1

2009-10-21

1

Konstrukcje

Konstrukcje

betonowe

betonowe

Wyk

Wyk

ł

ł

ad:

ad:

Uproszczona metoda

Uproszczona metoda

obliczania

obliczania

ż

ż

elbetowych przekroj

elbetowych przekroj

ó

ó

w

w

na napr

na napr

ęż

ęż

enia normalne

enia normalne

σσσσ

σσσσ

2009-10-21

2

Rozkład sił i oznaczenia wielko

ś

ci: 1 –

ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci

przekroju betonu, 2 –

ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci bryły

ś

ciskaj

ą

cych

napr

ęż

e

ń

w betonie

Uproszczona metoda obliczania

żelbetowych przekrojów normalnych

na naprężenia normalne

σσσσ

Uproszczona metoda obliczania

Uproszczona metoda obliczania

ż

ż

elbetowych przekroj

elbetowych przekroj

ó

ó

w normalnych

w normalnych

na napr

na napr

ęż

ęż

enia normalne

enia normalne

σσσσ

σσσσ

F

s2

=

σ

s2

A

s2

•

•

•

•

•

•

•

f

cd

_

+

ε

si

ε

s1

ε

c

•

•

F

c

= f

cd

A

cc

2

1

ε

s2

v

1

v

2

d

a

2

A

cc

h

a

c

x

b

M

Ed

≤

M

Rd

N

Ed

≤

N

Rd

F

s1

=

σ

s1

A

s1

A

s2

A

s1

o

ś

oboj

ę

tna

o

ś

elementu

a

1

0

,8

x

2009-10-21

3

w metodzie uproszczonej −

prostok

ą

tny

h

/4

h

7

3

M

Rd

3,5

‰

o

ś

elementu

2

‰

2

‰

ε

s

ε

c

a

i

a

1

=

d

a

2

I

h

0

N

Rd

A

si

A

s2

A

s1

–

ε

ud

lub –25

‰

V

IV

III

–

ε

yd

0

II

Metoda uproszczona wg PN-EN 1992-1-1 …

2009-10-21

4

Granice przedziałów oraz odkształcenia stali wg obliczeniowego

modelu normowej metody uproszczonej, przy f

ck

≤

50 MPa

Metoda uproszczona wg PN-EN 1992-1-1 …

Prze-

dział

Granice

przedziałów

Parametr w

równaniach (5.43) ÷

(5.46)

Odkształcenia

stali

ε

si

1

2

3

4

I

x =

8

,

0

h

23

14

‰

≤

ε

c

≤

2

‰

(

)(

)

002

0

4

7

3

002

0

,

h

a

h

,

i

c

+

−

−

ε

II

h

≤

x

≤

8

0,

h

x

h

x

a

x

i

3

7

7

7

002

,

0

−

−

III

h

x

,

d

,

ud

≤

≤

+

0035

0

0035

0

ε

x

x

a

x

,

i

−

0035

0

IV

0

≤

x

≤

0035

0

0035

0

,

d

,

ud

+

ε

x

d

x

a

x

i

ud

−

−

−

ε

V

x = 0

–

ε

ud

≤

ε

s2

≤

–

ε

ud

d

a

2

(

)(

)

2

2

2

2

a

d

a

a

i

s

ud

s

−

−

+

−

ε

ε

ε

2009-10-21

5

Granice przedziałów oraz odkształcenia stali wg obliczeniowego

modelu normowej metody uproszczonej przy f

ck

≤

50 MPa i

εεεε

s

= −25

‰

Metoda uproszczona wg PN-EN 1992-1-1 …

Prze-

dział

Granice

przedziałów

Parametr w równaniach

(5.47) ÷ (5.49)

Odkształcenia

stali

ε

si

1

2

3

4

I

x =

8

,

0

h

23

14

‰

≤

ε

c

≤

2

‰

(

)(

)

