ZAKŁAD STATYKI I BEZPIECZE
Ń
STWA BUDOWLI
INSTYTUT IN
Ż
YNIERII L
Ą
DOWEJ
POLITECHNIKA WROCŁAWSKA
kontakt :
sbi@i14odt.iil.pwr.wroc.pl
METODA PRZEMIESZCZE
Ń
DLA RAM PŁASKICH
ZŁO
Ż
ONYCH Z PR
Ę
TÓW PRYZMATYCZNYCH
NIEODKSZTAŁCALNYCH PODŁU
Ż
NIE (EA=
∞
) I POSTACIOWO (GA=
∞
)
SPIS TRE
Ś
CI
1. WZORY TRANSFORMACYJNE WEDŁUG TEORII RZ
Ę
DU I-GO
................................................ 2
2. TRANSFORMACJA PRZEMIESZCZE
Ń
GLOBALNYCH NA SIŁY BRZEGOWE
........................... 8
3. STOPIE
Ń
GEOMETRYCZNEJ NIEWYZNACZALNO
Ś
CI
................................................................ 10
4. UKŁAD PODSTAWOWY
....................................................................................................................... 11
5. RÓWNANIA KANONICZNE W TEORII RZ
Ę
DU I-GO
................................................................... 12
6. RZECZYWISTE SIŁY PRZEKROJOWE
............................................................................................ 14
Metoda przemieszcze
ń
- teoria
- 2 z 14
1. WZORY TRANSFORMACYJNE WEDŁUG TEORII RZ
Ę
DU I-go
Wzorami
transformacyjnymi
nazywamy
zale
ż
no
ś
ci
mi
ę
dzy
siłami
brzegowymi a przemieszczeniami brzegowymi pr
ę
ta. Zanim przejdziemy do
wyprowadzenia tych zwi
ą
zków zauwa
ż
my,
ż
e ka
ż
dy stan odkształcenia pr
ę
ta
mo
ż
e by
ć
rozło
ż
ony na (rys. 1):
1. przesuni
ę
cie równoległe,
2. wydłu
ż
enie lub skrócenie pr
ę
ta,
3. odkształcenia wynikaj
ą
ce ze zmiany odległo
ś
ci ko
ń
ców pr
ę
ta w kierunku
prostopadłym do jego osi (
∆
ij
), obrotów w
ę
złów (
ϕ
ij
,
ϕ
ji
) i działania obci
ąż
enia.
Rysunek 1
Ka
ż
dy z tych trzech stanów mo
ż
e by
ć
rozpatrywany oddzielnie. Przesuni
ę
cie
równoległe nie powoduje odkształce
ń
a wi
ę
c nie wywołuje tak
ż
e sił. Wydłu
ż
enie
lub skrócenie (
∆
L
ij
) pr
ę
ta zwi
ą
zane jest tylko z siłami osiowymi. W przypadku
stałej siły osiowej zwi
ą
zek ten ma posta
ć
:
N
N
EA
L
L
ij
ji
ij
ij
ij
=
=
⋅ ∆
(1.1)
gdzie :
E - moduł spr
ęż
ysto
ś
ci podłu
ż
nej materiału,
A
ij
- pole poprzecznego przekroju pr
ę
ta
Pozostaje zatem do rozpatrzenia stan odkształce
ń
przedstawiony na rys. 1
Przyjmuje si
ę
tu statyczn
ą
umow
ę
znakowania sił brzegowych (dodatnie s
ą
momenty prawoskr
ę
tne i siły tn
ą
ce daj
ą
ce momenty prawoskr
ę
tne) oraz
analogiczn
ą
umow
ę
znakowania przemieszcze
ń
(dodatnie s
ą
k
ą
ty obrotu
prawoskr
ę
tne i wzajemne poprzeczne przesuni
ę
cia ko
ń
ców pr
ę
tów (
∆
ij
ij
ij
L
=
⋅
ψ
)
odpowiadaj
ą
ce dodatnim obrotom ci
ę
ciw pr
ę
tów
ψ
ij
).
Metoda przemieszcze
ń
- teoria
- 3 z 14
Jak wida
ć
na rys. 1 moment zginaj
ą
cy (umowa znakowania wytrzymało
ś
ciowa) w
przekroju pr
ę
ta o współrz
ę
dnej "x" okre
ś
lony jest zale
ż
no
ś
ci
ą
:
M(x) = M
ij
+ T
ij
⋅
L
ij
- N
ij
⋅
y(x) + M(q,x)
(1.2)
gdzie : M(q,x) - moment zginaj
ą
cy od obci
ąż
enia zewn
ę
trznego.
Powy
ż
szy zwi
ą
zek uwzgl
ę
dnia, ujawniaj
ą
cy si
ę
w wyniku odkształce
ń
, wpływ stałej
na całej długo
ś
ci pr
ę
ta, siły osiowej (N
ij
= N
ji
) na momenty zginaj
ą
ce i siły tn
ą
ce co
nazywane jest teori
ą
rz
ę
du 2-go.
