1

2009-10-21

1

Konstrukcje

Konstrukcje

betonowe

betonowe

Wyk

Wyk

ł

ł

ad:

ad:

Uproszczona metoda

Uproszczona metoda

bilinearna obliczania

bilinearna obliczania

ż

ż

elbetowych

elbetowych

przekroj

przekroj

ó

ó

w na napr

w na napr

ęż

ęż

enia normalne

enia normalne

σσσσ

σσσσ

2009-10-21

2

Rozkład sił i oznaczenia wielko

ś

ci: 1 –

ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci

przekroju betonu, 2 –

ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci bryły

ś

ciskaj

ą

cych

napr

ęż

e

ń

w betonie

Uproszczona metoda bilinearna obliczania

żelbetowych przekrojów normalnych

na naprężenia normalne

σσσσ

Uproszczona metoda bilinearna obliczania

Uproszczona metoda bilinearna obliczania

ż

ż

elbetowych przekroj

elbetowych przekroj

ó

ó

w normalnych

w normalnych

na napr

na napr

ęż

ęż

enia normalne

enia normalne

σσσσ

σσσσ

F

s2

=

σ

s 2

A

s 2

v

2

•

•

•

•

•

•

•

•

•

o

ś

elementu

o

ś

oboj

ę

tna

σ

c

≤

f

cd

_

+

ε

si

ε

s1

ε

c

•

•

F

c

2

1

ε

s2

a

1

=

d

=

d

v

1

a

2

A

cc

h

a

i

a

c

x

b

N

Ed

F

si

=

σ

si

A

si

F

s1

=

σ

s1

A

s1

A

s2

A

s1

e

s

1

e

s

2

e

to

t

2009-10-21

3

Zbiór rozkładów odkształce

ń

, które mog

ą

powsta

ć

w stanie granicznym no

ś

no

ś

ci przy

f

ck

≤

50 MPa w metodzie bilinearnej −

trójk

ą

tno-prostok

ą

tny,

Metoda bilinearna wg PN-EN 1992-1-1 …

1,75

‰

0

,5

h

−

ε

yd

0

a

1

=

d

h

M

Rd

3,5

‰

o

ś

elementu

0 1,75

‰

ε

s

ε

c

a

i

a

2

I

N

Rd

A

si

A

s2

A

s1

−

ε

ud

lub

−

25

‰

V

IV

III

II

2009-10-21

4

Granice przedziałów oraz odkształcenia stali wg obliczeniowego

modelu normowej metody bilinearnej, przy f

ck

≤

50 MPa

Metoda bilinearna wg PN-EN 1992-1-1 …

Prze-

dział N

Rd

Poło

ż

enie osi

oboj

ę

tnej x

Parametr w

równaniach

(5.8) ÷ (5.16)

Odkształcenia stali

ε

si

1

2

3

4

5

I

> 0

x = h

0

≤

ε

c

≤

1,75

‰

(

)(

)

h

,

h

,

a

,

,

i

c

5

0

5

0

00175

0

00175

0

−

−

−

−

ε

II

> 0

h

x

,

d

,

ud

≤

≤

+

0035

0

0035

0

ε

x

x

a

x

,

i

−

0035

0

III

> 0

≤

0

0035

0

0035

0

00175

0

00175

0

,

d

,

x

,

d

,

ud

ud

+

≤

≤

+

ε

ε

IV

> 0

≤

0

0

≤

x

≤

00175

0

00175

0

,

d

,

ud

+

ε

x

d

x

a

x

i

ud

−

−

−

ε

V

< 0

x = 0

−

ε

ud

≤

ε

s2

≤

−

ε

ud

d

a

2

(

)(

)

2

2

2

2

a

d

a

a

i

s

ud

s

−

−

+

−

ε

ε

ε

2009-10-21

5

Granice przedziałów oraz odkształcenia stali wg obliczeniowego modelu

normowej metody bilinearnej, przy f

ck

≤

50 MPa i

εεεε

s

= −25

‰

Metoda bilinearna wg PN-EN 1992-1-1 …

Prze
dział N

Rd

Poło

ż

enie osi

oboj

ę

tnej x

Parametr w równaniach

(5.8) ÷ (5.16)

Odkształcenia stali

ε

si

1

2

3

4

5

I

> 0

x = h

0

≤

ε

c

≤

1,75

‰

(

)(

)

h

,

h

,

a

,

,

i

c

5

0

5

0

00175

0

00175

0

−

−

−

−

ε

II

> 0

h

x

d

≤

≤

57

7

x

x

a

x

,

i

−

0035

0

III

> 0

≤

0

57

7

107

7

d

x

d

≤

≤

IV

> 0

≤

0

0

≤

x

≤

107

7d

x

d

x

a

x

,

i

−

−

−

025

0

V

< 0

x = 0

−

0,025

≤

ε

s2

≤

−

0,025

d

a

2

(

)(

)

2

2

2

2

025

0

a

d

a

a

,

i

s

s

−

−

+

−

ε

ε

2009-10-21

6

Okre

ś

laj

ą

ce no

ś

no

ść

przekroju równania

równowagi sił ustala si

ę

tak samo jak w metodzie

podstawowej −

podwójne całki

.

Znaczne ich uproszczenia uzyskuje si

ę

dopiero

przy prostych przekrojach, które da si

ę

sprowa-

dzi

ć

do przekroju prostok

ą

tnego, teowego lub

dwuteowego, oraz gdy

f

ck

≤

50

MPa.

Wtedy całki

mo

ż

na zamieni

ć

na sumy

.

