A. Zaborski, No no graniczna przekroju Graniczna no no spr ysta i plastyczna przekroju Przykład 1
Okre li stosunek wska nika plastycznego do wska nika spr ystego dla przekroju: s = W W
pl
spr .
3
1
3
1.5
2
4
Rozwi zanie:
pole powierzchni: F = 15.5 cm2
rodek ci ko ci: z c = 2.60 cm główny centralny moment bezwładno ci: 4× 23
3
3
×
×
J y =
+ 4× 2×( .
2 6 − )2
.
1 5 3
1 +
+ .
1 5×3× ( .
2 6 − .
3 5)2 3 1
+
+ 3×( 6
.
2 − 5
.
5 )2 = 5 .
5 65 cm4
12
12
12
wska nik spr ysty:
J y
55 6
. 5
Wspr =
=
= 16 3
. 7 cm3
z
3 4
.
max
poło enie osi oboj tnej w stanie granicznym plastycznym (o przechodzi przez doln półk ): 0 5
. ×15.5
z 0 =
− 2 6
. = − 6
.
0 625 cm
4
wska nik plastyczny:
.
1 9375
W pl = 2 1
S y = 2× .
1 9375× 4× 2 6
. −
= 2 .
5 28 cm3
2
wynik ko cowy:
W
s =
pl = .1544
Wspr
Podobne wyniki uzyskujemy z programu „przekrój” ( A. Zaborski) Przykład – obci enie dwuparametrowe Okre li no no graniczn spr yst i plastyczn belki jak na rysunku: q
P
7a
a
2 l
l
l
10a a
M1
a
5a
M
M3
2
Rozwi zanie:
poło enie osi centralnej i osi oboj tnej: z = 6 5
. a, z = 7 a, W = 90 a 3 R
c
0
A. Zaborski, No no graniczna przekroju ekstremalne momenty zginaj ce: 2
P
P
P
M 1 = l
2 ( P − ql), M ( x 2
= ) =
, (dla 0 ≤
≤ l
2 ), M 3 = − Pl
q
2 q
q
belka zamieni si w mechanizm, je li utworzy si jeden przegub plastyczny - zakładamy jego istnienie w kolejnych przekrojach ekstremalnych momentów, otrzymuj c: M
,
1 ≤ M
l
2 ( P − ql) ≤ WRe 1a
3a
P 2
P
M
2a
2 ≤ M
≤ W e
R , je li ponadto 0 ≤
≤ l
2 ,
s
2 q
q
1b
M
2b
0.5
3 ≤ M
Pl ≤ WRe
Po wprowadzeniu bezwymiarowych parametrów obci e :
-1 -0.5
p
Pl
ql 2
0.5 1
p ≡
, s ≡
,
WR
WR
e
e
ograniczenia mo emy zapisa :
3b
p − s ≤ 5
.
0 , sk d:
p − s ≤ 0. ,
5
p ≥ s, (1a)
oraz:
− p + s ≤ 0 , 5
.
s > p, (1b), 2
p ≤
P
2 , (2a), gdy 0 ≤
≤ 2 , (2b)
s
s
p ≤ 1
p ≤ ,
1
p ≥ −1 , (3).
Ograniczenia przedstawiono na wykresie. Warunek (2b), istnienia ekstremum momentu w przekroju (2), oraz warunek (2a), przekroczenia no no ci w tym przekroju, daj ograniczenia poza zaznaczonym obszarem: (2a) ma zastosowanie jedynie dla spełnionego (2b), tj. wtedy gdy linia (2a) jest "ponad" (2b) - na lewo i na prawo od zaznaczonego obszaru. Tak wi c oba warunki (2) ł cznie nie wnosz dodatkowego ograniczenia na rozwi zanie i obszar zakreskowany na wykresie wyznacza zakres dopuszczalnych obci e .