Po podstawieniu zale
ż
no
ś
ci (1.2) do znanego równania ró
ż
niczkowego osi
odkształconej pr
ę
ta o stałej sztywno
ś
ci (EJ
ij
)
d y
dx
M x
EJ
ij
2
2
0
+
=
( )
(1.3)
i dwukrotnym zró
ż
niczkowaniu równania wzgl
ę
dem "x" otrzymuje si
ę
równania
ró
ż
niczkowe osi odkształconej pr
ę
ta według teorii rz
ę
du 2-go:
-
dla pr
ę
ta
ś
ciskanego (N
ij
= -
÷
N
ij
÷
)
d y
dx
L
d y
dx
q
EJ
ij
ij
ij
4
4
2
2
2
2
+
⋅
=
λ
(1.4)
-
dla pr
ę
ta rozci
ą
ganego (N
ij
=
÷
N
ij
÷
)
d y
dx
L
d y
dx
q
EJ
ij
ij
ij
4
4
2
2
2
2
−
⋅
=
λ
(1.5)
gdzie :
λ
ij
ij
ij
ij
N
L
EJ
2
2
=
⋅
sk
ą
d dla pr
ę
tów
ś
ciskanych
λ
λ
ij
ij
ij
ij
ij
N
L
EJ
2
2
2
= − =
⋅
Pomijaj
ą
c wpływ siły osiowej (teoria rz
ę
du I-go) równania (1.4) i (1.5) przyjmuj
ą
posta
ć
d y
dx
q
EJ
ij
4
4
=
(1.6)
Rozwi
ą
zanie równania (1.4) ma posta
ć
:
y x
C
C
x
C
x
L
C
x
L
C
( )
cos
sin
=
+
⋅ ⋅ +
⋅
⋅
æ
è
ç
ö
ø
÷
+
⋅
⋅
æ
è
ç
ö
ø
÷
+
1
2
3
4
5
λ
λ
λ
(1.7)
a równania (1.5) posta
ć
:
y x
C
C
x
C
ch
x
L
C
sh
x
L
C
s
( )
=
+
⋅ ⋅ +
⋅
⋅
æ
è
ç
ö
ø
÷
+
⋅
⋅
æ
è
ç
ö
ø
÷
+
1
2
3
4
λ
λ
λ
(1.8)
gdzie C
1
, C
2
, C
3
, C
4
s
ą
stałymi całkowania (funkcjami parametru
λ
(wzgl
ę
dnie
λ
)
wyznaczanymi na podstawie warunków brzegowych pr
ę
ta a C
5
s
ą
rozwi
ą
zaniami
szczególnymi równa
ń
ró
ż
niczkowych (1.4) i (1.5).
Metoda przemieszcze
ń
- teoria
- 4 z 14
Rozwi
ą
zania równa
ń
(1.4) i (1.5) oraz wszystkie wynikaj
ą
ce z tych rozwi
ą
za
ń
zwi
ą
zki s
ą
wzajemnie zwi
ą
zane zale
ż
no
ś
ci
ą
(1.6) z której wynikaj
ą
zwi
ą
zki :
sh
i
i
ij
ij
(
)
sin(
),
λ
λ
⋅ = ⋅
ch
i
ij
ij
(
)
cos(
),
λ
λ
⋅ =
sin(
)
(
),
λ
λ
ij
ij
i
i sh
⋅ = ⋅
cos(
)
(
),
λ
λ
ij
ij
i
ch
⋅ =
(1.9)
Uwzgl
ę
dniaj
ą
c zwi
ą
zki
M
EJ
d y
dx
ij
ij
x
= −
⋅
=
2
2
0
,
T
EJ
d y
dx
L
dy
dx
ij
ij
ij
ij
x
= −
⋅
+
⋅
é
ë
ê
ù
û
ú
=
3
3
2
2
0
λ
M
EJ
d y
dx
ji
ji
x L
ij
= −
⋅
=
2
2
,
T
EJ
d y
dx
L
dy
dx
ji
ij
ij
ij
x L
ij
= −
⋅
+
⋅
é
ë
ê
ù
û
ú
=
3
3
2
2
λ
(1.10)
wzory transformacyjne dla dowolnego pr
ę
ta prostego mo
ż
na przedstawi
ć
w
postaci :
(
)
M
EJ
L
a
b
c
M
ij
ij
ij
ij
ij
ij
ji
ij
ij
ij
o
=
⋅
⋅
+
⋅
− ⋅
+
ϕ
ϕ
ψ
(
)
M
EJ
L
a
b
c
M
ji
ij
ij
ji
ji
ji
ij
ji
ij
ji
o
=
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
+
ϕ
ϕ
ψ
(1.11)
(
)
T
EJ
L
c
c
d
T
ij
ij
ij
ij
ij
ij
ji
ij
ij
ij
o
=
⋅ − ⋅
− ⋅
+
⋅
+
2
ϕ
ϕ
ψ
(
)
T
EJ
L
c
c
d
T
ji
ij
ij
ij
ij
ij
ji
ij
ij
ji
o
=
⋅ − ⋅
− ⋅
+
⋅
+
2
ϕ
ϕ
