygrane niższego stopnia. I tak, jak to widać z omawianej tabeli, za 9-ki i 8-ki zwróci się nam średnio po ponad 3 %
wkładu, za 7-ki — 11 % itd., co razem złoży się na zwrot w wygranych w wysokości (podanej w przedostatnim wierszu
tabeli) ok. 51 % sumy wpłaconej na samą grę.

Z tejże tabeli widać też, że wszyscy gracze, niezależnie od tego czy przy typowaniu skreślają jedną liczbę, czy dziesięć,
mają szansę (nadzieję matematyczną) odzyskać mniej więcej ten sam ułamek zapłaconej kwoty: połowę. Najwyraźniej
całą drugą połową dysponuje

Totalizator Sportowy

, Sp. z o.o. Przyjmując stawkę podstawową w wysokości 1 zł, nasze

rachunki pokazują, że wszyscy grający odzyskują średnio ok. 50 gr na zakład, czyli około 40 % własnego wkładu (za 1
zakład w kolekturze płaci się 1 zł 25 gr, gdyż gracze są zmuszani wpłacać dodatkowo 25 % na cele kulturalne).

W moim pojmowaniu przyzwoitą gratyfikacją dla przedsiębiorstwa prowadzącego usługę byłoby 10 %,
ewentualnie 20 % wpłacanych sum. Może jednak jest to krzywdząca opinia lub w swojej analizie albo wnioskach
popełniam gdzieś błąd? Będę więc wdzięczny za każdą podpowiedź i zasadną krytykę. Proszę pisać na adres:
[e-mail].

Systemy — rozbój w biały dzień

Reguły Multi Lotka, inaczej niż w Dużym Lotku, nie przewidują tzw. systemów. Niemniej, gracze mogą stosować swoje
strategie grania składając większą liczbę zakładów i grając w wielu kolejnych losowaniach według ustalonego z góry
schematu. Często podstawą takich strategii jest subiektywna przesłanka, że pewne liczby są 'szczęśliwsze' od innych
albo, że 'chodzą' np. parami. Oczywiście, są to błędne założenia oparte na zaobserwowanej w przeszłych losowaniach
korelacji pojawiania się pewnych liczb. Gdyby takie związki wynikające ze statystyki skończonej liczby losowań były
prawidłowością, znaczyłoby to ni mniej ni więcej tylko tyle, że maszyna losująca albo metodyka losowania ma
jakąś ukrytą wadę bądź przedsiębiorstwo prowadzące grę zapewniło sobie możliwość manipulowania losowaniem
i de facto wykorzystuje ją. Jednakże, chociaż nie można całkowicie wykluczyć wspomnianej wadliwości czy ingerencji
człowieka w wyniki losowania, o ile mi wiadomo nie ma podstaw do takich wniosków. Krótko mówiąc, rozsądne jest
przyjęcie za pewnik iż proces losowania nie pamięta poprzednich wyników, dlatego każde losowanie musimy traktować
jako całkowicie niezależne od wszystkich poprzednich i wszystkie liczby oraz ich kombinacje jako jednakowo
prawdopodobne. Jeśli się z tym zgodzimy, musimy uznać wszelkie systemy jako zawodne i nie dające żadnej gwarancji
sukcesu — na dłuższą metę jesteśmy zasadniczo skazani na sromotną przegraną. Naturalnie, zgodnie z
prawdopodobieństwem, będą również nieliczni wygrani szczęśliwcy, ale nigdy nie będzie to skutkiem przemyślnej strategii
gry, lecz zwykłym zdarzeniem losowym. Zilustrujemy to przykładami.

Portal internetowy '

Serwis dla graczy lotto

' zachęca do grania kilkoma systemami reklamując je jako '100-procentowe',

'efektywne', 'gwarantujące'. Przedstawia się te systemy w sposób

wielce sugestywny

, stwarzając pozory niezawodnego

zysku, by namówić graczy do znacznego zaangażowania finansowego.

