2.1 Płaskie ustroje prętowe obciążone w płaszczyźnie
strona 63
Zadanie 15:
W ramołuku pokazanym na rys. 2.1.103 wyznacz wykres momentów zginających. W obliczeniach
przyjmij, że sztywność prętów prostych na zginanie jest równa sztywności łuku i wynosi EJ.
(rys. 2.1.103)
Przyjmijmy układ zastępczy dla schematu zredukowanego do połowy ramy
(rys. 2.1.104)
i narysujmy wykresy momentów zginających w poszczególnych stanach obciążenia
(rys. 2.1.105)
przy czym na łuku mamy
(2.1.110)
2.1 Płaskie ustroje prętowe obciążone w płaszczyźnie
strona 64
(rys. 2.1.106)
przy czym na łuku mamy
(2.1.111)
(rys. 2.1.107)
przy czym na łuku mamy
(2.1.112)
Zauważmy, że dla parametr wyniosłości łuku
= 0.167. Wykresy momentów zginających po-
chodzących od obciążeń X
1
= 1, X
2
= 1 są prostoliniowe, natomiast wykres pochodzący od obciążenia
zewnętrznego jest opisany funkcją kwadratową (por. 1. i 2. rodzaj obciążenia w Tabeli 2.1.1., podpunkt
2.1.2). W związku z tym, do dalszych obliczeń przyjmiemy założenie o małej wyniosłości i pominiemy
wpływ sił podłużnych na przemieszczenia łuku w ramie zastępczej.
Przemieszczenia układu zastępczego spowodowane działaniem obciążeń obliczamy korzysta-
jąc z techniki „mnożenia wykresów” i otrzymujemy
2.1 Płaskie ustroje prętowe obciążone w płaszczyźnie
strona 65
(2.1.113)
oraz
(2.1.114)
Nadliczbowe wyznaczone z układu równań zgodności przemieszczeń układu wyjściowego i
zastępczego wynoszą
(2.1.115)
a wykres momentów zginających ramę ma postać
(rys. 2.1.108)
Funkcja opisująca moment zginający na łuku jest określona równaniem
(2.1.116)
Czytelnikowi pozostawiamy sprawdzenie obliczeń.
2.1 Płaskie ustroje prętowe obciążone w płaszczyźnie
strona 66
Zadanie 16:
W ramołuku pokazanym na rys. 2.1.109 wyznacz wykresy sił przekrojowych wywołanych nierówno-
miernym wzrostem temperatury
Δ@ w łuku. W obliczeniach przyjmij, że sztywność prętów prostych na
zginanie jest równa sztywności łuku i wynosi EJ = const.
(rys. 2.1.109)
Przyjmijmy układ zastępczy
(rys. 2.1.110)
Równanie łuku w przyjętym układzie współrzędnych ma postać
(2.1.117)
Widzimy, że:
− przemieszczenie /
00
jest wzajemnym przesunięciem punktów przyłożenia sił X
1
wywołanych
działaniem sił jednostkowych przyłożonych w tych samych punktach,
− przemieszczenie /
01
(= /
10
) jest wzajemnym przesunięciem punktów przyłożenia sił X
1
wywo-
łanych działaniem sił jednostkowych przyłożonych w punktach działania sił X
2
,
2.1 Płaskie ustroje prętowe obciążone w płaszczyźnie
strona 67
− przemieszczenie /
02
jest wzajemnym przesunięciem punktów przyłożenia sił X
1
wywołanych
działaniem obciążenia Δt.
Analizując 4. wiersz Tabeli 2.1.1. w podpunkcie 2.1.2. dochodzimy do wniosku, że wobec
= 0.167, obliczenie każdego z tych przemieszczeń możemy przeprowadzić przy założeniu małej wy-
niosłości łuku. Wykresy momentów zginających odpowiadające poszczególnym stanom obciążenia
układu zastępczego siłami „jednostkowymi” mają postać
(rys.2.1.111)
przy czym na łuku mamy
(2.1.118)
(rys. 2.1.112)
Funkcja M
1
(ξ) zapisana wzorem (2.1.118) jest funkcją kwadratową, a więc w obliczeniu prze-
mieszczenia δ
11
wykorzystamy całkowanie analityczne wzdłuż cięciwy łuku. Pozostałe przemieszcze-
nia obliczymy stosując technikę „całkowania graficznego”. Otrzymamy w ten sposób
2.1 Płaskie ustroje prętowe obciążone w płaszczyźnie
strona 68
(2.1.119)
oraz
(2.1.120)
Z warunku zgodności przemieszczeń układu wyjściowego z rys. 2.1.109. i układu zastępczego
z rys. 2.1.110. otrzymujemy
(2.1.121)
Sprawdzenie obliczeń zostawiamy Czytelnikowi.
Zadanie 17:
W ramołuku pokazanym na rys. 2.1.113 wyznacz wykres momentów zginających oraz kąt obrotu
ψ
A
w
przekroju łuku, pochodzące od równomiernego obciążenia temperaturą t. W obliczeniach przyjmij, że
sztywność prętów prostych na zginanie jest równa sztywności łuku.