ψ
gdzie a
ij
, a
ji
, b
ij
= b
ji
, c
ij
= a
ij
+ b
ji
, c
ji
= a
ji
+ b
ij
, d
ij
= d
ji
= c
ij
+ c
ji
-
λ
ij
2
(lub
λ
ij
2
) s
ą
funkcjami parametrów
λ
ij
lub
λ
ij
zale
ż
nymi od typu pr
ę
ta. Oznaczenia tych
funkcji dla wybranych typów pr
ę
tów o stałej sztywno
ś
ci zestawiono w tabeli
Tabela 1
i
j
a
ij
a
ji
b
ij
= b
ji
c
ij
c
ji
d
ij
= d
ji
4
4
2
6
6
12
3
0
0
3
0
3
1
1
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Metoda przemieszcze
ń
- teoria
- 5 z 14
Składniki wzorów typu
M
ij
o
i
T
ij
o
s
ą
brzegowymi momentami i siłami tn
ą
cymi
w stanie zerowych przemieszcze
ń
brzegowych (
ϕ
ij
=
ϕ
ji
=
ψ
ij
= 0) i mog
ą
by
ć
wyznaczane np. z wykorzystaniem metody sił. Dla typowych obci
ąż
e
ń
warto
ś
ci te
mo
ż
na zestawiono dla ró
ż
nych typów pr
ę
tów w tabelach poni
ż
ej.
Tabela 2
M
i
PR
Ę
T SZTYWNO-SZTYWNY
M
j
12
2
qL
−
EJ, L
M
i
M
j
q
12
2
qL
8
PL
−
EJ, L
M
i
M
j
L/2
L/2
P
8
PL
2
2
L
Pab
−
EJ, L
M
i
M
j
a
b
P
2
2
L
b
Pa
)
3
2
(
L
b
L
Mb
−
EJ, L
M
i
M
j
a
b
M
)
3
2
(
L
a
L
Ma
−
Tabela 3
M
i
PR
Ę
T SZTYWNO-PRZEGUBOWY
M
j
8
2
qL
−
EJ, L
M
i
M
j
q
0
16
3PL
−
EJ, L
i
j
M
i
M
j
P
L/2
L/2
0
Metoda przemieszcze
ń
- teoria
- 6 z 14
)
(
2
2
b
L
L
Pab
+
−
EJ, L
i
j
M
i
M
j
a
b
P
0
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
−
2
3
1
2
L
b
M
EJ, L
i
j
M
i
M
j
a
b
M
0
Tabela 4
M
i
PR
Ę
T SZTYWNY-ŁY
Ż
WA
M
j
3
2
qL
−
EJ, L
M
i
M
j
q
6
2
qL
−
8
3PL
−
EJ, L
i
j
M
i
M
j
P
L/2
L/2
8
PL
−
2
PL
−
EJ, L
i
j
M
i
M
j
P
2
PL
−
÷
ø
ö
ç
è
æ
−
−
L
a
Pa
2
2
EJ, L
i
j
M
i
M
j
a
b
P
L
Pa
2
2
−
L
Mb
−
EJ, L
i
j
M
i
M
j
a
b
M
L
Ma
−
Metoda przemieszcze
ń
- teoria
- 7 z 14
Ogólna posta
ć
wzorów transformacyjnych (1.11) jest prawdziwa dla pr
ę
tów
prostych zarówno o stałej sztywno
ś
ci jak i o zmiennej sztywno
ś
ci. Warto
ś
ci
parametrów dla pr
ę
tów o zmiennej sztywno
ś
ci a tak
ż
e dla innych typów pr
ę
tów
mo
ż
na znale
źć
w literaturze. Warto
ś
ci tych współczynników mo
ż
na stosunkowo
łatwo wyznacza
ć
wykorzystuj
ą
c ich interpretacj
ę
i metod
ę
sił. Na przykład je
ś
li
przyj
ąć
ϕ
ji
=
ψ
ij
=
M
ij
o
=0,
ϕ
ij
= 1 (rys.1) to z wyra
ż
enia okre
ś
laj
ą
cego M
ij
(1.11)
wynika,
ż
e :
a
L
EJ
M
ij
ij
ij
ij
=
⋅
co oznacza,
ż
e współczynnik a
ij
jest równy momentowi M
ij
pomno
ż
onemu przez
L
EJ
ij
ij
a wywołanemu obrotem ko
ń
ca "i" pr
ę
ta o k
ą
t o warto
ś
ci "1".
