Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Nośność sprężysto-plastycznych ustrojów
prętowych

253

19. NOŚNOŚĆ SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNYCH USTROJÓW PRĘTOWYCH
19.1. Idealizacja wykresu rozciągania

Wykres rozciągania stali miękkiej, otrzymany ze statycznej próby rozciągania, daje obraz
rzeczywistego zachowania się tego materiału przy osiowym rozciąganiu. Nieregularny i
skomplikowany kształt tego wykresu sprawia, że w zastosowaniach aproksymuje się go
odcinkowo możliwie dobrze przybliżającymi, prostymi funkcjami analitycznymi. Tej
idealizacji dokonuje się w zależności od charakteru rzeczywistego wykresu i konkretnego
zastosowania. Najczęściej stosowane aproksymacje pokazane są na rys.19.1.

Rys. 19.1

Model materiału liniowo sprężystego (ciało Hooke’a) stosowany jest w zagadnieniach, w
których nie dopuszczamy wystąpienia odkształceń plastycznych. Takie ciało było
przedmiotem naszych dotychczasowych rozważań.
Model materiału idealnie sztywno plastycznego (ciało de Saint-Venanta) używany jest w
zagadnieniach technologicznej plastyczności, jak np. walcowanie lub przeciąganie, czyli w
procesach w których odkształcenia plastyczne są dominujące i sprężyste mogą być
pominięte.
Model ciała idealnie sprężysto-plastycznego (ciało Prandtla) stosowany jest do opisu
zachowania się materiału, w którym występuje wyraźna platforma płynięcia i w
zagadnieniach, w których dopuszczamy umiarkowane odkształcenia plastyczne.
Stosowane też bywają bardziej skomplikowane modele materiału uwzględniające np.
wzmocnienie plastyczne czy nieliniowe odkształcenia sprężyste.

19.2. Zginanie prętów z materiału sprężysto-plastycznego.

Rozważać będziemy zginanie poprzeczne prętów pryzmatycznych wykonanych z materiału o
jednakowych własnościach na rozciąganie i ściskanie (materiał izonomiczny), opisanych
modelem ciała idealnie sprężysto-plastycznego, którego wykres zależności

ε

σ

− wraz z

równaniami dla jednoosiowego stanu naprężenia pokazany jest na rys. 19.2.

Rys. 19.2

σ

R

H

ε

materiał
liniowo sprężysty

R

e

ε

σ

materiał sztywno
plastyczny

R

e

ε

σ

materiał sprężysto-
plastyczny

ε

σ

E

=

dla

pl

pl

ε

ε

ε

<

<

−

e

R

=

σ

dla

pl

ε

ε

≥

e

R

−

=

σ

dla

pl

ε

ε

−

≤

e

R

−

pl

ε

σ

ε

pl

ε

−

e

R

Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Nośność sprężysto-plastycznych ustrojów
prętowych

254

Analizy zachowania się takich prętów dokonamy przyjmując następujące założenia:
• spełniona jest zasada płaskich przekrojów,
• obciążenie i przekrój poprzeczny belki spełnia warunki poprzecznego zginania,
• pomijalny jest wpływ sił poprzecznych na osiągnięcie stanu plastycznego.
Zaczniemy od analizy wybranego przekroju pręta, pokazanego na rys. 19.3, w którym
moment zginający, działający w jego płaszczyźnie symetrii, pręta jest równy M (dla
uproszczenia zapisu opuszczony został dolny indeks). W zależności od wartości tego
momentu zginającego mogą wystąpić następujące stany mechaniczne tego przekroju i
odpowiadające im rozkłady naprężeń normalnych (patrz rys. 19.3):
1- stan sprężysty,
2- graniczny stan sprężysty,
3- stan sprężysto-plastyczny (częściowe uplastycznienie przekroju),
4- graniczny stan plastyczny (pełne uplastycznienie przekroju).

Rys. 19.3

Przy niewielkiej wartości momentu zginającego w przekroju występuje stan sprężysty,
rozkład naprężeń normalnych jest liniowy, zerują się one na osi Y (osi obojętnej), a ich
największa wartość jest mniejsza od granicy plastyczności

e

R

.

Zwiększaniu wartości momentu zginającego odpowiadać będzie wzrost odkształceń
liniowych (zarówno tych dodatnich, jak i ujemnych) i stowarzyszony z tym wzrost naprężeń

normalnych. Przy pewnej wartości M – nazywanej granicznym momentem sprężystym
punkty najbardziej oddalone od osi obojętnej zostaną uplastycznione, wystąpią w nich
naprężenia o wartości równej

e

R

, i stan ten nazywamy granicznym stanem sprężystym.

Dalsze zwiększaniu momentu zginającego powoduje dalszy wzrost odkształceń i naprężeń,
ale naprężenia mogą się zwiększać tylko w tych punktach, gdzie były one mniejsze od granicy
plastyczności

e

R

. W tym stanie nazywanym stanem sprężysto-plastycznym w przekroju

poprzecznym wystąpią obszary sprężyste, jak i uplastycznione.
Stan końcowy, w którym we wszystkich punktach przekroju naprężenia są równe granicy

plastyczności, nazywamy granicznym stanem plastycznym, a moment zginający M , przy
którym ten stan się realizuje nazywamy - granicznym momentem plastycznym. Przekrój jest
wówczas w pełni uplastyczniony i zgodnie z przyjętym modelem fizycznym materiału
odkształcenia liniowe mogą wzrastać w nim nieograniczenie.
Zajmiemy się wpierw granicznym stanem sprężystym.

e

x

R

=

σ

e

x

R

=

σ

e

x

R

=

σ

e

x

R

<

σ

e

x

R

<

σ

Y

pl

Y

Z

M

A

e

x

R

<

σ

1

e

x

R

=

σ

4

e

x

R

=

σ

3

3

e

x

R

=

σ

2

Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Nośność sprężysto-plastycznych ustrojów
prętowych

255

Zależności określające w stanie sprężystym rozkład naprężeń normalnych, krzywiznę osi
belki i jej przemieszczenia są znane z poprzednich rozważań. Oś obojętna sprężystego
zginania to główna centralna ,oś bezwładności przekroju poprzecznego, równoległa do

wektora momenty zginającego. Wartość granicznego momentu sprężystego M , tj. momentu
zginającego, który powoduje uplastycznienie skrajnego punktu (lub punktów) przekroju
poprzecznego, wyznaczymy z zależności:

spr

e

spr

e

x

W

R

M

W

M

R

max

=

→

=

=

σ

.

(19.1)

gdzie:

z

max

J

W

W

y

y

spr

=

=

to wskaźnik wytrzymałości względem osi obojętnej sprężystego

zginania.
Przejdźmy teraz do granicznego stanu plastycznego.
Oznaczmy przez

1

A

uplastycznioną rozciąganą część przekroju, a przez

2

A

uplastycznioną

ś

ciskaną część przekroju (rys. 19.4). Rozdziela je oś obojętna zginania plastycznego, której

położenie nie jest, na razie, znane.

Rys. 19.4

Chcemy wyznaczyć położenie osi obojętnej tego zginania i wartość granicznego momentu

plastycznego

M

, tj. momentu zginającego, który powoduje całkowite uplastycznienie

przekroju poprzecznego.
Do dyspozycji mamy dwa równania równoważności układów sił wewnętrznych i
zewnętrznych.

0

=

∫∫

A

x

dA

σ

,

M

dA

z

A

x

=

∫∫

σ

.

