Metoda przemieszczeń dla ram płaskich złożonych z prętów pryzmatycznych

background image

ZAKŁAD STATYKI I BEZPIECZE

Ń

STWA BUDOWLI

INSTYTUT IN

Ż

YNIERII L

Ą

DOWEJ

POLITECHNIKA WROCŁAWSKA

kontakt :

sbi@i14odt.iil.pwr.wroc.pl

METODA PRZEMIESZCZE

Ń

DLA RAM PŁASKICH

ZŁO

Ż

ONYCH Z PR

Ę

TÓW PRYZMATYCZNYCH

NIEODKSZTAŁCALNYCH PODŁU

Ż

NIE (EA=

) I POSTACIOWO (GA=

)

SPIS TRE

Ś

CI

1. WZORY TRANSFORMACYJNE WEDŁUG TEORII RZ

Ę

DU I-GO

................................................ 2

2. TRANSFORMACJA PRZEMIESZCZE

Ń

GLOBALNYCH NA SIŁY BRZEGOWE

........................... 8

3. STOPIE

Ń

GEOMETRYCZNEJ NIEWYZNACZALNO

Ś

CI

................................................................ 10

4. UKŁAD PODSTAWOWY

....................................................................................................................... 11

5. RÓWNANIA KANONICZNE W TEORII RZ

Ę

DU I-GO

................................................................... 12

6. RZECZYWISTE SIŁY PRZEKROJOWE

............................................................................................ 14

background image

Metoda przemieszcze

ń

- teoria

- 2 z 14

1. WZORY TRANSFORMACYJNE WEDŁUG TEORII RZ

Ę

DU I-go

Wzorami

transformacyjnymi

nazywamy

zale

ż

no

ś

ci

mi

ę

dzy

siłami

brzegowymi a przemieszczeniami brzegowymi pr

ę

ta. Zanim przejdziemy do

wyprowadzenia tych zwi

ą

zków zauwa

ż

my,

ż

e ka

ż

dy stan odkształcenia pr

ę

ta

mo

ż

e by

ć

rozło

ż

ony na (rys. 1):

1. przesuni

ę

cie równoległe,

2. wydłu

ż

enie lub skrócenie pr

ę

ta,

3. odkształcenia wynikaj

ą

ce ze zmiany odległo

ś

ci ko

ń

ców pr

ę

ta w kierunku

prostopadłym do jego osi (

ij

), obrotów w

ę

złów (

ϕ

ij

,

ϕ

ji

) i działania obci

ąż

enia.

Rysunek 1

Ka

ż

dy z tych trzech stanów mo

ż

e by

ć

rozpatrywany oddzielnie. Przesuni

ę

cie

równoległe nie powoduje odkształce

ń

a wi

ę

c nie wywołuje tak

ż

e sił. Wydłu

ż

enie

lub skrócenie (

L

ij

) pr

ę

ta zwi

ą

zane jest tylko z siłami osiowymi. W przypadku

stałej siły osiowej zwi

ą

zek ten ma posta

ć

:

N

N

EA

L

L

ij

ji

ij

ij

ij

=

=

⋅ ∆

(1.1)

gdzie :

E - moduł spr

ęż

ysto

ś

ci podłu

ż

nej materiału,

A

ij

- pole poprzecznego przekroju pr

ę

ta

Pozostaje zatem do rozpatrzenia stan odkształce

ń

przedstawiony na rys. 1

Przyjmuje si

ę

tu statyczn

ą

umow

ę

znakowania sił brzegowych (dodatnie s

ą

momenty prawoskr

ę

tne i siły tn

ą

ce daj

ą

ce momenty prawoskr

ę

tne) oraz

analogiczn

ą

umow

ę

znakowania przemieszcze

ń

(dodatnie s

ą

k

ą

ty obrotu

prawoskr

ę

tne i wzajemne poprzeczne przesuni

ę

cia ko

ń

ców pr

ę

tów (

ij

ij

ij

L

=

ψ

)

odpowiadaj

ą

ce dodatnim obrotom ci

ę

ciw pr

ę

tów

ψ

ij

).

background image

Metoda przemieszcze

ń

- teoria

- 3 z 14

Jak wida

ć

na rys. 1 moment zginaj

ą

cy (umowa znakowania wytrzymało

ś

ciowa) w

przekroju pr

ę

ta o współrz

ę

dnej "x" okre

ś

lony jest zale

ż

no

ś

ci

ą

:

M(x) = M

ij

+ T

ij

L

ij

- N

ij

y(x) + M(q,x)

(1.2)

gdzie : M(q,x) - moment zginaj

ą

cy od obci

ąż

enia zewn

ę

trznego.

Powy

ż

szy zwi

ą

zek uwzgl

ę

dnia, ujawniaj

ą

cy si

ę

w wyniku odkształce

ń

, wpływ stałej

na całej długo

ś

ci pr

ę

ta, siły osiowej (N

ij

= N

ji

) na momenty zginaj

ą

ce i siły tn

ą

ce co

nazywane jest teori

ą

rz

ę

du 2-go.