Jeden z tych stuprocentowych

polega na

wybraniu dwóch numerów i skreślaniu ich na kolejne losowania (do 20 losowań) z coraz większą stawką, obliczoną tak, by
ewentualnie trafiona po drodze dwójka gwarantowała zrekompensowanie (z 10 – 20 zł nadwyżką) dotychczasowych

nakładów poniesionych od pierwszego losowania. Ponieważ śrenia częstość, z jaką wypada dowolna para liczb, wynosi
raz na ok. 17 ciągnień, przekonująco zdaje się brzmieć zapewnienie, że w 20-u losowaniach prawie zawsze się pojawi.
Niestety, nie jest to prawda.

Bazując na przedstawionych w

Tab. 4

częstościach I, dość łatwo można obliczyć prawdopodobieństwo, że jakaś

kombinacja liczb przynajmniej raz pojawi się w zadanej liczbie losowań, n. W tym celu musimy wyliczyć
prawdopodobieństwo przeciwne — że w n losowaniach wcale nie pojawi się nasza kombinacja, wówczas szanse na jej
wystąpienie ocenimy jako 1 minus obliczone tak prawdopodobieństwo niepojawienia się. Przy założeniu, że każde
losowanie jest niezależne od poprzednich, prawdopodobieństwo łączne wyraża się iloczynem prawdopodobieństw
każdego losowania, co można ująć w postać formuły (1 – 1/I)

n

. Zatem w ogólności, kombinacja występująca ze średnią

częstością I w n losowaniach średnio będzie się pojawiać raz na następującą liczbę gier systemowych (z których każda
obejmuje n losowań):

1

1 – (1 – 1/I)

n

.

(3)

W Multi Lotku, każda dwójka liczb pojawia się średnio z częstością raz na I = 16,63158 losowań, co podstawione do
wzoru (3) przy n = 20 daje 1,407115, czyli mniej więcej w trzech grach tym systemem możemy zasadnie liczyć na (średnio)
dwukrotne powodzenie. Co jednak znaczy to jedno niepowodzenie wobec dwóch wygranych? Otóż wygrywając
dwukrotnie zyskujemy około 30 zł, a przegrywając tylko raz tracimy ponad 300 zł! Tak wygląda ta 100-procentowa
strategia!

System ten, o ironio, to niemal 100-procentowa gwarancja wysokiej przegranej

. Ale może należałoby

kończyć tę 'atrakcyjną' grę wcześniej, powiedzmy grać za każdym razem tylko do co najwyżej 10 losowań? Wtedy
oczywiście mniej przegrywamy, ale częściej (wygrana przypada średnio raz na 2,16 gier tym systemem); już nie tracimy
średnio po ok. 100 zł na grze lecz tylko po jakieś 15 – 20 zł.

W innym systemie, 'trójskreśleniowym', skreśla się po trzy liczby z wybranego zestawu pięciu liczb na 10 kuponach tak, by
wyczerpać wszystkie kombinacje trójek z tej piątki liczb. Szansa, że owe 10 zakładów przyniesie przynajmniej jedną trafną
trójkę jest równa szansie trafienia przynajmniej w trójkę w grze z jednym zakładem na pięć skreśleń czyli, jak obliczymy z
danych

Tab. 4

, wynosi 1:11,914 + 1:82,697 + 1:1550,6 = 1:10,344. Ze wzoru

(3)

szybko się zorientujemy, że w

proponowanym systemie (obejmującym n = 10 losowań z częstością wygrywania I = 10,344) mamy szansę odnieść
sukces z prawdopodobieństwem 1:1,5669 czyli około 7:11, tzn. średnio 4 pogromy (w tę grę każe się wkładać grube
pieniądze!) na 11 rozgrywek systemowych. Jeśli ktoś jeszcze sądzi, że pozostałe strategie polecane we wskazanym
portalu są rzetelniejsze i mniej go będą kosztować, niechaj próbuje.