Podstawiając do pierwszego równania wartości naprężeń w tym granicznym stanie dostajemy
zależność

(

)

2

1

2

1

0

2

1

A

A

dA

R

dA

R

A

e

A

e

=

→

=

−

+

∫∫

∫∫

,

(19.2)

która dowodzi, że oś obojętna zginania plastycznego połowi przekrój poprzeczny.
Z drugiego równania równoważności otrzymujemy wartość granicznego momentu
plastycznego:

e

x

R

=

σ

e

x

R

=

σ

Y

pl

Z

M

A

2

A

1

Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Nośność sprężysto-plastycznych ustrojów
prętowych

256

(

)

pl

e

A

e

A

e

W

R

M

M

dA

z

R

dA

z

R

=

→

=

−

+

∫∫

∫∫

2

1

2

1

(19.3)

gdzie :

2

1

ypl

ypl

pl

S

S

W

+

=

- plastyczny wskaźnik wytrzymałości

(19.4)

∫∫

=

1

1

1

A

ypl

dA

z

S

,

∫∫

=

2

2

2

A

ypl

dA

z

S

- momenty statyczne odpowiednich części przekroju

poprzecznego względem osi obojętnej plastycznego zginania.
Oba graniczne momenty zginające zależne są jedynie od materiału i kształtu przekroju
poprzecznego.
Przejdźmy teraz do analizy belek z materiału Prandtla pracujących w warunkach zginania
poprzecznego.
W ogólności na długości belki poszczególne jej przekroje mogą się znajdować we wszystkich
wyżej opisanych stanach mechanicznych i zależeć to będzie od wielkości przyłożonych
obciążeń. W pewnej analogii do wyżej wprowadzonych określeń, dotyczących momentów
zginających możemy obciążenia przyłożone do belki podzielić na:

•

graniczne obciążenie sprężyste (graniczna nośność sprężysta)

•

graniczne obciążenie plastyczne (graniczna nośność plastyczna)

•

nośność graniczna.

Graniczne obciążenie sprężyste P lub q - to taka wielkość obciążenia danej belki, przy

której choć w jednym jej przekroju wystąpi graniczny moment sprężysty M .

Graniczne obciążenie plastyczne

P

lub q - to taka wielkość obciążenia danej belki przy

której choć w jednym jej przekroju wystąpi graniczny moment plastyczny

M

.

Nośności graniczna

*

P

lub

*

q

- to taka wielkość obciążenia danej belki przy którym traci

ona zdolność do jego przenoszenia (belka staje się geometrycznie zmienna).
W belkach statycznie wyznaczalnych graniczne obciążenie plastyczne jest tożsame z
nośnością graniczną, gdyż pełne uplastycznienie przekroju jest równoważne powstaniu w
nim przegubu plastycznego, co czyni belkę kinematycznie zmienną. Przegub plastyczny, w

odróżnieniu od zwykłego przegubu przenosi graniczny moment plastyczny

M

, ale obrót

sąsiednich przekrojów jest w nim swobodny co daje belce dodatkowy stopień swobody.
W belkach statycznie niewyznaczalnych sytuacja jest trochę odmienna bo na ogół powstaniu
jednego przegubu plastycznego nie czyni belki geometrycznie zmienną, a tylko obniża jej
stopień statycznej niewyznaczalności. Stąd na w belce n-krotnie statycznie niewyznaczalnej
maksymalna liczba przegubów plastycznych, potrzebna do zamiany belki w mechanizm
wynosi

n

+1.

Nośność graniczną można otrzymać w dwojaki sposób:

•

pierwszy, polega na zwiększaniu obciążeń i analizie kolejnych wywołanych przez nie

stanów konstrukcji od sprężystych aż do stanu nośności granicznej,

•

drugi, polega na bezpośredniej analizie stanów nośności granicznej tzn. analizie

konstrukcji w której wprowadzonych zostało tak wiele przegubów plastycznych (w ogólności
obszarów uplastycznionych), że stała się geometrycznie zmienna i wykorzystaniu twierdzeń
ekstremalnych teorii plastyczności.
W teorii plastyczności występują pojęcia pól statycznie i kinematycznie dopuszczalnych w
konstrukcji, które definiujemy następująco:

•

polem statycznie dopuszczalnym, nazywamy pole naprężeń, które spełnia warunki

Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Nośność sprężysto-plastycznych ustrojów
prętowych

257

równowagi i jest niesprzeczne z warunkiem plastyczności tzn.

M

M

≤

max

(

e

R

≤

σ

max

)

• polem kinematycznie dopuszczalnym nazywamy pole przemieszcze

ń

, które jest

niesprzeczne z istniej

ą

cymi wi

ę

zami.

Twierdzenia ekstremalne teorii plastyczno

ś

ci mo

ż

emy sformułowa

ć

nast

ę

puj

ą

co:

• twierdzenie o oszacowaniu dolnym:
najwi

ę

ksze spo

ś

ród statycznie dopuszczalnych obci

ąż

e

ń

granicznych jest rzeczywist

ą

no

ś

no

ś

ci

ą

graniczn

ą

,

• twierdzenie o oszacowaniu dolnym:
najmniejsze spo

ś

ród kinematycznie dopuszczalnych obci

ąż

e

ń

granicznych jest rzeczywist

ą

no

ś

no

ś

ci

ą

graniczn

ą

.

St

ą

d wnosimy,

ż

e wyznaczona metod

ą

pól statycznie dopuszczalnych (podej

ś

cie statyczne)

no

ś

no

ść

graniczna jest oszacowaniem od dołu rzeczywistej no

ś

no

ś

ci granicznej, natomiast w

przypadku pól kinematycznie dopuszczalnych ( podej

ś

cie kinematyczne) jest oszacowaniem

od góry.
Mo

ż

na wi

ę

c powiedzie

ć

,

ż

e rezultat otrzymany podej

ś

ciem statycznym jest bezpieczniejszy

gdy

ż

okre

ś

lona t

ą

metod

ą

no

ś

no

ść

graniczna jest mniejsza od rzeczywistej i w istocie rzeczy

konstrukcja mo

ż

e przenie

ść

wi

ę

ksze obci

ąż

enie.

Te dwa sposoby pokazane zostan

ą

na przykładzie belki jednokrotnie statycznie

niewyznaczalnej o prostok

ą

tnym przekroju poprzecznym b

×

h

=0.06

× 0.12 m, obci

ąż

onej jak

na rys. 19.5 i wykonanej z materiału, którego granica plastyczno

ś

ci

225

=

e

R

MPa.

Rys. 19.5

Wpierw obliczymy graniczne momenty spr

ęż

ysty i plastyczny. Poniewa

ż

przekrój jest

bisymetryczny wi

ę

c o

ś

Y jest osi

ą

oboj

ę

tn

ą

zginania zarówno spr

ęż

ystego jak i plastycznego.

Wska

ź

nik wytrzymało

ś

ci spr

ęż

ystego zginania wynosi:

144

6

2

=

=

/

bh

W

spr

cm

3

, natomiast

wska

ź

nik wytrzymało

ś

ci plastycznego zginania jest równy:

216

4

/

8

/

*

2

2

2

=

=

=

bh

bh

W

pl

cm

3

.

St

ą

d graniczny moment spr

ęż

ysty:

32400

10

144

10

225

6

6

=

=

=

−

*

*

*

W

R

M

spr

e

Nm, a

graniczny moment plastyczny wynosi:

48600

10

216

10

225

6

6

=

=

=

−

*

*

*

W

R

M

pl

e

Nm.

