W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
D
RGANIA PRĘTÓW PRYZMATYCZNYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
1
Olga Kopacz, Adam Łodygowski, Krzysztof Tymper,
Michał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski
Konsultacje naukowe: prof. dr hab. J
ERZY
R
AKOWSKI
Poznań 2002/2003
MECHANIKA BUDOWLI 13
Ugięcia belek drgających. Wzory transformacyjne belek o ciągłym
rozkładzie masy.
l
w-przemieszczenie dominujące:
)
(
)
(
)
,
(
t
T
x
w
t
x
w
⋅
=
(14.1)
Wprowadzenie warunków brzegowych prowadzi do jednorodnego układu
równań. Rozwiązanie nietrywialne istnieje dla det=0. Otrzymuje się
równanie charakterystyczne.
Przyjmujemy następującą funkcję określającą linię ugięcia belki:
x
Dsh
x
Csh
x
B
x
A
x
w
α
α
α
α
+
+
+
=
cos
sin
)
(
(14.2)
gdzie:
ρ
µ
µ
ω
α
A
EI
=
=
,
2
4
(14.3)
µ-gęstość liniowa
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
D
RGANIA PRĘTÓW PRYZMATYCZNYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
2
Poszukamy rozwiązań równania (14.2) dla różnych warunków
brzegowych belek.
1. Belka obustronnie utwierdzona.
0
)
(
)
(
)
4
,
0
)
0
(
)
(
)
3
0
)
(
)
2
,
0
)
0
(
)
1
0
=
=
=
=
=
=
=
=
l
dx
x
dw
dx
x
dw
l
w
w
l
x
x
ϕ
ϕ
(14.4)
Powyższe warunki podstawiamy do równania (14.2), którego wyznacznik
przyrównujemy do zera (równanie charakterystyczne):
0
1
cos
=
−
⋅
l
l
ch
α
α
(14.5)
Równanie to ma rozwiązania dla pewnych wartości:
µ
ϖ
α
µ
ϖ
α
µ
ϖ
α
EI
l
l
EI
l
l
EI
l
l
2
3
3
2
2
2
2
1
1
91
,
120
996
,
10
67
,
61
853
,
7
37
,
22
73
,
4
=
→
=
=
→
=
=
→
=
(14.6)
Ogólnie można zapisać:
2
2
1
2
≥
+
≈
k
k
l
k
π
α
(14.7)
Funkcja ugięcia dla k-tej postaci:
−
−
−
−
−
−
=
l
ch
l
x
ch
x
l
sh
l
x
sh
x
l
sh
l
A
x
w
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
cos
cos
sin
sin
)
(sin
)
(
(14.8)
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
D
RGANIA PRĘTÓW PRYZMATYCZNYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
3
Liczba miejsc zerowych funkcji w
k
(x) równa jest k-1
2. Belka utwierdzona z podpartym wolnym końcem.
Po podstawieniu warunków brzegowych do wyrażenia (14.2) otrzymamy
wyznacznik:
0
=
−
l
tgh
l
tg
α
α
(14.9)
Rozwiązania powyższego równania wynoszą:
µ
ϖ
α
µ
ω
α
EI
l
l
EI
l
l
2
2
2
2
1
1
97
,
49
069
,
7
42
,
15
927
,
3
=
→
=
=
→
=
(14.10)
Ogólnie można zapisać:
3
4
1
4
≥
+
≈
k
k
l
k
π
α
(14.11)
Funkcja ugięcia dla k-tej postaci:
−
=
l
sh
x
sh
l
x
l
A
x
w
k
k
k
k
k
k
k
α
α
α
α
α
sin
sin
sin
)
(
(14.12)
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
D
RGANIA PRĘTÓW PRYZMATYCZNYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
4
3. Belka jednostronnie utwierdzona
Równanie charakterystyczne ma postać:
0
1
cos
=
+
⋅
l
ch
l
α
α
(14.13)
Rozwiązania równania (14.11):
µ
ω
α
µ
ω
α
EI
l
l
EI
l
l
2
2
2
2
1
1
03
,
22
6941
,
4
52
,
3
875
,
1
=
→
=
=
→
=
(14.14)
Zapis uogólniony:
2
2
1
2
≥
−
≈
k
k
l
k
π
α
(14.15)
Funkcja ugięcia dla k-tej postaci:
+
−
−
+
−
+
=
l
ch
l
x
ch
x
l
sh
l
x
sh
x
l
sh
l
A
x
w
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
cos
cos
sin
sin
)
(sin
)
(
(14.16
)
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
D
RGANIA PRĘTÓW PRYZMATYCZNYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
5
Zadanie
Znaleźć częstości kołowe drgań własnych dla układu przedstawionego poniżej.