002

0

4

7

3

002

0

,

h

a

h

,

i

c

+

−

−

ε

II

h

≤

x

≤

8

0,

h

x

h

x

a

x

i

3

7

7

7

002

,

0

−

−

III

h

x

d

≤

≤

27

2

x

x

a

x

i

−

0035

,

0

IV

27

2

0

d

x

≤

≤

x

d

x

a

x

,

i

−

−

−

025

0

V

x = 0

–0,025

≤

ε

s2

≤

–0,025

d

a

2

(

)(

)

2

2

2

2

025

0

a

d

a

a

,

i

s

s

−

−

+

−

ε

ε

2009-10-21

6

Poszczególne równania równowagi uogól-

nionych sił w przekroju w SGN, okre

ś

laj

ą

ce

no

ś

no

ść

przekroju na

Metoda uproszczona wg PN-EN 1992-1-1 …

sił

ę

podłu

ż

n

ą

moment zginaj

ą

cy

, okre

ś

lon

ą

wzgl

ę

dem

prostej równoległej do osi oboj

ę

tnej,

przechodz

ą

cej przez

ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci

przekroju betonu

(5.43)

(5.44)

∑

∑

∑

∑

++++

====

n

si

si

cc

cd

Rd

A

A

f

N

1

σσσσ

((((

))))

((((

))))

∑

∑

∑

∑

−−−−

++++

−−−−

====

n

i

si

si

c

cc

cd

Rd

a

v

A

a

v

A

f

M

1

2

2

σσσσ

2

2009-10-21

7

A

si

– powierzchnia przekroju pojedynczych pr

ę

tów

lub grupy pr

ę

tów,

n

– liczba warstw, grup pr

ę

tów lub pojedyn-

czych pr

ę

tów zbrojenia o powierzchni

A

si

, równo

oddalonych o

a

i

od bardziej

ś

ciskanej lub mniej

rozci

ą

ganej kraw

ę

dzi przekroju (w tym zapisie

a

i

w wypadku

A

s1

równa si

ę

d

),

a

c

– poło

ż

enie

ś

rodka ci

ęż

ko

ś

ci bryły napr

ęż

e

ń

ś

ciskaj

ą

cych w betonie w

ś

ciskanej strefie o

powierzchni

A

cc

, wzgl

ę

dem bardziej

ś

ciskanej

kraw

ę

dzi przekroju, które w ogólno

ś

ci mo

ż

na

obliczy

ć

ze wzoru

Metoda uproszczona wg PN-EN 1992-1-1 …

2009-10-21

8

moment zginaj

ą

cy

, okre

ś

lony wzgl

ę

dem

prostej równoległej do osi oboj

ę

tnej,

przechodz

ą

cej przez

ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci

zbrojenia A

s1

moment zginaj

ą

cy

, okre

ś

lony wzgl

ę

dem

prostej równoległej do osi oboj

ę

tnej,

przechodz

ą

cej przez

ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci

zbrojenia A

s2

(5.46)

(5.45)

Metoda uproszczona wg PN-EN 1992-1-1 …

((((

))))

((((

))))

∑

∑

∑

∑

−−−−

++++

−−−−

====

n

i

si

si

c

cc

cd

,

Rd

a

d

A

a

d

A

f

M

1

1

σσσσ

((((

))))

((((

))))

∑

∑

∑

∑

−−−−

−−−−

−−−−

====

n

i

si

si

c

cc

cd

,

Rd

a

a

A

a

a

A

f

M

1

2

2

2

σσσσ

2009-10-21

9

Du

ż

e uproszczenia uzyskuje si

ę

w wypadku

przekroju prostok

ą

tnego, przy którym równania

przybieraj

ą

postacie:

na

sił

ę

podłu

ż

n

ą

na

moment zginaj

ą

cy

, okre

ś

lony wzgl

ę

dem

prostej równoległej do osi oboj

ę

tnej,

przechodz

ą

cej przez

ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci

przekroju betonu

Metoda uproszczona wg PN-EN 1992-1-1 …

(5.48)