Pierwsza metoda okre

ś

lenia no

ś

no

ś

ci granicznej wymaga wyznaczenia momentów w tej

jednokrotnie statycznie niewyznaczalnej belce. Aby to uczyni

ć

musimy zna

ć

reakcje, których

wyznaczenie z samych równa

ń

równowagi nie jest mo

ż

liwe. Gdyby

ś

my jednak znali jedn

ą

z

nich to pozostałe łatwo wyznaczymy z równa

ń

równowagi. Wyznaczmy wi

ę

c warto

ść

momentu w utwierdzeniu

A

M

. W tym celu zast

ą

pimy dan

ą

belk

ę

statycznie niewyznaczaln

ą

równowa

ż

n

ą

jej wolnopodpart

ą

belk

ą

statycznie wyznaczaln

ą

obci

ąż

on

ą

prócz sił skupionych,

momentem

A

M

. Warto

ść

A

M

wyliczymy z warunku zerowania si

ę

k

ą

ta ugi

ę

cia na podporze

A

w belce wolnopodpartej. Mo

ż

emy to uczyni

ć

korzystaj

ą

c np. z metody Mohra obliczania

ugi

ęć

.

X

Z

b

Y

h

2 l

l

l

A

B

C

D

P

2 P

Z

l

= 1.0 m

h

= 0.12 m

b

= 0.06 m

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. No

ś

no

ść

spr

ęż

ysto-plastycznych ustrojów

pr

ę

towych

258

0

3

2

*

2

1

2

*

3

5

.

1

2

1

2

*

4

2

1

3

4

*

2

4

2

1

4

*

0

=

−

−

−

+

→

=

∑

l

l

EJ

Pl

l

l

EJ

Pl

l

l

EJ

Pl

l

l

EJ

M

l

V

M

y

y

y

y

A

fA

fD

y

A

fA

EJ

M

Pl

V

12

16

27

2

−

=

,

Pl

l

P

M

EJ

M

Pl

V

A

y

A

A

fA

6875

.

1

16

27

0

12

16

27

2

=

=

→

=

−

=

=

ϕ

.

Znajomo

ść

momentu utwierdzenia

A

M

pozwala na wyznaczenie wykresu
momentów zginaj

ą

cych w zast

ę

pczej

statycznie wyznaczalnej belce
wolnopodpartej, który jest równocze

ś

nie

wykresem momentów w danej belce
statycznie niewyznaczalnej. Wida

ć

z

niego,

ż

e najwi

ę

kszy co do bezwzgl

ę

dnej

warto

ś

ci moment zginaj

ą

cy wyst

ę

puje w

utwierdzeniu, wi

ę

c graniczne obci

ąż

enie

spr

ęż

yste obliczymy z zale

ż

no

ś

ci:

19200

6875

.

1

=

→

=

P

l

P

M

N.

Zwi

ę

kszanie warto

ść

sił powoduje rozwój obszarów uplastycznionych i skutkuje

pojawieniem si

ę

pierwszego granicznego momentu plastycznego. Wyst

ą

pi on w utwierdzeniu

bo tam jest najwi

ę

kszy moment zginaj

ą

cy w tej belce. Zatem graniczne obci

ąż

enie plastyczne

b

ę

dzie miało warto

ść

:

28800

6875

.

1

=

→

=

P

l

P

M

N.

M

A

=1.6875 Pl

2 l

l

l

A

B

C

D

P

2 P

M

1.6875

P

l

1.57812

P

l

1.15625

P

l

belka rzeczywista

belka fikcyjna

M

A

/

E

J

y

Pl/EJ

y

2 l

l

l

B

C

A

D

M

A

2 l

l

l

A

B

C

D

P

2 P

P

l

1.5

P

l

M

A

1.5Pl/EJ

y

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. No

ś

no

ść

spr

ęż

ysto-plastycznych ustrojów

pr

ę

towych

259

Pełne uplastycznienie przekroju w
utwierdzeniu nie zamienia tej belki w
mechanizm, powoduje jedynie wyst

ą

pienie w

utwierdzeniu przegubu plastycznego czyni

ą

c

belk

ę

statycznie wyznaczaln

ą

obci

ąż

on

ą

siłami skupionymi i granicznym momentem

plastycznym M . Wykres momentów
zginaj

ą

cych w tym stanie mechanicznym

belki pokazuje rysunek obok.

Belka stanie si

ę

kinematycznie zmienna gdy w wyniku dalszego zwi

ę

kszenia sił

obci

ąż

aj

ą

cych pojawi si

ę

drugi przegub plastyczny i wyst

ą

pi on w przekroju C

gdy zostanie

on całkowicie uplastyczniony. No

ś

no

ś

ci graniczn

ą

tej belki wyznaczymy z zale

ż

no

ś

ci:

30375

8

5

4

2

*

=

=

→

−

=

∗

l

M

P

M

l

P

M

N.

Przejdziemy teraz do wyznaczenia no

ś

no

ś

ci granicznej danej belki wykorzystuj

ą

c twierdzenia

ekstremalne teorii plastyczno

ś

ci.

Wpierw wyznaczymy jej no

ś

no

ść

graniczn

ą

metod

ą

pól kinematycznie dopuszczalnych

(podej

ś

cie kinematyczne), a nast

ę

pnie metod

ą

pól statycznie dopuszczalnych (podej

ś

cie

statyczne).

Metoda pól kinematycznie dopuszczalnych – podejście kinematyczne.

W tym podej

ś

ciu rozwa

ż

amy konstrukcj

ę

w stanie granicznym z odpowiedni

ą

liczb

ą

przegubów plastycznych czyni

ą

c

ą

j

ą

geometrycznie zmienn

ą

. Nast

ę

pnie do takiej konstrukcji

stosujemy zasad

ę

prac wirtualnych mówi

ą

c

ą

,

ż

e: suma prac wirtualnych sił zewn

ę

trznych

jest

równa sumie prac wirtualnych sił wewn

ę

trznych.

Z równania prac wirtualnych wi

ążą

cych

zadane obci

ąż

enie zewn

ę

trzne i graniczne momenty plastyczne w przegubach plastycznych

jako siły wewn

ę

trzne wyznaczamy no

ś

no

ść

graniczn

ą

belki. Pewnym problemem tego

podej

ś

cia jest konieczno

ść

okre

ś

lenia a priori poło

ż

enia przegubów plastycznych Dobr

ą

wskazówk

ą

do okre

ś

lenia miejsca ich wyst

ę

powania jest wykres momentów zginaj

ą

cych w

stanie spr

ęż

ystym, gdy

ż

przeguby b

ę

d

ą

w miejscach ekstremalnych warto

ś

ci lub załamania

tych wykresów. Ale w ogólno

ś

ci, zwłaszcza w wielokrotnie statycznie niewyznaczalnej i

nieprostej w swej geometrii konstrukcji nie jest łatwo okre

ś

li

ć

poło

ż

enie przegubów

odpowiadaj

ą

ce rzeczywistemu stanowi granicznemu. St

ą

d konieczno

ść

rozwa

ż

enia kilku

schematów zniszczenia i wyznaczenia dla ka

ż

dego odpowiadaj

ą

cej mu no

ś

no

ś

ci granicznej.

Najmniejsz

ą

z nich uznajemy za no

ś

no

ść

graniczn

ą

i jak ju

ż

wspomniano wy

ż

ej mo

ż

na

dowie

ść

,

ż

e jest to górne oszacowanie rzeczywistej no

ś

no

ś

ci granicznej konstrukcji.

Kinematycznie dopuszczalne schematy zniszczenia.
Schemat pierwszy.
Zakładamy,

ż

e obci

ąż

enie spowoduje pełne uplastycznienie przekroju w utwierdzeniu i

punkcie B (tzn. powstanie przegubów plastycznych), bo tam s

ą

lokalne ekstrema funkcji

momentów w stanie spr

ęż

ystym (załamania wykresu momentów). Z odpowiadaj

ą

cego

przyj

ę

temu schematowi zniszczenia planu przemieszcze

ń

przygotowanych wynikaj

ą

wyra

ż

enia na prac

ę

wirtualn

ą

sił zewn

ę

trznych i wewn

ę

trznych.

