2.1 Płaskie ustroje prętowe obciążone w płaszczyźnie

strona 63

Zadanie 15:

W ramołuku pokazanym na rys. 2.1.103 wyznacz wykres momentów zginających. W obliczeniach

przyjmij, że sztywność prętów prostych na zginanie jest równa sztywności łuku i wynosi EJ.

(rys. 2.1.103)

Przyjmijmy układ zastępczy dla schematu zredukowanego do połowy ramy

(rys. 2.1.104)

i narysujmy wykresy momentów zginających w poszczególnych stanach obciążenia

(rys. 2.1.105)

przy czym na łuku mamy

(2.1.110)

2.1 Płaskie ustroje prętowe obciążone w płaszczyźnie

strona 64

(rys. 2.1.106)

przy czym na łuku mamy

(2.1.111)

(rys. 2.1.107)

przy czym na łuku mamy

(2.1.112)

Zauważmy, że dla parametr wyniosłości łuku

= 0.167. Wykresy momentów zginających po-

chodzących od obciążeń X

1

= 1, X

2

= 1 są prostoliniowe, natomiast wykres pochodzący od obciążenia

zewnętrznego jest opisany funkcją kwadratową (por. 1. i 2. rodzaj obciążenia w Tabeli 2.1.1., podpunkt

2.1.2). W związku z tym, do dalszych obliczeń przyjmiemy założenie o małej wyniosłości i pominiemy

wpływ sił podłużnych na przemieszczenia łuku w ramie zastępczej.

Przemieszczenia układu zastępczego spowodowane działaniem obciążeń obliczamy korzysta-

jąc z techniki „mnożenia wykresów” i otrzymujemy

2.1 Płaskie ustroje prętowe obciążone w płaszczyźnie

strona 65

(2.1.113)

oraz

(2.1.114)

Nadliczbowe wyznaczone z układu równań zgodności przemieszczeń układu wyjściowego i

zastępczego wynoszą

(2.1.115)

a wykres momentów zginających ramę ma postać

(rys. 2.1.108)

Funkcja opisująca moment zginający na łuku jest określona równaniem

(2.1.116)

Czytelnikowi pozostawiamy sprawdzenie obliczeń.

2.1 Płaskie ustroje prętowe obciążone w płaszczyźnie

strona 66

Zadanie 16:

W ramołuku pokazanym na rys. 2.1.109 wyznacz wykresy sił przekrojowych wywołanych nierówno-

miernym wzrostem temperatury

Δ@ w łuku. W obliczeniach przyjmij, że sztywność prętów prostych na

zginanie jest równa sztywności łuku i wynosi EJ = const.

(rys. 2.1.109)

Przyjmijmy układ zastępczy

(rys. 2.1.110)

Równanie łuku w przyjętym układzie współrzędnych ma postać

(2.1.117)

Widzimy, że:

− przemieszczenie /

00

jest wzajemnym przesunięciem punktów przyłożenia sił X

1

wywołanych

działaniem sił jednostkowych przyłożonych w tych samych punktach,

− przemieszczenie /

01

(= /

10

) jest wzajemnym przesunięciem punktów przyłożenia sił X

1

wywo-

łanych działaniem sił jednostkowych przyłożonych w punktach działania sił X

2

,

2.1 Płaskie ustroje prętowe obciążone w płaszczyźnie

strona 67

− przemieszczenie /

02

jest wzajemnym przesunięciem punktów przyłożenia sił X

1

wywołanych

działaniem obciążenia Δt.

Analizując 4. wiersz Tabeli 2.1.1. w podpunkcie 2.1.2. dochodzimy do wniosku, że wobec

= 0.167, obliczenie każdego z tych przemieszczeń możemy przeprowadzić przy założeniu małej wy-

niosłości łuku. Wykresy momentów zginających odpowiadające poszczególnym stanom obciążenia

układu zastępczego siłami „jednostkowymi” mają postać

(rys.2.1.111)

przy czym na łuku mamy

(2.1.118)

(rys. 2.1.112)

Funkcja M

1

(ξ) zapisana wzorem (2.1.118) jest funkcją kwadratową, a więc w obliczeniu prze-

mieszczenia δ

11

wykorzystamy całkowanie analityczne wzdłuż cięciwy łuku. Pozostałe przemieszcze-

nia obliczymy stosując technikę „całkowania graficznego”. Otrzymamy w ten sposób

2.1 Płaskie ustroje prętowe obciążone w płaszczyźnie

strona 68

(2.1.119)

oraz

(2.1.120)

Z warunku zgodności przemieszczeń układu wyjściowego z rys. 2.1.109. i układu zastępczego

z rys. 2.1.110. otrzymujemy

(2.1.121)

Sprawdzenie obliczeń zostawiamy Czytelnikowi.

Zadanie 17:

W ramołuku pokazanym na rys. 2.1.113 wyznacz wykres momentów zginających oraz kąt obrotu

ψ

A

w

przekroju łuku, pochodzące od równomiernego obciążenia temperaturą t. W obliczeniach przyjmij, że

sztywność prętów prostych na zginanie jest równa sztywności łuku.