Po podstawieniu zale

ż

no

ś

ci (1.2) do znanego równania ró

ż

niczkowego osi

odkształconej pr

ę

ta o stałej sztywno

ś

ci (EJ

ij

)

d y

dx

M x

EJ

ij

2

2

0

+

=

( )

(1.3)

i dwukrotnym zró

ż

niczkowaniu równania wzgl

ę

dem "x" otrzymuje si

ę

równania

ż

niczkowe osi odkształconej pr

ę

ta według teorii rz

ę

du 2-go:

-

dla pr

ę

ta

ś

ciskanego (N

ij

= -

÷

N

ij

÷

)

d y

dx

L

d y

dx

q

EJ

ij

ij

ij

4

4

2

2

2

2

+

=

λ

(1.4)

-

dla pr

ę

ta rozci

ą

ganego (N

ij

=

÷

N

ij

÷

)

d y

dx

L

d y

dx

q

EJ

ij

ij

ij

4

4

2

2

2

2

=

λ

(1.5)

gdzie :

λ

ij

ij

ij

ij

N

L

EJ

2

2

=

sk

ą

d dla pr

ę

tów

ś

ciskanych

λ

λ

ij

ij

ij

ij

ij

N

L

EJ

2

2

2

= − =

Pomijaj

ą

c wpływ siły osiowej (teoria rz

ę

du I-go) równania (1.4) i (1.5) przyjmuj

ą

posta

ć

d y

dx

q

EJ

ij

4

4

=

(1.6)

Rozwi

ą

zanie równania (1.4) ma posta

ć

:

y x

C

C

x

C

x

L

C

x

L

C

( )

cos

sin

=

+

⋅ ⋅ +

æ
è

ç

ö
ø

÷

+

æ
è

ç

ö
ø

÷

+

1

2

3

4

5

λ

λ

λ

(1.7)

a równania (1.5) posta

ć

:

y x

C

C

x

C

ch

x

L

C

sh

x

L

C

s

( )

=

+

⋅ ⋅ +

æ
è

ç

ö
ø

÷

+

æ
è

ç

ö
ø

÷

+

1

2

3

4

λ

λ

λ

(1.8)

gdzie C

1

, C

2

, C

3

, C

4

s

ą

stałymi całkowania (funkcjami parametru

λ

(wzgl

ę

dnie

λ

)

wyznaczanymi na podstawie warunków brzegowych pr

ę

ta a C

5

s

ą

rozwi

ą

zaniami

szczególnymi równa

ń

ż

niczkowych (1.4) i (1.5).

background image

Metoda przemieszcze

ń

- teoria

- 4 z 14

Rozwi

ą

zania równa

ń

(1.4) i (1.5) oraz wszystkie wynikaj

ą

ce z tych rozwi

ą

za

ń

zwi

ą

zki s

ą

wzajemnie zwi

ą

zane zale

ż

no

ś

ci

ą

(1.6) z której wynikaj

ą

zwi

ą

zki :

sh

i

i

ij

ij

(

)

sin(

),

λ

λ

⋅ = ⋅

ch

i

ij

ij

(

)

cos(

),

λ

λ

⋅ =

sin(

)

(

),

λ

λ

ij

ij

i

i sh

⋅ = ⋅

cos(

)

(

),

λ

λ

ij

ij

i

ch

⋅ =

(1.9)

Uwzgl

ę

dniaj

ą

c zwi

ą

zki

M

EJ

d y

dx

ij

ij

x

= −

=

2

2

0

,

T

EJ

d y

dx

L

dy
dx

ij

ij

ij

ij

x

= −

+

é
ë

ê

ù
û

ú

=

3

3

2

2

0

λ

M

EJ

d y

dx

ji

ji

x L

ij

= −

=

2

2

,

T

EJ

d y

dx

L

dy
dx

ji

ij

ij

ij

x L

ij

= −

+

é
ë

ê

ù
û

ú

=

3

3

2

2

λ

(1.10)

wzory transformacyjne dla dowolnego pr

ę

ta prostego mo

ż

na przedstawi

ć

w

postaci :

(

)

M

EJ

L

a

b

c

M

ij

ij

ij

ij

ij

ij

ji

ij

ij

ij

o

=

+

− ⋅

+

ϕ

ϕ

ψ

(

)

M

EJ

L

a

b

c

M

ji

ij

ij

ji

ji

ji

ij

ji

ij

ji

o

=

+

+

ϕ

ϕ

ψ

(1.11)

(

)

T

EJ

L

c

c

d

T

ij

ij

ij

ij

ij

ij

ji

ij

ij

ij

o

=

⋅ − ⋅

− ⋅

+

+

2

ϕ

ϕ

ψ

(

)