M

2 l

l

l

A

B

C

D

P

2 P

M

M

2

2

M

P

−

4

2

M

P

−

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. No

ś

no

ść

spr

ęż

ysto-plastycznych ustrojów

pr

ę

towych

260

Praca wirtualna sił zewn

ę

trznych:

∆

∆

P

P

L

z

+

=

1

2

.

Praca wirtualna sił wewn

ę

trznych:

θ

M

L

w

3

=

.

Poniewa

ż

:

θ

∆

*

2l

=

,

θ

∆

*

1

l

=

,

to zasady prac wirtualnych

θ

θ

θ

M

l

P

l

P

L

L

w

z

3

2

*

*

2

=

+

→

=

l

M

P

4

3

1

=

Schemat drugi

.

Tym razem zakładamy,

ż

e pełne uplastycznienie przekroju wyst

ą

pi w utwierdzeniu i punkcie

C

(tzn. powstanie przegubów plastycznych). Z odpowiadaj

ą

cego temu schematowi

zniszczenia planu przemieszcze

ń

przygotowanych wynikaj

ą

wyra

ż

enia na prac

ę

wirtualn

ą

sił

zewn

ę

trznych i wewn

ę

trznych.

1

2

∆

+

∆

=

P

P

L

z

,

1

2

θ

θ

M

M

L

w

+

=

,

1

1

*

,

*

2

θ

θ

l

l

=

∆

=

∆

,

1

*

*

3

θ

θ

l

l

=

w

z

L

L

=

,

θ

θ

θ

θ

M

M

l

P

l

P

3

2

3

*

*

2

2

*

+

=

+

,

l

M

P

8

5

2

=

Za no

ś

no

ść

graniczn

ą

uznajemy mniejsz

ą

z tych dwóch sił,

zatem

30375

8

5

=

=

∗

l

M

P

N, i jak wy

ż

ej zostało powiedziane rzeczywista no

ś

no

ść

graniczna nie jest wi

ę

ksza od tej warto

ś

ci.

Metoda pól statycznie dopuszczalnych – podejście statyczne.

Potrzebujemy zało

ż

y

ć

(przypu

ś

ci

ć

)

statycznie dopuszczalne schematy zniszczenia. Tak jak

poprzednio pewnym problemem tego podej

ś

cia jest konieczno

ść

okre

ś

lenia a priori poło

ż

enia

przegubów plastycznych. I, jak poprzednio b

ę

dziemy je zakłada

ć

w miejscach ekstremalnych

warto

ś

ci lub załamania wykresów momentów w stanie spr

ęż

ystym. Dla ka

ż

dego, zało

ż

onego

statycznie dopuszczalnego pola wyznaczymy odpowiadaj

ą

c

ą

mu no

ś

no

ść

graniczn

ą

.

Najwi

ę

ksz

ą

z nich uznajemy za no

ś

no

ść

graniczn

ą

i jak ju

ż

wspomniano wy

ż

ej mo

ż

na

dowie

ść

,

ż

e jest to dolne oszacowanie rzeczywistej no

ś

no

ś

ci granicznej konstrukcji.

Schemat pierwszy.
Zakładamy,

ż

e obci

ąż

enie spowoduje pełne uplastycznienie przekroju w utwierdzeniu i

punkcie B (tzn. powstanie przegubów plastycznych), bo tam s

ą

lokalne ekstrema funkcji

momentów w stanie spr

ęż

ystym (załamania wykresu momentów).

θ

θ

∆

∆

1

A

B

C

D

P

2 P

M

M

M

θ

1

θ

∆

∆

1

A

B

C

D

P

2 P

M

M

M

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. No

ś

no

ść

spr

ęż

ysto-plastycznych ustrojów

pr

ę

towych

261

Nale

ż

y teraz obliczy

ć

warto

ś

ci wszystkich sił

działaj

ą

cych na konstrukcj

ę

, które musz

ą

spełnia

ć

warunki równowagi.
Z warunków równowagi otrzymujemy:

l

M

V

M

l

V

M

A

A

L

B

∑

=

→

=

−

→

=

0

*

2

2

*

0

,

∑

→

=

−

−

→

=

0

*

2

2

*

0

M

l

P

l

V

M

D

P

B

l

M

P

V

D

2

+

=

,

l

M

P

P

V

V

Y

D

A

4

3

0

*

3

0

1

∑

=

→

=

−

+

→

=

,

l

M

V

D

4

5

=

.

Wykres momentów pokazuje,

ż

e zało

ż

one pole nie jest statycznie dopuszczalne gdy

ż

w

punkcie C moment zginaj

ą

cy

M

M

>

4

5

i nie spełniony jest warunek plastyczno

ś

ci.

Schemat drugi.
Zakładamy,

ż

e obci

ąż

enie spowoduje pełne uplastycznienie przekroju w utwierdzeniu i

punkcie C.

Warunki równowagi daj

ą

nast

ę

puj

ą

ce warto

ś

ci sił

działaj

ą

cych na konstrukcje przy tym zało

ż

onym

schemacie zniszczenia:

∑

→

=

−

−

→

=

0

*

*

2

3

*

0

P

l

M

l

V

M

A

L

C

(

)

l

l

P

M

V

A

3

2

+

=

,

l

M

V

M

l

V

M

D

D

P

C

=

→

=

−

→

=

∑

0

*

0

,

l

M

P

P

V

V

Y

D

A

8

5

0

*

3

0

2

∑

=

→

=

−

+

→

=

l

M

V

A

8

7

=

.

Odpowiadaj

ą

cy b

ę

d

ą

cym w równowadze siłom działaj

ą

cym na belk

ę

wykres momentów

pokazuje,

ż

e w konstrukcji spełniony jest warunek plastyczno

ś

ci. A wi

ę

c zało

ż

one pole

napr

ęż

e

ń

jest statycznie dopuszczalne, i mo

ż

emy przyj

ąć

,

ż

e no

ś

no

ść

graniczna rozwa

ż

anej

belki wynosi:

30375

8

5

2

=

=

=

∗

l

M

P

P

N, i jak wy

ż

ej zostało powiedziane rzeczywista

no

ś

no

ść

graniczna nie jest mniejsza od tej warto

ś

ci.

Poniewa

ż

z podej

ś

cia kinematycznego otrzymali

ś

my taki sam wynik wi

ę

c

30375

8

5

=

=

∗

l

M

P

N, jest rzeczywist

ą

no

ś

no

ś

ci

ą

graniczn

ą

rozwa

ż

anej konstrukcji.

M

M

M

2 l

l

l

A

B

C

D

M

M

V

A

V

D

M

4

5 M

M

P

2P

M

M

2l

l

l

A

B

C

D

M

V

A

V

D

M

4

3M

M

2P

P

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. No

ś

no

ść

spr

ęż

ysto-plastycznych ustrojów

pr

ę

towych

262

19.2.1. Przykłady
Przykład 19.2.1.1.

Dla podanej belki o

przekroju prostok

ą

tnym bxh = 0.02x0.06 m

wyznaczy

ć

graniczne obci

ąż

enie spr

ęż

yste

q

, graniczne obci

ąż

enie plastyczne

q

oraz

no

ś

no

ść

graniczn

ą

*

q

je

ś

li

granica plastyczno

ś

ci

300

=

e

R

MPa.