Poniższy cytat z opisu programu

Multilotek

(wersja 2.0, autorzy: Aleksander Mawrow, Edyta Szendzielorz) pokazuje, że ludzie stojący za
Eureką (niewątpliwie inteligentni i wykształceni, więc zdający sobie sprawę z tego, że jedynym
zadaniem ich systemów jest zmylenie graczy w celu wyłudzenia od nich pieniędzy) nie dość, że
jawnie kpią sobie z moralności, to jeszcze zastrzegają prawo do wyłączności na tą przestępczą (bo
opartą na fałszu i oszukiwaniu klientów) działalność.

3) Tworzenie systemów pełnych, skróconych, twardych i preferencyjnych® (absolutna nowość)
System preferencyjny bazuje na systemie skrócony Różni się tym, że niektóre liczby klucza są
bardziej preferowane od innych, tzn. występują w kombinacjach częściej. Systemy preferencyjne
mają z góry ustaloną ilość takich liczb preferencyjnych. Ich maksymalna, możliwa ilość w systemie
zależy od ilości wybieranych liczb. Gry liczbowe istnieją w Polsce od kilkudziesięciu lat, jednak to
firma Eureka po raz pierwszy zastosowała systemy preferencyjne. Zasady generacji systemów
preferencyjnych zostały opracowane przez firmę Eureka i firma ta ma wyłączne prawa do
dysponowania nazwą "systemy preferencyjne". Atutem systemów preferencyjnych w stosunku
do systemów skróconych i twardych ( przy takiej samej ilości wytypowanych liczb ) jest zwiększona o
80% szansa wygrania w wypadku trafienia w typowane liczby preferencyjne, a w wypadku braku
takiego trafienia szansa wygrania jest wciąż większa niż w systemie twardym.

Wyjaśnijmy, że cała rewelacja owych systemów 'preferencyjnych' polega na subiektywnym
przypisaniu przez gracza większej wagi niektórym liczbom z wybranego zestawu (w 'twardych'
systemach wszystkie wybrane liczby w proponowanych przez firmę kombinacjach występują z taką
samą częstością) co, oczywiście, nijak nie poprawia szans wygranej! Proponuję autorom
zrobienie systemu 'superpreferencyjnego', w którym kombinacje wygenerowane systemem
preferencyjnym byłyby zastępowane przez inne utworzone całkowicie losowo ze wszystkich 80 liczb.
Ten system musiałby zagwarantować, że nowe kombinacje mają najmniejszą wzajemną korelację,

co sprawi, że zwiększą się szanse wygrania. Wtedy autorzy z czystym sumieniem mogliby zapewniać
klientów, że system 'superpreferencyjny' jest najlepszy na świecie a gwarancja nie jest tylko
mydleniem oczu. Sugeruję również zastąpienie tego tekstu (umieszczonego w Pomocy programu):

Jak grać, żeby wygrywać?
Wystarczy systematycznie używać tego programu oraz jego kolejnych wersji. Należy używać
poprawnej statystyki. Można wykorzystać bazę danych liczb na podstawie częstotliwości
występowania, częstotliwości występowania tygodniami, oraz pozostałych opcji statystycznych.

na podobny, lecz z początkami zdań niemal zanegowanymi, ale za to zgodnie z prawdą mówiącymi,
że 'Nierozsądne jest...', 'Nie pomaga...', 'Nic nie daje...' Alternatywnie, można zmienić tylko sam tytuł
na: 'Iluzoryczne metody gry.'

