Rozwiązania tarcz we współrzędnych biegunowych Związki między składowymi stanu naprężeń w układzie prostokątnym i biegunowym 1. Rozwiązania tarcz we współrzędnych biegunowych x
2
dϕ
2
2
r = x + x 1
2
x = r ⋅cosϕ
r ⋅ dϕ
1
⇒
x
x = r ⋅ sin ϕ
2
ϕ
= arctg
2
x
1
dr
ϕ
x
1
r
Współrzędne biegunowe – współrzędne krzywoliniowe, ortogonalne, na płaszczyźnie W celu wyprowadzenia wzorów transformacyjnych dla operatora biharmonicznego 4
∇ F z układu
prostokątnego do biegunowego obliczamy pochodne cząstkowe funkcji złożonej: F ( x , x ⇒ F r,ϕ = F ( r
,ϕ
1
x , 2
x
1
x , 2
x
)
1
2 )
( )
(
)
(
)
Obliczenia pomocnicze:
r
∂
2 x
x
1
1
=
=
= cosϕ
x
∂
2
2
+
r
1
2 x
x
1
2
r
∂
2 x
x
2
2
=
=
= sinϕ
x
∂
2
2
+
r
2
2 x
x
1
2
x 2
−
ϕ
∂
2
x
x
x
sin ϕ
1
2
2
=
= −
= −
= −
x
∂
2
2
2
2
x + x
r
r
1
x
1
2
2
1+
x
1
ϕ
∂
1
x−
x
x
cosϕ
1
1
1
=
=
=
=
x
∂
2
2
2
2
x + x
r
r
2
x
1
2
2
1+
x
1
Pochodne funkcji naprężeń:
F
∂
F
∂
r
∂
F
∂
ϕ
∂
∂
∂
ϕ
=
⋅
+
⋅
F
F
sin
=
⋅cosϕ +
⋅ −
x
∂
r
∂
x
∂
ϕ
∂
x
∂
r
∂
ϕ
∂
r
1
1
1
F
∂
F
∂
r
∂
F
∂
ϕ
∂
∂
∂
ϕ
=
⋅
+
⋅
F
F
cos
=
⋅sinϕ +
⋅
x
∂
r
∂
x
∂
ϕ
∂
x
∂
r
∂
ϕ
∂
r
2
2
2
Następnie:
2
∂ F
∂ F
∂ ∂
∂
ϕ ∂
∂
ϕ
=
sin
F
F sin
=
cosϕ −
cosϕ −
2
x
∂
x
∂
x
∂
r
∂
ϕ
∂
r
r
∂
ϕ
∂
r
1
1
1
2
2
2
2
∂ F
∂ F sinϕ
F
∂
1
1 ∂ F
F
∂ 1
∂ F 1
F
∂
1
2
2
2
=
⋅cos ϕ −
⋅
⋅cosϕ +
⋅ ⋅sinϕ ⋅cosϕ − ⋅
⋅sinϕ ⋅cosϕ +
⋅ ⋅sin ϕ +
⋅ sin ϕ −
⋅ ⋅sinϕ ⋅cosϕ
2
2
2
2
2
r
∂
r
∂ ϕ
∂
r
ϕ
∂ r
r
r
∂ ϕ
∂
r
∂ r
ϕ
∂
r
ϕ
∂ r
2
2
2
2
∂ F
2 ∂ F
2
F
∂
F
∂
sin ϕ
1 ∂ F
2
2
=
⋅cos ϕ − ⋅
⋅sinϕ ⋅cosϕ +
⋅
⋅sinϕ ⋅cosϕ +
⋅
+
⋅
⋅sin ϕ
2
2
2
2
r
∂
r
r
∂ ϕ
∂
r
ϕ
∂
r
∂
r
r
ϕ
∂
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 5 • KMBiM WILiŚ PG
1
2
∂ F
∂ F
∂ ∂
∂
ϕ ∂
∂
ϕ
=
cos
F
F cos
=
sin ϕ +
sin ϕ +
=
(...)
2
x
∂
x
∂
x
∂
r
∂
ϕ
∂
r
r
∂
ϕ
∂
r
2
2
2
2
2
2
2
∂ F
2 ∂ F
2
F
∂
F
∂
cos ϕ
1 ∂ F
2
2
=
⋅sin ϕ + ⋅
⋅sinϕ ⋅cosϕ −
⋅
⋅sinϕ ⋅cosϕ +
⋅
+
⋅
⋅cos ϕ
2
2
2
2
r
∂
r
r
∂ ϕ
∂
r
ϕ
∂
r
∂
r
r
ϕ
∂
Zatem operator Laplace’a we współrzędnych biegunowych: 2
2
2
2
∂ F ∂ F
∂ F 1 F
∂
1 ∂ F
2
∇ F =
+
=
+ ⋅
+
⋅
2
2
2
2
2
x
∂
x
∂
r
∂
r
r
∂
r
ϕ
∂
1
2
Równanie tarczy we współrzędnych biegunowych: F = F ( r,ϕ ) – funkcja naprężeń 4
2
∇ F = ∇ ( 2
∇ F ) = 0
2
∂ () 1 ∂()
2
1 ∂ ()
2
∂ F ( r,ϕ) 1 F
∂ ( r,ϕ)
2
1 ∂ F ( r,ϕ )
+ ⋅
+
⋅
+ ⋅
+
⋅
= 0
2
2
2
2
2
2
r
∂
r
r
∂
r
ϕ
∂
r
∂
r
r
∂
r
ϕ
∂
Uwaga: Do wyznaczenia naprężeń stycznych w ukł. biegunowym potrzebna jest również pochodna mieszana!