Tabela 5
ij
i
a
L
EJ
M
=
JEDNOSTKOWE STANY ROTACYJNE
ij
j
b
L
EJ
M
=
L
EJ
4
f
i
= 1
EJ, L
i
j
M
i
M
j
L
EJ
2
L
EJ
3
M
i
M
j
EJ, L
i
j
f
i
= 1
0
L
EJ
f
i
= 1
EJ, L
i
j
M
i
M
j
L
EJ
−
Analogiczn
ą
interpretacj
ę
maj
ą
wszystkie współczynniki.
Metoda przemieszcze
ń
- teoria
- 8 z 14
Tabela 6
ij
i
c
L
EJ
M
−
=
JEDNOSTKOWE STANY TRANSLACYJNE
ψ
ij
=1
ji
j
c
L
EJ
M
−
=
L
EJ
6
−
EJ, L
i
j
M
i
M
j
∆
L
EJ
6
−
L
EJ
3
−
M
i
M
j
EJ, L
i
j
∆
0
Przedstawione w tym punkcie zwi
ą
zki, z wyj
ą
tkiem zwi
ą
zku (1.1) s
ą
prawdziwe
zarówno dla pr
ę
tów nieodkształcalnych jak i odkształcalnych podłu
ż
nie.
2. TRANSFORMACJA PRZEMIESZCZE
Ń
GLOBALNYCH NA SIŁY BRZEGOWE
W wyniku działania obci
ąż
e
ń
na konstrukcj
ę
ulega ona odkształceniom.
Przemieszczenia ko
ń
ców
pr
ę
tów równe s
ą
przemieszczeniom odpowiednich
w
ę
złów.
Ka
ż
dy w
ę
zeł układu płaskiego ma 3 stopnie swobody (1 obrót i 2 składowe
przesuni
ę
cia
w
ę
zła),
których
liczba
mo
ż
e
by
ć
zmniejszona
przez
wi
ę
zi
podporowe. Układ pr
ę
tów poł
ą
czonych mi
ę
dzy sob
ą
i z fundamentem w w
ę
złach
ma zatem (2
⋅
w - r) stopni swobody przesuwu (w - liczba w
ę
złów, r - liczba
translacyjnych wi
ę
zi podporowych). Zarówno k
ą
ty obrotu jak i składowe
przesuni
ęć
ko
ń
ców pr
ę
tów wyra
ż
aj
ą
si
ę
bezpo
ś
rednio przez odpowiednie k
ą
ty
obrotu w
ę
złów :
ϕ
ij
=
ϕ
i
,
ϕ
ji
=
ϕ
j
.
(
2.1)
i składowe przesuni
ęć
w
ę
złów.
Je
ś
li przyj
ąć
,
ż
e pr
ę
ty s
ą
nieodkształcalne podłu
ż
nie (EA =
∞
∞
∞
∞
) to liczba stopni
swobody przesuwu układu zmniejsza si
ę
o liczb
ę
pr
ę
tów. Uwzgl
ę
dniaj
ą
c,
ż
e
niektóre pr
ę
ty mog
ą
odbiera
ć
te same stopnie swobody, liczb
ę
stopni swobody
przesuwu układu mo
ż
na oszacowa
ć
na podstawie zale
ż
no
ś
ci :
n
w
p
r
δ
≥ ⋅ − −
2
(2.2)
gdzie :
w - liczba w
ę
złów,
p - liczba pr
ę
tów nieodkształcalnych podłu
ż
nie,
r - liczba pojedynczych, translacyjnych wi
ę
zi podporowych.
Niezb
ę
dna jest w tym przypadku transformacja przesuni
ęć
niezale
ż
nych na
przesuni
ę
cia w
ę
złów a wła
ś
ciwie na k
ą
ty obrotu ci
ę
ciw pr
ę
tów. Zale
ż
no
ść
mi
ę
dzy
Metoda przemieszcze
ń
- teoria
- 9 z 14
niezale
ż
nymi składowymi przesuni
ęć
w
ę
złów układu (
δ
β
) a k
ą
tami obrotu ci
ę
ciw
pr
ę
tów (
ψ
ij
) ma posta
ć
:
ψ
ψ δ
β
β
β
ij
ij
=
⋅
å
(2.3)
gdzie :
ψ
β
ij
s
ą
k
ą
tami obrotu ci
ę
ciw pr
ę
tów wywołanymi przesuni
ę
ciami
δ
β
=
1
.
