Siły przekrojowe w

ustrojach

prętowych

Prezentację wykonała:

Magdalena Badlik gr 1

Siła wewnętrzna

Obciążenie przyłożone do elementu

konstrukcyjnego powoduje powstanie

w nim pewnych sił, które można

nazwać siłami wewnętrznymi. Siły te

wywołują w materiale stan wytężenia,

który może doprowadzić do

zniszczenia elementu. Można w dużym

uproszczeniu powiedzieć, że

projektowanie polega na doborze

materiału i kształtu przekroju w taki

sposób, aby przy danym obciążeniu i

schemacie statycznym, element nie

uległ zniszczeniu.

Siłą wewnętrzną nazywamy

funkcję wektorową 2 wektorów -

wektora wodzącego punktu A i

wersora normalnego płaszczyzny,

określającą wypadkową sił

międzycząsteczkowych działających

między wszystkimi punktami części II,

wyznaczonej przez tę płaszczyznę i

dowolnym punktem materialnym A

leżącym na płaszczyźnie i należącym

do części I.

Siły przekrojowe w
konstrukcjach prętowych



Aby wyznaczyć zredukowany układ sił wewnętrznych {WII} ,
t.z. wyznaczyć wektor sumy S {WII} i wektor momentów Mo
{WII}, należy skorzystać z twierdzenia równoważności układu
sił zewnętrznych i wewnętrznych. Zredukowanego układu sił
wewnętrznych poszukujemy w przekroju poprzecznym pręta,
a środek redukcji jest środek ciężkości przekroju „O”

Siły przekrojowe



Składowe tak wyznaczonego wektora sumy i
momentu nazywamy siłami przekrojowymi

Twierdzenie o równoważności
układów zewnętrznych i
wewnętrznych



Dla całego pręta równania
równowagi sił są następujące:

Twierdzenie o równoważności
układów zewnętrznych i
wewnętrznych



Równania te napisane dla części I i II pręta to:

Twierdzenie o równoważności
układów zewnętrznych i
wewnętrznych

Praktyczne wnioski jakie wynikają z analizy powyższych

twierdzeń:

1.

Do wyznaczenia wewnętrznych sił przekrojowych w

punkcie K działających na I część pręta wystarczy w tym

punkcie zredukować układ sił zewnętrznych przyłożonych

do II części pręta

2.

Do wyznaczenia wewnętrznych sił przekrojowych w

punkcie K działających na II część pręta wystarczy w tym

punkcie zredukować siły zewnętrzne przyłożone do I części

pręta

Podstawowe przypadki
redukcji

Układ zewnętrznych {ZI} = {WII} może redukować się w środku

ciężkości przekroju poprzecznego do:



Wypadkowej, prostopadłej do przekroju poprzecznego (siła

osiowa, normalna, podłużna). Jest równa sumie rzutów

wszystkich siła działających z lewej (prawej) strony

rozważanego przekroju na kierunek prostej stycznej do osi

pręta.

Siła podłużna jest dodatnia jeśli działa na przekrój

rozciągająco i jest ujemna gdy działa ściskająco.

Podstawowe przypadki
redukcji



Pary sił leżącej w płaszczyźnie przekroju poprzecznego, a zatem

pary o wektorze momentu normalnego do przekroju (moment

skręcający)



Wypadkowej, leżącej w płaszczyźnie przekroju poprzecznego (siła poprzeczna, ścinająca, tnąca). Jest równa sumie rzutów

wszystkich sił działających z lewej (prawej) strony rozważanego przekroju, na kierunek prostej prostopadłej do osi pręta.

Moment zginający

Pary sił leżącej w płaszczyźnie prostopadłej do przekroju poprzecznego, a

zatem pary o wektorze momentu leżącym w płaszcz. przekroju

( moment zginający) Jest równy sumie momentów statycznych

wszystkich sił działających z lewej (prawej) strony rozważanego

przekroju, liczony względem środka ciężkości tego przekroju. Moment ten

jest dodatni, gdy rozciągane są włókna spodu pręta. Moment określony

jako ujemny, jeżeli jego działanie powoduje ściskanie przyjętych spodów.

Układ własny przekroju
poprzecznego



Przy poszukiwaniu sił przekrojowych (poprzez redukcję
obciążenia zewnętrznego) rezygnuje się z globalnego
układu współrzędnych (x,y) na rzecz układu lokalnego
związanego z przekrojem poprzecznym. Układ taki
nosi nazwę ukł. własnego przekroju poprzecznego.

