Przykłady do zadania 8.12:
Znalez
ć funkcję górnej granicy całkowania dla funkcji f(x) na przedziale [a, b]. Przyjąć c = 0. Na-
szkicować wykresy funkcji f(x) i F (x).
Å„Å‚
ôÅ‚ -1 dla x 1
òÅ‚
(a) f(x) = 1 dla 1 < x 2 , [a, b] = [0, 3]
ôÅ‚
ół
2 dla x > 2
2.5
y
2
1.5
f(x)
1
0.5
0
0 3
x
-0.5
-1
-1.5
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
Å„Å‚
x
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ (-1)dt dla 0 x 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ 1 x
x
òÅ‚
(-1)dt + 1dt dla 1 < x 2
F (x) = f(t)dt = =
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
0 1
0 ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
1 2 x
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
(-1)dt + 1dt + 2dt dla 2 < x 3
ôÅ‚
ół
0 1 2
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ -x dla 0 x 1 -x dla x 1
ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
= -1 + (x - 1) dla 1 < x 2 = x - 2 dla 1 < x 2
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
-1 + 1 + 2(x - 2) dla 2 < x 3 2(x - 2) dla 2 < x 3
2.5
y
2
1.5
F(x)
1
0.5
0
0 3
x
-0.5
-1
-1.5
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
Funkcja f(x) jest całkowalna na [0, 3], więc F (x) jest ciągła na [0, 3]. Funkcja f(x) nie jest
ciągła w punktach x0 = 1 i x0 = 2, więc F (x) nie jest różniczkowalna w tych punktach.
1

ex dla x 0
(b) f(x) = , [a, b] = [-1, 2]
cos x dla x > 0
1.5
y
1
f(x)
0.5
0
-1 0 2
x
-0.5
-1
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
Å„Å‚
x
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
etdt dla -1 x 0
ôÅ‚
ôÅ‚
x
òÅ‚
ex - 1 dla -1 x 0
0
F (x) = f(t)dt = =
x
ôÅ‚
sin x dla 0 < x 2
ôÅ‚
ôÅ‚
0 ôÅ‚
ôÅ‚ cos tdt dla 0 < x 2
ôÅ‚
ół
0
1.5
y
1
F(x)
0.5
0
-1 0 2 x
-0.5
-1
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
Funkcja f(x) jest ciągła na [-1, 2], więc F (x) jest różniczkowalna na [-1, 2].
2