Podstawiaj
ą
c do wzorów (1.10) zwi
ą
zki (2.1) i (2.3)
otrzymujemy wzory
transformuj
ą
ce przemieszczenia w bazie globalnej na siły brzegowe
M
EJ
L
a
b
c
M
ij
ij
ij
ij
i
ij
j
ji
ij
ij
o
=
⋅
⋅ + ⋅ −
⋅
⋅
æ
è
ç
ö
ø
÷
+
å
ϕ
ϕ
ψ δ
β
β
β
M
EJ
L
a
b
c
M
ji
ij
ij
ji
j
ji
i
ji
ij
ji
o
=
⋅
⋅ +
⋅ −
⋅
⋅
æ
è
ç
ö
ø
÷
+
å
ϕ
ϕ
ψ δ
β
β
β
(2.4)
T
EJ
L
c
c
d
T
ij
ij
ij
ij
i
ji
j
ij
ij
ij
o
=
⋅ − ⋅ −
⋅ +
⋅
⋅
æ
è
ç
ö
ø
÷
+
å
2
ϕ
ϕ
ψ δ
β
β
β
T
EJ
L
c
c
d
T
ji
ij
ij
ij
i
ji
j
ij
ij
ji
o
=
⋅ − ⋅ −
⋅ +
⋅
⋅
æ
è
ç
ö
ø
÷
+
å
2
ϕ
ϕ
ψ δ
β
β
β
Po wprowadzeniu oznacze
ń
:
M
a
EJ
L
M
a
EJ
L
M
M
b
EJ
L
M
c
EJ
L
M
c
EJ
L
ij
i
ij
ij
ij
ji
j
ji
ij
ij
ji
i
ij
j
ij
ij
ij
ij
ij
ij
ij
ij
ji
ji
ij
ij
ij
=
⋅
=
⋅
=
=
⋅
= − ⋅
⋅
= − ⋅
⋅
,
,
,
,
β
β
β
β
ψ
ψ
(2.5)
T
T
c
EJ
L
c
EJ
L
T
T
d
EJ
L
ij
i
ji
i
ij
ij
ij
ij
j
ji
j
ji
ij
ij
ij
ji
ij
ij
ij
ij
=
= − ⋅
=
= − ⋅
⋅
=
=
⋅
⋅
,
T
T
β
β
β
ψ
wzory (2.4) mog
ą
by
ć
przedstawione w postaci
M
M
M
M
M
ij
ij
i
i
ij
j
j
ij
ij
o
=
⋅ +
⋅ +
⋅ +
å
ϕ
ϕ
δ
β
β
β
M
M
M
M
M
ji
ji
j
j
ji
i
i
ji
ji
o
=
⋅ +
⋅ +
⋅ +
å
ϕ
ϕ
δ
β
β
β
(2.6)
T
T
T
T
T
ij
ij
i
i
ij
j
j
ij
ij
o
=
⋅ +
⋅ +
⋅ +
å
ϕ
ϕ
δ
β
β
β
T
T
T
T
T
ji
ji
i
i
ji
j
j
ji
ji
o
=
⋅ +
⋅ +
⋅ +
å
ϕ
ϕ
δ
β
β
β
S
ą
to wzory transformuj
ą
ce przemieszczenia w bazie globalnej na siły
brzegowe pr
ę
ta.
Metoda przemieszcze
ń
- teoria
- 10 z 14
3. STOPIE
Ń
GEOMETRYCZNEJ NIEWYZNACZALNO
Ś
CI
Stopniem geometrycznej niewyznaczalno
ś
ci układu (n
g
) nazywamy liczb
ę
niezale
ż
nych składowych przemieszcze
ń
- obrotów (n
ϕϕϕϕ
) i składowych
przesuni
ęć
(n
δδδδ
) - które w pełni okre
ś
laj
ą
przemieszczenia brzegowe pr
ę
tów
wyst
ę
puj
ą
ce we wzorach transformacyjnych pr
ę
tów, na które układ mo
ż
e
by
ć
rozło
ż
ony
n
g
= n
ϕ
+ n
δ
.
(3.1)
Liczba obrotów w
ę
złów (n
ϕ
) równa jest liczbie w
ę
złów sztywnych, którym podpory
nie odbieraj
ą
mo
ż
liwo
ś
ci obrotu. W celu wyznaczenia (n
ϕ
) nale
ż
y podzieli
ć
układ
na pr
ę
ty dla których dane s
ą
wzory transformacyjne; mo
ż
na poszczególnym
elementom (w szczególno
ś
ci gdy brak odpowiednich do rozpatrywanego układu
pr
ę
tów, dla których dane s
ą
wzory transformacyjne) przyporz
ą
dkowywa
ć
pr
ę
ty o
mniejszej liczbie składowych przemieszcze
ń
swobodnych (np. pr
ę
t sztywno-
sztywny mo
ż
na przyporz
ą
dkowa
ć
ka
ż
demu pr
ę
towi układu). Liczba w
ę
złów
sztywnych ł
ą
cz
ą
cych te elementy, nie podpartych ze wzgl
ę
du na obrót równa jest
(n
ϕ
).