T

EJ

L

c

c

d

T

ji

ij

ij

ij

ij

ij

ji

ij

ij

ji

o

=

⋅ − ⋅

− ⋅

+

+

2

ϕ

ϕ

ψ

gdzie a

ij

, a

ji

, b

ij

= b

ji

, c

ij

= a

ij

+ b

ji

, c

ji

= a

ji

+ b

ij

, d

ij

= d

ji

= c

ij

+ c

ji

-

λ

ij

2

(lub

λ

ij

2

) s

ą

funkcjami parametrów

λ

ij

lub

λ

ij

zale

ż

nymi od typu pr

ę

ta. Oznaczenia tych

funkcji dla wybranych typów pr

ę

tów o stałej sztywno

ś

ci zestawiono w tabeli

Tabela 1

i

j

a

ij

a

ji

b

ij

= b

ji

c

ij

c

ji

d

ij

= d

ji

4

4

2

6

6

12

3

0

0

3

0

3

1

1

-1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

background image

Metoda przemieszcze

ń

- teoria

- 5 z 14

Składniki wzorów typu

M

ij

o

i

T

ij

o

s

ą

brzegowymi momentami i siłami tn

ą

cymi

w stanie zerowych przemieszcze

ń

brzegowych (

ϕ

ij

=

ϕ

ji

=

ψ

ij

= 0) i mog

ą

by

ć

wyznaczane np. z wykorzystaniem metody sił. Dla typowych obci

ąż

e

ń

warto

ś

ci te

mo

ż

na zestawiono dla ró

ż

nych typów pr

ę

tów w tabelach poni

ż

ej.

Tabela 2

M

i

PR

Ę

T SZTYWNO-SZTYWNY

M

j

12

2

qL

EJ, L

M

i

M

j

q

12

2

qL

8

PL

EJ, L

M

i

M

j

L/2

L/2

P

8

PL

2

2

L

Pab

EJ, L

M

i

M

j

a

b

P

2

2

L

b

Pa

)

3

2

(

L

b

L

Mb

EJ, L

M

i

M

j

a

b

M

)

3

2

(

L

a

L

Ma

Tabela 3

M

i

PR

Ę

T SZTYWNO-PRZEGUBOWY

M

j

8

2

qL

EJ, L

M

i

M

j

q

0

16

3PL

EJ, L

i

j

M

i

M

j

P

L/2

L/2

0

background image

Metoda przemieszcze

ń

- teoria

- 6 z 14

)

(

2

2

b

L

L

Pab

+

EJ, L

i

j

M

i

M

j

a

b

P

0

ú

ú

û

ù

ê

ê

ë

é

÷

ø

ö

ç

è

æ

2

3

1

2

L

b

M

EJ, L

i

j

M

i

M

j

a

b

M

0

Tabela 4

M

i

PR

Ę

T SZTYWNY-ŁY

Ż

WA

M

j

3

2

qL

EJ, L

M

i

M

j

q

6

2

qL

8

3PL

EJ, L

i

j

M

i

M

j

P

L/2

L/2

8

PL

2

PL

EJ, L

i

j

M

i

M

j

P

2

PL

÷

ø

ö

ç

è

æ

L

a

Pa

2

2

EJ, L

i

j

M

i

M

j

a

b

P

L

Pa

2

2

L

Mb

EJ, L

i

j

M

i

M

j

a

b

M

L

Ma

background image

Metoda przemieszcze

ń

- teoria

- 7 z 14

Ogólna posta

ć

wzorów transformacyjnych (1.11) jest prawdziwa dla pr

ę

tów

prostych zarówno o stałej sztywno

ś

ci jak i o zmiennej sztywno

ś

ci. Warto

ś

ci

parametrów dla pr

ę

tów o zmiennej sztywno

ś

ci a tak

ż

e dla innych typów pr

ę

tów

mo

ż

na znale

źć

w literaturze. Warto

ś

ci tych współczynników mo

ż

na stosunkowo

łatwo wyznacza

ć

wykorzystuj

ą

c ich interpretacj

ę

i metod

ę

sił. Na przykład je

ś

li

przyj

ąć

ϕ

ji

=

ψ

ij

=

M

ij

o

=0,

ϕ

ij

= 1 (rys.1) to z wyra

ż

enia okre

ś

laj

ą

cego M

ij

(1.11)

wynika,

ż

e :

a

L

EJ

M

ij

ij

ij

ij

=

co oznacza,

ż

e współczynnik a

ij

jest równy momentowi M

ij

pomno

ż

onemu przez

L

EJ

ij

ij

a wywołanemu obrotem ko

ń

ca "i" pr

ę

ta o k

ą

t o warto

ś

ci "1".