2
∂ F
∂ F
∂ ∂
∂
ϕ ∂
∂
ϕ
=
cos
F
F sin
=
sin ϕ +
cosϕ −
=
(...)
x
∂ x
∂
x
∂
x
∂
r
∂
ϕ
∂
r
r
∂
ϕ
∂
r
1
2
1
2
2
2
2
∂ F
1 ∂ F
1
F
∂
1
F
∂
1 ∂ F
=
⋅sinϕ ⋅cosϕ + ⋅
⋅cos 2ϕ −
⋅
⋅cos 2ϕ − ⋅
⋅sinϕ ⋅cosϕ −
⋅
⋅sinϕ ⋅cosϕ
2
2
2
2
r
∂
r
r
∂ ϕ
∂
r
ϕ
∂
r
r
∂
r
ϕ
∂
PSN w układzie biegunowym:
dϕ
x
σ
σ
ϕϕ σ
2
ϕ r
rr
→ naprężenia:
σ
σ – naprężenia promieniowe (radialne)
rϕ
rr
σ
– naprężenia obwodowe (pierścieniowe) ϕϕ
dr
ϕ
σ = σ – naprężenia styczne
rϕ
ϕ r
r
x 1
2. Związki między składowymi stanu naprężeń w układzie prostokątnym i biegunowym Elementarne wyprowadzenie (z równań równowagi): Dane: σ , σ
, σ
= σ
11
22
12
21
Szukane: σ , σ
, σ
= σ
rr
ϕϕ
rϕ
ϕ r
x
2
– powierzchnie ścianek:
ds = g ⋅ dx oraz: ds = g ⋅ dx 1
1
2
2
r
σ
rϕ
σ
rr
ds –
powierzchnia ścianki ukośnej, σ ϕ
ϕ
11
ds
ds
2
stąd: cosϕ =
1
sin ϕ =
ds
2
ds
ds
σ
ds
Rzut na oś
w kierunku r : 12
σ ds = σ ds cosϕ +σ ds sinϕ +σ ds cosϕ +σ ds sinϕ
rr
11
2
22
1
21
1
12
2
2
2
σ ds σ
x
→
1
σ = σ cos ϕ +σ sin ϕ +σ sin 2ϕ
21
rr
11
22
21
1
22
Rzut na oś prostopadłą do kierunku r :
→ σ = σ
−
sin ϕ ⋅ cosϕ + σ sin ϕ ⋅ cosϕ + σ cos 2ϕ
rϕ
11
22
21
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 5 • KMBiM WILiŚ PG
2
Analogiczne wyprowadzenie (z równań równowagi): x
2
Dane: σ , σ
, σ
= σ
11
22
12
21
σ
ϕ
r
ϕϕ
Szukane: σ , σ
, σ
= σ
σ
rr
ϕϕ
rϕ
ϕ r
12
ds
2
– powierzchnie ścianek:
σϕ r
ds
ϕ
ds = g ⋅ dx oraz: ds = g ⋅ dx σ
1
1
2
2
11
σ
ds –
powierzchnia ścianki ukośnej, 21
ds
ds
2
stąd: cosϕ =
1
sin ϕ =
σ
ds
ds
22
ds
x
1
1
Rzut na oś prostopadłą do kierunku r : 2
2
→ σ = σ sin ϕ +σ cos ϕ −σ sin 2ϕ
ϕϕ
11
22
21
Niezmiennik: σ + σ
= σ +σ !
rr
ϕϕ
11
22
Rozwiązując poniższy układ trzech równań równowagi: 2
2
σ = σ cos ϕ +σ sin ϕ +σ sin 2ϕ
rr
11
22
21
1
σ =
σ −σ
ϕ +σ
ϕ
rϕ
(
sin 2
cos 2
22
11 )
21
2
2
2
σ
= σ sin ϕ +σ cos ϕ −σ sin 2ϕ
ϕϕ
11
22
21
otrzymamy tzw. związki odwrotne: 2
2
σ = σ cos ϕ +σ sin ϕ −σ sin 2ϕ
11
rr
ϕϕ
rϕ
1
σ =
σ −σ
sin 2ϕ + σ
cos 2ϕ
12
( rr ϕϕ )
ϕ
2
r
2
2
σ
= σ sin ϕ +σ cos ϕ +σ sin 2ϕ
22
rr
ϕϕ
rϕ
Naprężenia w tarczy (w układzie biegunowym) wyznaczymy z funkcji naprężeń (jako odpowiednie pochodne funkcji naprężeń), przyjmując element różniczkowy leżący na osi x , tzn. dla ϕ = 0 !
1
x
σ
2
ϕϕ
σ
ϕ rσ
dϕ
rϕ σ
rr
x
1
r
dr
2
2
σ
∂
∂
∂
= σ
F
=
1
F
1
F
= ⋅
+
⋅
rr
11 ϕ =0
2
x
∂
2
2
r
r
∂
r
ϕ
∂
2
ϕ =0
Gdy: dϕ → 0
2
2
σ
∂
∂
= σ
F
=
F
=
σ = σ
ϕϕ
to:
itd.
22 ϕ =0
2
ϕϕ
x
∂
2
r
∂
22
1
ϕ =0
2
2
σ
∂
∂
∂
∂
∂
= σ
F
= −
1
F
1
F
1
F
= − ⋅
+
⋅
= −
⋅
rϕ
12 ϕ =
0
x
∂ x
∂
2
r
r
∂ ϕ
∂
r
ϕ
∂
r
∂ r ϕ
∂
1
2 ϕ =0
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 5 • KMBiM WILiŚ PG
3