Rozwiązanie

Maksymalny moment zginaj

ą

cy w belce

8

2

l

q

M

max

=

Spr

ęż

ysty wska

ź

nik wytrzymało

ś

ci dla przekroju prostok

ą

tnego

6

2

h

b

W

W

y

spr

=

=

Plastyczny wska

ź

nik wytrzymało

ś

ci dla przekroju prostok

ą

tnego

4

4

2

2

2

h

b

h

h

b

*

W

pl

=

=

Graniczny moment spr

ęż

ysty

3600

10

300

6

10

6

2

6

6

2

=

=

=

−

*

*

*

*

R

W

M

e

spr

Nm.

Graniczny moment plastyczny:

5400

10

300

4

10

6

2

6

6

2

=

=

=

−

*

*

*

*

R

W

M

e

pl

Nm.

Graniczne obci

ąż

enie spr

ęż

yste wyznaczymy z zale

ż

no

ś

ci:

1800

4

3600

8

8

8

2

2

2

=

=

=

→

=

→

=

*

l

M

q

M

l

q

M

M

max

N/m.

Graniczne obci

ąż

enie plastyczne wynosi:

2700

4

5400

8

8

8

2

2

2

=

=

=

→

=

→

=

*

l

M

q

M

l

q

M

M

max

N/m.

Belka jest statycznie wyznaczalna, obci

ąż

enie jej granicznym obci

ąż

eniem plastycznym

spowoduje powstanie w jej

ś

rodku rozpi

ę

to

ś

ci dodatkowego przegubu zmieniaj

ą

c j

ą

w

mechanizm i dlatego graniczne obci

ąż

enie plastyczne jest równe no

ś

no

ś

ci granicznej

2700

=

= q

q

*

N/m.

W belce statycznie wyznaczalnej o przekroju prostok

ą

tnym

5

1.

W

W

q

q

q

q

spr

pl

*

=

=

=

i to

dowodzi,

ż

e obci

ąż

enie powoduj

ą

ce zniszczenie belki jest o 50 % wi

ę

ksze od obci

ąż

enia

które powoduje uplastycznienie włókien skrajnych w przekroju maksymalnego momentu
zginaj

ą

cego. Łatwo mo

ż

na stwierdzi

ć

,

ż

e to zwi

ę

kszenie no

ś

no

ś

ci w przypadku belek

statycznie wyznaczalnych zale

ż

e

ć

b

ę

dzie jedynie od stosunku wska

ź

ników wytrzymało

ś

ci

plastycznego i spr

ęż

ystego, czyli od kształtu przekroju. W przypadku belek statycznie

niewyznaczalnych zwi

ę

kszenie no

ś

no

ś

ci belki zale

ż

e

ć

jeszcze b

ę

dzie od stopnia jej statycznej

niewyznaczalno

ś

ci.

l

= 4 m

q

Y

Y

pl

Z

h

b

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. No

ś

no

ść

spr

ęż

ysto-plastycznych ustrojów

pr

ę

towych

263

Przykład 19.2.1.2.

Wyznaczy

ć

graniczne obci

ąż

enie spr

ęż

yste, plastyczne i no

ś

no

ść

belki,

je

ś

li granica plastyczno

ś

ci

345

=

e

R

MPa.

Rozwiązanie

Maksymalny moment zginaj

ą

cy, jak pokazuje poni

ż

szy wykres wyst

ę

puje w utwierdzeniu i

wynosi: max M = 12q.














O

ś

oboj

ę

tna zginania spr

ęż

ystego to o

ś

Y

przechodz

ą

ca przez

ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci przekroju,

równoległa do wektora momentu zginaj

ą

cego. Jej

poło

ż

enie wyznaczamy z warunku zerowania si

ę

momentu statycznego w sposób ju

ż

wielokrotnie

stosowany w zagadnieniach zginania.

0

88

4

10

14

2

2

10

.

*

*

*

A

=

+

+

=

cm

2

0

768

2

4

10

11

14

2

19

2

10

0

.

*

*

*

*

*

*

S

y

=

+

+

=

cm

3

73

8

88

768

0

.

A

S

z

yo

=

=

=

cm.

78

4582

73

7

20

12

2

10

27

2

68

12

14

8

12

18

10

2

3

2

3

3

.

.

*

*

.

*

*

*

J

y

=

+

+

+















−

=

cm

4

.

Wska

ź

nik wytrzymało

ś

ci spr

ęż

ystego zginania

63

406

27

11

78

4582

.

.

.

z

max

J

W

W

y

y

spr

=

=

=

=

cm

3

.

O

ś

oboj

ę

tn

ą

zginania plastycznego to o

ś

równoległa do wektora momentu zginaj

ą

cego

dziel

ą

ca przekrój poprzeczny na dwie cz

ęś

ci o równych polach.

M

= 4q

4

q

4

.5

q

1

2

q

M

4 m

6 m

P

= 7q

q

X

Z

4 m

6 m

q

M

= 4 q

P

= 7 q

Z

2

4

4

4

2

14

Y

wymiary w

cm

Y

0

Y

Z

4

4 2

2

4

14

cm

ζ

ζζ

ζ

11.27

14

8.73

Y

pl

wymiary w

cm

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. No

ś

no

ść

spr

ęż

ysto-plastycznych ustrojów

pr

ę

towych

264

Z kształtu przekroju wida

ć

,

ż

e b

ę

dzie ona przechodzi

ć

przez

ś

rodnik i je

ś

li współrz

ę

dna

ζ

wyznacza jej poło

ż

enie to musi spełnia

ć

warunek:

0

12

2

2

10

88

2

1

.

*

*

=

→

+

=

ζ

ζ

cm.

Wska

ź

nik wytrzymało

ś

ci plastycznego zginania:

0

568

4

4

10

1

2

2

6

12

2

13

2

10

2

1

.

*

*

*

*

*

*

*

*

S

S

W

ypl

ypl

pl

=

+

+

+

=

+

=

cm

3

.

Graniczny moment spr

ęż

ysty

29

140

10

345

10

63

406

6

6

.

*

*

*

.

R

W

M

e

spr

=

=

=

−

kNm.

Graniczny moment plastyczny

96

195

10

345

10

568

6

6

.

*

*

*

R

W

M

e

pl

=

=

=

−

kNm.

Graniczne obci

ąż

enie spr

ęż

yste wynosi:

69

11

12

29

140

12

12

.

.

M

q

M

q

M

M

max

=

=

=

→

=

→

=

kN/m.

Graniczne obci

ąż

enie plastyczne i no

ś

no

ść

graniczna ma warto

ść

:

33

16

12

96

195

12

12

.

.

M

q

M

q

M

M

max

=

=

=

→

=

→

=

kN/m.

Przykład 19.2.1.3

.Wyznaczy

ć

no

ś

no

ść

graniczn

ą

belki jak na rys. stosuj

ą

c podej

ś

cie

statyczne i kinematyczne.

Podejście statyczne.

Belka jest dwukrotnie statycznie niewyznaczalna. Trzy przeguby czyni

ą

j

ą

kinematycznie

zmienn

ą

. Zakładamy,

ż

e pełne uplastycznienie przekroju wyst

ą

pi w utwierdzeniu oraz

punktach B i D.

Obliczamy warto

ś

ci wszystkich sił działaj

ą

cych na

konstrukcj

ę

, które musz

ą

spełnia

ć

warunki

równowagi.
Z warunków równowagi otrzymujemy warto

ś

ci sił

działaj

ą

cych na belk

ę

, które s

ą

w równowadze:

l

M

V

M

l

V

M

A

A

L

B

2

0

2

*

0

∑

=

→

=

−

→

=

,

l

M

V

M

l

V

M

D

D

P

D

=

→

=

−

→

=

∑

0

*

0

,

∑

→

=

+

−

−

→

=

0

5

*

3

*

6

*

0

M

l

P

l

V

l

V

M

C

D

P

B

3

5

3

7

P

l

M

V

C

−

=

,

l

M

P

V

P

V

V

Y

D

C

A

4

5

0

0

∑

=

→

=

−

−

+

→

=

,

l

M

V

C

4

=

A

C

D

E

B

2P

P

3 l

l

2 l

l

M

M

M

5

.

