Teoria maszyn i mechanizmów Kinematyka mechanizmów. Metoda analityczna 1
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski
ANALIZA KINEMATYCZNA MECHANIZMÓW PŁASKICH
METODA ANALITYCZNA
Analiza kinematyczna mechanizmów dźwigniowych metodą wieloboku
wektorowego
W opisywanej metodzie łańcuch kinematyczny dowolnego płaskiego
mechanizmu dźwigniowego przedstawia się w postaci zamkniętego
wieloboku wektorowego (Rys. 1), który określa chwilowe położenie
członów.
Każdy z wektorów
i
I
tego wieloboku zdefiniowany jest we współrzędnych
biegunowych przez dwa parametry: długość wektora
i
i
I
I
=
oraz kąt
i
ϕ
określający jego kierunek.
Rys. 1. Mechanizm dźwigniowy Rys. 2. Określanie kątów w metodzie
jako wielobok wektorowy wieloboku wektorowego
Dodatni kąt
i
ϕ
jest to taki kąt o jaki należy obrócić oś x układu
współrzędnych Oxy w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara w
prawoskrętnym układzie współrzędnych aby jej dodatni zwrot pokrył się z
dodatnim zwrotem wektora
i
I co przedstawiono na Rys. 2.
Przy takiej umowie współrzędne wektora
)
I
,
I
(
I
iy
ix
i
wynoszą zawsze:
i
i
iy
i
i
ix
sin
I
I
,
cos
I
I
ϕ
ϕ
=
=
(1)
a znaki współrzędnych są określone poprzez znaki funkcji
ϕ
i
sin
i
ϕ
i
cos
.
Mechanizm płaski zdefiniowany jest przez zamknięty wielobok składający
się z n wektorów, co zapisujemy następująco:
0
I
n
1
i
i
=
∑
=
(2)
Teoria maszyn i mechanizmów Kinematyka mechanizmów. Metoda analityczna 2
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski
Wielobok wektorowy zbudowany na
członach mechanizmu posiada
2
⋅⋅⋅⋅
n parametrów.
(2)
Rys. 1. Mechanizm dźwigniowy jako wielobok wektorowy
Wielobok wektorowy opisany równaniem (2) po zrzutowaniu go na osie
płaskiego układu współrzędnych odpowiada dwóm równaniom skalarnym:
0
cos
l
,
0
l
i
n
1
i
i
n
1
i
ix
=
∑
⇒
=
∑
=
=
ϕ
(3)
0
sin
l
,
0
l
i
n
1
i
i
n
1
i
iy
=
∑
⇒
=
∑
=
=
ϕ
(4)
Ponieważ układ równań (3), (4) musi być oznaczony, na jego podstawie
można wyznaczyć dwa szukane parametry geometryczne np. dwie długo-
ści, długość i kąt lub dwa kąty. Pozostałe 2n - 2 parametry muszą być zatem
znane i należy je przyjąć jako dane w momencie definiowania mechanizmu.
Po zróżniczkowaniu równań (3), (4) względem czasu otrzymujemy układy
równań:
0
dt
dl
,
0
dt
dl
n
1
i
iy
n
1
i
ix
=
∑
=
∑
=
=
(5)
oraz
0
dt
l
d
,
0
dt
l
d
n
1
i
2
iy
2
n
1
i
2
ix
2
=
∑
=
∑
=
=
(6)
Z układu równań (5) wyznacza się dwie szukane prędkości liniowe lub kątowe
a na podstawie (6) dwa szukane przyspieszenia liniowe lub kątowe.
0
I
n
1
i
i
=
∑
=
Teoria maszyn i mechanizmów Kinematyka mechanizmów. Metoda analityczna 3
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski
Przy różniczkowaniu układu (5) względem czasu mogą zajść dwa przypadki:
a) długość danego członu jest stała
const
l
i
=
, wtedy
0
dt
dl
,
0
dt
dl
iy
ix
=
=
oraz
0
dt
l
d
,
0
dt
l
d
2
iy
2
2
ix
2
=
=
,
(7)
b) długość danego członu jest zmienna
const
l
i
≠
, wtedy
0
dt
dl
,
0
dt
dl
iy
ix
≠
≠
oraz
0
dt
l
d
,
0
dt
l
d
2
iy
2
2
ix
2
≠
≠
(8)
Dla prowadnic prostoliniowych wyrażenie dt
dl
i
określa prędkość linio-
wą skracania lub wydłużania się danego wektora reprezentującego człon.
