J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 13 • KMBiM WILiŚ PG
1
Ćwiczenie 13
Z wykładu przywołamy sobie równanie płyty w układzie biegunowym:
Przykłady rozwiązań płyt w zagadnieniach obrotowosymetrycznych
( )
2
2
1
1
q r
w
w
r
r
r
r
r r
r
r
D
∂
∂
∂
∂
∇ ∇
= ⋅
⋅
⋅
⋅
=
∂
∂
∂
∂
Równanie to rozwiązujemy przez bezpośrednie całkowanie.
Po obustronnym wymnożeniu przez r i scałkowaniu otrzymujemy:
( )
1
1
1
w
r
r
r q r
dr
C
r r
r
r
D
∂
∂
∂
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
+
∂
∂
∂
∫
Dzielimy przez
r
i ponownie całkujemy:
( )
2
1
2
1
1
1
ln
w
r
r q r
dr
C
r
C
r
r
r
D
r
∂
∂
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+
∂
∂
∫ ∫
Mnożymy przez r i ponownie całkujemy:
( )
(
)
2
2
3
1
2
3
1
1
2 ln
1
4
2
w
r
r
r
r
r q r
dr
C
r
C
C
r
D
r
∂
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+ ⋅
− +
⋅
+
∂
∫ ∫ ∫
Dzielimy przez
r
i ponownie całkujemy:
( )
( )
(
)
2
2
4
1
2
3
4
1
1
1
ln
1
ln
4
4
r
r
w r
r
r q r
dr
C
r
C
C
r
C
D
r
r
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+ ⋅
− +
⋅
+
⋅
+
∫ ∫ ∫ ∫
Ponieważ stałe całkowania są dowolne, możemy zapisać:
( )
( )
4
2
2
1
2
3
4
1
1
1
ln
ln
w r
r
r q r
dr
C r
r
C r
C
r
C
D
r
r
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+ ⋅ ⋅
+
⋅ +
⋅
+
∫ ∫ ∫ ∫
Przykładowo: Całka szczególna dla
( )
q r
const
q
=
≡
( )
4
1
1
1
s
w
r
r q r
dr
D
r
r
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
∫ ∫ ∫ ∫
4
1
1
q
r
r dr
D
r
r
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
∫ ∫ ∫ ∫
3
1
2
s
q
w
r
rdr
D
r
=
⋅
⋅
⋅
∫ ∫ ∫
3
2
1
4
q
r dr
D
r
=
⋅
⋅
∫ ∫
3
16
q
r dr
D
=
⋅
=
∫
4
64
qr
D
Przykład:
( )
q r
const
q
=
≡
Płyta kolista, swobodnie podparta, obciążona równomiernie na całej powierzchni,
(
)
0
w r
a
=
=
Warunki brzegowe i warunki
ograniczające dla środka płyty:
1°
2°
(
)
0
rr
M
r
a
=
=
3°
(
)
0
w r
=
→
jest skończone
4°
(
)
0
rr
M
r
=
→
jest skończone
Równanie płyty:
( )
s
o
w r
w
w
=
+
s
w –
całka szczególna równ. niejednorodnego
o
w –
całka ogólna równ. jednorodnego
a
( )
q r
r
, ,
E
h
ν
q
const
=
h
2a
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 13 • KMBiM WILiŚ PG
2
Równanie płyty:
( )
s
o
w r
w
w
=
+
Całka szczególna dla
( )
q r
const
q
=
≡
:
( )
4
4
1
1
1
64
s
qr
w
r
r q r
dr
D
r
r
D
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
∫ ∫ ∫ ∫
zatem:
( )
4
2
2
1
2
3
4
ln
ln
64
qr
w r
C r
r
C r
C
r
C
D
=
+ ⋅ ⋅
+
⋅ +
⋅
+
Różniczkując:
( )
(
)
3
1
2
3
1
1 2 ln
2
16
w r
qr
r C
r
C
r
C
r
D
r
∂
=
+ ⋅ ⋅ +
+
⋅
+
⋅
∂
Różniczkując ponownie:
( )
(
)
2
2
1
2