Funkcja lini ugięcia ma postać:
x
Dch
x
Csh
x
B
x
A
x
w
α
α
α
α
+
+
+
=
cos
sin
)
(
Różniczkujemy powyższą funkcję (dx)
x
sh
D
x
ch
C
x
B
x
A
x
w
α
α
α
α
α
α
α
α
+
+
−
=
sin
cos
)
(
'
x
ch
D
x
sh
C
x
B
x
A
x
w
α
α
α
α
α
α
α
α
2
2
2
2
cos
sin
)
(
''
+
+
−
−
=
x
sh
D
x
ch
C
x
B
x
A
x
w
α
α
α
α
α
α
α
α
3
3
3
3
sin
cos
)
(
''
'
+
+
+
−
=
Podstawiając warunki brzegowe otrzymujemy układ czterech równań jednorodnych:
+
+
+
−
=
+
+
−
=
+
=
+
=
l
sh
D
l
ch
C
l
B
l
A
l
sh
D
l
ch
C
l
B
l
A
C
A
D
B
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
3
3
3
3
sin
cos
0
sin
cos
0
0
0
Wstawiając dwa pierwsze równania do dwóch kolejnych, otrzymujemy układ dwóch
równań:
−
+
+
=
+
+
−
=
)
sin
(
)
cos
(
0
)
sin
(
)
cos
(
0
3
3
3
3
l
l
sh
D
l
ch
l
C
l
sh
l
D
l
l
ch
C
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
Układ równań posiada rozwiązanie nietrywialne gdy wyznacznik równy jest zeru.
0
)
sin
(
)
(cos
)
(sin
)
cos
(
3
3
=
−
+
+
−
l
l
sh
l
ch
l
l
sh
l
l
l
ch
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
Otrzymujemy równanie charakterystyczne:
0
cos
sin
=
⋅
+
⋅
l
sh
l
l
l
ch
α
α
α
α
Przeszukujemy powyższe równanie wstawiając wartości od 0, w celu otrzymania
rozwiązania.
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
D
RGANIA PRĘTÓW PRYZMATYCZNYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
6
µ
ω
α
µ
ω
α
µ
ω
α
EI
l
l
EI
l
l
EI
l
l
2
3
3
2
2
2
2
1
1
639
,
74
63938
,
8
226
,
30
4978
,
5
593
,
5
365
,
2
=
→
=
=
→
=
=
→
=
Równanie posiada nieskończoną liczbę rozwiązań, powtarzających się okresowo.
Warunek ortogonalności.
Równanie w przestrzeni
0
)
(
)
(
2
4
4
=
−
x
w
EI
dx
x
x
d
ϖ
µ
(14.17)
Równanie to spełnione jest dla pewnej wartości ω
0
''
''
0
''
''
2
2
=
−
→
=
−
→
j
j
j
j
i
i
i
i
w
EIw
w
EIw
ω
µ
ω
ω
µ
ω
(14.18)
Zgodnie z teorią zginania belek prostych:
)
(
''
''
x
q
EIw
i
=
(14.19)
Po przekształceniu (14.18) otrzymujemy:
)
(
''
''
)
(
''
''
2
2
x
q
w
EIw
x
q
w
EIw
j
j
j
j
i
i
i
i
=
=
=
=
ω
µ
ω
µ
(14.20)
Otrzymujemy dwa stany a)(i-ty) oraz b)(j-ty):
Z twierdzenia Bettiego:
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
D
RGANIA PRĘTÓW PRYZMATYCZNYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
7
Praca obciążenia q
i
na przemieszczeniach w
j
, równa jest pracy obciążenia
q
j
na przemieszczeniach w
i
.
∫
∫
=
l
l
i
j
j
i
dx
x
w
x
q
dx
x
w
x
q
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
(14.21)
Przekształcając powyższe wyrażenie i podstawiając wzory (14.20)
otrzymujemy:
[
]
∫
∫
=
−
=
−
l
j
i
j
i
l
i
j
j
j
i
i
x
w
x
w
dx
x
w
x
w
x
w
x
w
0
2
2
0
2
2
0
)
(
)
(
)
(
0
)
(
)
(
)
(
)
(
µ
ω
ω
ω
µ
ω
µ
(14.22)
Jeżeli i=j to równanie jest spełnione, natomiast gdy i≠j (ω
i
2
≠ω
j
2
) to
otrzymujemy warunek z przyrównania całki w wyrażeniu (1.22) do zera:
∫
=
l
j
i
dx
x
w
x
w
0
0
)
(
)
(
µ
(14.23)
Jest to warunek ortogonalności.
