1

2009-10-21

1

Konstrukcje

Konstrukcje

betonowe

betonowe

Wyk

Wyk

ł

ł

ad:

ad:

Metoda podstawowa

Metoda podstawowa

obliczania

obliczania

ż

ż

elbetowych przekroj

elbetowych przekroj

ó

ó

w

w

na napr

na napr

ęż

ęż

enia normalne

enia normalne

σσσσ

σσσσ

2009-10-21

2

Rozkład sił i oznaczenia wielko

ś

ci: 1 –

ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci

przekroju betonu, 2 –

ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci bryły

ś

ciskaj

ą

cych

napr

ęż

e

ń

w betonie

Metoda podstawowa obliczania

żelbetowych przekrojów normalnych

na naprężenia normalne

σσσσ

Metoda podstawowa obliczania

Metoda podstawowa obliczania

ż

ż

elbetowych przekroj

elbetowych przekroj

ó

ó

w normalnych

w normalnych

na napr

na napr

ęż

ęż

enia normalne

enia normalne

σσσσ

σσσσ

F

s2

=

σ

s2

A

s2

v

2

•

•

•

•

•

•

•

•

•

o

ś

elem entu

o

ś

oboj

ę

tna

σ

c

≤

f

cd

_

+

ε

si

ε

s1

ε

c

•

•

F

c

2

1

ε

s2

a

1

=

d

v

1

a

2

A

cc

h

a

i

a

c

x

b

N

Ed

F

si

=

σ

si

A

si

F

s1

=

σ

s1

A

s1

A

s2

A

s1

e

s1

e

s2

e

to

t

y

2009-10-21

3

Zbiór rozkładów odkształce

ń

, które mog

ą

powsta

ć

w stanie granicznym no

ś

no

ś

ci przy

f

ck

≤

50 MPa w metodzie podstawowej −

paraboliczno-prostok

ą

tny,

h

7

3

−

ε

yd

0

2

‰

M

Rd

3,5

‰

o

ś

elementu

0

2

‰

ε

s

ε

c

a

i

a

1

=

d

a

2

I

h

N

Rd

A

si

A

s2

A

s1

−

ε

ud

lub

−

25

‰

V

IV

III

II

Metoda podstawowa wg PN-EN 1992-1-1 …

2009-10-21

4

Metoda podstawowa wg PN-EN 1992-1-1 …

Granice przedziałów oraz odkształcenia stali wg obliczeniowego

modelu normowej metody podstawowej, przy f

ck

≤

50 MPa

Prze-

d ział N

Rd

Poło

ż

enie osi

obo j

ę

tne j x

Parametr w
równa niach

(5.8) ÷ (5.16)

Odkształcenia sta li

ε

si

1

2

3

4

5

I

> 0

x = h

0

≤

ε

c

≤

2

‰

(

)(

)

002

0

4

7

3

002

0

,

h

a

h

,

i

c

+

−

−

ε

II

> 0

h

x

,

d

,

ud

≤

≤

+

0 035

0

003 5

0

ε

x

x

a

x

,

i

−

0035

0

III

> 0

≤

0

0035

0

0035

0

002

0

002

0

,

d

,

x

,

d

,

ud

ud

+

≤

≤

+

ε

ε

IV

> 0

≤

0

0

≤

x

≤

00 2

0

002

0

,

d

,

ud

+

ε

x

d

x

a

x

i

ud

−

−

−

ε

V

< 0

x = 0

−

ε

ud

≤

ε

s2

≤

−

ε

ud

d

a

2

(

)(

)

2

2

2

2

a

d

a

a

i

s

ud

s

−

−

+

−

ε

ε

ε

2009-10-21

5

Metoda podstawowa wg PN-EN 1992-1-1 …

Granice przedziałów oraz odkształcenia stali wg obliczeniowego

modelu normowej metody podstawowej, przy f

ck

≤

50 MPa i

εεεε

s

= −25

‰

Prze-

dział

N

Rd

Poło

ż

enie osi

oboj

ę

tnej x

Parametr w

równaniach (5.8) ÷

(5.16)

Odkształcenia stali

ε

si

1

2

3

4

5

I

> 0

x = h

0

≤

ε

c

≤

2

‰

(

)(

)

002

0

4

7

3

002

0

,

h

a

h

,

i

c

+

−

−

ε

II

> 0

h

x

d

≤

≤

57

7

x

x

a

x

,

i

−

0035

0

III

> 0

≤

0

57

7

27

2

d

x

d

≤

≤

IV

> 0

≤

0

0

≤

x

≤

27

2d

x

d

x

a

x

,

i

−

−

−

025

0

V

< 0

x = 0

−

0,025

≤

ε

s2

≤

−

0,025

d

a

2

(

)(

)