Zależności różniczkowe
dla pręta prostego

Twierdzenie Szwedlera-Żuwawskiego podaje

zależności różniczkowe pomiędzy
obciążeniami pręta, a siłami przekrojowymi.
Przeanalizujemy równowagę części myślowo
wyciągniętego pręta

Zależności różniczkowe
dla pręta prostego

Z twierdzenia wynika, że:



Pochodna momentu zginającego , równa się sile

tnącej



Z pochodnej siły tnącej, dostajemy wartość

obciążenia ciągłego , działającego na ten element.

Wykresy sił
przekrojowych



Graficzna prezentacja sił wewnętrznych jest
bardzo ważna, gdyż na jej podstawie można
uzyskać dużo informacji. Wykresy
sporządzamy, odkładając od osi pręta, w
obranej skali, rzędne odpowiednich funkcji.
Rysując wykresy sił wewnętrznych, przyjmuje
się konwencję, według której wartości dodatnie
momentów umieszcza się po stronie spodu
pręta, a ujemne po stronie przeciwnej. Wykresy
sił poprzecznych rysuje się odwrotnie, czyli po
stronie spodu odkłada się wartości ujemne.

Rysowanie wykresów sił
przekrojowych

Z twierdzenia Swedlera-Zurawskiego wynika, także :



W przedziale, dla którego q(x)=0, siła tnąca jest

stała zaś moment zginający jest funkcja liniową



Tam , gdzie q(x)= const i q(x)≠0, wykres siły

tnącej jest funkcja liniową, zaś wykres momentów

zginających funkcją kwadratową



Tam gdzie siła tnąca jest dodatnia, wykres

momentów zginających jest rosnąca



Tam gdzie siła tnąca zeruje się, moment zginający

osiągnie ekstremum; zerowanie siły tnącej

występuje na części przedziału

charakterystycznego, to na tej części wykres

momentów zginających jest stały



Tam, gdzie jest przyłożona siła

skupiona, w wykresie sił tnących

następuje skok o rzut tej siły na

osi (Q), w wykresie sił osiowych

skok o rzut tej siły na kierunek

(N), zaś w wykresie momentów

zginających następuje zmiana

nachylenia stycznej do wykresu,

gdyż zmienia się dM/dx=Q.

Załamanie to jest zawsze w tą

stronę, jaka pokazuje strzałka siły

skupionej w tym punkcie



Tam, gdzie jest moment skupiony,

para sił o wartości mementu w

wykresie momentów zginających

następuje przeskok o wartości

tego momentu.



Wykres momentów zginających

jest zakrzywiony (załamany)

wypukłością w stronę, w która

działa obciążenie ciągłe (siła

skupiona)

Kilka przykładów
wykresów

Kratownica



Siły przekrojowe w prętach

kratownicy redukują się do sił

osiowych.



Jeżeli przy zadanym obciążeniu

siła osiowa w pręcie będzie równa

zero, to taki pręt nazywamy

prętem zerowym. I tak jeśli w

węźle kratownicy schodzą się

dwa pręty i jest on nieobciążony

silami zewnętrznymi ,to pręty te

są zerowe.



Gdy w węźle schodzą się trzy

pręty , z których dwa są

równoległe i węzeł jest

nieobciążonym siłami

zewnętrznymi, to trzeci jest

zerowy

Kratownica

Siły w pozostałych prętach można

wyznaczyć kilkoma metodami. Należą
do nich:



Metoda równoważenia węzłów



Metoda Rittera



Plan Cremony



Metoda elementów skończonych



Metoda punktów masowych i inne

Metoda równoważenia
węzłów



W metodzie tej dla każdego węzła kratownicy
wypisujemy po dwa równania równowagi sił.
Dlatego zaczynamy od węzła, w którym schodzą
się najwyżej dwa pręty. Po wyznaczeniu sił w
tych prętach przechodzimy do kolejnego węzła.

Metoda Rittera



Metoda polega na myślowym przecięciu kratownicy na dwie

części przez nie więcej niż trzy pręty. Każda z tych części

musi być w równowadze przy działających siłach

zewnętrznych zrównoważonych siłami osiowymi w prętach,

przez które został przeprowadzony ten myślowy przekrój.



Pisząc dla jednej części trzy równania równowagi sił

obliczmy z nich siły osiowe w prętach.

Dziękuję za uwagę!!

Dziękuję za uwagę!!