(5.47)

∑

∑

∑

∑

++++

====

n

si

si

cd

Rd

A

bx

f

,

N

1

8

0

σσσσ

((((

))))

((((

))))

∑

∑

∑

∑

−−−−

++++

−−−−

====

n

i

si

si

cd

Rd

a

h

,

A

x

,

h

,

bx

f

,

M

1

5

0

4

0

5

0

8

0

σσσσ

2009-10-21

10

moment zginaj

ą

cy

, okre

ś

lony wzgl

ę

dem

prostej równoległej do osi oboj

ę

tnej,

przechodz

ą

cej przez

ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci

zbrojenia A

s1

moment zginaj

ą

cy

, okre

ś

lony wzgl

ę

dem

prostej równoległej do osi oboj

ę

tnej,

przechodz

ą

cej przez

ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci

zbrojenia A

s2

Metoda uproszczona wg PN-EN 1992-1-1 …

(5.50)

(5.49)

((((

))))

((((

))))

∑

∑

∑

∑

−−−−

++++

−−−−

====

n

i

si

si

cd

,

Rd

a

d

A

x

,

d

bx

f

,

M

1

1

4

0

8

0

σσσσ

((((

))))

((((

))))

∑

∑

∑

∑

−−−−

−−−−

−−−−

====

n

i

si

si

cd

,

Rd

a

a

A

x

,

a

bx

f

,

M

1

2

2

2

4

0

8

0

σσσσ

2009-10-21

11

Przy ka

ż

dej wyst

ę

puj

ą

cej w przekroju parze sił

wewn

ę

trznych

(M

Ed

, N

Ed

)

w SGN spełnione musz

ą

by

ć

2 warunki do wyboru z poni

ż

szych 4.

Rd

Ed

N

N

≤≤≤≤

Rd

tot

Sd

Ed

M

e

N

M

≤≤≤≤

====

1

1

1

,

Rd

s

Sd

,

Ed

M

e

N

M

≤≤≤≤

====

2

2

2

,

Rd

s

Sd

,

Ed

M

e

N

M

≤≤≤≤

====

Metoda uproszczona wg PN-EN 1992-1-1 …

w których

e

s2

= e

tot

– v

2

+ a

2

.







(5.12)

(5.13)

(5.14)

e

s1

= e

tot

+ v

1

– a

1

2009-10-21

12

Metoda uproszczona wg PN-EN 1992-1-1 …

Przy znajomo

ś

ci odkształcenia

εεεε

si

, napr

ęż

enia

σσσσ

si

w pr

ę

tach stalowych (lub warstwach pr

ę

tów) o

przekroju

A

si

i odległo

ś

ci

a

i

wyznacza si

ę

na pod-

stawie

wykresu z pochył

ą

półk

ą

uplastycznienia

s

si

si

E

εεεε

σσσσ

====

si

εεεε

gdy

≤≤≤≤

εεεε

yd

,

((((

))))

















−−−−

−−−−

−−−−

++++

±±±±

====

yd

uk

yd

si

yd

yd

yd

si

f

kf

f

εεεε

εεεε

εεεε

εεεε

σσσσ

si

ε

gdy

εεεε

yd

<

≤≤≤≤

εεεε

ud

lub 25‰.

(5.19)

(5.20)

lub

z poziom

ą

półk

ą

uplastycznienia

s

si

si

E

εεεε

σσσσ

====

si

εεεε

gdy

≤≤≤≤

εεεε

yd

,

(5.33)

si

ε

gdy

εεεε

yd

<

≤≤≤≤

εεεε

ud

lub 25‰.

(5.20)

yd

si

f

====

σσσσ

(5.34)

Ujemnym warto

ś

ciom

εεεε

si

odpowiadaj

ą

ujemne

σσσσ

si

.