Metoda bilinearna wg PN-EN 1992-1-1 …

2

2009-10-21

7

Poszczególne równania równowagi uogól-

nionych sił w przekroju w SGN, okre

ś

laj

ą

ce

no

ś

no

ść

przekroju na

Metoda bilinearna wg PN-EN 1992-1-1 …

sił

ę

podłu

ż

n

ą

moment zginaj

ą

cy

, okre

ś

lon

ą

wzgl

ę

dem

prostej równoległej do osi oboj

ę

tnej,

przechodz

ą

cej przez

ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci

przekroju betonu

(5.30)

(5.31)

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

++++

====

n

si

si

m

ccj

cj

Rd

A

A

N

1

1

σσσσ

σσσσ

((((

))))

((((

))))

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

−−−−

++++

−−−−

====

n

i

si

si

cj

m

ccj

cj

Rd

a

h

,

A

a

h

,

A

M

1

1

5

0

5

0

σσσσ

σσσσ

2009-10-21

8

m

– liczba betonowych elementów

ś

ciskanej

strefy przekroju o powierzchni

A

ccj

o

ś

rodkach

ci

ęż

ko

ś

ci oddalonych o

a

cj

od bardziej

ś

ciskanej

kraw

ę

dzi przekroju,

Metoda bilinearna wg PN-EN 1992-1-1 …

σσσσ

cj

–

ś

rednie napr

ęż

enie

ś

ciskaj

ą

ce na powie-

rzchni

A

ccj

,

2009-10-21

9

A

si

– powierzchnia przekroju pojedynczych pr

ę

tów

lub grupy pr

ę

tów,

n

– liczba warstw, grup pr

ę

tów lub pojedyn-

czych pr

ę

tów zbrojenia o powierzchni

A

si

, równo

oddalonych o

a

i

od bardziej

ś

ciskanej lub mniej

rozci

ą

ganej kraw

ę

dzi przekroju (w tym zapisie

a

i

w wypadku

A

s1

równa si

ę

d

),

a

c

– poło

ż

enie

ś

rodka ci

ęż

ko

ś

ci bryły napr

ęż

e

ń

ś

ciskaj

ą

cych w betonie w

ś

ciskanej strefie o

powierzchni

A

cc

, wzgl

ę

dem bardziej

ś

ciskanej

kraw

ę

dzi przekroju, które w ogólno

ś

ci mo

ż

na

obliczy

ć

ze wzoru

Metoda bilinearna wg PN-EN 1992-1-1 …

2009-10-21

10

Metoda bilinearna wg PN-EN 1992-1-1 …

Pomocnicze wzory do obliczania równa

ń

,

przy rozpatrywaniu prostok

ą

tnego przekroju

ż

elbetowego wg metody bilinearnej

Prze-

dział

∑

m

ccj

cj

A

1

σ

(

)

cj

m

ccj

cj

a

h

,

A

−

∑

5

0

1

σ

1

2

3

I

(

)

bh

f

c

cd

σ

+

3

4

1

,

gdzie

σ

c

=

175

1000

ε

c

f

cd

(

)

2

12

1

bh

f

c

cd

σ

−

,

gdzie

σ

c

, jak w kol. 2

II

bx

f

cd

4

3













−

x

h

bx

f

cd

24

5

8

3

III

(

)

'

x

x

b

f

,

N

cd

Rd

+

=

5

0

,

gdzie

100

7

107

d

x

'

x

−

=

(

) (

)

,

'

x

x

h

'

x

x

'

x

h

'

x

b

f

cd

























+

−

−

+

−

3

2

2

2

1

)

(

gdzie '

x

, jak w kol. 2

IV

bx

,

c

σ

5

0

gdzie

x

d

f

cd

c

109

7

=

σ













−

3

2

5

0

x

h

bx

,

c

σ

,

gdzie '

x

, jak w kol. 2

V

0

0

2009-10-21

11

moment zginaj

ą

cy

, okre

ś

lony wzgl

ę

dem

prostej równoległej do osi oboj

ę

tnej,

przechodz

ą

cej przez

ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci

zbrojenia A

s1

moment zginaj

ą

cy

, okre

ś

lony wzgl

ę

dem

prostej równoległej do osi oboj

ę

tnej,

przechodz

ą

cej przez

ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci

zbrojenia A

s2

((((

))))

((((

))))

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

−−−−

++++

−−−−

====

n

i

si

si

m

cj

ccj

cj

,

Rd

a

d

A

a

d

A

M

1

1

1

σσσσ

σσσσ

((((

))))

((((

))))

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

−−−−

−−−−

−−−−

====

n

i

si

si

m

cj

ccj

cj

,

Rd

a

a

A

a

a

A

M

1

2

1

2

2

σσσσ

σσσσ

Metoda podstawowa wg PN-EN 1992-1-1 …

2009-10-21

12

Przy ka

ż

dej wyst

ę

puj

ą

cej w przekroju parze sił

wewn

ę

trznych

(M

Ed

, N

Ed

)

w SGN spełnione musz

ą

by

ć

2 warunki do wyboru z poni

ż

szych 4.

Metoda bilinearna wg PN-EN 1992-1-1 …

Rd

Ed

N

N

≤≤≤≤

Rd

tot

Sd

Ed

M

e

N

M

≤≤≤≤

====

1

1

1

,

Rd

s

Sd

,

Ed

M

e

N

M

≤≤≤≤

====

2

2

2

,

Rd

s

Sd

,

Ed

M

e

N

M

≤≤≤≤

====

w których

e

s2

= e

tot

– v

2

+ a

2

.







(5.12)

(5.13)

(5.14)

e

s1

= e

tot

+ v

1

– a

1