Liczba
niezale
ż
nych
składowych
przesuni
ęć
w
ę
złów
(n
δ
),
mo
ż
e
by
ć
wyznaczona na podstawie analizy kinematycznej odpowiedniego modelu układu.
Aby utworzy
ć
z układu danego model umo
ż
liwiaj
ą
cy okre
ś
lenie liczby stopni
swobody przesuwu nale
ż
y :
1. usun
ąć
wi
ę
zi spr
ęż
yste,
2. zast
ą
pi
ć
wszystkie w
ę
zły w
ę
złami przegubowymi,
3.
odebra
ć
po jednym stopniu swobody przesuwu pr
ę
tom, dla których we
wzorach transformacyjnych
a
ij
≠
0 lub a
ji
≠
0 i c
ij
= c
ji
=0 i d
ij
= d
ji
=0
(pr
ę
t wspornikowy i pr
ę
t sztywno-ły
ż
wa - dla pr
ę
tów tych ich stopnie swobody
przesuwu poprzecznego uwzgl
ę
dnione zostały we współczynnikach a
ij
, a
ji
, b
ij
=
b
ji
i k
ą
t obrotu ci
ę
ciwy pr
ę
ta nie wyst
ę
puje we wzorach transformacyjnych).
Liczba składowych (n
δ
) mo
ż
e by
ć
oszacowana z wykorzystaniem zale
ż
no
ś
ci :
n
δ
≥
2
⋅
w - p - r
(3.2)
gdzie
w - liczba w
ę
złów modelu,
p - liczba pr
ę
tów modelu,
r - liczba wi
ę
zi
podporowych modelu (liczba składowych reakcji).
Dla modelu przedstawionego na rys. 2 poni
ż
ej :
w = 14, p = 13, r =12
a wi
ę
c
n
δ
≥
2
⋅
14 -13 - 12 = 3.
Rzeczywist
ą
warto
ść
(n
δ
) mo
ż
na okre
ś
li
ć
tyko w wyniku analizy kinematycznej
układu. Analiza taka mo
ż
e polega
ć
na poszukiwaniu najmniejszej liczby wi
ę
zi
niezb
ę
dnych do przekształcenia modelu kinematycznego w układ geometrycznie
niezmienny, przy czym liczba ta nie mo
ż
e by
ć
mniejsza ni
ż
okre
ś
lona na
podstawie zwi
ą
zku (3.2).
Metoda przemieszcze
ń
- teoria
- 11 z 14
W rozpatrywanym przykładzie niezb
ę
dne jest dodanie co najmniej 3 wi
ę
zi. Je
ś
li
doda
ć
3 wi
ę
zi to model staje si
ę
układem geometrycznie niezmiennym. zatem w
rozpatrywanym przykładzie n
δ
= 3.
2EJ
EJ
Rysunek 2 . Układ dany
4. UKŁAD PODSTAWOWY
Układ podstawowy w metodzie przemieszcze
ń
tworzony jest przez odebranie
stopni swobody w
ę
złom układu danego, okre
ś
lonych w trakcie wyznaczania
stopnia geometrycznej niewyznaczalno
ś
ci jako niezale
ż
ne. Nale
ż
y zatem nało
ż
y
ć
wi
ę
zi odbieraj
ą
ce mo
ż
liwo
ś
ci obrotu w
ę
złów sztywnych w liczbie n
ϕ
i wi
ę
zi
odbierajace stopnie swobody przesuwu w liczbie n
δ
. Na przykład układem
podstawowym układu przedstawionego na rys. 2 jest układ przedstawiony na
rys. 3.
1
2
3
4
III
I
II
Rysunek 3 Układ podstawowy
Metoda przemieszcze
ń
- teoria
- 12 z 14
5. RÓWNANIA KANONICZNE W TEORII RZ
Ę
DU I-go
Aby rozwi
ą
zanie układu podstawowego i danego były identyczne, siły w dodanych
wi
ę
ziach musz
ą
by
ć
równe zero co daje n
ϕ
warunków typu :
M
i
= 0,
dla i = 1, 2, ..., n
ϕ
,
i n
δ
warunków typu :
R
α
= 0,
dla
α
= I, II, ..., n
δ
.