Kierunek tej prędkości pokrywa się z kierunkiem członu.
Wyrażenie
2
i
2
dt
l
d
określa przyspieszenie liniowe wynikające ze skracania
lub wydłużania się danego wektora reprezentującego człon. W przypadku
członów prostoliniowych (prowadnic) przyspieszenie
2
i
2
dt
l
d
jest przyspiesze-
niem stycznym leżącym na linii danego członu a jego kierunek jest zgodny
z kierunkiem prędkości.
Zachodzą cztery możliwe przypadki zmian prędkości i przyspieszenia:
a)
0
dt
l
d
a
,
0
dt
dl
v
2
i
2
t
i
i
i
>
=
>
=
- wektor
i
l reprezentujący element zwięk-
sza swą długość i na tej podstawie określamy graficznie zwrot prędkości
końca tego wektora. Przyspieszenie styczne
t
i
a i prędkość
i
v
mają zwroty
zgodne,
b)
0
dt
l
d
a
,
0
dt
dl
v
2
i
2
t
i
i
i
<
=
<
=
- wektor
i
l reprezentujący element zmniej-
sza swą długość i na tej podstawie określamy graficznie zwrot prędkości
końca tego wektora. Przyspieszenie styczne
t
i
a i prędkość
i
v
mają zwroty
zgodne,
Teoria maszyn i mechanizmów Kinematyka mechanizmów. Metoda analityczna 4
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski
c)
0
dt
l
d
a
,
0
dt
dl
v
2
i
2
t
i
i
i
<
=
>
=
- wektor przyspieszenia stycznego
t
i
a ma
zwrot przeciwny do zwrotu wektora prędkości
i
v
. Element zwiększa dłu-
gość.
d)
0
dt
l
d
a
,
0
dt
dl
v
2
i
2
t
i
i
i
>
=
<
=
- wektor przyspieszenia stycznego
t
i
a ma
zwrot przeciwny do zwrotu wektora prędkości
i
v . Element zmniejsza dłu-
gość.
Powyższe rozważania mają również zastosowanie dla każdej współrzędnej
wektora
ix
l oraz
iy
l
.
Obliczając pochodne kątów
i
ϕ
względem czasu otrzymujemy odpowiednio:
dt
d
i
i
ϕ
ω =
- prędkość kątową wektora reprezentującego człon,
2
i
2
i
i
dt
d
dt
d
ϕ
ω
ε
=
=
- przyspieszenie kątowe wektora reprezentującego
człon.
Teoria maszyn i mechanizmów Kinematyka mechanizmów. Metoda analityczna 5
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski
Przykład 1. Mechanizm korbowo-suwakowy
Mechanizm można zapisać trzema wektorami w sposób pokazany na Rys. 3. Należy
zatem przyjąć 2
⋅
3 – 2 = 4 parametry.
Dane:
π
ϕ
ϕ
ϕ
=
=
0
1
1
),
t
(
,
2
1
l
BC
,
l
AB
=
=
Szukane:
)
t
(
),
t
(
x
x
2
2
C
C
ϕ
ϕ =
=
,
)
t
(
),
t
(
v
v
2
2
C
C
ω
ω =
=
,
)
t
(
),
t
(
a
a
2
2
C
C
ε
ε =
=
Rozwiązanie
Dwa wektory
2
1
l
,
l
mają stałą długość. Wektor
0
l
zmienia swoją długość w czasie ru-
chu mechanizmu. Wpisujemy wielobok wektorowy w kontur mechanizmu i oznaczamy po-
łożenia kątowe poszczególnych wektorów względem osi Ox za pomocą kątów skierowa-
nych.