0

M

M

A

M

M

M

2P

M

M

P

3 l

l

2 l

l

D

C

B

E

V

D

V

C

V

A

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. No

ś

no

ść

spr

ęż

ysto-plastycznych ustrojów

pr

ę

towych

265

No

ś

no

ść

graniczna jest nie mniejsza ni

ż

:

l

M

P

4

5

=

∗

.

Podejście kinematyczne.

Kinematycznie dopuszczalne schematy zniszczenia.
Schemat 1.

∆

P

L

z

2

=

,

1

2

2

θ

θ

M

M

L

w

+

=

,

l

θ

∆

=

,

l

l

3

*

*

1

θ

θ

=

w

z

L

L

=

3

2

2

*

2

θ

θ

θ

M

M

l

P

+

=

l

M

P

3

4

1

=

Schemat 2.

∆

P

L

z

=

,

1

2

θ

θ

M

M

L

w

+

=

,

l

2

*

θ

∆

=

,

l

l

*

2

*

1

θ

θ

=

w

z

L

L

=

θ

θ

θ

M

M

l

P

2

2

2

*

+

=

l

M

P

2

2

=

Schemat 3.

1

2

∆

∆

P

P

L

z

+

=

,

2

1

2

2

θ

θ

θ

M

M

M

L

w

+

+

=

,

l

*

θ

∆

=

,

l

2

*

1

1

θ

∆

=

,

l

l

3

*

*

1

θ

θ

=

,

l

l

*

2

*

2

1

θ

θ

=

w

z

L

L

=

3

2

3

2

2

3

2

*

*

2

θ

θ

θ

θ

θ

M

M

M

l

P

l

P

+

+

=

=

+

l

M

P

4

5

3

=

l

M

P

P

P

i

4

5

)

min(

3

*

=

=

=

. I jest to rzeczywista nośność graniczna belki bo takim sam rezultat

otrzymano z podejścia statycznego.

Przykład 19.2.1.4.

Wyznaczy

ć

no

ś

no

ść

graniczn

ą

belki o podanej geometrii i obci

ąż

eniu

stosuj

ą

c podej

ś

cie kinematyczne je

ś

li

215

=

e

R

MPa.

θ

1

θ

∆

A

P

3 l

l

2 l

l

D

C

B

E

M

M

M

2P

M

M

M

θ

θ

2

θ

1

∆

1

A

P

D

C

B

E

M

M

3 l

l

2 l

l

2P

∆

M

θ

θ

1

P

3 l

l

2 l

l

D

C

E

M

∆

A

M

B

M

2P

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. No

ś

no

ść

spr

ęż

ysto-plastycznych ustrojów

pr

ę

towych

266

Rozwiązanie

Kinematycznie dopuszczalne schematy zniszczenia:

w

z

L

L

=

1

1

1

1

2

2

θ

θ

∆

∆

M

M

P

P

+

=

+

1

1

1

4

4

4

θ

θ

θ

∆

θ

∆

=

=

=

;

;

M

.

P

25

2

9

1

=

M

.

P

25

0

1

=

w

z

L

L

=

θ

∆

M

P

3

2

2

=

θ

∆

4

=

M

P

3

8

2

=

M

.

P

375

0

2

=

w

z

L

L

=

1

3

θ

θ

∆

M

M

P

+

=

1

1

4

4

θ

θ

θ

∆

=

=

;

M

P

5

4

3

=

M

.

P

25

1

3

=

w

z

L

L

=

θ

∆

M

P

3

4

=

θ

∆

4

=

M

.

P

75

0

4

=

M

.

P

)

P

(

min

P

i

*

25

0

1

=

=

=

Poło

ż

enie osi plastycznego zginania

Jest to o

ś

równoległa do wektora momentu zginaj

ą

cego dziel

ą

ca przekrój poprzeczny na dwie

cz

ęś

ci o równych polach.

2P

P

4 m

4 m

4 m

2 m

4 m

24 cm

12 cm

θ

M

θ

2P

P

M

∆

schemat

4

M

θ

θ

M

M

∆

schemat

2

2P

P

M

θ

M

θ

1

2P

P

M

∆

schemat

3

M

θ

1

θ

θ

2P

P

M

M

∆

schemat

1

∆

1

24 cm

Y

pl

ζ =16.97 cm

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. No

ś

no

ść

spr

ęż

ysto-plastycznych ustrojów

pr

ę

towych

267

Zatem jej poło

ż

enie mo

ż

na wyznaczy

ć

z zale

ż

no

ś

ci:

97

16

2

1

2

1

2

1

24

12

2

1

.

*

*

*

*

*

*

=

→

=

ζ

ζ

ζ

cm.

Wska

ź

nik plastycznego zginania:

83

674

3

03

7

515

3

2

1

2

03

7

12

97

16

3

1

2

97

16

2

1

2

2

2

.

.

*

.

*

.

*

.

*

.

*

W

pl

=















−

+

=

cm

3

.

No

ś

no

ść

graniczna belki jest równa:

11

36272

10

215

10

83

674

25

0

25

0

6

6

.

*

*

*

.

*

.

R

*

W

*

.

P

e

pl

*

=

=

=

−

N.

Przykład 19.2.1.5

.

Wyznaczy

ć

no

ś

no

ść

graniczn

ą

belki stosuj

ą

c podej

ś

cie kinematyczne.

Rozwiązanie

Kinematycznie dopuszczalne schematy zniszczenia:

θ

∆

M

L

;

P

L

w

z

2

2

=

=

θ

∆

M

P

2

2

=

θ

∆

2

=

M

.

P

5

0

1

=

θ

∆

M

L

;

P

L

w

z

2

2

=

=

θ

∆

M

P

2

2

=

θ

∆

2

=

M

.

P

5

0

2

=

θ

∆

M

L

;

P

L

w

z

2

=

=

θ

∆

M

P

2

=

θ

∆

2

=

M

P

=

3

θ

∆

∆

M

L

;

P

P

L

w

z

2

2

=

−

=

2P

1

2 m

2 m

2 m

2 m

1

P

θ

2P

M

M

∆

P

schemat

1

θ

θ

θ

θ

2P

M

M

∆

P

schemat

2

P

θ

2P

M

M

∆

schemat

3

P

θ

θ

θ

2P

M

M

∆

∆

schemat

4

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. No

ś

no

ść

spr

ęż

ysto-plastycznych ustrojów

pr

ę

towych

268

θ

∆

∆

M

P

P

2

2

=

−

θ

∆

2

=

M

P

=

4

No

ś

no

ść

graniczna belki wynosi:

M

.

)

P

(

min

P

i

*

5

0

=

=

.

Przykład 19.2.1.6

.Wyznaczy

ć

no

ś

no

ść

graniczn

ą

belki jak na rys. stosuj

ą

c podej

ś

cie

kinematyczne.

Symetria konstrukcji pozwala na
analizowanie równowa

ż

nej belki

jednoprz

ę

słowej, utwierdzonej na

jednym ko

ń

cu a na drugim

wolnopodpartej.

Jedyny kinematycznie dopuszczalny schemat
zniszczenia b

ę

dzie miał dwa przeguby, jeden w

utwierdzeniu a drugi w prze

ś

le przy czym jego

poło

ż

enie nie jest znane, ale mo

ż

emy je wyznaczy

ć

z

zasady prac wirtualnych.