Tabela 5

ij

i

a

L

EJ

M

=

JEDNOSTKOWE STANY ROTACYJNE

ij

j

b

L

EJ

M

=

L

EJ

4

f

i

= 1

EJ, L

i

j

M

i

M

j

L

EJ

2

L

EJ

3

M

i

M

j

EJ, L

i

j

f

i

= 1

0

L

EJ

f

i

= 1

EJ, L

i

j

M

i

M

j

L

EJ

Analogiczn

ą

interpretacj

ę

maj

ą

wszystkie współczynniki.

background image

Metoda przemieszcze

ń

- teoria

- 8 z 14

Tabela 6

ij

i

c

L

EJ

M

=

JEDNOSTKOWE STANY TRANSLACYJNE

ψ

ij

=1

ji

j

c

L

EJ

M

=

L

EJ

6

EJ, L

i

j

M

i

M

j

L

EJ

6

L

EJ

3

M

i

M

j

EJ, L

i

j

0

Przedstawione w tym punkcie zwi

ą

zki, z wyj

ą

tkiem zwi

ą

zku (1.1) s

ą

prawdziwe

zarówno dla pr

ę

tów nieodkształcalnych jak i odkształcalnych podłu

ż

nie.

2. TRANSFORMACJA PRZEMIESZCZE

Ń

GLOBALNYCH NA SIŁY BRZEGOWE

W wyniku działania obci

ąż

e

ń

na konstrukcj

ę

ulega ona odkształceniom.

Przemieszczenia ko

ń

ców

pr

ę

tów równe s

ą

przemieszczeniom odpowiednich

w

ę

złów.

Ka

ż

dy w

ę

zeł układu płaskiego ma 3 stopnie swobody (1 obrót i 2 składowe

przesuni

ę

cia

w

ę

zła),

których

liczba

mo

ż

e

by

ć

zmniejszona

przez

wi

ę

zi

podporowe. Układ pr

ę

tów poł

ą

czonych mi

ę

dzy sob

ą

i z fundamentem w w

ę

złach

ma zatem (2

w - r) stopni swobody przesuwu (w - liczba w

ę

złów, r - liczba

translacyjnych wi

ę

zi podporowych). Zarówno k

ą

ty obrotu jak i składowe

przesuni

ęć

ko

ń

ców pr

ę

tów wyra

ż

aj

ą

si

ę

bezpo

ś

rednio przez odpowiednie k

ą

ty

obrotu w

ę

złów :

ϕ

ij

=

ϕ

i

,

ϕ

ji

=

ϕ

j

.

(

2.1)

i składowe przesuni

ęć

w

ę

złów.

Je

ś

li przyj

ąć

,

ż

e pr

ę

ty s

ą

nieodkształcalne podłu

ż

nie (EA =

) to liczba stopni

swobody przesuwu układu zmniejsza si

ę

o liczb

ę

pr

ę

tów. Uwzgl

ę

dniaj

ą

c,

ż

e

niektóre pr

ę

ty mog

ą

odbiera

ć

te same stopnie swobody, liczb

ę

stopni swobody

przesuwu układu mo

ż

na oszacowa

ć

na podstawie zale

ż

no

ś

ci :

n

w

p

r

δ

≥ ⋅ − −

2

(2.2)

gdzie :

w - liczba w

ę

złów,

p - liczba pr

ę

tów nieodkształcalnych podłu

ż

nie,

r - liczba pojedynczych, translacyjnych wi

ę

zi podporowych.

Niezb

ę

dna jest w tym przypadku transformacja przesuni

ęć

niezale

ż

nych na

przesuni

ę

cia w

ę

złów a wła

ś

ciwie na k

ą

ty obrotu ci

ę

ciw pr

ę

tów. Zale

ż

no

ść

mi

ę

dzy

background image

Metoda przemieszcze

ń

- teoria

- 9 z 14

niezale

ż

nymi składowymi przesuni

ęć

w

ę

złów układu (

δ

β

) a k

ą

tami obrotu ci

ę

ciw

pr

ę

tów (

ψ

ij

) ma posta

ć

:

ψ

ψ δ

β

β

β

ij

ij

=

å

(2.3)

gdzie :

ψ

β

ij

s

ą

k

ą

tami obrotu ci

ę

ciw pr

ę

tów wywołanymi przesuni

ę

ciami

δ

β

=

1

.

Podstawiaj

ą

c do wzorów (1.10) zwi

ą

zki (2.1) i (2.3)

otrzymujemy wzory

transformuj

ą

ce przemieszczenia w bazie globalnej na siły brzegowe

M

EJ

L

a

b

c

M

ij

ij

ij

ij

i

ij

j

ji

ij

ij

o

=

⋅ + ⋅ −

æ
è

ç

ö
ø

÷

+

å

ϕ

ϕ

ψ δ

β

β

β

M

EJ

L

a

b

c

M

ji

ij

ij

ji

j

ji

i

ji

ij

ji

o

=

⋅ +

⋅ −

æ

è

ç

ö

ø

÷

+

å

ϕ

ϕ

ψ δ

β

β

β

(2.4)