Jeszcze inne systemy sprzedaje firma Eureka Systems reklamująca się poprzez

portal lotto

. Ze wskazanej strony

internetowej nie do końca można się zorientować w regułach tych systemów, ale zasadniczo polegają one na wyborze
przez gracza kilkudziesięciu liczb z puli 80-ciu i skreślaniu wielu zakładów z rozmaitymi kombinacjami wybranych liczb.
Firma gwarantuje, że jeśli gracz trafi podaną liczbę numerów, gra się mu opłaci. Na tejże stronie przedstawia ona
kilkadziesiąt przykładowych systemów „na wysoką ilość kombinacji, przeznaczonych dla zaawansowanych graczy" (niech
Czytelnik zwróci uwagę na śmieszną frazę 'zaawansowani gracze' — zapewne za zwrotem tym kryją się gracze 'bogaci i
naiwni', ale klientowi trzeba się podchlebić). Przykład pierwszy z brzegu wygląda tak: 10-45-1200 4 5 czwórek 15 68,00.
Ten system polega więc na obraniu 45 liczb i złożeniu w kolekturze 1200 różnych zakładów po 10 skreśleń w każdym
(według schematu proponowanego przez firmę) i wówczas zapewnia się gracza, że gra mu się opłaci jeśli wśród owych 45
liczb będzie przynajmniej 15 trafnych.

Tego, jakie są szanse trafienia przynajmniej 15 z 20 wylosowanych liczb, nie dowiemy się jednak od producenta, gdyż
jego zyski wynikają właśnie z zatajenia tej prawdy.

Wzór (2)

stanowi, że j trafnych w tym systemie (odpowiadającym K = 45

skreśleniom) przydarza się średnio raz na

I(j) = C(80,45)/[C(60,45 – j)·C(20,j)]

gier, tj. ok. 32, 104, 490 itd. gier dla j równego 15, 16, 17 itd. trafień. Zsumowanie odwrotności tych liczb, 1/I(j), dla j od
15 do 20 daje wynik 1:22,94, co znaczy iż średnio tylko raz na ok. 23 gry zdarzy się, że trafimy przynajmniej 15 z 20
wylosowanych liczb. Firma za dodatkową opłatę podpowie nam jednak jak skreślić jedyne 1200 zakładów z gwarancją,
która po rozwikłaniu kamuflażu autorów z Eureki oznacza że jeśli zagramy w taki sam sposób 23 razy to być może jedna z
tych gier nam się opłaci!!! Niemożliwe, by ktokolwiek tak nabijał ludzi w butelkę — pomyśli zaskoczony Czytelnik — może
na ową stronę www zakradł się system z błędem drukarskim? Sprawdźmy zatem jeszcze kilka tych systemów.

Analogiczny rachunek dla systemu 10-60-6000 6 13 czwórek 20 175,00 pokazuje, że tutaj trafienie w 20 wymaganych
liczb przypada raz na 843 gry, dla 10-48-200 8 5 czwórek 19 45,00 przynajmniej 19 trafnych mamy co 9157 gier, a dla
8-40-80 9 3 czwórki 17 40,00 spełniamy warunek gwarancji (przynajmniej 17 trafnych) raz na 3643 gry.

Dla graczy, którzy chcieliby ocenić swoje szanse w korzystaniu z wielu innych systemów Eureki, sporządziłem poniższą

tabelę

. Zawiera ona częstości spełniania stawianego przez tę firmę warunku gwarantowanego powodzenia w grze ich

systemami, w której gracz obiera sobie pulę K liczb i powinien trafić przynajmniej j z wylosowanych w Multi Lotku 20 liczb.

Jeśli częstości widniejące w pierwszej części tej tabeli wydają się Czytelnikowi atrakcyjne, niechaj pamięta, że aby je
uzyskać musi złożyć w kolekturze bardzo dużo zakładów. Np., częstość trafiania przynajmniej dziesiątki (j = 10) przy K =
20 wynosi ok. raz na 211 gier. Aby tę częstość osiągnąć przy możliwości skreślania tylko k = 10 numerków na jednym
kuponie, trzeba do każdej gry wypełniać aż po

C(K,k)

