W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
D
RGANIA PRĘTÓW PRYZMATYCZNYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
1
Olga Kopacz, Adam Łodygowski, Krzysztof Tymper,
Michał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski
Konsultacje naukowe: prof. dr hab. J
ERZY
R
AKOWSKI
Poznań 2002/2003
MECHANIKA BUDOWLI 13
Ugięcia belek drgających. Wzory transformacyjne belek o ciągłym
rozkładzie masy.
l
w-przemieszczenie dominujące:
)
(
)
(
)
,
(
t
T
x
w
t
x
w
⋅
=
(14.1)
Wprowadzenie warunków brzegowych prowadzi do jednorodnego układu
równań. Rozwiązanie nietrywialne istnieje dla det=0. Otrzymuje się
równanie charakterystyczne.
Przyjmujemy następującą funkcję określającą linię ugięcia belki:
x
Dsh
x
Csh
x
B
x
A
x
w
α
α
α
α
+
+
+
=
cos
sin
)
(
(14.2)
gdzie:
ρ
µ
µ
ω
α
A
EI
=
=
,
2
4
(14.3)
µ-gęstość liniowa
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
D
RGANIA PRĘTÓW PRYZMATYCZNYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
2
Poszukamy rozwiązań równania (14.2) dla różnych warunków
brzegowych belek.
1. Belka obustronnie utwierdzona.
0
)
(
)
(
)
4
,
0
)
0
(
)
(
)
3
0
)
(
)
2
,
0
)
0
(
)
1
0
=
=
=
=
=
=
=
=
l
dx
x
dw
dx
x
dw
l
w
w
l
x
x
ϕ
ϕ
(14.4)
Powyższe warunki podstawiamy do równania (14.2), którego wyznacznik
przyrównujemy do zera (równanie charakterystyczne):
0
1
cos
=
−
⋅
l
l
ch
α
α
(14.5)
Równanie to ma rozwiązania dla pewnych wartości:
µ
ϖ
α
µ
ϖ
α
µ
ϖ
α
EI
l
l
EI
l
l
EI
l
l
2
3
3
2
2
2
2
1
1
91
,
120
996
,
10
67
,
61
853
,
7
37
,
22
73
,
4
=
→
=
=
→
=
=
→
=
(14.6)
Ogólnie można zapisać:
2
2
1
2
≥
+
≈
k
k
l
k
π
α
(14.7)
Funkcja ugięcia dla k-tej postaci:
−
−
−
−
−
−
=
l
ch
l
x
ch
x
l
sh
l
x
sh
x
l
sh
l
A
x
w
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
cos
cos
sin
sin
)
(sin
)
(
(14.8)
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
D
RGANIA PRĘTÓW PRYZMATYCZNYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
3
Liczba miejsc zerowych funkcji w
k
(x) równa jest k-1
2. Belka utwierdzona z podpartym wolnym końcem.
Po podstawieniu warunków brzegowych do wyrażenia (14.2) otrzymamy
wyznacznik:
0
=
−
l
tgh
l
tg
α
α
(14.9)
Rozwiązania powyższego równania wynoszą:
µ
ϖ
α
µ
ω
α
EI
l
l
EI
l
l
2
2
2
2
1
1
97
,
49
069
,
7
42
,
15
927
,
3
=
→
=
=
→
=
(14.10)
Ogólnie można zapisać:
3
4
1
4
≥
+
≈
k
k
l
k
π
α
(14.11)
Funkcja ugięcia dla k-tej postaci:
−
=
l
sh
x
sh
l
x
l
A
x
w
k
k
k
k
k
k
k
α
α
α
α
α
sin
sin
sin
)
(
(14.12)
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
D
RGANIA PRĘTÓW PRYZMATYCZNYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
4
3. Belka jednostronnie utwierdzona
Równanie charakterystyczne ma postać:
0
1
cos
=
+
⋅
l
ch
l
α
α
(14.13)
Rozwiązania równania (14.11):
µ
ω
α
µ
ω
α
EI
l
l
EI
l
l
2
2
2
2
1
1
03
,
22
6941
,
4
52
,
3
875
,
1
=
→
=
=
→
=
(14.14)
Zapis uogólniony:
2
2
1
2
≥
−
≈
k
k
l
k
π
α
(14.15)
Funkcja ugięcia dla k-tej postaci:
+
−
−
+
−
+
=
l
ch
l
x
ch
x
l
sh
l
x
sh
x
l
sh
l
A
x
w
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
cos
cos
sin
sin
)
(sin
)
(
(14.16
)
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
D
RGANIA PRĘTÓW PRYZMATYCZNYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
5
Zadanie
Znaleźć częstości kołowe drgań własnych dla układu przedstawionego poniżej.