3
2
2
3
1
3 2 ln
2
16
w r
qr
C
r
C
C
r
D
r
∂
⋅
=
+
⋅ +
+
⋅ −
⋅
∂
Momenty radialne w płycie obrotowosymetrycznej:
( )
2
2
rr
w
w
M
r
D
r
r
r
ν
∂
∂
= − ⋅
+ ⋅
∂
∂
Realizując warunki brzegowe:
z 3°
(
)
0
w r
=
→
jest skończone S
= mamy:
(
)
4
2
1
2
3
4
0
0
0
0
ln 0
64
q
w r
C
C
C
C
S
D
⋅
=
=
+ ⋅ +
⋅ +
⋅
+
= ,
biorąc pod uwagę, fakt, iż:
(
)
2
2
0
0
0
0
2
3
1
ln
lim
ln
lim
lim
lim
0
1
2
2
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
→
→
→
→
⋅
=
=
=
−
=
−
Zatem:
3
4
ln 0
C
C
S
⋅
+
=
( )
3
4
C
C
S
→
⋅ −∞ +
=
Równość będzie skończona tylko wówczas, gdy:
3
0
C
=
z 4°
(
)
0
rr
M
r
=
→
jest skończone S
= mamy:
( )
2
2
rr
w
w
M
r
D
r
r
r
ν
∂
∂
= − ⋅
+ ⋅
∂
∂
podstawiając obliczone wyżej pochodne i upraszczając, dostajemy:
( )
(
)
(
)
(
)
1
2
1
2
3 2 ln
2
1 2 ln
2
rr
M
r
D C
r
C
C
r
C
ν
ν
= − ⋅
⋅ +
+ ⋅
+ ⋅ ⋅ +
+ ⋅ ⋅
zatem:
( )
( )
(
)
1
2
1
2
2
2
D C
C
C
C
S
ν
ν
− ⋅
⋅ −∞ + ⋅
+ ⋅ ⋅ −∞ + ⋅ ⋅
=
Równość będzie skończona tylko wówczas, gdy:
1
0
C
=
z 2°
(
)
0
rr
M
r
a
=
=
mamy:
2
2
2
2
3
3
0
2
2
16
16
qa
qa
D
C
C
D
D
ν
ν
⋅
⋅
= − ⋅
+ ⋅
+ ⋅
+ ⋅ ⋅
zatem:
2
2
3
32
1
qa
C
D
ν
ν
+
= −
⋅
+
z 1°
(
)
0
w r
a
=
=
mamy:
4
2
2
4
0
64
qa
C a
C
D
=
+
⋅
+
, zatem:
4
4
5
64
1
qa
C
D
ν
ν
+
=
⋅
+
( )
4
2
2
1
2
3
4
ln
ln
64
qr
w r
C r
r
C r
C
r
C
D
=
+ ⋅ ⋅
+
⋅ +
⋅
+
Zbierając wyniki, otrzymujemy:
4
2
4
2
3
5
64
32
1
64
1
qr
qa
qa
r
D
D
D
ν
ν
ν
ν
+
+
=
−
⋅
⋅ +
⋅
+
+
( )
4
4
2
4
2
3
5
1
2
1
64
1
1
qa
r
r
w r
D
a
a
ν
ν
ν
ν
+
+
=
⋅ ⋅
− ⋅
⋅
+
⋅
+
+
lub równoważnie:
( )
(
)
2
2
2
2
5
64
1
q
w r
a
r
a
r
D
ν
ν
+
=
⋅
−
⋅
⋅
−
+
Ugięcie w środku płyty:
(
)
max
0
w
w r
=
=
=
4
5
1
64
qa
D
ν
ν
+
⋅
+
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 13 • KMBiM WILiŚ PG
3
Z powyższych wzorów zapisać można, iż:
( )
2
2
rr
w
w
M
r
D
r
r
r
ν
∂
∂
= −
+
→
∂
∂
Momenty zginające:
( )
(
)
2
2
3
1
16
rr
qa
r
M
r
a
ν
=
⋅ + ⋅ −
( )
2
2
1 w
w
M
r
D
r
r
r
ϕϕ
ν
∂
∂
= −
+
→
∂
∂
( )
(
)
2
2
1 3
3
1
16
3
qa
r
M
r
a
ϕϕ
ν
ν
ν
+
=
⋅ + ⋅ −
⋅
+
W środku płyty
(
)
0
r
=
:
( )
( )
(
)
2
0
0
3
16
rr
qa
M
M
ϕϕ
ν
=
=
⋅ +
Na brzegu płyty
(
)
r
a
=
:
( )
0
rr
M
a
=
;
( )
(
)
2
1
8
qa
M
a
ϕϕ
ν
=
⋅ −
Wykresy:
( )
2
2
1
r
w
w
Q r
D
r
r
r
r
∂ ∂
∂
= − ⋅
+
→
∂
∂
∂
Siła tnąca:
( )
2
2
1
4
r
qa
r
Q r
r
a
∂
= −
−
∂
Zatem:
( )
2
r
qr
Q r
=
Na brzegu płyty
(
)
r
a
=
:
( )
2
r
qa
Q r
=
Kąt nachylenia stycznej do powierzchni środkowej:
( )
w
r
r
ϕ
∂
=
∂
Dla
(
)
r
a
=
:
(
)
(
)
3
8
1
qa
r
a
D
ϕ
ν
=
= −
⋅ +
Dyskusja!
1) Zastosowanie: Jest to bardzo dobry model
dla schematu bardzo
sztywna płyta + podatne podparcie!