T

EJ

L

c

c

d

T

ij

ij

ij

ij

i

ji

j

ij

ij

ij

o

=

⋅ − ⋅ −

⋅ +

æ
è

ç

ö
ø

÷

+

å

2

ϕ

ϕ

ψ δ

β

β

β

T

EJ

L

c

c

d

T

ji

ij

ij

ij

i

ji

j

ij

ij

ji

o

=

⋅ − ⋅ −

⋅ +

æ
è

ç

ö
ø

÷

+

å

2

ϕ

ϕ

ψ δ

β

β

β

Po wprowadzeniu oznacze

ń

:

M

a

EJ

L

M

a

EJ

L

M

M

b

EJ

L

M

c

EJ

L

M

c

EJ

L

ij

i

ij

ij

ij

ji

j

ji

ij

ij

ji

i

ij

j

ij

ij

ij

ij

ij

ij

ij

ij

ji

ji

ij

ij

ij

=

=

=

=

= − ⋅

= − ⋅

,

,

,

,

β

β

β

β

ψ

ψ

(2.5)

T

T

c

EJ

L

c

EJ

L

T

T

d

EJ

L

ij

i

ji

i

ij

ij

ij

ij

j

ji

j

ji

ij

ij

ij

ji

ij

ij

ij

ij

=

= − ⋅

=

= − ⋅

=

=

,

T

T

β

β

β

ψ

wzory (2.4) mog

ą

by

ć

przedstawione w postaci

M

M

M

M

M

ij

ij

i

i

ij

j

j

ij

ij

o

=

⋅ +

⋅ +

⋅ +

å

ϕ

ϕ

δ

β

β

β

M

M

M

M

M

ji

ji

j

j

ji

i

i

ji

ji

o

=

⋅ +

⋅ +

⋅ +

å

ϕ

ϕ

δ

β

β

β

(2.6)

T

T

T

T

T

ij

ij

i

i

ij

j

j

ij

ij

o

=

⋅ +

⋅ +

⋅ +

å

ϕ

ϕ

δ

β

β

β

T

T

T

T

T

ji

ji

i

i

ji

j

j

ji

ji

o

=

⋅ +

⋅ +

⋅ +

å

ϕ

ϕ

δ

β

β

β

S

ą

to wzory transformuj

ą

ce przemieszczenia w bazie globalnej na siły

brzegowe pr

ę

ta.

background image

Metoda przemieszcze

ń

- teoria

- 10 z 14

3. STOPIE

Ń

GEOMETRYCZNEJ NIEWYZNACZALNO

Ś

CI

Stopniem geometrycznej niewyznaczalno

ś

ci układu (n

g

) nazywamy liczb

ę

niezale

ż

nych składowych przemieszcze

ń

- obrotów (n

ϕϕϕϕ

) i składowych

przesuni

ęć

(n

δδδδ

) - które w pełni okre

ś

laj

ą

przemieszczenia brzegowe pr

ę

tów

wyst

ę

puj

ą

ce we wzorach transformacyjnych pr

ę

tów, na które układ mo

ż

e

by

ć

rozło

ż

ony

n

g

= n

ϕ

+ n

δ

.

(3.1)

Liczba obrotów w

ę

złów (n

ϕ

) równa jest liczbie w

ę

złów sztywnych, którym podpory

nie odbieraj

ą

mo

ż

liwo

ś

ci obrotu. W celu wyznaczenia (n

ϕ

) nale

ż

y podzieli

ć

układ

na pr

ę

ty dla których dane s

ą

wzory transformacyjne; mo

ż

na poszczególnym

elementom (w szczególno

ś

ci gdy brak odpowiednich do rozpatrywanego układu

pr

ę

tów, dla których dane s

ą

wzory transformacyjne) przyporz

ą

dkowywa

ć

pr

ę

ty o

mniejszej liczbie składowych przemieszcze

ń

swobodnych (np. pr

ę

t sztywno-

sztywny mo

ż

na przyporz

ą

dkowa

ć

ka

ż

demu pr

ę

towi układu). Liczba w

ę

złów

sztywnych ł

ą

cz

ą

cych te elementy, nie podpartych ze wzgl

ę

du na obrót równa jest

(n

ϕ

).

Liczba

niezale

ż

nych

składowych

przesuni

ęć

w

ę

złów

(n

δ

),

mo

ż

e

by

ć

wyznaczona na podstawie analizy kinematycznej odpowiedniego modelu układu.
Aby utworzy

ć

z układu danego model umo

ż

liwiaj

ą

cy okre

ś

lenie liczby stopni

swobody przesuwu nale

ż

y :

1. usun

ąć

wi

ę

zi spr

ęż

yste,

2. zast

ą

pi

ć

wszystkie w

ę

zły w

ę

złami przegubowymi,

3.

odebra

ć

po jednym stopniu swobody przesuwu pr

ę

tom, dla których we

wzorach transformacyjnych

a

ij

0 lub a

ji

0 i c

ij

= c

ji

=0 i d

ij

= d

ji

=0

(pr

ę

t wspornikowy i pr

ę

t sztywno-ły

ż

wa - dla pr

ę

tów tych ich stopnie swobody

przesuwu poprzecznego uwzgl

ę

dnione zostały we współczynnikach a

ij

, a

ji

, b

ij

=

b

ji

i k

ą

t obrotu ci

ę

ciwy pr

ę

ta nie wyst

ę

puje we wzorach transformacyjnych).