Rys. 3. Wielobok wektorowy mechanizmu korbowo-suwakowego
Opisujemy wielobok wektorowy równaniem wektorowym:
0
l
l
l
0
2
1
=
+
+
(P1.1)
Następnie piszemy odpowiednie równania skalarne:
0
l
cos
l
cos
l
0
2
2
1
1
=
−
+
ϕ
ϕ
(P1.2)
0
sin
l
sin
l
2
2
1
1
=
+
ϕ
ϕ
(P1.3)
Przyjmując oznaczenie mamy z (P1.3) mamy:
ϕ
λ
ϕ
ϕ
1
1
2
1
2
sin
sin
l
l
sin
−
=
−
=
(
P1.4)
i stąd
)
sin
sin(
arc
1
2
ϕ
λ
ϕ
−
=
(P1.5)
Dalej oznaczymy:
1
2
2
2
2
2
sin
1
sin
1
cos
A
ϕ
λ
ϕ
ϕ
−
=
−
=
=
(P1.6)
2
1
l
l
=
λ
Teoria maszyn i mechanizmów Kinematyka mechanizmów. Metoda analityczna 6
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski
W celu wyznaczenia prędkości liniowej oraz przyspieszenia liniowego punktu C ko-
nieczne jest wprowadzenie wektora promienia wodzącego tego punktu
C
r
.
Wektor promień wodzący dowolnego mechanizmu płaskiego lub prze-
strzennego prowadzony jest zawsze od początku układu współrzędnych do
danego punktu, którego prędkość lub przyspieszenie chcemy obliczyć.
2
1
0
C
C
l
l
l
)
0
,
x
(
r
+
=
−
=
(P1.7)
Rys. 3
Współrzędna wektora promienia wodzącego określająca położenie su-
waka wynosi:
A
l
cos
l
cos
l
cos
l
l
l
x
2
1
1
2
2
1
1
x
2
x
1
C
⋅
+
=
+
=
+
=
ϕ
ϕ
ϕ
P1.8)
W celu obliczenia prędkości kątowej różniczkujemy (P1.5) względem czasu:
1
1
1
2
1
1
2
2
1
1
2
2
cos
A
cos
cos
cos
cos
ϕ
ϕ
λ
ϕ
ϕ
ϕ
λ
ϕ
ω
ϕ
ϕ
λ
ϕ
ϕ
−
−
=
−
=
=
−
=
&
&
&
&
&
(
P1.9)
Następnie różniczkując (P1.8) względem czasu obliczymy prędkość liniową punktu C:
)
2
sin
A
5
,
0
(sin
l
x
v
1
1
1
1
1
C
C
ϕ
λ
ϕ
ϕ
−
+
−
=
=
&
&
(P1.10)
W celu obliczenia przyspieszenia kątowego różniczkujemy (P1.9) względem czasu:
(P1.11)
Następnie różniczkujemy (P1.10) i otrzymamy przyspieszenie liniowe punktu C:
P1.12)
+
+
−
+
−
=
=
1
1
2
3
3
1
2
1
1
1
1
1
1
C
C
2
cos
A
2
sin
A
4
cos
l
2
sin
A
2
sin
l
x
a
ϕ
λ
ϕ
λ
ϕ
ϕ
ϕ
λ
ϕ
ϕ
&
&&
&&
Jeżeli korba
1
I
AB
=
obraca się ze stałą prędkością kątową, wtedy jej przyspieszenie
kątowe jest równe zero czyli
0
dt
d
1
1
1
=
=
=
ω
ε
ϕ
&&
, co należy uwzględnić w równaniach.
Teoria maszyn i mechanizmów Kinematyka mechanizmów. Metoda analityczna 7
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski
Przykład 2. Mechanizm czworoboku przegubowego
W ten mechanizm wpisujemy cztery wektory (Rys. 4). Należy zatem przyjąć 2
⋅
4 – 2 = 6
parametrów. Wszystkie wektory w przypadku tego mechanizmu mają stałą długość.
Dane:
π
ϕ
ϕ
=
0
0
3
2
1
1
,
l
,
l
,
l
,
l
,
Szukane:
3
2
3
2
3
2
,
,
,
,
,
ε
ε
ω
ω
ϕ
ϕ
.