Wzory transformacyjne belek o ciągłym rozkładzie masy.
Rozpatrujemy belkę na którą działa obciążenie związane z cechami
materiału.
Jaką postać przyjmą drgania belki, jeśli wymusimy obroty podpór „i”, „j”
oraz przesunięcia tych podpór?
i
V
k
V
i
ϕ
k
ϕ
i
k
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
D
RGANIA PRĘTÓW PRYZMATYCZNYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
8
W każdej chwili czasu ugięcie w punkcie i równe jest V
i
. Zapisać
możemy następujące warunki brzegowe:
k
k
i
i
l
w
V
l
w
w
V
w
ϕ
ϕ
ϕ
=
=
=
=
=
)
(
'
)
(
)
0
(
)
0
(
'
)
0
(
(14.24)
Momenty oraz siły tnące w belce wynoszą:
=
=
=
=
=
=
ki
ik
ki
ik
T
l
T
T
T
x
T
M
l
M
M
M
x
M
)
(
)
0
(
)
(
)
(
)
0
(
)
(
(14.25)
Wstawiając warunki brzegowe do równania:
x
Dch
x
Csh
x
B
x
A
x
w
α
α
α
α
+
+
+
=
cos
sin
)
(
(14.26)
wyznaczamy stałe. Różniczkując równanie (14.25) otrzymujemy kolejno:
)
sin
cos
(
)
(
)
(
''
)
cos
sin
(
)
(
)
(
''
sin
cos
)
(
'
3
3
3
3
2
2
2
2
x
sh
D
x
ch
C
x
B
x
A
EI
x
T
EI
x
w
x
ch
D
x
sh
C
x
B
x
A
EI
x
M
EI
x
w
x
sh
D
x
ch
C
x
B
x
A
x
w
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
ϕ
+
+
+
+
−
=
=
⋅
+
+
+
−
−
=
=
⋅
+
+
−
=
=
(14.27)
Po podstawieniu stałych do równania momentów otrzymujemy wzory
transformacyjne:
+
−
+
=
+
−
+
=
l
V
r
l
V
t
c
s
l
EI
M
l
V
t
l
V
r
s
c
l
EI
M
i
k
k
i
ki
i
k
k
i
ik
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
λ
λ
ϕ
λ
ϕ
λ
λ
λ
ϕ
λ
ϕ
λ
(14.28)
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
D
RGANIA PRĘTÓW PRYZMATYCZNYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
9
gdzie:
l
ch
z
z
sh
t
z
sh
r
z
sh
s
z
sh
ch
c
α
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
=
−
=
⋅
=
⋅
=
−
=
−
=
cos
1
sin
)
(
sin
)
(
sin
)
(
cos
sin
)
(
2
2
(14.29)
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
19 (drgania pretow pryzmatycznych)
19 (drgania pretow pryzmatycznych)
Stateczność ram płaskich złożonych z prętów pryzmatycznych
Metoda przemieszczeń dla ram płaskich złożonych z prętów pryzmatycznych
20 Polaczenia i styki stalowych konstrukcji pretowych
14 - Drgania II - Teoria, Ruch harmoniczny cd
Konspekt prezentacji Św. Jan Maria Vianney, prezentacje, WSZYSTKIE PREZENTACJE, OAZA, Prezentacje cd
DRGANIA POPRZECZNE (GIĘTNE) PRĘTÓW
Choroba Parkinsona cd 20.01.2011, Farmacja, farmakologia, farmakologia n, krwionosny i serce, Wykład
Wyklad 10 Dramat ludowy cd 20 12 2010 r
akumulator do saab 9000 20 16 20 16 cd 20 16 turbo cd 20
akumulator do saab 9000 hatchback 20 16 20 16 cd 20 16 turb
Royal canin Vet Diet Calm CD 25 02 sur 20
Mrd prętów fi 20 i 25 monolit
Mrd prętów fi 20 i 25 monolit
akumulator do mazda premacy ii 20 mz cd
4 Linie wpływu wielkości statycznych w ustrojach prętowych
więcej podobnych podstron