= C(20,10) = 20!/[(20–10)! 10!] = 184756 kuponów — każdy z inną

kombinacją numerków. Mniej kuponów trzeba wypełniać przy skreślaniu mniejszej liczby numerów na jednym kuponie (np.
dla gry piątkami trzeba tylko C(20,5) = 15504 kuponów), ale też wygrane są odpowiednio niższe. W tej trudnej sytuacji
'pomocną rękę' (wiadomo jednak o co tej ręce chodzi) wyciągają do nas ludzie z Eureki. Zauważyli oni, że jeśli zdarzy się,
iż w tym przykładzie trafimy np. 11 numerów z obranych 20 (szansa: 1 wygrana na 1246 gier), będzie to znaczyć, że w
owych 184756 zakładach mamy nie jedną dziesiątkę, lecz C(11,10) = 11 dziesiątek plus mnóstwo wygranych niższego
stopnia. Bazując na takich relacjach sugerują nam, jak skreślić dużo mniej niż te przykładowe 184756 kuponów, by —
tracąc wprawdzie lwią część z tych licznych wygranych, z tym co pozostaje wyjść jednak na swoje (oczywiście, wciąż pod
tym wrednym warunkiem, że mamy szczęście w 20 obranych numerkach trafić 11 z wylosowanych).

Tab. 5: Spodziewane częstości przynajmniej j trafień (warunek powodzenia
w systemach Eureki) przy założeniu, że skreśla się (gracz wybiera) K liczb.
Częstości podano zaokrąglone do pięciu cyfr znaczących. Oznaczenie
En wyraża czynnik 10

n

, np. E6 to miliony, E10 — dziesiątki miliardów

K | j: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 | 4,0000
2 | 2,2734 16,632
3 | 1,7138 6,5518 72,070
4 | 1,4458 3,8618 21,593 326,44
5 | 1,2940 2,7238 10,344 78,510 1550,6
6 | 1,1999 2,1281 6,1888 31,484 310,11 7752,8
7 | 1,1384 1,7755 4,2269 16,237 106,44 1321,9 40979
8 | 1,0968 1,5497 3,1533 9,7716 47,998 395,02 6067,9 230110
9 | 1,0681 1,3975 2,5053 6,5338 25,677 157,62 1600,0 30015 1380700
10 | 1,0480 1,2909 2,0860 4,7175 15,466 75,573 570,52 7059,5 160440 8911700
11 | 1,0338 1,2145 1,8008 3,6112 10,170 41,233 246,99 2268,3 33959, 931070 62,382E 6
12 | 1,0238 1,1587 1,5994 2,8943 7,1559 24,779 122,73 892,38 9901,1 17866 5,9045E 6
13 | 1,0167 1,1176 1,4531 2,4071 5,3147 16,056 67,663 405,83 3559,6 47551 1,0335E 6
14 | 1,0116 1,0870 1,3447 2,0634 4,1248 11,054 40,478 206,03 1488,2 15699 252400
15 | 1,0081 1,0642 1,2630 1,8137 3,3206 7,9999 25,871 114,11 698,21 6057,9 76845
16 | 1,0056 1,0471 1,2009 1,6280 2,7568 6,0368 17,467 67,835 358,97 2634,9 27467
17 | 1,0038 1,0344 1,1532 1,4875 2,3495 4,7204 12,351 42,778 198,91 1260,9 11109
18 | 1,0026 1,0250 1,1166 1,3796 2,0481 3,8060 9,0869 28,361 117,34 652,56 4959,9
19 | 1,0018 1,0180 1,0884 1,2959 1,8204 3,1516 6,9191 19,631 73,006 360,67 2402,3
20 | 1,0012 1,0129 1,0666 1,2305 1,6457 2,6713 5,4294 14,107 47,565 210,85 1246,0
21 | 1,0008 1,0092 1,0499 1,1792 1,5099 2,3112 4,3753 10,479 32,262 129,41 685,29
22 | 1,0005 1,0065 1,0371 1,1388 1,4032 2,0364 3,6102 8,0151 22,675 82,879 396,56
23 | 1,0003 1,0045 1,0274 1,1070 1,3187 1,8236 3,0426 6,2939 16,450 55,122 239,97
24 | 1,0002 1,0031 1,0201 1,0820 1,2515 1,6567 2,6135 5,0606 12,279 37,919 151,08
25 | 1,0001 1,0021 1,0146 1,0624 1,1979 1,5245 2,2838 4,1570 9,4043 26,889 98,558
26 | 1,0001 1,0014 1,0105 1,0472 1,1550 1,4190 2,0268 3,4819 7,3736 19,601 66,387
27 | 1,0001 1,0010 1,0074 1,0353 1,1208 1,3343 1,8242 2,9688 5,9066 14,652 46,037
28 | 1,0000 1,0006 1,0052 1,0262 1,0936 1,2660 1,6629 2,5728 4,8254 11,208 32,786
29 | 1,0000 1,0004 1,0036 1,0193 1,0719 1,2109 1,5335 2,2632 4,0144 8,7574 23,927
30 | 1,0000 1,0003 1,0025 1,0140 1,0548 1,1665 1,4290 2,0184 3,3961 6,9789 17,861
35 | 1,0000 1,0000 1,0003 1,0024 1,0121 1,0456 1,1366 1,3497 1,8200 2,8841 5,5228
40 | 1,0000 1,0000 1,0000 1,0003 1,0019 1,0095 1,0358 1,1087 1,2813 1,6622 2,5102
45 | 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0002 1,0013 1,0067 1,0263 1,0828 1,2211 1,5308
50 | 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0001 1,0008 1,0042 1,0176 1,0593 1,1673
60 | 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0001 1,0008 1,0048
70 | 1,0000 1,0000