1

2

θ

θ

M

M

L

w

+

=

,

∫

∫

−

+

=

a

l

a

z

dx

x

q

xdx

q

L

0

1

1

1

0

θ

θ

,

(

)

a

l

a

−

=

*

*

1

θ

θ

,

a

l

a

l

l

a

M

q

L

L

w

z

−

−

=

→

=

2

2

.

Poniewa

ż

podej

ś

cie kinematyczne daje oszacowanie od góry, poszukujemy najmniejszego

obci

ąż

enia q. Warunek konieczny jego istnienia daje równanie:

(

)

l

l

a

l

la

a

a

q

586

.

0

2

2

0

2

4

0

2

2

=

−

=

→

=

+

−

→

=

∂

∂

.

St

ą

d ostatecznie otrzymujemy no

ś

no

ść

graniczn

ą

belki

2

657

.

11

l

M

q

=

∗

.

Przykład 19.2.1.7

.Belk

ę

o schemacie jak na rys. nale

ż

y podeprze

ć

dodatkowo w prz

ęś

le w

miejscu zapewniaj

ą

cym jej najwi

ę

ksz

ą

no

ś

no

ść

graniczn

ą

.

Wprowadzenie dodatkowej podpory C czyni

l

l

q

l

q

θ

1

θ

M

M

M

q

l - a

a

A

B

q

l

A

C

l - a

a

B

q

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. No

ś

no

ść

spr

ęż

ysto-plastycznych ustrojów

pr

ę

towych

269

belk

ę

dwukrotnie statycznie niewyznaczaln

ą

.

Kształt wykresu momentów zginaj

ą

cych w

stanie spr

ęż

ystym sugeruje dwa

kinematycznie dopuszczalne schematy
zniszczenia.

Schemat 1.

No

ś

no

ść

graniczna dla tego schematu

zniszczenia została wyznaczona w
poprzednim przykładzie.
Wynosi ona :

2

1

657

.

11

a

M

q

=

Schemat 2.

W tym schemacie zniszczenia przegub
plastyczny w prz

ęś

le AC wyst

ą

pi w

ś

rodku

tego prz

ę

sła. Zatem:

θ

M

L

w

4

=

,

∫

−

=

2

/

)

(

0

2

a

l

z

xdx

q

L

θ

,

(

)

2

2

16

a

l

M

q

L

L

w

z

−

=

→

=

.

Widoczne jest

ż

e zwi

ę

kszanie a powoduje zmniejszanie q

1

i zwi

ę

kszanie q

2

. Przy ustalonej

długo

ś

ci belki jej no

ś

no

ść

graniczn

ą

wyznaczymy z warunku równo

ś

ci:

(

)

→

=

−

+

→

−

=

→

=

0

657

.

11

314

.

23

343

.

4

00

.

16

657

.

11

2

2

2

2

2

1

l

al

a

a

l

M

a

M

q

q

l

a

4605

.

0

=

.

Odpowiadaj

ą

ca temu poło

ż

eniu dodatkowej podpory no

ś

no

ść

graniczna belki wynosi:

(

)

2

2

970

.

54

4605

.

0

657

.

11

l

M

l

M

q

=

=

∗

19.3. Nośność graniczna osiowo rozciąganych układów prętowych

Rozwa

ż

a

ć

b

ę

dziemy konstrukcje wykonane z pr

ę

tów prostych przegubowo poł

ą

czonych i

obci

ąż

onych tylko w w

ę

zach w sposób powoduj

ą

cy ich osiowe rozci

ą

ganie. Pr

ę

ty wykonane

s

ą

z materiału o własno

ś

ciach ciała idealnie spr

ęż

ysto plastycznego (rys. 19.2).

Poniewa

ż

rozkład napr

ęż

e

ń

normalnych w dowolnym przekroju poprzecznym na długo

ś

ci

pr

ę

ta rozci

ą

ganego sił

ą

P jest jednorodny to w przekroju i tym samym w pr

ę

cie mog

ą

wyst

ą

pi

ć

tylko dwa stany mechaniczne w zale

ż

no

ś

ci od wielko

ś

ci przyło

ż

onej siły a

mianowicie stan spr

ęż

ysty, gdy napr

ęż

enia s

ą

w nim mniejsze od

e

R

i stan pełnego

uplastycznienia, gdy równaj

ą

si

ę

e

R

. Co wi

ę

cej je

ś

li napr

ęż

enia osi

ą

gn

ą

warto

ść

granicy

M

θ

θ

M

C

B

q

M

M

a

(l–a)/2

(l–a)/2

A

θ

1

θ

M

C

B

q

M

M

l - a

b

a - b

A

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. No

ś

no

ść

spr

ęż

ysto-plastycznych ustrojów

pr

ę

towych

270

plastyczno

ś

ci to pr

ę

t mo

ż

e si

ę

wydłu

ż

a

ć

dowolnie du

ż

o i dlatego graniczne obci

ąż

enie

spr

ęż

yste, plastyczne i no

ś

no

ść

graniczna s

ą

w nim takie same i wynosz

ą

:

A

R

P

P

P

e

*

=

=

=

.

(19.5)

Analogicznie jest w dowolnej statycznie wyznaczalnej konstrukcji kratowej z tym

ż

e o jej

no

ś

no

ś

ci granicznej decyduje no

ś

no

ść

pr

ę

ta w którym wyst

ę

puj

ą

najwi

ę

ksze napr

ęż

enia

normalne w stanie spr

ęż

ystym.

W kratownicach statycznie niewyznaczalnych sytuacja jest bardziej zło

ż

ona gdy

ż

w

zale

ż

no

ś

ci od wielko

ś

ci obci

ąż

enia wszystkie pr

ę

ty mog

ą

by

ć

w stanie spr

ęż

ystym albo

niektóre w stanie spr

ęż

ystym inne za

ś

uplastycznione, albo wreszcie liczba uplastycznionych

pr

ę

tów jest taka

ż

e konstrukcja staje si

ę

geometrycznie zmienna i nie mo

ż

e przenosi

ć

zadanego obci

ąż

enia. Dlatego w konstrukcjach zło

ż

onych z osiowo rozci

ą

ganych pr

ę

tów

wykonanych z materiału idealnie spr

ęż

ysto-plastycznego mo

ż

na przyj

ąć

okre

ś

lenia:

• graniczne obci

ąż

enie spr

ęż

yste (no

ś

no

ść

spr

ęż

ysta) – to najwi

ę

ksza warto

ść

obci

ąż

enia

przy której we wszystkich pr

ę

tach konstrukcji wyst

ę

puje stan spr

ęż

ysty

• no

ś

no

ść

graniczna – to taka wielko

ść

obci

ąż

enia przy którym konstrukcja traci zdolno

ść

do

jego przenoszenia.

19.3.1. Przykłady
Przykład 19.3.1.1.

Wyznaczy

ć

no

ś

no

ść

graniczn

ą

danego układu kratowego je

ś

li przekroje

wszystkich pr

ę

tów s

ą

jednakowe o polu A = 2.0 cm

2

a granica plastyczno

ś

ci

225

=

e

R

MPa.

0

4

1

.

l

=

m

0

3

2

.

l

=

m

6

.

0

sin

=

α

8

.

0

cos

=

α

Rozwiązanie

Obliczenie sił w pr

ę

tach układu.

Równania równowagi:

0

sin

cos

0

2

1

=

+

−

=

α

α

Σ

N

N

X

P

N

N

Y

=

+

=

α

α

Σ

cos

sin

0

2

1

Siły w pr

ę

tach wynosz

ą

:

P

N

6

.