Liczba składowych (n

δ

) mo

ż

e by

ć

oszacowana z wykorzystaniem zale

ż

no

ś

ci :

n

δ

2

w - p - r

(3.2)

gdzie

w - liczba w

ę

złów modelu,

p - liczba pr

ę

tów modelu,

r - liczba wi

ę

zi

podporowych modelu (liczba składowych reakcji).
Dla modelu przedstawionego na rys. 2 poni

ż

ej :

w = 14, p = 13, r =12

a wi

ę

c

n

δ

2

14 -13 - 12 = 3.

Rzeczywist

ą

warto

ść

(n

δ

) mo

ż

na okre

ś

li

ć

tyko w wyniku analizy kinematycznej

układu. Analiza taka mo

ż

e polega

ć

na poszukiwaniu najmniejszej liczby wi

ę

zi

niezb

ę

dnych do przekształcenia modelu kinematycznego w układ geometrycznie

niezmienny, przy czym liczba ta nie mo

ż

e by

ć

mniejsza ni

ż

okre

ś

lona na

podstawie zwi

ą

zku (3.2).

background image

Metoda przemieszcze

ń

- teoria

- 11 z 14

W rozpatrywanym przykładzie niezb

ę

dne jest dodanie co najmniej 3 wi

ę

zi. Je

ś

li

doda

ć

3 wi

ę

zi to model staje si

ę

układem geometrycznie niezmiennym. zatem w

rozpatrywanym przykładzie n

δ

= 3.

2EJ

EJ

Rysunek 2 . Układ dany

4. UKŁAD PODSTAWOWY

Układ podstawowy w metodzie przemieszcze

ń

tworzony jest przez odebranie

stopni swobody w

ę

złom układu danego, okre

ś

lonych w trakcie wyznaczania

stopnia geometrycznej niewyznaczalno

ś

ci jako niezale

ż

ne. Nale

ż

y zatem nało

ż

y

ć

wi

ę

zi odbieraj

ą

ce mo

ż

liwo

ś

ci obrotu w

ę

złów sztywnych w liczbie n

ϕ

i wi

ę

zi

odbierajace stopnie swobody przesuwu w liczbie n

δ

. Na przykład układem

podstawowym układu przedstawionego na rys. 2 jest układ przedstawiony na
rys. 3.

1

2

3

4

III

I

II

Rysunek 3 Układ podstawowy

background image

Metoda przemieszcze

ń

- teoria

- 12 z 14

5. RÓWNANIA KANONICZNE W TEORII RZ

Ę

DU I-go

Aby rozwi

ą

zanie układu podstawowego i danego były identyczne, siły w dodanych

wi

ę

ziach musz

ą

by

ć

równe zero co daje n

ϕ

warunków typu :

M

i

= 0,

dla i = 1, 2, ..., n

ϕ

,

i n

δ

warunków typu :

R

α

= 0,

dla

α

= I, II, ..., n

δ

.

(5.1)

Pełny układ równa

ń

kanonicznych mo

ż

e by

ć

zapisany w postaci

k

ij

j

j

å

ϕ

+

k

i

β

β

β

δ

å

+ k

io

= 0,

dla i = 1, 2, ..., n

ϕ

k

j

j

j

α

ϕ

å

+

k

αβ

β

β

δ

å

+ k

α

o

= 0,

dla

α

= 1, 2, ..., n

δ

(5.2)

gdzie

k

ij

j

⋅ϕ

,

k

i

β

β

δ

s

ą

momentami w rotacyjnej wi

ę

zi "i" wywołanymi odpowiednio:

obrotem rotacyjnej wi

ę

zi "j" o k

ą

t

⋅ϕ

j

,

przesuni

ę

ciem w miejscu i kierunku translacyjnej wi

ę

zi "

β

" o

δ

β

,

k

ij

,

k

i

β

, k

io

s

ą

momentami w rotacyjnej wi

ę

zi "i" wywołanymi: odpowiednio:

obrotem rotacyjnej wi

ę

zi "j" o k

ą

t

ϕ

j

= 1,

przesuni

ę

ciem w miejscu i kierunku translacyjnej wi

ę

zi "

β

" o

δ

β

= 1 obci

ąż

eniem zewn

ę

trznym.

k

j

j

α

ϕ

,

k

αβ

β

δ

s

ą

siłami w translacyjnej wi

ę

zi "

α

" wywołanymi odpowiednio:

obrotem rotacyjnej wi

ę

zi "j" o k

ą

t

⋅ϕ

j

,

przesuni

ę

ciem w miejscu i kierunku translacyjnej wi

ę

zi "

β

" o

δ

β

,

k

j

α

,

k

αβ

, k

α

o

s

ą

siłami w translacyjnej wi

ę

zi "

α

" wywołanymi: odpowiednio:

obrotem rotacyjnej wi

ę

zi "j" o k

ą

t

ϕ

j

= 1,

przesuni

ę

ciem w miejscu i kierunku translacyjnej wi

ę

zi "

β

" o

δ

β

= 1, obci

ąż

eniem zewn

ę

trznym.