(rys. 2.1.113)
2.1 Płaskie ustroje prętowe obciążone w płaszczyźnie
strona 69
Przyjmijmy statycznie wyznaczalny układ zastępczy
(rys. 2.1.114)
i narysujmy wykres momentów zginających w stanie obciążenia siłą X
1
= 1
(rys. 2.1.115)
przy czym na łuku mamy
(2.1.122)
Wobec dość znacznej wyniosłości łuku (
= 0.25) przemieszczenie δ
11
obliczymy jako
(2.1.123)
por. 2. rodzaj obciążenia w Tabeli 2.1.1., podpunkt 2.1.2.
W obliczeniach przemieszczeń spowodowanych równomiernym obciążeniem termicznym wy-
niosłość łuku nie ma znaczenia, a więc
(2.1.124)
2.1 Płaskie ustroje prętowe obciążone w płaszczyźnie
strona 70
Z warunku zgodności przemieszczeń otrzymujemy
(2.1.125)
Wykonanie pozostałych kroków algorytmu zostawiamy Czytelnikowi.
Nadliczbowa X
1
obliczona przy założeniu małej wyniosłości przyjmuje wartość
9
0
=
−8.571
NO
P
7
Q
, a więc względny błąd obliczenia nadliczbowej wynosi 1.4 %. Wpływ wyniosłości elemen-
tu łukowego na obliczenia wielkości statycznych jest w tym przypadku pomijalnie mały, ponieważ
podatność prętów prostych jest dość znaczna w porównaniu z podatnością łuku pod wpływem obcią-
żenia X
1
= 1, por. (2.1.123).
Obliczenie kąta obrotu
ψ
A
wymaga wprowadzenia jednostkowego obciążenia wirtualnego i
obliczenia momentów zginających w tym stanie obciążenia
(rys. 2.1.116)
a zatem wartość
ψ
A
wynosi
(2.1.126)
gdzie
(2.1.127)
oraz
(2.1.128)
Przyjmując założenie o małej wyniosłości łuku otrzymamy
R
= −0.714T
7
@, czyli względny
błąd obliczeń wynosi 6,5%. Widać więc, że wyniosłość łuku ma w tym wypadku istotne znaczenie.
2.1 Płaskie ustroje prętowe obciążone w płaszczyźnie
strona 71
Zadanie 18:
W ramołuku pokazanym na rys. 2.1.117 wyznacz wykres momentów zginających. W obliczeniach
przyjmij, że sztywność prętów prostych na zginanie jest równa sztywności łuku i wynosi EJ.
(rys. 2.1.117)
Wprowadźmy statycznie wyznaczalny układ zastępczy
(rys. 2.1.118)
przy czym, z uwagi na symetrię ramołuku, przed przystąpieniem do dalszych obliczeń możemy zało-
żyć, że (nieujawniona na rys. 2.1.118) siła prostopadła do X
2
działająca w miejscu zwolnionego prze-
gubu jest równa zeru. Sprawdzenie tego spostrzeżenia pozostawiamy Czytelnikowi, zaznaczmy jedy-
nie, że wykres momentów zginających pochodzących od takiej siły byłby antysymetryczny względem
osi symetrii ramołuku, natomiast wykresy M
1
, M
2
oraz M
0
są wykresami symetrycznymi, w poszcze-
gólnych stanach obciążenia mamy bowiem
(rys. 2.1.119)
2.1 Płaskie ustroje prętowe obciążone w płaszczyźnie
strona 72
przy czym na łukach
(2.1.129)
gdzie
=
0
U
, =
UQ
.
(rys. 2.1.120)
(rys. 2.1.121)
W świetle rozważań zamieszczonych w podpunkcie 2.1.2., łuki możemy potraktować jako ma-
łowyniosłe, więc w obliczeniach przemieszczeń δ
12
= δ
21
, δ
22
, δ
10
, δ
20
skorzystamy z techniki „całkowa-
nia graficznego”. Wyznaczając przemieszczenie δ
11
zastosujemy całkowanie analityczne wzdłuż cięci-
wy łuku, ponieważ M
1
(ξ) jest funkcją kwadratową. Otrzymamy w ten sposób
(2.1.130)
oraz
(2.1.131)
2.1 Płaskie ustroje prętowe obciążone w płaszczyźnie
strona 73
Wartości nadliczbowych obliczamy z warunków zgodności przemieszczeń układu wyjściowego
z układem zastępczym i otrzymujemy
(2.1.132)
Szczegółowe obliczenia przemieszczeń we wzorach (2.1.130), (2.1.131) i wykonanie pozosta-
łych kroków algorytmu Metody Sił pozostawiamy Czytelnikowi.
Zadanie 19:
W ramołuku pokazanym na rys. 2.1.122 wyznacz wykres momentów zginających i kąt obrotu przekro-
ju łuku w punkcie A. W obliczeniach przyjmij, że sztywność prętów prostych na zginanie jest równa
sztywności łuków i wynosi EJ. Ponadto przyjmij, że pręty proste są nieodkształcalne podłużnie.