K | j: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Tab. 5 (dokończenie)

K | j: 12 13 14 15 16 17 18 19 20

12 | 478,26E6
13 | 41,271E6 4065,2E6
14 | 6,6247E6 321,57E6 38910,E6
15 | 1,4911E6 47,551E6 2834,5E6 428,01E9
16 | 420240 9,9028E6 387,66E6 28,830E9 5564,1E9
17 | 139570 2,5920E6 74,950E6 3,6594E9 347,76E9 89026,E9
18 | 52629 802170 18,272E6 658,79E6 41,093E9 5178,8E9 18695E11
19 | 21973 282690 5,2827E6 149,99E6 6,9067E9 571,21E9 10150E10 57956E13
20 | 9979,0 110600 1,7436E6 40,600E6 1,4719E9 89,847E9 10475,E9 29436E11 35353E14
21 | 4864,7 47175 640410 12,576E6 373,78E6 17,959E9 1545,1E9 28485E10 16835E13
22 | 2520,2 21647 256990 4,3435E6 108,84E6 4,2866E9 290,23E9 39478,E9 15304E12
23 | 1376,4 10576 111150 1,6422E6 35,407E6 1,1753E9 65,215E9 6979,8E9 19962E11
24 | 787,54 5457,0 51271 670280 12,629E6 360,61E6 16,861E9 1478,7E9 33270E10
25 | 469,60 2954,5 25017 292240 4,8705E6 121,49E6 4,8855E9 360,98E9 66541E9
26 | 290,59 1669,5 12827 134970 2,0091E6 44,317E6 1,5565E9 98,886E9 15356E9
27 | 185,93 980,33 6872,7 65580 878990 17,313E6 537,53E6 29,821E9 3981,1E 9
28 | 122,65 595,98 3831,3 33340 405040 7,1806E6 199,02E6 9,7589E9 1137,5E 9
29 | 83,185 373,95 2213,6 17652 195480 3,1401E6 78,314E6 3,4272E9 353,00E 9
30 | 57,886 241,52 1321,4 9696,3 98348 1,4395E6 32,519E6 1,2803E9 117,67E 9
31 | 41,248 160,21 812,68 5507,5 51376 688440 14,167E6 505,08E6 41,753E 9
32 | 30,047 108,92 513,76 3225,7 27773 342120 6,4433E6 209,19E6 15,657E 9
33 | 22,342 75,770 333,17 1943,4 15492 176060 3,0471E6 90,516E6 6,1680E 9
34 | 16,937 53,851 221,24 1201,9 8895,1 93547 1,4930E6 40,745E6 2,5398E 9
35 | 13,074 39,050 150,19 761,56 5245,5 51187 755710 19,013E6 1,0885E 9
40 | 4,5543 10,200 28,916 106,54 526,52 3642,8 37680 656010 25,647E 6
45 | 2,2195 3,8598 8,3184 22,936 83,802 424,46 3186,5 39941 1,1153E 6
50 | 1,4173 1,9819 3,3310 7,0078 19,242 72,455 401,17 3685,3 75013,
55 | 1,1190 1,3168 1,7790 2,9067 6,0532 17,020 69,671 470,16 7000,1
60 | 1,0215 1,0763 1,2258 1,5984 2,5487 5,3381 16,008 78,409 843,38