0

1

=

,

P

N

8

.

0

2

=

.

α

1

3.2 m

K

P

1.8 m

2.4 m

2

N

1

P

N

2

α

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. No

ś

no

ść

spr

ęż

ysto-plastycznych ustrojów

pr

ę

towych

271

Poniewa

ż

pola przekrojów obu pr

ę

tów s

ą

równe wi

ę

c o no

ś

no

ś

ci układu decyduje pr

ę

t 2 .

Przy wzrastaniu warto

ś

ci obci

ąż

enia on pierwszy ulegnie uplastycznieniu i poniewa

ż

krata

jest statycznie wyznaczalna ulegnie zniszczeniu.
No

ś

no

ść

graniczna konstrukcji wynosi:

56250

8

.

0

10

*

2

*

10

*

225

8

.

0

4

6

*

*

=

=

→

=

−

P

A

R

P

e

N.

Przykład 19.3.1.2.

Dla stalowej konstrukcji przegubowo pr

ę

towej jak na rysunku.

w której pola przekrojów wszystkich pr

ę

tów i

ich moduły spr

ęż

ysto

ś

ci podłu

ż

nej s

ą

równe

wyznaczy

ć

potrzebne pole przekrojów

poprzecznych pr

ę

tów oraz no

ś

no

ś

ci graniczn

ą

je

ś

li P = 30 kN, R = 215 MPa, R

e

= 235 MPa,

E

= 205 GPa.

Wyznaczy

ć

wykres okre

ś

laj

ą

cy jak wzrasta

pionowe przemieszczenie w

ę

zła K w zale

ż

no

ś

ci

od wielko

ś

ci siły P.

Rozwiązanie

Obliczenie sił podłu

ż

nych w pr

ę

tach.

Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny, wi

ę

c

komplet równa

ń

do ich wyznaczenia b

ę

dzie si

ę

składał z

równania równowagi i równania geometrycznego.

Równanie równowagi:

N

N

P

N

N

Y

=

+

→

=

+

→

=

2

1

2

1

2

cos

2

0

α

Σ

.
Równanie geometryczne:

2

1

2

2

2

2

1

1

1

1

1

2

2

2

cos

N

N

A

E

l

N

A

E

l

N

=

→

=

→

=

α

∆

∆

.

St

ą

d siły podłu

ż

ne w pr

ę

tach:

574

.

17

)

2

2

(

2

1

=

+

= P

N

kN,

787

.

8

)

2

2

(

2

=

+

= P

N

kN.

Potrzebny przekrój pr

ę

tów z warunku wytrzymało

ś

ci:

4

6

3

1

1

10

*

817

.

0

10

*

215

10

*

574

.

17

)

(

max

−

=

=

≥

→

≤

→

≤

R

N

A

R

A

N

R

A

N

m

2

.

No

ś

no

ść

graniczn

ą

układu wyznaczymy zwi

ę

kszaj

ą

c obci

ąż

enie i przechodz

ą

c kolejno jego

stany od spr

ęż

ystego poprzez spr

ęż

ysto-plastyczny a

ż

do stanu granicznej no

ś

no

ś

ci, w którym

konstrukcja nie mo

ż

e przenie

ść

zadanego obci

ąż

enia, przemieszczenia jej punktów s

ą

dowolnie du

ż

e (staje si

ę

kinematycznie zmienna).

α

α

K

P

N

1

N

2

N

2

K

K

’

∆

2

∆

1

2

2.0 m

K

P

2.0 m

2.0 m

1

2

α

α

α

α

α

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. No

ś

no

ść

spr

ęż

ysto-plastycznych ustrojów

pr

ę

towych

272

Siła obci

ąż

aj

ą

ca powoduj

ą

ca pierwsze uplastycznienie w konstrukcji, które wyst

ą

pi w pr

ę

cie

1 bo w nim w stanie spr

ęż

ystym jest najwi

ę

ksza siła podłu

ż

na, ma warto

ść

:

→

=

+

=

=

=

e

R

A

P

N

N

N

)

2

2

(

2

1

1

1

3

2

10

*

776

.

32

10

*

235

*

817

.

0

2

2

2

2

2

2

=

+

=

+

=

e

R

A

P

N.

Przy tej sile konstrukcja mo

ż

e jeszcze przenosi

ć

obci

ąż

enie bo napr

ęż

enia w pr

ę

tach 2 s

ą

nadal mniejsze od granicy plastyczno

ś

ci R

e

.

Siły które wówczas wyst

ę

puj

ą

w pr

ę

tach 2

mo

ż

emy wyznaczy

ć

z warunku równowagi sił

działaj

ą

cych na w

ę

zeł K :

2

2

cos

2

0

1

2

2

1

2

1

N

P

N

P

N

N

P

N

N

Y

−

=

→

=

+

→

=

+

→

=

α

Σ

.

Konstrukcja stanie si

ę

kinematycznie zmienna gdy nast

ą

pi uplastycznienie pr

ę

tów 2 tzn.

gdy:

e

R

A

N

N

N

=

=

=

2

2

2

. Odpowiadaj

ą

ce tej warto

ś

ci siły obci

ąż

enie P

b

ę

dzie no

ś

no

ś

ci

ą

graniczn

ą

i oznaczymy je przez

*

P

. Wyznaczymy je z zale

ż

no

ś

ci:

3

1

*

1

*

2

2

2

10

*

352

.

46

)

2

1

(

2

2

=

+

=

+

=

→

=

−

=

=

=

e

e

e

R

A

N

R

A

P

R

A

N

P

N

N

N

N.

Iloraz

545

.

1

000

.

30

352

.

46

*

=

=

P

P

pokazuje wielko

ść

rezerwy (54.5 %), która tkwi w analizowanej konstrukcji je

ś

li dopu

ś

cimy

pełne jej uplastycznienie. Ale zwi

ę

kszenie obci

ąż

e

ń

jest zwi

ą

zane ze zwi

ę

kszeniem

przemieszcze

ń

i pokazuje to wykres zale

ż

no

ś

ci

∆

- pionowego przemieszczenia w

ę

zła K od

wielko

ś

ci siły obci

ąż

aj

ą

cej P.

000

.

30

=

P

kN - stan spr

ęż

ysty

EA

l

N

2

2

2

2

*

2

=

=

∆

∆

;

(

)

→

+

=

2

2

2

P

N

(

)

3

5

3

10

*

098

.

2

10

*

817

.

0

*

205

*

2

2

2

2

*

10

*

000

.

30

2

−

=

+

=

∆

m.

776

.

32

=

= P

P

kN - uplastycznienie pr

ę

ta 1

→

+

=

=

=

2

2

;

2

*

2

2

2

2

2

P

N

EA

l

N

∆

∆

α

α

e

R

A

N

N

=

=

1

1

K

P

N

2

N

2

Adam Bodnar: Wytrzymało

ść

Materiałów. No

ś

no

ść

spr

ęż

ysto-plastycznych ustrojów

pr

ę

towych

273

3

5

3

10

*

293

.

2

10

*

817

.

0

*

205

*

)

2

2

(

2

2

*

10

*

776

.

32

2

−

=

+

=

∆

m.

352

.

46

*

=

= P

P

kN - stan graniczny no

ś

no

ś

ci (uplastycznienie wszystkich pr

ę

tów)

→

=

=

=

=

e

R

A

N

N

EA

l

N

2

2

2

2

2

;

2

*

2

∆

∆

3

5

2

10

*

585

.

4

10

*

817

.

0

*

205

2

2

*

10

*

235

*

817

.

0

2

−

=

=

∆

m.

2.293

60

20

40

P

[kN]

352

.

46

*

=

P

2

4

4.585

∆

[mm]