(rys. 2.1.122)
Ramołuk jest obciążony antysymetrycznie, przy czym oś antysymetrii konstrukcji pokrywa się
z osią środkowego pręta ramy. Do rozwiązania przyjmiemy układ zredukowany do połowy ramy. Na-
stepnie, skrajny pręt kratowy zastąpimy podporą przesuwną, niepodatną w kierunku pionowym. Taka
zamiana jest dopuszczalna jedynie przy założeniu o podłużnej nieodkształcalności pręta. Jednocześnie,
działające na skrajny pręt obciążenie równomierne zastąpimy siłą skupioną w punkcie łączenia pręta z
łukiem. Obciążenie działające na pręt leżący na osi antysymetrii ramy oraz sztywność tego pręta rów-
nież zredukujemy do połowy. W wyniku tych działań otrzymamy następujący układ zredukowany
A
2.1 Płaskie ustroje prętowe obciążone w płaszczyźnie
strona 74
(rys. 2.1.123)
Układ zastępczy przyjmiemy w postaci
(rys. 2.1.124)
Równania osi łuków w układach współrzędnych z rys. 2.1.124 wyrażają się równaniami
(2.1.133)
oraz
(2.1.134)
2.1 Płaskie ustroje prętowe obciążone w płaszczyźnie
strona 75
Narysujmy wykresy momentów zginających w poszczególnych stanach obciążenia układu za-
stępczego
(rys. 2.1.125)
przy czym na łuku 1. mamy
(2.1.135)
(rys. 2.1.126)
przy czym na łuku 1. mamy
(2.1.136)
Przed obliczeniem przemieszczeń δ
11
, δ
10
(wzajemnych obrotów przekrojów, w których działa
obciążenie X
1
) zwróćmy uwagę na to, że wyniosłości łuków wynoszą odpowiednio
0
= 0.333,
1
=
2.1 Płaskie ustroje prętowe obciążone w płaszczyźnie
strona 76
0.167. Na podstawie Tabeli 2.1.1. w podpunkcie 2.1.2. (2. typ obciążenia) stwierdzamy, że łuk 1. nie
może być traktowany jako małowyniosły, co wiąże się z wprowadzeniem pod całkę wyrażenia
cos () = W1 − 16
1
(1 − 2)
1
. Otrzymujemy zatem
(2.1.137)
oraz
(2.1.138)
Wartość nadliczbowej wynosi
(2.1.139)
a wykres momentów zginających ramę statycznie niewyznaczalną ma postać
(rys.2.1.127)
przy czym na łukach mamy
(2.1.140)
oraz
2.1 Płaskie ustroje prętowe obciążone w płaszczyźnie
strona 77
(2.1.141)
Sprawdzenie obliczeń pozostawiamy Czytelnikowi.
Dodajmy, że przy założeniu o małej wyniosłości łuku nr 1. otrzymalibyśmy
/
00
= 0.667
Q
N
, /
02
= 0.167
XQ
Y
N
, 9
0
= −0.25 Z[
1
, a więc względny błąd obliczeń wyniósłby odpowied-
nio 12,7 %, 9,24% oraz 3,73%.
Przemieszczenie
ψ
A
obliczymy korzystając z twierdzenia redukcyjnego. Przyjmijmy obciążenie
wirtualne i narysujmy wykres momentów zginających
(rys. 2.1.128)
przy czym na łuku mamy
(2.1.142)
Szukane przemieszczenie wynosi zatem
(2.1.143)
Przyjęcie założenia o małej wyniosłości obu łuków prowadzi do
R
= −0.06944
XQ
Y
N
, a więc
względny błąd obliczeń
ψ
A
wynosi 15,2%.
2.1 Płaskie ustroje prętowe obciążone w płaszczyźnie
strona 78
Zadanie 20:
Oblicz poziomą składową reakcji podpór łuku małowyniosłego o stałym przekroju, poddanego działa-
niu nierównomiernego obciążenia termicznego
Δ
t
.
(rys. 2.1.129)
Przyjmijmy układ zastępczy
(rys. 2.1.130)
Na podstawie rozważań zamieszczonych w Załączniku A., łuk możemy traktować jako mało-
wyniosły. Jednocześnie zauważmy, że nie możemy pominąć wpływu sił podłużnych w obliczeniach
przemieszczenia
δ
11
. Na podstawie (2.1.27), (2.1.29) przyjmijmy
(2.1.144)
oraz
(2.1.145)
Poszukiwana wartość składowej poziomej reakcji podpór łuku wynosi zatem
(2.1.146)
Ostatecznie, dla
=
0
02
oraz
=
0
^
10
_`
, por. (2.1.22), otrzymujemy
(2.1.147)
Pominięcie wpływu sił podłużnych na wartość
δ
11
(tj. przyjęcie
= 0 we wzorze (2.1.146))
prowadzi do
9
0
= −12.5
NO
P
∆7
bQ
, a więc względny błąd obliczeń X
1
wynosi -18,75%.