2

2

2

2

025

0

a

d

a

a

,

i

s

s

−

−

+

−

ε

ε

2009-10-21

6

Poszczególne równania równowagi uogól-

nionych sił w przekroju w SGN, okre

ś

laj

ą

ce

no

ś

no

ść

przekroju na

Metoda podstawowa wg PN-EN 1992-1-1 …

sił

ę

podłu

ż

n

ą

moment zginaj

ą

cy

, okre

ś

lon

ą

wzgl

ę

dem

prostej równoległej do osi oboj

ę

tnej,

przechodz

ą

cej przez

ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci

przekroju betonu

∑

∑

∑

∑

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

++++

====

n

si

si

A

cc

c

Rd

A

A

N

cc

1

σσσσ

σσσσ

d

((((

))))

((((

))))

∑

∑

∑

∑

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

−−−−

++++

−−−−

====

n

i

si

si

A

cc

c

c

Rd

a

v

A

A

a

v

M

cc

1

2

2

σσσσ

σσσσ

d

(5.8)

(5.9)

2

2009-10-21

7

A

si

– powierzchnia przekroju pojedynczych pr

ę

tów

lub grupy pr

ę

tów,

n

– liczba warstw, grup pr

ę

tów lub pojedyn-

czych pr

ę

tów zbrojenia o powierzchni

A

si

, równo

oddalonych o

a

i

od bardziej

ś

ciskanej lub mniej

rozci

ą

ganej kraw

ę

dzi przekroju (w tym zapisie

a

i

w wypadku

A

s1

równa si

ę

d

),

a

c

– poło

ż

enie

ś

rodka ci

ęż

ko

ś

ci bryły napr

ęż

e

ń

ś

ciskaj

ą

cych w betonie w

ś

ciskanej strefie o

powierzchni

A

cc

, wzgl

ę

dem bardziej

ś

ciskanej

kraw

ę

dzi przekroju, które w ogólno

ś

ci mo

ż

na

obliczy

ć

ze wzoru

Metoda podstawowa wg PN-EN 1992-1-1 …

2009-10-21

8

ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci

(5.5)

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

−−−−

====

cc

cc

A

cc

c

A

cc

c

c

A

A

y

x

a

d

d

σσσσ

σσσσ

y

– poło

ż

enie napr

ęż

enia

σ

c

w stosunku do osi

oboj

ę

tnej przekroju.

Metoda podstawowa wg PN-EN 1992-1-1 …

2009-10-21

9

moment zginaj

ą

cy

, okre

ś

lony wzgl

ę

dem

prostej równoległej do osi oboj

ę

tnej,

przechodz

ą

cej przez

ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci

zbrojenia A

s1

moment zginaj

ą

cy

, okre

ś

lony wzgl

ę

dem

prostej równoległej do osi oboj

ę

tnej,

przechodz

ą

cej przez

ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci

zbrojenia A

s2

((((

))))

((((

))))

∑

∑

∑

∑

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

−−−−

++++

−−−−

====

n

i

si

si

A

cc

c

c

,

Rd

a

d

A

A

a

d

M

cc

1

1

σσσσ

σσσσ

d

((((

))))

((((

))))

∑

∑

∑

∑

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

−−−−

++++

−−−−

−−−−

====

n

i

si

si

A

cc

c

c

,

Rd

a

a

A

A

a

a

M

cc

1

2

2

2

σσσσ

σσσσ

d

(5.11)

(5.10)

Metoda podstawowa wg PN-EN 1992-1-1 …

2009-10-21

10

Przy ka

ż

dej wyst

ę

puj

ą

cej w przekroju parze sił

wewn

ę

trznych

(M

Ed

, N

Ed

)

w SGN spełnione musz

ą

by

ć

2 warunki do wyboru z poni

ż

szych 4.

Metoda podstawa wg PN-EN 1992-1-1 …

Rd

Ed

N

N

≤≤≤≤

Rd

tot

Sd

Ed

M

e

N

M

≤≤≤≤

====

1

1

1

,

Rd

s

Sd

,

Ed

M

e

N

M

≤≤≤≤

====

2

2

2

,

Rd

s

Sd

,

Ed

M

e

N

M

≤≤≤≤

====

w których

e

s2

= e

tot

– v

2

+ a

2

.







