Politechnika Poznańska ► Instytut Konstrukcji Budowlanych ► Zakład Mechaniki Budowli
Układy statycznie niewyznaczalne - metoda sił, obliczanie przemieszczeń
Zad.1
II rok studiów zawodowych zaocznych /2003
Anita Kaczor
1
Zad.1. Dla zadanej ramy statycznie niewyznaczalnej:
a) wyznaczyć wykresy sił wewnętrznych korzystając z metody sił.
b) obliczyć przemieszczenie poziome pktu D.
c) obliczyć obrót pktu C.
Zad.1a)
1. Schemat konstrukcji:
SSN=1;
EI=const
E=205Gpa;
2. Układ podstawowy:
Układ spełnia warunki
statycznej wyznaczalności
i geometrycznej niezmienności.
3. Układ równań kanonicznych:
δ
11
· X
1
+ δ
1P
= 0
gdzie: współczynniki δ
ik
, δ
iP
:
∑∫
=
δ
l
k
i
ik
dx
EI
M
M
0
;
∑∫
=
δ
l
P
i
iP
dx
EI
M
M
0
;
gdzie: M
i
– momenty zginające od obciążenia siłą jednostkową X
i
=1,0 (w ukł. podst.)
M
p
– momenty zginające od obciążenia zewnętrznego (w ukł. podst.)
3.1. Stan X
1
= 1:
Politechnika Poznańska ► Instytut Konstrukcji Budowlanych ► Zakład Mechaniki Budowli
Układy statycznie niewyznaczalne - metoda sił, obliczanie przemieszczeń
Zad.1
II rok studiów zawodowych zaocznych /2003
Anita Kaczor
2
3.2. Stan „P”:
3.3. Obliczenie współczynników δ
ik
, δ
iP
∑∫
=
δ
l
dx
EI
M
0
2
1
11
3
11
)
6
(
,
58
4
3
2
5
4
2
1
4
4
2
m
EI
=
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
δ
⋅
∑∫
⋅
=
δ
l
p
P
dx
EI
M
M
0
1
1
3
2
1
652
4
2
1
8
4
8
5
3
2
)
54
3
2
10
3
1
(
5
4
2
1
54
4
2
kNm
EI
P
−
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
=
δ
⋅
3.4. Rozwiązanie układu równań kanonicznych:
58,(6)/EI · X
1
– 652/EI = 0
⇒ X
1
= 11,1136 kN
4. Wykresy sił wewnętrznych w ramie:
Politechnika Poznańska ► Instytut Konstrukcji Budowlanych ► Zakład Mechaniki Budowli
Układy statycznie niewyznaczalne - metoda sił, obliczanie przemieszczeń
Zad.1
II rok studiów zawodowych zaocznych /2003
Anita Kaczor
3
5. Kontrola poprawności obliczeń.
5.1. Kontrola statyczna.
- spr. równowagi węzła B:
∑X = 0:
-12,5318cosα + 16,7091sinα = 0
0 = 0
∑Y = 0
-12,5318sinα - 16,7091cosα + 20,8864 = 0
0 = 0
∑M = 0
9,5456 – 9,5456 = 0
0 = 0
- spr. równowagi węzła C:
∑X = 0:
-6,6682cosα + 8,8909sinα = 0
0 = 0
∑Y = 0
11,1136 – 6,6682sin
α
- 8,8909cos
α
= 0
0 = 0
∑M = 0
10 – 10 = 0
0 = 0
5.2. Kontrola kinematyczna.
- przemieszczenie pionowe pktu D:
∑∫
=
ν
⋅
l
n
n
p
D
dx
EI
M
M
0
)
(
)
(
1
- zgodnie z tw. redukcyjnym:
∑∫
∑∫
=
=
ν
⋅
l
n
p
l
n
n
p
D
dx
EI
M
M
dx
EI
M
M
0
0
)
(
0
)
(
)
(
1
- ponieważ
1
0
M
M
=
:
=
=
ν
⋅
∑∫
l
n
p
D
dx
EI
M
M
0
1
)
(
1
0
1
0021
,
0
4
2
1
8
4
8
5
3
2
)
5456
,
9
3
2
10
3
1
(
4
5
2
1
5456
,
9
4
2
1
2
≅
<
−
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
=
EI
EI
EI
Politechnika Poznańska ► Instytut Konstrukcji Budowlanych ► Zakład Mechaniki Budowli
Układy statycznie niewyznaczalne - metoda sił, obliczanie przemieszczeń
Zad.1
II rok studiów zawodowych zaocznych /2003
Anita Kaczor
4
Zad.1b)
Przemieszczenie poziome punktu D (pomijamy wpływ sił tnących i normalnych):
∑∫
=
δ
⋅
l
n
n
p
h
D
dx
EI
M
M
0
)
(
)
(
1
Skorzystamy z tw. redukcyjnego i wyznaczonego w Zad.1. wykresu momentów zginających:
∑∫
∑∫
=
=
δ
⋅
l
n
p
l
n
n
p
h
D
dx
EI
M
M
dx
EI
M
M
0
0
)
(
0
)
(
)
(
1
+
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
−
=
δ
⋅
5456
,
9
3
1
10
3
2
5
5
2
1
5456
,
9
3
2
10
3
1
2
5
2
1
2
2
1
5456
,
9
2
1
1
EI
h
D
(
)
=
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
EI
kNm
EI
3
2
98
,
195
5
2
2
1
5
8
4
8
3
2
Wymiarowanie przekroju:
3
51
,
46
5
,
21
1000
cm
M
w
x
ekstr
potrz
x
=
=
σ
=
Przyjęto I160: w
x
=117cm
3
;
I
x
=935cm
4
;
I
y
=117cm
4
;
E=205Gpa;
EI = 935·10
-8
·205·10
6
= 1916,75 kNm
2
cm
m
h
D
2
,
10
102
,
0
75
,
1916
98
,
195
1
=
=
=
δ
⋅
Przemieszczenie poziome punktu D (dla I160)
wynosi:
cm
h
D
2
,
10
=
δ
Politechnika Poznańska ► Instytut Konstrukcji Budowlanych ► Zakład Mechaniki Budowli
Układy statycznie niewyznaczalne - metoda sił, obliczanie przemieszczeń
Zad.1
II rok studiów zawodowych zaocznych /2003
Anita Kaczor
5
Zad.1c)
Kąt obrotu punktu C (pomijamy wpływ sił tnących i normalnych):
∑∫
=
ϕ
⋅
l
n
n
p
C
dx
EI
M
M
0
)
(
)
(
1
Skorzystamy z tw. redukcyjnego i wyznaczonego w Zad.1. wykresu momentów zginających:
∑∫
∑∫
=
=
ϕ
⋅
l
n
p
l
n
n
p
C
dx
EI
M
M
dx
EI
M
M
0
0
)
(
0
)
(
)
(
1
(
)
=
⋅
⋅
⋅
⋅
+
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
=
ϕ
⋅
EI
kNm
EI
EI
C
2
2
378
,
35
1
5
8
4
8
3
2
5456
,
9
10
2
1
1
5
5456
,
9
1
2
1
1
Wymiarowanie przekroju:
3
51
,
46
5
,
21
1000
cm
M
w
x
ekstr
potrz
x
=
=
σ
=
Przyjęto I160: w
x
=117cm
3
;
I
x
=935cm
4
;
I
y
=117cm
4
;
E=205Gpa;
o
06
,
1
0184
,
0
75
,
1916
378
,
35
1
=
=
=
ϕ
⋅
rad
C
Kąt obrotu pktu C (dla I160)
wynosi:
o
06
,
1
0184
,
0
=
=
ϕ
rad
C