Z powy

ż

szego wynika,

ż

e współczynniki "k" mog

ą

by

ć

podzielone na 6 grup :

- momenty w dodanych wi

ę

ziach rotacyjnych wywołane:

1. obrotami (K

ϕϕ

=[

k

ij

]),

2. przesuni

ę

ciami (K

ϕδ

=[

k

i

β

]),

3. obci

ąż

eniem zewn

ę

trznym (K

ϕ

o

= k

io

)

background image

Metoda przemieszcze

ń

- teoria

- 13 z 14

- reakcje w dodanych wi

ę

ziach translacyjnych wywołane:

4. obrotami (K

δϕ

=[

k

j

α

])

5. przesuni

ę

ciami (K

δδ

=[

k

αβ

]),

6. obci

ąż

eniem zewn

ę

trznym (K

δ

o

=[k

α

o

]).

W zapisie macierzowym układ równa

ń

mo

ż

e by

ć

przedstawiony w postaciach

0

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

0

10

1

1

1

1

1

1

1

11

=

+

=

ú

û

ù

ê

ë

é

+

ú

û

ù

ê

ë

é

Φ

ú

û

ù

ê

ë

é

=

=

ú

ú

ú

ú

ú

ú

ú

ú

û

ù

ê

ê

ê

ê

ê

ê

ê

ê

ë

é

+

ú

ú

ú

ú

ú

ú

ú

ú

û

ù

ê

ê

ê

ê

ê

ê

ê

ê

ë

é

ú

ú

ú

ú

ú

ú

ú

ú

û

ù

ê

ê

ê

ê

ê

ê

ê

ê

ë

é

Ko

z

K

K

K

K

K

K

K

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

o

o

o

n

I

o

n

n

I

n

n

n

I

n

n

n

n

In

II

In

I

n

n

I

n

n

n

n

n

I

n

r

M

M

M

M

L

L

M

M

M

M

M

M

L

L

L

L

M

M

M

M

M

M

L

L

δ

ϕ

δδ

δϕ

ϕδ

ϕϕ

ϕ

δ

ϕ

δ

ϕ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

ϕ

δ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

δ

ϕ

δ

δ

ϕ

ϕ

(5.3)

Wzory okre

ś

laj

ą

ce współczynniki "k" zestawiono poni

ż

ej

1. Reakcje (momenty) w dodanych wi

ę

ziach rotacyjnych wywołane

jednostkowymi obrotami dodanych wi

ę

zi rotacyjnych

K

ϕϕ

;

k

M

k

a

EJ

L

k

ii

ij

i

i

j

ij

ij

ij

i

j

=

+

=

+

å

å

ϕ

ϕ

,

k

M

b

EJ

L

ij

ij

j

ij

ij

ij

=

=

,

j

i,

2. Reakcje (momenty) w dodanych wi

ę

ziach rotacyjnych wywołane

jednostkowymi przesuni

ę

ciami w miejscach i kierunkach dodanych wi

ę

zi

translacyjnych

K

ϕδ

;

k

M

c

EJ

L

i

ij

j

ij

ij

ij

ij

j

β

β

β

ψ

=

= −

å

å

,

3. Reakcje (momenty) w dodanych wi

ę

ziach rotacyjnych wywołane obci

ąż

eniem

danym

K

ϕ

o

;

k

io

=

M

ij

o

j

å

-

M

i

o

4. Reakcje (siły) w dodanych wi

ę

ziach translacyjnych wywołane jednostkowymi

obrotami wi

ę

zi rotacyjnych

K

δϕ

;

k

M

M

T

c

EJ

L

j

ij

j

ij

j

i

ij

ij

j

i

ij

ji

j

ij

ij

i

ij

α

α

α

α

ψ

ψ

= −

+

=

= −

å

å

å

(

)

,

5. Reakcje (siły) w dodanych wi

ę

ziach translacyjnych wywołane przesuni

ę

ciami w

miejscach i kierunkach dodanych wi

ę

zi translacyjnych

K

δδ

;

k

M

M

k

L

L

ij

ij

ji

ij

i

i

i

s

αβ

β

β

α

δ

α

β

ψ

= −

+

+

=

å

å

(

)