(5.1)
Pełny układ równa
ń
kanonicznych mo
ż
e by
ć
zapisany w postaci
k
ij
j
j
⋅
å
ϕ
+
k
i
β
β
β
δ
⋅
å
+ k
io
= 0,
dla i = 1, 2, ..., n
ϕ
k
j
j
j
α
ϕ
⋅
å
+
k
αβ
β
β
δ
⋅
å
+ k
α
o
= 0,
dla
α
= 1, 2, ..., n
δ
(5.2)
gdzie
k
ij
j
⋅ϕ
,
k
i
β
β
δ
⋅
s
ą
momentami w rotacyjnej wi
ę
zi "i" wywołanymi odpowiednio:
•
obrotem rotacyjnej wi
ę
zi "j" o k
ą
t
⋅ϕ
j
,
•
przesuni
ę
ciem w miejscu i kierunku translacyjnej wi
ę
zi "
β
" o
δ
β
,
k
ij
,
k
i
β
, k
io
s
ą
momentami w rotacyjnej wi
ę
zi "i" wywołanymi: odpowiednio:
•
obrotem rotacyjnej wi
ę
zi "j" o k
ą
t
ϕ
j
= 1,
•
przesuni
ę
ciem w miejscu i kierunku translacyjnej wi
ę
zi "
β
" o
δ
β
= 1 obci
ąż
eniem zewn
ę
trznym.
k
j
j
α
ϕ
⋅
,
k
αβ
β
δ
⋅
s
ą
siłami w translacyjnej wi
ę
zi "
α
" wywołanymi odpowiednio:
•
obrotem rotacyjnej wi
ę
zi "j" o k
ą
t
⋅ϕ
j
,
•
przesuni
ę
ciem w miejscu i kierunku translacyjnej wi
ę
zi "
β
" o
δ
β
,
k
j
α
,
k
αβ
, k
α
o
s
ą
siłami w translacyjnej wi
ę
zi "
α
" wywołanymi: odpowiednio:
•
obrotem rotacyjnej wi
ę
zi "j" o k
ą
t
ϕ
j
= 1,
•
przesuni
ę
ciem w miejscu i kierunku translacyjnej wi
ę
zi "
β
" o
δ
β
= 1, obci
ąż
eniem zewn
ę
trznym.
Z powy
ż
szego wynika,
ż
e współczynniki "k" mog
ą
by
ć
podzielone na 6 grup :
- momenty w dodanych wi
ę
ziach rotacyjnych wywołane:
1. obrotami (K
ϕϕ
=[
k
ij
]),
2. przesuni
ę
ciami (K
ϕδ
=[
k
i
β
]),
3. obci
ąż
eniem zewn
ę
trznym (K
ϕ
o
= k
io
)
Metoda przemieszcze
ń
- teoria
- 13 z 14
- reakcje w dodanych wi
ę
ziach translacyjnych wywołane:
4. obrotami (K
δϕ
=[
k
j
α
])
5. przesuni
ę
ciami (K
δδ
=[
k
αβ
]),
6. obci
ąż
eniem zewn
ę
trznym (K
δ
o
=[k
α
o
]).
W zapisie macierzowym układ równa
ń
mo
ż
e by
ć
przedstawiony w postaciach
0
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
0
10
1
1
1
1
1
1
1
11
=
+
⋅
=
ú
û
ù
ê
ë
é
+
ú
û
ù
ê
ë
é
∆
Φ
⋅
ú
û
ù
ê
ë
é
=
=
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
+
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
⋅
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
Ko
z
K
K
K
K
K
K
K
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
o
o
o
n
I
o
n
n
I
n
n
n
I
n
n
n
n
In
II
In
I
n
n
I
n
n
n
n
n
I
n
r
M
M
M
M
L
L
M
M
M
M
M
M
L
L
L
L
M
M
M
M
M
M
L
L
δ
ϕ
δδ
δϕ
ϕδ
ϕϕ
ϕ
δ
ϕ
δ
ϕ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
ϕ
δ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
δ
ϕ
δ
δ
ϕ
ϕ
(5.3)
Wzory okre
ś
laj
ą
ce współczynniki "k" zestawiono poni
ż
ej
1. Reakcje (momenty) w dodanych wi
ę
ziach rotacyjnych wywołane
jednostkowymi obrotami dodanych wi
ę
zi rotacyjnych
K
ϕϕ
;
k
M
k
a
EJ
L
k
ii
ij
i
i
j
ij
ij
ij
i
j
=
+
=
⋅
+
å
å
ϕ
ϕ
,
k
M
b
EJ
L
ij
ij
j
ij
ij
ij
=
=
⋅
,
j
≠
i,
2. Reakcje (momenty) w dodanych wi
ę
ziach rotacyjnych wywołane
jednostkowymi przesuni
ę
ciami w miejscach i kierunkach dodanych wi
ę
zi
translacyjnych
K
ϕδ
;
k
M
c
EJ
L
i
ij
j
ij
ij
ij
ij
j
β
β
β
ψ
=
= −
⋅
⋅
å
å
,
3. Reakcje (momenty) w dodanych wi
ę
ziach rotacyjnych wywołane obci
