Politechnika Łódzka

Wydział Budownictwa, Architektury
I Inżynierii Środowiska
Katedra Mechaniki Konstrukcji
Zakład Konstrukcji Stalowych

Konstrukcje cięgnowe

Zadanie 1

Porównanie rozwiązania cięgna o zwisie swobodnym uzyskanego

metodą ogólną i metodą uproszczoną.

Łódź, dn. 24.04.2014 r.

PORÓWNANIE OPISÓW ŚCISŁEGO I PRZYBLIŻONEGO RÓWNANIA CIĘGNA POD

OBCIĄŻENIEM WŁASNYM W PRZYPADKU CIĘGNA O MAŁYM ZWISIE

Dane:

–

pole powierzchni przekroju (suma pól powierzchni drutów liny) - A=3,00 cm

2

;

–

moduł sztywności podłużnej - E=190 GPa ;

–

sztywność cięgna -

EA=190⋅10

6

⋅

3,00⋅10

−

4

=

57000 kN

;

–

rozstaw podpór cięgna – L=20,00 m ;

–

długość początkowa cięgna - s

0

=

20,20 m ;

–

gęstość ciężaru cięgna –

g

k

=

3,00⋅10

−

4

⋅

7850⋅9,81⋅10

−

3

=

0,0231

kN

m

.

Wstępne oszacowanie siły naciągu:

H

0

=

√

g

k

2

⋅

L

3

24(s

0

⋅−

L

0

)

=

√

0,0231

2

⋅

20,00

3

24(20,20−20,00)

=

0,9432 kN

Przyjęto dolną i górną wartość oszacowania siły naciągu:

H

1,min

=

0,80 kN

H

1,max

=

1,20 kN

Metoda ścisła

Równanie cięgna przy swobodnym zwisie:

C (H )=

2H

g

k

sinh

(

g

k

L

2H

)

−

s

0

−

H

2EA

[

L+

H

g

k

sinh

(

g

k

L

H

)

]

C (H )=85,58 H sinh

(

0,231

H

)

−

20,20−

H

114000

[

20,00+43,29 H sinh

(

0,462

H

)

]

Obliczenia iteracyjne wartości H pomiędzy wartościami dolną i górną oszacowania:

L.p.

Siła naciągu

H

i

[kN]

C(Hi) [kN

3

]

Oszacowanie

dolne

H

i,min

[kN]

Oszacowanie

górne

H

i,max

[kN]

ΔH

i

1

0,8000

0,07886

0,8000

2

1,2000

-0,07665

1,2000

0,400000

3

1,0000

-0,02197

1,0000

0,200000

4

0,9000

0,02004

0,9000

0,100000

5

0,9500

-0,00263

0,9500

0,050000

6

0,9250

0,00825

0,9250

0,025000

7

0,9375

0,00270

0,9375

0,001250

8

0,9438

0,00001

0,9438

0,006250

9

0,9469

-0,00131

0,9469

0,003125

10

0,9453

-0,00065

0,9453

0,001563

11

0,9445

-0,00032

0,9445

0,000781

12

0,9441

-0,00016

0,9441

0,000391

Przyjęto siłę naciągu średnią z najniższego oszacowania górnego i dolnego:

H

n

=

0,9438+0,9441

2

=

0,9439 kN

Równanie cięgna (x – podany w metrach, wynik z(x) uzyskany w metrach):

z ( x)−

H

g

k

[

cosh

(

g

k

H

x

)

−

1

]

=

40,8615⋅cosh(0,02445 x )−40,8615

Zwis swobodny cięgna:

z (

L
2

)=

40,8615⋅cosh(0,02445⋅10)−40,8615=1,230 m

Metoda przybliżona

Równanie cięgna przy swobodnym zwisie:

C (H )=H

3

+

H

2

⋅

EA

(

1−

L

0

s

0

)

−

EA g

k

2

L

3

24 s

0

=

H

3

+

564,36 H

2

−

501,91

Obliczenie iteracyjne wartości H pomiędzy wartościami górną i dolną oszacowania:

L.p.