Rozwiązanie
Mechanizm zapisujemy wielobokiem wektorowym:
0
l
l
l
l
0
3
2
1
=
+
+
+
(P2.1)
Rys. 4. Wielobok wektorowy mechanizmu czworoboku przegubowego
Po rzutowaniu równania (P2.1) na osie układu współrzędnych otrzymamy:
0
sin
l
sin
l
sin
l
0
l
cos
l
cos
l
cos
l
3
3
2
2
1
1
0
3
3
2
2
1
1
=
+
+
=
−
+
+
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
(P2.2)
Przekształcamy układ równań (P2.2) do postaci:
3
3
2
2
1
1
3
3
0
2
2
1
1
sin
l
sin
l
sin
l
cos
l
l
cos
l
cos
l
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
−
=
+
−
=
−
+
(P2.3)
Po wprowadzeniu oznaczeń:
,
sin
l
B
,
l
cos
l
A
1
1
0
1
1
ϕ
ϕ
=
−
=
otrzymamy:
3
3
2
2
3
3
2
2
sin
l
sin
l
B
cos
l
cos
l
A
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
−
=
+
−
=
+
(P2.4)
Równania (P2.4) podnosimy do kwadratu i dodajemy stronami
0
l
l
sin
Bl
2
B
cos
Al
2
A
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
=
−
+
+
+
+
ϕ
ϕ
(P2.5)
Równanie (P2.5) dzielimy przez
2
Al
2
Teoria maszyn i mechanizmów Kinematyka mechanizmów. Metoda analityczna 8
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski
0
sin
A
B
cos
Al
2
l
l
B
A
2
2
2
2
3
2
2
2
2
=
+
+
−
+
+
ϕ
ϕ
(P2.6)
Przyjmiemy oznaczenia:
2
2
3
2
2
2
2
Al
2
l
l
B
A
C
−
+
+
=
,
A
B
D
=
, zatem (P2.6) przyjmie
postać:
0
sin
D
cos
C
2
2
=
+
+
ϕ
ϕ
(P2.7)
Po podniesieniu (P2.6) stronami do kwadratu otrzymujemy:
0
)
D
C
(
cos
C
2
cos
)
D
1
(
2
2
2
2
2
2
=
−
+
+
+
ϕ
ϕ
(P2.8)
Po podstawieniu
2
cos
w
ϕ
=
otrzymamy równanie kwadratowe w postaci:
0
)
D
C
(
Cw
2
w
)
D
1
(
2
2
2
2
=
−
+
+
+
(P2.9)
z którego wyznaczymy dwa pierwiastki
,
w
,
w
2
1
a następnie dwie wartości
kąta
2
ϕ
, tj. kąty
)
2
(
2
)
1
(
2
,
ϕ
ϕ
.
Dwa rozwiązania równania kwadratowego (P2.9) odpowiadają dwóm wa-
riantom położenia członów mechanizmu czworoboku przegubowego przy
ustalonym położeniu członu napędzającego
1
ϕ
co pokazano na Rys. 4. Kąt
3
ϕ
znajdziemy z równania (P2.4). Otrzymamy odpowiednio:
)
2
(
3
)
1
(
3
,
ϕ
ϕ
.
W celu wyznaczenia prędkości kątowej członów 2 i 3 różniczkujemy pierw-
sze z równań (P2.2) i otrzymujemy:
0
sin
l
sin
l
sin
l
3
3
3
2
2
2
1
1
1
=
+
+
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
(P2.10)
gdzie:
,
dt
d
,
dt
d
,
dt
d
3
3
2
2
1
1
ϕ
ω
ϕ
ω
ϕ
ω
=
=
=
- pochodne kątów,
W celu wyznaczenia prędkości kątowej
3
ω
obracamy układ współrzędnych
o kąt
2
ϕ
. Równanie (P2.10) przyjmie postać:
0
)
sin(
l
)
sin(
l
)
sin(
l
2
3
3
3
2
2
2
2
2
1
1
1
=
−
+
−
+
−
ϕ
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ω
(P2.11)
a ponieważ wyrażenie
0
)
sin(
l
2
2
2
2
=
−
ϕ
ϕ
ω
to otrzymamy:
)
sin(
l
)
sin(
l
2
3
3
2
1
1
1
3
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ω
ω
−
−
−
=
(P2.12)