(5.12)

(5.13)

(5.14)

e

s1

= e

tot

+ v

1

– a

1

2009-10-21

11

Du

ż

e uproszczenia uzyskuje si

ę

w wypadku

przekroju prostok

ą

tnego, przy którym równania

przybieraj

ą

postacie:

Metoda podstawowa wg PN-EN 1992-1-1 …

na

sił

ę

podłu

ż

n

ą

na

moment zginaj

ą

cy

, okre

ś

lony wzgl

ę

dem

prostej równoległej do osi oboj

ę

tnej,

przechodz

ą

cej przez

ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci

przekroju betonu

∑

∑

∑

∑

∫∫∫∫

++++

====

n

si

si

x

c

Rd

A

y

b

N

1

0

σσσσ

σσσσ

d

((((

))))

((((

))))

∑

∑

∑

∑

∫∫∫∫

−−−−

++++

−−−−

====

n

i

si

si

c

x

c

Rd

a

h

,

A

y

a

h

,

b

M

1

0

5

0

5

0

σσσσ

σσσσ

d

(5.16)

(5.15)

2009-10-21

12

Metoda podstawowa wg PN-EN 1992-1-1 …

moment zginaj

ą

cy

, okre

ś

lony wzgl

ę

dem

prostej równoległej do osi oboj

ę

tnej,

przechodz

ą

cej przez

ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci

zbrojenia A

s1

moment zginaj

ą

cy

, okre

ś

lony wzgl

ę

dem

prostej równoległej do osi oboj

ę

tnej,

przechodz

ą

cej przez

ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci

zbrojenia A

s2

((((

))))

((((

))))

∑

∑

∑

∑

∫∫∫∫

−−−−

++++

−−−−

====

n

i

si

si

c

x

c

Rd

a

h

,

A

y

a

h

,

b

M

1

0

5

0

5

0

σσσσ

σσσσ

d

((((

))))

((((

))))

∑

∑

∑

∑

∫∫∫∫

−−−−

−−−−

−−−−

====

n

i

si

si

c

x

c

Rd

a

a

A

y

a

a

b

M

1

2

2

0

σσσσ

σσσσ

d

(5.17b)

(5.16a)

3

2009-10-21

13

Metoda podstawowa wg PN-EN 1992-1-1 …

Przy znajomo

ś

ci odkształcenia

εεεε

si

, napr

ęż

enia

σσσσ

si

w dowolnie poło

ż

onych w przekroju elementu

pr

ę

tach stalowych (lub warstwach pr

ę

tów) o prze-

kroju

A

si

i odległo

ś

ci

a

i

wyznacza si

ę

z

wykresu z

pochył

ą

półk

ą

uplastycznienia

s

si

si

E

εεεε

σσσσ

====

si

εεεε

gdy

≤≤≤≤

εεεε

yd

,

((((

))))

















−−−−

−−−−

−−−−

++++

±±±±

====

yd

uk

yd

si

yd

yd

yd

si

f

kf

f

εεεε

εεεε

εεεε

εεεε

σσσσ

si

ε

gdy

εεεε

yd

<

≤≤≤≤

εεεε

ud

lub 25‰.

(5.19)

(5.20)

Ujemnym warto

ś

ciom odkształce

ń

εεεε

si

odpowiadaj

ą

ujemne warto

ś

ci napr

ęż

e

ń

σσσσ

si

.

2009-10-21

14

Metoda podstawowa wg PN-EN 1992-1-1 …

Pomocnicze wzory do obliczania całek

równa

ń

, przy rozpatrywaniu prostok

ą

tnego

przekroju

ż

elbetowego wg metody podstawowej

Prze-

dział

y

b

x

c

d

0

∫

σ

(

)

y

a

h

,

b

c

x

c

d

5

0

0

−

∫

σ

1

2

3

I

(

)

bh

f

c

cd

σ

4

17

21

1

+

,

σ

c

, jak

w kol. 3

(

)

2

147

10

bh

f

c

cd

σ

−

, gdzie

σ

c

= 1000

ε

c

(1 – 250

ε

c

)

f

cd

II

bx

f

cd

21

17













−

x

h

bx

f

cd

98

33

42

17

III

15

16

d

x

b

f

cd

−

300

10

22

171

160

2

2

d

dh

dx

x

hx

b

f

cd

−

−

+

−

IV

(

)

(

)

2

2

8

3

3

5

x

d

x

d

bx

f

cd

−

−

(

)

(

)

(

)

(

)













−

−

−

−

−

x

d

x

d

x

h

x

d

x

d

bx

f

cd

8

3

2

9

4

8

3

6

5

2

2

V

0

0