Funkcja lini ugięcia ma postać:
x
Dch
x
Csh
x
B
x
A
x
w
α
α
α
α
+
+
+
=
cos
sin
)
(
Różniczkujemy powyższą funkcję (dx)
x
sh
D
x
ch
C
x
B
x
A
x
w
α
α
α
α
α
α
α
α
+
+
−
=
sin
cos
)
(
'
x
ch
D
x
sh
C
x
B
x
A
x
w
α
α
α
α
α
α
α
α
2
2
2
2
cos
sin
)
(
''
+
+
−
−
=
x
sh
D
x
ch
C
x
B
x
A
x
w
α
α
α
α
α
α
α
α
3
3
3
3
sin
cos
)
(
''
'
+
+
+
−
=
Podstawiając warunki brzegowe otrzymujemy układ czterech równań jednorodnych:
+
+
+
−
=
+
+
−
=
+
=
+
=
l
sh
D
l
ch
C
l
B
l
A
l
sh
D
l
ch
C
l
B
l
A
C
A
D
B
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
3
3
3
3
sin
cos
0
sin
cos
0
0
0
Wstawiając dwa pierwsze równania do dwóch kolejnych, otrzymujemy układ dwóch
równań:
−
+
+
=
+
+
−
=
)
sin
(
)
cos
(
0
)
sin
(
)
cos
(
0
3
3
3
3
l
l
sh
D
l
ch
l
C
l
sh
l
D
l
l
ch
C
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
Układ równań posiada rozwiązanie nietrywialne gdy wyznacznik równy jest zeru.
0
)
sin
(
)
(cos
)
(sin
)
cos
(
3
3
=
−
+
+
−
l
l
sh
l
ch
l
l
sh
l
l
l
ch
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
Otrzymujemy równanie charakterystyczne:
0
cos
sin
=
⋅
+
⋅
l
sh
l
l
l
ch
α
α
α
α
Przeszukujemy powyższe równanie wstawiając wartości od 0, w celu otrzymania
rozwiązania.
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
D
RGANIA PRĘTÓW PRYZMATYCZNYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
6
µ
ω
α
µ
ω
α
µ
ω
α
EI
l
l
EI
l
l
EI
l
l
2
3
3
2
2
2
2
1
1
639
,
74
63938
,
8
226
,
30
4978
,
5
593
,
5
365
,
2
=
→
=
=
→
=
=
→
=
Równanie posiada nieskończoną liczbę rozwiązań, powtarzających się okresowo.
Warunek ortogonalności.
Równanie w przestrzeni
0
)
(
)
(
2
4
4
=
−
x
w
EI
dx
x
x
d
ϖ
µ
(14.17)
Równanie to spełnione jest dla pewnej wartości ω
0
''
''
0
''
''
2
2
=
−
→
=
−
→
j
j
j
j
i
i
i
i
w
EIw
w
EIw
ω
µ
ω
ω
µ
ω
(14.18)
Zgodnie z teorią zginania belek prostych:
)
(
''
''
x
q
EIw
i
=
(14.19)
Po przekształceniu (14.18) otrzymujemy:
)
(
''
''
)
(
''
''
2
2
x
q
w
EIw
x
q
w
EIw
j
j
j
j
i
i
i
i
=
=
=
=
ω
µ
ω
µ
(14.20)
Otrzymujemy dwa stany a)(i-ty) oraz b)(j-ty):
Z twierdzenia Bettiego:
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
D
RGANIA PRĘTÓW PRYZMATYCZNYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
7
Praca obciążenia q
i
na przemieszczeniach w
j
, równa jest pracy obciążenia
q
j
na przemieszczeniach w
i
.