Teoria maszyn i mechanizmów Kinematyka mechanizmów. Metoda analityczna 9
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski
Analogicznie obracając układ współrzędnych o kąt
ϕ
3
mamy:
0
)
sin(
l
)
sin(
l
)
sin(
l
3
3
3
3
3
2
2
2
3
1
1
1
=
−
+
−
+
−
ϕ
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ω
(P2.13)
Ponieważ
0
)
sin(
3
3
=
−
ϕ
ϕ
to
prędkość kątowa członu 2:
1
3
2
2
3
1
1
2
)
sin(
l
)
sin(
l
ω
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ω
⋅
−
−
−
=
(P2.14)
W celu obliczenia przyspieszeń kątowych różniczkujemy równanie (P2.10)
0
sin
l
cos
l
sin
l
cos
l
sin
l
cos
l
3
3
3
3
3
2
3
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
1
=
+
+
+
+
+
ϕ
ε
ϕ
ω
ϕ
ε
ϕ
ω
ϕ
ε
ϕ
ω
(P2.15)
Przyspieszenie kątowe członu 3 -
3
ε
otrzymamy obracając układ współrzęd-
nych o kąt
ϕ
2
)
sin(
l
)
cos(
l
l
)
sin(
l
)
cos(
l
2
3
3
2
3
3
2
3
2
2
2
2
1
1
1
2
1
1
2
1
3
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ω
ω
ϕ
ϕ
ε
ϕ
ϕ
ω
ε
−
−
+
+
−
+
−
−
=
2.16)
Przyspieszenie kątowe członu 2 -
2
ε
otrzymamy obracając układ współrzęd-
nych o kąt
ϕ
3
)
sin(
l
l
)
cos(
l
)
sin(
l
)
cos(
l
3
2
2
3
2
3
3
2
2
2
2
3
1
1
1
3
1
1
2
1
2
ϕ
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ε
ϕ
ϕ
ω
ε
−
+
−
+
−
+
−
−
=
(P2.17)
Równania (P2.15), (P2.16) i (P2.17) ulegną uproszczeniu jeżeli prędkość ką-
towa
const
1
=
ω
, wówczas przyspieszenie
0
1
=
ε
.
Teoria maszyn i mechanizmów Kinematyka mechanizmów. Metoda analityczna 10
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski
Przykład 3. Analiza toru, prędkości i przyspieszenia punktu płaszczy-
zny łącznikowej mechanizmu czworoboku przegubowego.
Dla mechanizmu czworoboku przegubowego wyznaczymy parametry kinematyczne
punktu K należącego do płaszczyzny łącznikowej (Rys. 5).
Dane:
2
4
2
4
2
4
4
1
1
,
,
,
l
),
t
(
,
l
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
α
ϕ
ϕ
ϕ
&&
&&
&
&
=
=
+
=
Szukane: tor punktu K, prędkość punktu
K
v
oraz przyspieszenie
K
a
.
Rys. 5. Czworobok przegubowy z oznaczonym punktem K płaszczyzny łącznikowej
Rozwiązanie
Na podstawie Rys. 5 zapiszemy równanie wektora promienia wodzącego
punktu K:
4
1
K
l
l
r
+
=
(P3.1)
Następnie wyznaczymy współrzędne wektora
K
r
.
)
sin(
l
sin
l
r
)
cos(
l
cos
l
r
2
4
1
1
Ky
2
4
1
1
Kx
α
ϕ
ϕ
α
ϕ
ϕ
+
+
=
+
+
=
(P3.2)
Zależności (P3.2) są parametrycznymi równaniami toru punktu K czyli równa-
niami hodografu wektora promienia wodzącego
K
r
Następnie różniczkujemy równania (P3.2) i znajdujemy współrzędne wektora
prędkości punktu K.
)
cos(
l
cos
l
dt
dr
v
)
sin(
l
sin
l
dt
dr
v
2
2
4
1
1
1
Ky
Kx
2
2
4
1
1
1
Kx
Kx
α
ϕ
ω
ϕ
ω
α
ϕ
ω
ϕ
ω
+
+
=
=
+
−
−
=
=
(P3.3)
Zależności (P3.3) są parametrycznymi równaniami hodografu prędkości
K
v .