(rys. 2.1.113)

2.1 Płaskie ustroje prętowe obciążone w płaszczyźnie

strona 69

Przyjmijmy statycznie wyznaczalny układ zastępczy

(rys. 2.1.114)

i narysujmy wykres momentów zginających w stanie obciążenia siłą X

1

= 1

(rys. 2.1.115)

przy czym na łuku mamy

(2.1.122)

Wobec dość znacznej wyniosłości łuku (

= 0.25) przemieszczenie δ

11

obliczymy jako

(2.1.123)

por. 2. rodzaj obciążenia w Tabeli 2.1.1., podpunkt 2.1.2.

W obliczeniach przemieszczeń spowodowanych równomiernym obciążeniem termicznym wy-

niosłość łuku nie ma znaczenia, a więc

(2.1.124)

2.1 Płaskie ustroje prętowe obciążone w płaszczyźnie

strona 70

Z warunku zgodności przemieszczeń otrzymujemy

(2.1.125)

Wykonanie pozostałych kroków algorytmu zostawiamy Czytelnikowi.

Nadliczbowa X

1

obliczona przy założeniu małej wyniosłości przyjmuje wartość

9

0

=

−8.571

NO

P

7

Q



, a więc względny błąd obliczenia nadliczbowej wynosi 1.4 %. Wpływ wyniosłości elemen-

tu łukowego na obliczenia wielkości statycznych jest w tym przypadku pomijalnie mały, ponieważ

podatność prętów prostych jest dość znaczna w porównaniu z podatnością łuku pod wpływem obcią-

żenia X

1

= 1, por. (2.1.123).

Obliczenie kąta obrotu

ψ

A

wymaga wprowadzenia jednostkowego obciążenia wirtualnego i

obliczenia momentów zginających w tym stanie obciążenia

(rys. 2.1.116)

a zatem wartość

ψ

A

wynosi

(2.1.126)

gdzie

(2.1.127)

oraz

(2.1.128)

Przyjmując założenie o małej wyniosłości łuku otrzymamy

R



= −0.714T

7

@, czyli względny

błąd obliczeń wynosi 6,5%. Widać więc, że wyniosłość łuku ma w tym wypadku istotne znaczenie.

2.1 Płaskie ustroje prętowe obciążone w płaszczyźnie

strona 71

Zadanie 18:

W ramołuku pokazanym na rys. 2.1.117 wyznacz wykres momentów zginających. W obliczeniach

przyjmij, że sztywność prętów prostych na zginanie jest równa sztywności łuku i wynosi EJ.

(rys. 2.1.117)

Wprowadźmy statycznie wyznaczalny układ zastępczy

(rys. 2.1.118)

przy czym, z uwagi na symetrię ramołuku, przed przystąpieniem do dalszych obliczeń możemy zało-

żyć, że (nieujawniona na rys. 2.1.118) siła prostopadła do X

2

działająca w miejscu zwolnionego prze-

gubu jest równa zeru. Sprawdzenie tego spostrzeżenia pozostawiamy Czytelnikowi, zaznaczmy jedy-

nie, że wykres momentów zginających pochodzących od takiej siły byłby antysymetryczny względem

osi symetrii ramołuku, natomiast wykresy M

1

, M

2

oraz M

0

są wykresami symetrycznymi, w poszcze-

gólnych stanach obciążenia mamy bowiem

(rys. 2.1.119)

2.1 Płaskie ustroje prętowe obciążone w płaszczyźnie

strona 72

przy czym na łukach

(2.1.129)

gdzie

=

0
U

,  =



UQ

.

(rys. 2.1.120)

(rys. 2.1.121)

W świetle rozważań zamieszczonych w podpunkcie 2.1.2., łuki możemy potraktować jako ma-

łowyniosłe, więc w obliczeniach przemieszczeń δ

12

= δ

21

, δ

22

, δ

10

, δ

20

skorzystamy z techniki „całkowa-

nia graficznego”. Wyznaczając przemieszczenie δ

11

zastosujemy całkowanie analityczne wzdłuż cięci-

wy łuku, ponieważ M

1

(ξ) jest funkcją kwadratową. Otrzymamy w ten sposób

(2.1.130)

oraz

(2.1.131)

2.1 Płaskie ustroje prętowe obciążone w płaszczyźnie

strona 73

Wartości nadliczbowych obliczamy z warunków zgodności przemieszczeń układu wyjściowego

z układem zastępczym i otrzymujemy

(2.1.132)

Szczegółowe obliczenia przemieszczeń we wzorach (2.1.130), (2.1.131) i wykonanie pozosta-

łych kroków algorytmu Metody Sił pozostawiamy Czytelnikowi.

Zadanie 19:

W ramołuku pokazanym na rys. 2.1.122 wyznacz wykres momentów zginających i kąt obrotu przekro-

ju łuku w punkcie A. W obliczeniach przyjmij, że sztywność prętów prostych na zginanie jest równa

sztywności łuków i wynosi EJ. Ponadto przyjmij, że pręty proste są nieodkształcalne podłużnie.