65 | 1,0014 1,0088 1,0402 1,1429 1,4309 2,2290 4,8023 16,585 124,75

70 | 1,0000 1,0001 1,0018 1,0134 1,0691 1,2690 1,9208 4,4373 21,838
75 | 1,0000 1,0006 1,0129 1,1070 1,5801 4,4017
80 | 1,0000

K | j: 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Z przeprowadzonej analizy widać, że nabywcy produktów z rzeczonego

portalu Eureki

, jak i sami producenci, muszą

świetnie się bawić taką grą w Multi Lotka za multi-pieniądze. O stanie ducha ludzi z tej firmy świadczy ponadto taka oto
zachęta: „wszystkim osobom, które udzielą nam informacji gdzie można kupić nasze programy sprzedawane bez licencji,
udzielimy dużych rabatów przy zakupie programów i systemów," co (dopowiedzmy to już od siebie gwoli prawdzie)
dodatkowo jeszcze nabije sprzedawcom kiesę, a nabywcom pomoże przegrać dowolnie dużo forsy.

Wnioski

• Totalizator Sportowy, Sp. z o.o., inkasuje ok. 50 % wpływów na zakłady.
• Gracze tracą średnio 60 % swoich opłat za grę.
• Proponowane systemy wielozakładowe nie są korzystne dla graczy, a często bywają zwykłym oszustwem. Właśnie takie
systemy propagują portale

LottoMan

i

Eureka Systems

.

Warto też zapamiętać, że zaobserwowane korelacje liczb w minionych losowaniach mają prawo tam występować, ale nie
mają żadnego wpływu na następne losowania. Tak więc,

wszelkie sugestie grania systemami, w których występuje

ten element (oparty np. na częstości losowanych kiedyś liczb bądź ich kombinacji, czy wręcz na upodobaniach
gracza) bazują na fałszywych założeniach

, nie mogą zatem być proponowane przez uczciwych ludzi ani rzetelne

instytucje.

Również samej częstości występowania kombinacji liczb obliczonej z rachunku prawdopodobieństwa nie należy zbytnio
przeceniać. Z rachunku takiego wynikają bowiem tylko prawidłowości statystyczne słuszne dla bardzo dużych liczb (liczby
losowań bądź gier). Np. to, że w jeden numer w Multi Lotku trafia się średnio co cztery gry (bo losuje się 1/4 wszystkich
liczb puli), nie oznacza bynajmniej pewności, że w czterech kolejnych zagraniach wystąpi takie trafienie. Tenże rachunek
prawdopodobieństwa mówi konkretnie, że na conajmniej jedną tego rodzaju wygraną w czterech kolejnych grach możemy
liczyć średnio tylko raz na 1,46 'czterogier', ale już w ciągu obejmującym 7 kolejnych gier (proponowanym w jednym z tych
niechlubnych

100% systemów

, w którym jedna przegrana kosztuje gracza ponad 1300 zł) możemy spodziewać się

średnio 'tylko' jednej wpadki na 7 'siedmiogier'. Kiedy mówimy tu 'średnio', kryje się za tym określeniem w zasadzie
nieskończona liczba prób, jednak liczebność 'bardzo duża' (tysiące, miliony) jest zwykle całkiem dobrym przybliżeniem, ale
nawet ona nigdy nie stanowi gwarancji powodzenia.