=

+

=

+

å

å

å

å

T

k

L

L

d

EJ

L

k

L

L

ij

ij

ij

i

i

i

s

ij

ij

ij

ij

ij

ij

i

i

i

s

β

α

δ

α

β

α

β

δ

α

β

ψ ψ

,

background image

Metoda przemieszcze

ń

- teoria

- 14 z 14

6. Reakcje (siły) w dodanych wi

ę

ziach translacyjnych wywołane obci

ąż

eniem

danym

K

δ

o

;

k

M

M

P

M

o

ij

o

ij

ji

o

ij

p

p

p

m

o

m

m

α

α

α

α

ψ

δ

ψ

= −

+

å

å

å

(

)

Rozwi

ą

zanie układu równa

ń

stanowi

ą

k

ą

ty obrotu w

ę

złów i przesuni

ę

cia w

miejscach i kierunkach dodanych wi

ę

zi. Na ich podstawie okre

ś

lone

s

ą

bezpo

ś

rednio k

ą

ty obrotu ko

ń

ców pr

ę

tów, a wykorzystuj

ą

c zwi

ą

zek (2.3) mo

ż

na

wyznaczy

ć

rzeczywiste k

ą

ty obrotu ci

ę

ciw pr

ę

tów.

6. RZECZYWISTE SIŁY PRZEKROJOWE

Momenty brzegowe mog

ą

by

ć

okre

ś

lone :

1. Na podstawie zwi

ą

zków (2.4),

2. Na podstawie zwi

ą

zków (2.6) je

ś

li uprzednio wyznaczono momenty

M

M

ij

i

ij

,

β

na podstawie zwi

ą

zków (2.5),

3. Na podstawie zwi

ą

zków (1.10) po uprzednim wyznaczeniu rzeczywistych

k

ą

tów obrotu ci

ę

ciw pr

ę

tów na podstawie zwi

ą

zku (2.3),

Brzegowe siły tn

ą

ce mog

ą

by

ć

okre

ś

lone :

1. Na podstawie zwi

ą

zków (2.4),

2. Na podstawie zwi

ą

zków (2.6) je

ś

li uprzednio wyznaczono siły tn

ą

ce

T

ij

i

ij

, T

β

na podstawie zwi

ą

zków (2.5),

3. Na podstawie zwi

ą

zków (1.10) po uprzednim wyznaczeniu rzeczywistych

k

ą

tów obrotu ci

ę

ciw pr

ę

tów na podstawie zwi

ą

zku (2.3),

4. Na podstawie równa

ń

równowagi sił działaj

ą

cych na pr

ę

ty.

Brzegowe siły osiowe na ogół mog

ą

by

ć

okre

ś

lone :

1. na podstawie równa

ń

równowagi rzutów sił działaj

ą

cych na w

ę

zły z

wykorzystaniem równa

ń

równowagi rzutów na o

ś

pr

ę

ta sił działaj

ą

cych na

pr

ę

ty.

2. Je

ś

li z równa

ń

tych nie da si

ę

wyznaczy

ć

wszystkich sił osiowych to do ich

wyznaczenia niezb

ę

dne jest rozwi

ą

zanie z uwzgl

ę

dnieniem odkształcalno

ś

ci

podłu

ż

nej.

3. Je

ś

li zbudowa

ć

wszystkie równania równowagi dla pr

ę

tów i w

ę

złów to

pozwala to na wyznaczenie brzegowych sił tn

ą

cych na ogół brzegowych sił

osiowych i stanowi kontrol

ę

statycznej dopuszczalno

ś

ci rozwi

ą

zania.

4. Dla

pełnej

kontroli

rozwi

ą

zania

niezb

ę

dne

jest

sprawdzenie

jego

kinematycznej dopuszczalno

ś

ci w powi

ą

zaniu z siłami to jest sprawdzenie

warunków ci

ą

gło

ś

ci układu.

Po wyznaczeniu sił brzegowych sporz

ą

dza si

ę

wykresy sił przekrojowych

z wykorzystaniem równa

ń

równowagi i zasady superpozycji.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Stateczność ram płaskich złożonych z prętów pryzmatycznych
Metoda sil cz 3 Płaskie ustroje prętowe obciążone w płaszczyźnie
Obliczanie ram metodą przemieszczeń wersja komputerowa
rosiek, wentylacja i pożary, wyznaczanie rozpływu naturalnego w pasywnych sieciach wentylacyjnych me
belka obroty i przesuwy metoda przemieszczeń
Linie wpływu Metoda przemieszczeń mmp belka lw
EFT-Metoda Filmu, dla myślących, EFT
Metoda przemieszczeń
cwicz mechanika budowli metoda przemieszczen rama ugiecie
Metoda przemieszczen projekt4
19 (drgania pretow pryzmatycznych)
piec przemian dla dzieci
Analiza kinematyczna ram plaski Nieznany (2)
metoda przemieszczen0002
metoda bobath dla doroslych
metoda przemieszczen0001

więcej podobnych podstron