∫
∫
=
l
l
i
j
j
i
dx
x
w
x
q
dx
x
w
x
q
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
(14.21)
Przekształcając powyższe wyrażenie i podstawiając wzory (14.20)
otrzymujemy:
[
]
∫
∫
=
−
=
−
l
j
i
j
i
l
i
j
j
j
i
i
x
w
x
w
dx
x
w
x
w
x
w
x
w
0
2
2
0
2
2
0
)
(
)
(
)
(
0
)
(
)
(
)
(
)
(
µ
ω
ω
ω
µ
ω
µ
(14.22)
Jeżeli i=j to równanie jest spełnione, natomiast gdy i≠j (ω
i
2
≠ω
j
2
) to
otrzymujemy warunek z przyrównania całki w wyrażeniu (1.22) do zera:
∫
=
l
j
i
dx
x
w
x
w
0
0
)
(
)
(
µ
(14.23)
Jest to warunek ortogonalności.
Wzory transformacyjne belek o ciągłym rozkładzie masy.
Rozpatrujemy belkę na którą działa obciążenie związane z cechami
materiału.
Jaką postać przyjmą drgania belki, jeśli wymusimy obroty podpór „i”, „j”
oraz przesunięcia tych podpór?
i
V
k
V
i
ϕ
k
ϕ
i
k
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
D
RGANIA PRĘTÓW PRYZMATYCZNYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
8
W każdej chwili czasu ugięcie w punkcie i równe jest V
i
. Zapisać
możemy następujące warunki brzegowe:
k
k
i
i
l
w
V
l
w
w
V
w
ϕ
ϕ
ϕ
=
=
=
=
=
)
(
'
)
(
)
0
(
)
0
(
'
)
0
(
(14.24)
Momenty oraz siły tnące w belce wynoszą:
=
=
=
=
=
=
ki
ik
ki
ik
T
l
T
T
T
x
T
M
l
M
M
M
x
M
)
(
)
0
(
)
(
)
(
)
0
(
)
(
(14.25)
Wstawiając warunki brzegowe do równania:
x
Dch
x
Csh
x
B
x
A
x
w
α
α
α
α
+
+
+
=
cos
sin
)
(
(14.26)
wyznaczamy stałe. Różniczkując równanie (14.25) otrzymujemy kolejno:
)
sin
cos
(
)
(
)
(
''
)
cos
sin
(
)
(
)
(
''
sin
cos
)
(
'
3
3
3
3
2
2
2
2
x
sh
D
x
ch
C
x
B
x
A
EI
x
T
EI
x
w
x
ch
D
x
sh
C
x
B
x
A
EI
x
M
EI
x
w
x
sh
D
x
ch
C
x
B
x
A
x
w
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
ϕ
+
+
+
+
−
=
=
⋅
+
+
+
−
−
=
=
⋅
+
+
−
=
=
(14.27)
Po podstawieniu stałych do równania momentów otrzymujemy wzory
transformacyjne:
+
−
+
=
+
−
+
=
l
V
r
l
V
t
c
s
l
EI
M
l
V
t
l
V
r
s
c
l
EI
M
i
k
k
i
ki
i
k
k
i
ik
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
λ
λ
ϕ
λ
ϕ
λ
λ
λ
ϕ
λ
ϕ
λ
(14.28)
W
Y K Ł A D Y Z
M
E C H A N I K I
B
U D O W L I
D
RGANIA PRĘTÓW PRYZMATYCZNYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY
Politechnika Poznańska® Kopacz,
Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper
9
gdzie:
l
ch
z
z
sh
t
z
sh
r
z
sh
s
z
sh
ch
c
α
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
=
−
=
⋅
=
⋅
=
−
=
−
=
cos
1
sin
)
(
sin
)
(
sin
)
(
cos
sin
)
(
2
2
(14.29)