Z drugiej strony w grach losowych istnieje zawsze skończona liczba możliwości (kombinacji), więc istnieje też sposób na
rzeczywiście 100-procentowo pewną wygraną: trzeba złożyć tyle różnych zakładów, ile jest różnych kombinacji (w Dużym
Lotku prawie 14 milionów; w Multi Lotku 10 liczb można skreślić na

C(80,10)

= 1646492110120 sposobów, jednak wśród

nich jest aż C(20,10) = 184756 trafnych dziesiątek). Oczywiście, ten teoretyczny sposób jest nieopłacalny (bo zawsze
zapłacimy więcej niż wygramy) i niepraktyczny. Ale loteria oferuje realną wygraną, jakkolwiek mało prawdopodobną, a
ponieważ wygrana pociąga, ludzie grali i będą grać. Cóż w tej sytuacji można rozsądnego graczom doradzić, prócz litanii
ostrzeżeń i negatywów? Kilka rzeczy można podpowiedzieć. Rady zależeć jednak będą od tego, o co komu chodzi przed
przystępowaniem do gry. Ważne jest czy 'zawodnik' np. poluje tylko na najwyższą wygraną, czy może chciałby
zmaksymalizować szanse wygrania niższego stopnia. Jasne, że:

— O duże pieniądze lepiej grać w Dużego Lotka niż w Multi Lotka, gdyż przy porównywalnych szansach trafienia, Duży
Lotek oferuje o około rząd wielkości wyższą wygraną.
— O małe pieniądze lepiej grać w Multi Lotka niż w Dużego Lotka, gdyż w Multi wygrywamy raz na 4 do 17 gier (patrz

wiersz I(W)

w Tab. 4), a w Dużym tylko raz na 57 gier.

— Złożenie kilku różnych zakładów w kolekturze daje prawdopodobieństwo trafienia kilkakrotnie większe, niż w przypadku
złożenia jednego zakładu z tyleżkrotnie wyższą stawką (opłatą).
— Chcąc wygrać w Multi Lotka np. 600 zł rozsądniej jest jednak, a wynika to z

Tab. 4

, zapłacić dwukrotną stawkę i

skreślić pięć numerów (szanse około 1:1550), niż wypełniać dwa różne zakłady w grze o szóstkę (szanse trafienia 2:7750
czyli 1:3870).
— Wszystkie systemy, które oferują wielokrotne wygrane dowolnego stopnia, robią to w większym lub mniejszym stopniu
kosztem szans trafienia, zatem są zasadniczo niekorzystne dla graczy.
— Wyniki aktualnych losowań nie mają nijakiego związku przyczynowego z częstością bądź korelacją występowania liczb
w dawniejszych losowaniach, dlatego nie warto kupować programów typu

Lotto Mania

firmy Soft-System czy tych

rozlicznych oferowanych przez firmę

Eureka Systems

z Katowic.

— W.w. firmy podsuwają grającemu i sprzedają fałszywe nadzieje oparte o statystyki bądź własne upodobania gracza,

szermując przy tym gwarancjami, które w praktyce nic nie znaczą. Taka działalność jest niewątpliwie amoralna, ale być
może powinna być ścigana przez prawo jako pospolite przestępstwo polegające na wyłudzaniu pieniędzy poprzez celowe
wprowadzanie klientów w błąd. Wydaje się, że ten proceder jest uprawiany już od wielu lat.

Toruń, 16 stycznia 2004 r.

(ostatnia aktualizacja 31 marca 2004 r.)

Artykuł dodany za pozwoleniem autora

Autor: dr Kazimierz M. Borkowski
Przedruk ze strony:

http://www.astro.uni.torun.pl/~kb/Inne/Lotto.htm

Artykuł pobrano ze strony

eioba.pl