Uwaga!
We wzorach należy zmienić znak obciążenia
( )
q r
!
2) Kształt zbrojenia na momenty radialne
rr
M i obwodowe
M
ϕϕ
:
rr
M
(
)
2
3
16
qa
ν
⋅ +
M
ϕϕ
(
)
2
3
16
qa
ν
⋅ +
(
)
2
1
8
qa
ν
⋅ −
(
)
2
1
8
qa
ν
⋅ −
h
const
=
q
const
=
2a
a
reakcje
w ściankach
budowli
cylindrycznych
zbrojenie
na momenty
ortogonalne
zbrojenie
na momenty
radialne
i obwodowe
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 13 • KMBiM WILiŚ PG
4
Przykład:
( )
q r
const
q
=
≡
Płyta kolista, utwierdzona, obciążona równomiernie na całej powierzchni,
(
)
0
w r
a
=
=
Warunki
brzegowe i warunki ograniczające dla środka płyty:
1°
2°
(
)
0
r
a
ϕ
=
=
3°
(
)
0
w r
=
→
jest skończone
4°
(
)
0
rr
M
r
=
→
jest skończone
Równanie płyty:
( )
s
o
w r
w
w
=
+
Z warunków 3° i 4°
wynika, jak w poprzednim przykładzie, iż:
1
0
C
= oraz
3
0
C
=
Po wyznaczeniu stałych
2
C i
4
C z warunków 1° i 2°
otrzymamy rozwiązanie:
( )
2
2
4
1
64
qa
r
w r
D
a
=
⋅ −
Ugięcie w środku płyty:
(
)
max
0
w
w r
=
=
=
4
64
qa
D
Uwaga:
0
ν
=
Przyjmując
otrzymujemy ugięcia płyty utwierdzonej pięciokrotnie mniejsze od ugięcia płyty
swobodnie podpartej!
Z ogólnych wzorów podanych powyżej zapisać można, iż:
( )
2
2
rr
w
w
M
r
D
r
r
r
ν
∂
∂
= −
+
→
∂
∂
Momenty zginające:
( )
(
) (
)
2
2
1
3
16
rr
qa
r
M
r
a
ν
ν
=
⋅
+
− + ⋅
( )
2
2
1 w
w
M
r
D
r
r
r
ϕϕ
ν
∂
∂
= −
+
→
∂
∂
( )
(
) (
)
2
2
1
1 3
16
qa
r
M
r
a
ϕϕ
ν
ν
=
⋅
+
− +
⋅
W środku płyty
(
)
0
r
=
:
( )
( )
(
)
2
0
0
1
16
rr
qa
M
M
ϕϕ
ν
=
=
⋅ +
Na
brzegu płyty
(
)
r
a
=
:
( )
2
8
rr
qa
M
a
= −
;
( )
2
8
qa
M
a
ϕϕ
ν
= −
⋅
Wykresy:
a
( )
q r
r
, ,
E
h
ν
q
const
=
h
2a
2
8
qa
ν
⋅
2
8
qa
ν
⋅
(
)
2
1
16
qa
ν
⋅ +
rr
M
M
ϕϕ
2
8
qa
(
)
2
1
16
qa
ν
⋅ +
2
8
qa
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 13 • KMBiM WILiŚ PG
5
Dyskusja!
Uwaga:
Powyższe zagadnienie można rozwiązać metodą sił
z
wykorzystaniem wyniku dla płyty swobodnie
podpartej!
Równanie wg metody sił:
Powyższe równanie jest równaniem z jedną niewiadomą
( )
0
M
.
Zaleca się dokonać rozwiązania zadania – jako zadanie domowe!
(
)
(
)
w
r
a
r
a
r
ϕ
∂
=
=
=
=
∂
+
0
=
kąt obrotu
od
obciążenia
q
kąt obrotu
od nieznanego
momentu
utwierdzenia
0
M
od
obciążenia momentem
0
M
(rozłożonym na obwodzie)
(
)
w
r
a
r
∂
=
∂
2a
h
0
M
0
M
Document Outline
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
TSiP Cw 13-notatki
17) TSiP Cw 05 notatki
TSiP Cw 10-notatki
TSiP Cw 02-notatki
TSiP Cw 05-notatki
TSiP Cw 12-notatki
16) TSiP Cw 04 notatki
TSiP Cw 09 notatki
TSiP Cw 03 notatki
spr cw 13
sem IV OpHiW lab cw 13 send
cw 13 Analiza Matematyczna (calki) id
cw 13 id 121763 Nieznany
cw 13
ĆW. VII, Notatki AWF
lab 13, Notatki, FIZYKA, SEMESTR II, laborki, lab
Wytyczne do wykonania ćw 2 13 14
więcej podobnych podstron