ąż
eniem
danym
K
ϕ
o
;
k
io
=
M
ij
o
j
å
-
M
i
o
4. Reakcje (siły) w dodanych wi
ę
ziach translacyjnych wywołane jednostkowymi
obrotami wi
ę
zi rotacyjnych
K
δϕ
;
k
M
M
T
c
EJ
L
j
ij
j
ij
j
i
ij
ij
j
i
ij
ji
j
ij
ij
i
ij
α
α
α
α
ψ
ψ
= −
+
⋅
=
⋅
= −
⋅
å
å
å
(
)
∆
,
5. Reakcje (siły) w dodanych wi
ę
ziach translacyjnych wywołane przesuni
ę
ciami w
miejscach i kierunkach dodanych wi
ę
zi translacyjnych
K
δδ
;
k
M
M
k
L
L
ij
ij
ji
ij
i
i
i
s
αβ
β
β
α
δ
α
β
ψ
= −
+
⋅
+
⋅
⋅
=
å
å
(
)
∆
∆
=
⋅
+
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
å
å
å
å
T
k
L
L
d
EJ
L
k
L
L
ij
ij
ij
i
i
i
s
ij
ij
ij
ij
ij
ij
i
i
i
s
β
α
δ
α
β
α
β
δ
α
β
ψ ψ
∆
∆
∆
∆
∆
,
Metoda przemieszcze
ń
- teoria
- 14 z 14
6. Reakcje (siły) w dodanych wi
ę
ziach translacyjnych wywołane obci
ąż
eniem
danym
K
δ
o
;
k
M
M
P
M
o
ij
o
ij
ji
o
ij
p
p
p
m
o
m
m
α
α
α
α
ψ
δ
ψ
= −
+
⋅
−
⋅
−
⋅
å
å
å
(
)
Rozwi
ą
zanie układu równa
ń
stanowi
ą
k
ą
ty obrotu w
ę
złów i przesuni
ę
cia w
miejscach i kierunkach dodanych wi
ę
zi. Na ich podstawie okre
ś
lone
s
ą
bezpo
ś
rednio k
ą
ty obrotu ko
ń
ców pr
ę
tów, a wykorzystuj
ą
c zwi
ą
zek (2.3) mo
ż
na
wyznaczy
ć
rzeczywiste k
ą
ty obrotu ci
ę
ciw pr
ę
tów.
6. RZECZYWISTE SIŁY PRZEKROJOWE
Momenty brzegowe mog
ą
by
ć
okre
ś
lone :
1. Na podstawie zwi
ą
zków (2.4),
2. Na podstawie zwi
ą
zków (2.6) je
ś
li uprzednio wyznaczono momenty
M
M
ij
i
ij
,
β
na podstawie zwi
ą
zków (2.5),
3. Na podstawie zwi
ą
zków (1.10) po uprzednim wyznaczeniu rzeczywistych
k
ą
tów obrotu ci
ę
ciw pr
ę
tów na podstawie zwi
ą
zku (2.3),
Brzegowe siły tn
ą
ce mog
ą
by
ć
okre
ś
lone :
1. Na podstawie zwi
ą
zków (2.4),
2. Na podstawie zwi
ą
zków (2.6) je
ś
li uprzednio wyznaczono siły tn
ą
ce
T
ij
i
ij
, T
β
na podstawie zwi
ą
zków (2.5),
3. Na podstawie zwi
ą
zków (1.10) po uprzednim wyznaczeniu rzeczywistych
k
ą
tów obrotu ci
ę
ciw pr
ę
tów na podstawie zwi
ą
zku (2.3),
4. Na podstawie równa
ń
równowagi sił działaj
ą
cych na pr
ę
ty.
Brzegowe siły osiowe na ogół mog
ą
by
ć
okre
ś
lone :
1. na podstawie równa
ń
równowagi rzutów sił działaj
ą
cych na w
ę
zły z
wykorzystaniem równa
ń
równowagi rzutów na o
ś
pr
ę
ta sił działaj
ą
cych na
pr
ę
ty.
2. Je
ś
li z równa
ń
tych nie da si
ę
wyznaczy
ć
wszystkich sił osiowych to do ich
wyznaczenia niezb
ę
dne jest rozwi
ą
zanie z uwzgl
ę
dnieniem odkształcalno
ś
ci
podłu
ż
nej.
3. Je
ś
li zbudowa
ć
wszystkie równania równowagi dla pr
ę
tów i w
ę
złów to
pozwala to na wyznaczenie brzegowych sił tn
ą
cych na ogół brzegowych sił
osiowych i stanowi kontrol
ę
statycznej dopuszczalno
ś
ci rozwi
ą
zania.
4. Dla
pełnej
kontroli
rozwi
ą
zania
niezb
ę
dne
jest
sprawdzenie
jego
kinematycznej dopuszczalno
ś
ci w powi
ą
zaniu z siłami to jest sprawdzenie
warunków ci
ą
gło
ś
ci układu.
Po wyznaczeniu sił brzegowych sporz
ą
dza si
ę
wykresy sił przekrojowych
z wykorzystaniem równa
ń
równowagi i zasady superpozycji.