Siła naciągu

H

i

[kN]

C(Hi) [kN

3

]

Oszacowanie

dolne

H

i,min

[kN]

Oszacowanie

górne

H

i,max

[kN]

ΔH

i

1

0,8000

-140,208

0,8000

2

1,2000

312,496

1,2000

0,400000

3

1,0000

63,450

1,0000

0,200000

4

0,9000

-44,049

0,9000

0,100000

5

0,9500

8,282

0,9500

0,050000

6

0,9250

-18,238

0,9250

0,025000

7

0,9375

-5,066

0,9375

0,001250

8

0,9438

1,586

0,9438

0,006250

9

0,9406

-1,746

0,9406

0,003125

10

0,9422

-0,081

0,9422

0,001563

11

0,9430

0,752

0,9430

0,000781

12

0,9426

0,335

0,9426

0,000391

Przyjęto siłę naciągu średnią z najniższego oszacowania górnego i dolnego:

H

n

=

0,9422+0,9426

2

=

0,9424 kN

Zwis swobodny cięgna:

f =

g

k

L

2

8H

=

0,0231⋅20

2

8⋅0,9424

=

1,226 m

Równanie cięgna (x – podany w metrach, wynik z(x) uzyskany w metrach):

z =

4f

L

2

x

2

=

4⋅1,226

20

2

⋅

x

2

=

0,01226 x

2

PORÓWNANIE OPISÓW ŚCISŁEGO I PRZYBLIŻONEGO RÓWNANIA CIĘGNA POD

OBCIĄŻENIEM WŁASNYM W PRZYPADKU CIĘGNA O DUŻYM ZWISIE

Dane:

–

pole powierzchni przekroju (suma pól powierzchni drutów liny) - A=3,00 cm

2

;

–

moduł sztywności podłużnej - E=190 GPa ;

–

sztywność cięgna -

EA=190⋅10

6

⋅

3,00⋅10

−

4

=

57000 kN

;

–

rozstaw podpór cięgna – L=20,00 m ;

–

długość początkowa cięgna - s

0

=

23,00 m ;

–

gęstość ciężaru cięgna –

g

k

=

3,00⋅10

−

4

⋅

7850⋅9,81⋅10

−

3

=

0,0231

kN

m

.

Wstępne oszacowanie siły naciągu:

H

0

=

√

g

k

2

⋅

L

3

24(s

0

⋅−

L

0

)

=

√

0,0231

2

⋅

20,00

3

24(23,00−20,00)

=

0,244 kN

Przyjęto dolną i górną wartość oszacowania siły naciągu:

H

1,min

=

0,150 kN

H

1,max

=

0,500 kN

Metoda ścisła

Równanie cięgna przy swobodnym zwisie:

C (H )=

2H

g

k

sinh

(

g

k

L

2H

)

−

s

0

−

H

2EA

[

L+

H

g

k

sinh

(

g

k

L

H

)

]

C (H )=85,58 H sinh

(

0,231

H

)

−

23,00−

H

114000

[

20,00+43,29 H sinh

(

0,462

H

)

]

Obliczenia iteracyjne wartości H pomiędzy wartościami dolną i górną oszacowania:

L.p.

Siła naciągu

H

i

[kN]

C(Hi) [kN

3

]

Oszacowanie

dolne

H

i,min

[kN]

Oszacowanie

górne

H

i,max

[kN]

ΔH

i

1

0,1500

5,89954

0,1500

2

0,5000

-2,28092

0,5000

0,350000

3

0,3250

-1,27272

0,3250

0,175000

4

0,2375

0,30658

0,2375

0,087500

5

0,2813

-0,67389

0,2813

0,043750

6

0,2594

-0,24872

0,2594

0,021875

7

0,2484

0,00958

0,2484

0,010938

8

0,2539

-0,12397

0,2539

0,005469

9

0,2512

-0,05835

0,2512

0,002734

10

0,2498

-0,02468

0,2498

0,001367

11

0,2491

-0,00763

0,2491

0,000684

12

0,2488

0,00096

0,2488

0,000342

Przyjęto siłę naciągu średnią z najniższego oszacowania górnego i dolnego:

H

n

=

0,2488+0,2491

2

=

0,2490 kN

Równanie cięgna (x – podany w metrach, wynik z(x) uzyskany w metrach):

z ( x)−

H

g

k

[

cosh

(

g

k

H

x

)

−

1

]

=

10,7792⋅cosh (0,0928 x)−10,7792

Zwis swobodny cięgna:

z (

L
2

)=

10,7792⋅cosh(0,0928⋅10)−10,7792=4,983 m

Metoda przybliżona

Równanie cięgna przy swobodnym zwisie:

C (H )=H

3

+

H

2

⋅

EA

(

1−

L

0

s

0

)

−

EA g

k

2

L

3

24 s

0

=

H

3

+

7434,78 H

2

−

440,81

Obliczenie iteracyjne wartości H pomiędzy wartościami górną i dolną oszacowania:

L.p.

Siła naciągu

H

i

[kN]

C(Hi) [kN

3

]

Oszacowanie

dolne

H

i,min

[kN]

Oszacowanie

górne

H

i,max

[kN]

ΔH

i

1

0,1500

-273,524

0,1500

2

0,5000

1418,010

0,5000

0,350000

3

0,3250

344,523

0,3250

0,175000

4

0,2375

-21,429

0,2375

0,087500

5

0,2813

147,315

0,2813

0,437500

6

0,2594

59,385

0,2594

0,021875

7

0,2484

18,089

0,2484

0,010938

8

0,2430

-1,892

0,2430

0,005469

9

0,2457

8,043

0,2457

0,002734

10

0,2443

3,061

0,2443

0,001367

11

0,2437

0,581

0,2437

0,000684

12

0,2433

-0,656

0,2433

0,000342

Przyjęto siłę naciągu średnią z najniższego oszacowania górnego i dolnego:

H

n

=

0,2433+0,2437

2

=

0,2435 kN

Zwis swobodny cięgna:

f =

g

k

L

2

8H

=

0,0231⋅20

2

8⋅0,2435

=

4,744 m

Równanie cięgna (x – podany w metrach, wynik z(x) uzyskany w metrach):

z =

4f

L

2

x

2

=

4⋅4,744

20

2

⋅

x

2

=

0,04774 x

2

Wnioski

Różnica wyżej wymienionymi metodami polega na sposobie opisu zwisu liny przy pomocy

krzywej łańcuchowej w metodzie ścisłej lub paraboli w metodzie przybliżonej. Sposób przyłożenia
obciążenia stanowi wszakże podstawową różnicą. W metodzie ścisłej rozłożone na długości s

0

, a

w metodzie przybliżonej rozłożone na długości L.

W przypadku cięgien o małym zwisie, małe wartości siły naciągu cięgna są konsekwencją

obciążenia cięgna tylko i wyłącznie ciężarem własnym. Poprzez spełnienie warunku

f / L≈1/20<1/10

zwisy swobodne cięgna ustalone przy pomocy metody ścisłej, jak również

przy pomocy metody uproszczonej są sobie bliskie. W przypadku drugim wartości zwisu

obliczonego metodą uproszczoną i metodą ścisłą mają znacznie różniące się wartości. Jest to
konsekwencją dużego zwisu cięgna.

Zestawienie wyników

Cięgno o małym

zwisie

Metoda

Różnica

Ścisła

Przybliżona

Wartościowa [N]

Procentowa [%]

Siła naciągu H [N]

9,439

9,424

0,015

0,016

Zwis f [m]

1,230

1,226

0,004

0,003

Cięgno o dużym

zwisie

Metoda

Różnica

Ścisła

Przybliżona

Wartościowa [N]

Procentowa [%]

Siła naciągu H [N]

0,249

0,244

0,005

0,020

Zwis f [m]

4,983

4,774

0,209

0,042