Teoria maszyn i mechanizmów Kinematyka mechanizmów. Metoda analityczna 11
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski
Wartość wektora prędkości punktu K określimy z zależności
2
Ky
2
Kx
K
v
v
v
+
=
(P3.4)
Cosinusy kierunkowe jaki tworzy wektor
K
v z osiami układu współrzęd-
nych określają zależności:
K
Kx
K
v
v
)
x
,
v
cos(
=
,
K
Ky
K
v
v
)
y
,
v
cos(
=
(P3.5)
Analogicznie wyznaczymy współrzędne wektora przyspieszenia
K
a
)
sin(
l
)
cos(
l
sin
l
cos
l
dt
dr
a
)
cos(
l
)
sin(
l
cos
l
sin
l
dt
dr
a
2
2
2
4
2
2
4
1
2
1
1
1
1
1
2
2
Ky
Kx
2
2
2
4
2
2
4
1
2
2
1
1
1
1
2
2
Kx
Kx
α
ϕ
ω
α
ϕ
ε
ϕ
ω
ϕ
ε
α
ϕ
ω
α
ϕ
ε
ϕ
ω
ϕ
ε
+
−
+
+
−
=
=
+
−
+
−
−
−
=
=
(P3.6)
Zależność (P3.6) przestawiają parametryczne równania hodografu przy-
spieszenia. Wartość całkowitego przyspieszenia punku K wynosi:
2
Ky
2
Kx
K
a
a
a
+
=
(P3.7)
a jego cosinusy kierunkowe
K
Kx
K
a
a
)
x
,
a
cos(
=
,
K
Ky
K
a
a
)
y
,
a
cos(
=
(P3.8)
Teoria maszyn i mechanizmów Kinematyka mechanizmów. Metoda analityczna 12
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski
Przykład 4. Mechanizm jarzmowy
Mechanizm jarzmowy przedstawiony na Rys. 6 podobnie jak mechanizm korbowo-
suwakowy można zapisać za pomocą wieloboku trzech wektorów. Należy zatem założyć
2
⋅
3 - 2 = 4 parametry mechanizmu. Jedynym członem o zmiennej długości jest jarzmo 3.
Dane:
0
,
CA
l
),
t
(
,
AB
l
0
0
1
1
1
=
=
=
=
ϕ
ϕ
ϕ
Szukane:
3
l
,
3
ϕ
,
dt
dl
v
3
3
B
2
B
=
,
3
ω
,
2
3
2
t
3
B
2
B
dt
l
d
a
=
,
3
ε
Rys. 6. Wielobok wektorowy mechanizmu jarzmowego
Wpisujemy w analizowany mechanizm zamknięty trójkąt wektorów i zapisu-
jemy go równaniem:
0
l
l
l
0
3
1
=
+
+
(P4.1)
Po zrzutowaniu na osie układu współrzędnych otrzymamy równania ska-
larne:
0
sin
l
sin
l
0
l
cos
l
cos
l
3
3
1
1
0
3
3
1
1
=
+
=
+
+
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
(P4.2)
Z układu równań (P4.2) wyznaczymy długość jarzma
3
l
:
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
1
1
3
3
1
1
0
3
3
sin
l
sin
l
cos
l
l
cos
l
−
=
−
−
=
(P4.3)
Po podniesieniu układu równań (P4.3) do kwadratu i dodaniu stronami znaj-
dziemy długość jarzma
3
l
:
2
1
1
1
0
2
0
2
1
1
2
1
1
0
3
I
cos
l
l
2
I
)
sin
l
(
)
cos
l
l
(
l
+
+
=
+
+
=
ϕ
ϕ
ϕ
(P4.4)
Dzieląc stronami równania (P4.3) mamy:
1
1
0
1
1
3
1
1
0
1
1
3
cos
l
l
sin
l
tg
arc
,
cos
l
l
sin
l
tg
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
+
=
+
=
(P4.5)
Teoria maszyn i mechanizmów Kinematyka mechanizmów. Metoda analityczna 13
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski
W celu znalezienia prędkości kątowych i liniowych jarzma 3 różniczkujemy
pierwsze z równań (P4.2) tj. równanie:
0
l
cos
l
cos
l
0
3
3
1
1
=
+
+
ϕ
ϕ
podstawiając
1
1
ϕ
ω
&
=
i
3
3
ϕ
ω
&
=
:
0
sin
l
cos
dt
dl
sin
l
3
3
3
3
3
1
1
1
=
−
+
−
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ω
(P4.6)
Prędkość względną suwaka 2 względem prowadnicy 3 tj.