(rys. 2.1.122)

Ramołuk jest obciążony antysymetrycznie, przy czym oś antysymetrii konstrukcji pokrywa się

z osią środkowego pręta ramy. Do rozwiązania przyjmiemy układ zredukowany do połowy ramy. Na-

stepnie, skrajny pręt kratowy zastąpimy podporą przesuwną, niepodatną w kierunku pionowym. Taka

zamiana jest dopuszczalna jedynie przy założeniu o podłużnej nieodkształcalności pręta. Jednocześnie,

działające na skrajny pręt obciążenie równomierne zastąpimy siłą skupioną w punkcie łączenia pręta z

łukiem. Obciążenie działające na pręt leżący na osi antysymetrii ramy oraz sztywność tego pręta rów-

nież zredukujemy do połowy. W wyniku tych działań otrzymamy następujący układ zredukowany

A

2.1 Płaskie ustroje prętowe obciążone w płaszczyźnie

strona 74

(rys. 2.1.123)

Układ zastępczy przyjmiemy w postaci

(rys. 2.1.124)

Równania osi łuków w układach współrzędnych z rys. 2.1.124 wyrażają się równaniami

(2.1.133)

oraz

(2.1.134)

2.1 Płaskie ustroje prętowe obciążone w płaszczyźnie

strona 75

Narysujmy wykresy momentów zginających w poszczególnych stanach obciążenia układu za-

stępczego

(rys. 2.1.125)

przy czym na łuku 1. mamy

(2.1.135)

(rys. 2.1.126)

przy czym na łuku 1. mamy

(2.1.136)

Przed obliczeniem przemieszczeń δ

11

, δ

10

(wzajemnych obrotów przekrojów, w których działa

obciążenie X

1

) zwróćmy uwagę na to, że wyniosłości łuków wynoszą odpowiednio

0

= 0.333,

1

=

2.1 Płaskie ustroje prętowe obciążone w płaszczyźnie

strona 76

0.167. Na podstawie Tabeli 2.1.1. w podpunkcie 2.1.2. (2. typ obciążenia) stwierdzamy, że łuk 1. nie

może być traktowany jako małowyniosły, co wiąże się z wprowadzeniem pod całkę wyrażenia

cos () = W1 − 16

1

(1 − 2)

1

. Otrzymujemy zatem

(2.1.137)

oraz

(2.1.138)

Wartość nadliczbowej wynosi

(2.1.139)

a wykres momentów zginających ramę statycznie niewyznaczalną ma postać

(rys.2.1.127)

przy czym na łukach mamy

(2.1.140)

oraz

2.1 Płaskie ustroje prętowe obciążone w płaszczyźnie

strona 77

(2.1.141)

Sprawdzenie obliczeń pozostawiamy Czytelnikowi.

Dodajmy, że przy założeniu o małej wyniosłości łuku nr 1. otrzymalibyśmy

/

00

= 0.667

Q

N

, /

02

= 0.167

XQ

Y

N

, 9

0

= −0.25 Z[

1

, a więc względny błąd obliczeń wyniósłby odpowied-

nio 12,7 %, 9,24% oraz 3,73%.

Przemieszczenie

ψ

A

obliczymy korzystając z twierdzenia redukcyjnego. Przyjmijmy obciążenie

wirtualne i narysujmy wykres momentów zginających

(rys. 2.1.128)

przy czym na łuku mamy

(2.1.142)

Szukane przemieszczenie wynosi zatem

(2.1.143)

Przyjęcie założenia o małej wyniosłości obu łuków prowadzi do

R



= −0.06944

XQ

Y

N

, a więc

względny błąd obliczeń

ψ

A

wynosi 15,2%.

2.1 Płaskie ustroje prętowe obciążone w płaszczyźnie

strona 78

Zadanie 20:

Oblicz poziomą składową reakcji podpór łuku małowyniosłego o stałym przekroju, poddanego działa-

niu nierównomiernego obciążenia termicznego

Δ

t

.

(rys. 2.1.129)

Przyjmijmy układ zastępczy

(rys. 2.1.130)

Na podstawie rozważań zamieszczonych w Załączniku A., łuk możemy traktować jako mało-

wyniosły. Jednocześnie zauważmy, że nie możemy pominąć wpływu sił podłużnych w obliczeniach

przemieszczenia

δ

11

. Na podstawie (2.1.27), (2.1.29) przyjmijmy

(2.1.144)

oraz

(2.1.145)

Poszukiwana wartość składowej poziomej reakcji podpór łuku wynosi zatem

(2.1.146)

Ostatecznie, dla

=

0

02

oraz

 =

0

^



10

_`

, por. (2.1.22), otrzymujemy

(2.1.147)

Pominięcie wpływu sił podłużnych na wartość

δ

11

(tj. przyjęcie

 = 0 we wzorze (2.1.146))

prowadzi do

9

0

= −12.5

NO

P

∆7

bQ

, a więc względny błąd obliczeń X

1

wynosi -18,75%.