dt
dl
v
3
3
B
2
B
=
znajdziemy obracając układ współrzędnych Oxy o kąt
ϕ
3
,
0
)
sin(
l
)
cos(
dt
dl
)
sin(
l
3
3
3
3
3
3
3
3
1
1
1
=
−
−
−
+
−
−
ϕ
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ω
(P4.7)
Ostatecznie prędkość względna suwaka 2 względem prowadnicy 3 :
)
sin(
l
dt
dl
v
3
1
1
1
3
3
B
2
B
ϕ
ϕ
ω
−
=
=
(P4.8)
Prędkość kątową jarzma
3
ω
znajdziemy obracając układ współrzędnych
o kąt (
o
90
3
−
ϕ
). Z równania:
0
)
90
sin(
l
)
90
(
cos
dt
dl
)
90
sin(
l
o
3
3
3
3
o
3
3
3
3
1
1
1
=
+
−
−
+
+
−
+
+
−
−
ϕ
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ω
o
(P4.9)
Ostatecznie prędkość kątowa jarzma:
)
cos(
l
l
3
1
1
3
1
3
ϕ
ϕ
ω
ω
−
−
=
(P4.10)
W celu znalezienia przyspieszeń kątowych i liniowych różniczkujemy rów-
nanie (P4.6) podstawiając
3
3
1
1
,
ε
ϕ
ε
ϕ
=
=
&&
&&
:
(P4.11)
0
cos
l
sin
l
sin
dt
dl
2
cos
dt
l
d
cos
l
sin
l
3
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
3
2
1
2
1
1
1
1
1
=
−
−
−
+
−
−
ϕ
ω
ϕ
ε
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ω
ϕ
ε
Przyspieszenie styczne suwaka 2 względem prowadnicy 3 tj.
2
3
2
t
3
B
2
B
dt
l
d
a
=
znajdziemy obracając układ współrzędnych o kąt
3
ϕ
:
0
l
dt
l
d
)
cos(
l
)
sin(
l
2
3
3
2
3
2
3
1
2
1
1
3
1
1
1
=
−
+
−
−
−
−
ω
ϕ
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ε
(P4.12)
ostatecznie:
2
3
3
3
1
2
1
1
3
1
1
1
2
3
2
t
3
B
2
B
l
)
cos(
l
)
sin(
l
dt
l
d
a
ω
ϕ
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ε
+
−
+
−
=
=
(P4.13)
Teoria maszyn i mechanizmów Kinematyka mechanizmów. Metoda analityczna 14
Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski
Obracając układ współrzędnych o kąt (
o
90
3
−
ϕ
): otrzymamy przyspieszenie
kątowe jarzma:
0
)
90
cos(
l
)
90
sin(
l
)
90
sin(
dt
dl
2
)
90
cos(
dt
l
d
)
90
cos(
l
)
90
sin(
l
3
3
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
3
2
3
1
2
1
1
3
1
1
1
=
+
−
−
+
−
−
+
+
−
−
+
−
+
+
+
−
−
+
−
−
o
o
o
o
o
o
ϕ
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ε
ϕ
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ε
(P4.14)
ostatecznie:
3
3
3
3
1
2
1
3
1
3
1
1
3
1
3
l
dt
dl
2
)
sin(
l
l
)
cos(
l
l
ω
ϕ
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ε
ε
−
−
+
−
−
=
(P4.15)
Przykład 5. Mechanizm złożony
Analiza kinematyczna mechanizmu złożonego zostanie pokazana na przykładzie me-
chanizmu napędu stołu strugarki przedstawionego w postaci schematu na Rys. 7.
Zadanie można rozwiązać w dwóch etapach:
Etap – 1. Analiza mechanizmu jarzmowego opisanego
wielobokiem wektorowym:
0
l
l
l
0
3
1
=
+
+
P5.1
()
Dane:
,
90
,
l
),
t
(
,
l
o
0
0
1
1
=
ϕ
ϕ
Szukane:
3
l ,
3
ϕ
,
dt
dl
3
,
3
ω
,
2
3
2
dt
l
d
,
3
ε
Etap – 2. Analiza mechanizmu korbowo-suwakowego
opisanego wielobokiem wektorowym:
0
l
l
l
l
7
6
4
*
3
=
+
+
+
(P5.2)
Dane:
o
o
o
0
,
270
,
l
,
l
,
180
,
l
7
6
6
4
3
*
3
*
3
=
=
−
=
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
Szukane:
7
4
7
4
7
4
l
,
,
l
,
,
l
,
&&
&&
&
&
ϕ
ϕ
ϕ
Rys. 7. Wielobok wektorowy
mechanizmu złożonego
Ponieważ przykłady analizy kinematycznej mechanizmu jarzmowego jak również
korbowo-suwakowego zostały pokazane już w niniejszym rozdziale należy je wykorzy-
stać i zastosować w rozważanym przypadku mechanizmu złożonego.