2.2. TERMINOWE UBEZPIECZENIE NA WYPADEK ÅšMIERCI
Terminowym ubezpieczeniem na wypadek śmierci nazywamy ubezpieczenie,
na mocy którego ubezpieczyciel zobowiązuje się do wypłacenia sumy ubezpieczenia
spadkobiercom ubezpieczonego po jego śmierci, jeżeli śmierć nastąpiła w okresie
ubezpieczenia (w ciągu n lat od momentu ubezpieczenia). Jeżeli ubezpieczony przeży-
je okres ubezpieczenia (okres n lat), to ubezpieczyciel jest wolny od zobowiązań.
Dla wyznaczenia jednorazowej składki netto terminowego ubezpieczenia na wypadek
śmierci przyjmujemy wszystkie poczynione w rozdziale 2.1 założenia i oznaczenia. Do-
datkowo literÄ… n - oznaczymy okres ubezpieczenia. W omawianym przypadku zobowiÄ…za-
nia ubezpieczyciela określa kapitał losowy (obecna wartość sumy ubezpieczenia)
ż#vK+1 dla K = 012, ... n -1
, ,
ª#
(2.15)
S2 =
¨#
ª#
©#0 dla K e" n
o rozkładzie prawdopodobieństwa
Prob(S2 = vk +1) = Prob(K = k) =kpxqx+ k dla k=0,1, ... n-1 (2.16)
n-1
Prob(S2 = 0) = 1 - pxqx+ k =npx (2.17)
"
k
k =0
gdzie: n - okres ubezpieczenia.
Rozkład zmiennej losowej S2 możemy zapisać w następującej tablicy
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej S2
k 0 1 2 . . . . n-1 n
sk v v2 v3 . . . . vn
qx 1pxqx+1 pxqx+ 2 . . . . pxqx+ px
2 n-1 n-1
n
P(S2=sk)
31
Jednorazowa składka netto terminowego ubezpieczenia na wypadek śmierci jest równa
wartości oczekiwanej zmiennej losowej S2.
n-1
k+1
A2 Ð# = E(S2) =
(2.18)
"v pxqx+k
k
xn
:
k=0
Wprowadzając do wzoru (2.18) zależności wynikające z funkcji tablicowych (por. 1.8 -
1.12) oraz definicji liczb komutacyjnych (2.6-2.9) otrzymujemy
n-1 n-1 k +1
vx+ dx+ k n-1 x+ k w- x Cx w- x Cx
k +1
k
A2 = = -
=
"v dx+ = " "C " "
x
lx k =0 vxlx k =0 Dx k =0 Dx k = n Dx
k =0
Ostatecznie
Mx - Mx+n
A2 Ð# =
(2.19)
xn
:
Dx
Podobnie jak w poprzednim paragrafie można wykazać, że drugi moment zwykły zmiennej
losowej S2 jest równy jednorazowej składce netto terminowego ubezpieczenia na wypadek
śmierci dla technicznej stopy procentowej r1= r(2+r) a więc wyraża się wzorem
ES2) = A2 Ð#r(2+ r)
(
(2.20)
2
x:n
Ostatecznie wariancję zmiennej losowej S2 można wyliczć ze wzoru (por.2.10)
2
D2(S2) = A2 Ð#r(2+ r) - A2
(2.21)
( )
x:n x:nÐ#r
W dalszym ciągu rozważymy przykład terminowego ubezpieczenia na wypadek śmierci na
okres krótki - 5 lat oraz długi - 20 lat. Obliczenia poprowadzimy dla sumy ubezpieczenia
50 tys. zł oraz technicznej stopy procentowej r=0,05. W tabeli 2.4 zamieszczono rozkład
zmiennej losowej S2 dla ubezpieczenia na okres 5 lat.
32
Tablica 2.4. Rozkład prawdopodobieństwa terminowego ubezpieczenia na wypadek
śmierci na okres 5 lat
KAPITAA
LOSOWY S2
Lata Obecna war-
Mężczyzna Kobieta
tość sumy
ubezpieczenia x=20 lat x=40 lat x=20 lat x=40 lat
k
50v(k+1) Prob(S2=k) Prob(S2=k) Prob(S2=k) Prob(S2=k)
5 0,000 0,991597 0,970393 0,998052 0,989282
4 39,176 0,001769 0,007026 0,000398 0,002566
3 41,135 0,001790 0,006410 0,000398 0,002338
2 43,192 0,001748 0,005848 0,000388 0,002131
1 45,351 0,001635 0,005372 0,000388 0,001935
0 47,619 0,001460 0,004951 0,000377 0,001748
Dane zawarte w tablicy 2.4 zilustrowano na rysunku 2.5.
Rys.2.5. TERMINOWE UBEZPIECZENIE NA WYPADEK
ÅšMIERCI.ROZKA
AD PRAWDOPODOBIEC
STWA.
(Warunki:suma ubez.50 tys.zł.,okres 5 lat, tech. stopa
r=0,05)
Prob.40M Prob.20M Prob.40K Prob.20K
1,000000
0,900000
0,800000
0,700000
0,600000
0,500000
0,400000
0,300000
0,200000
0,100000
0,000000
0,000 39,176 41,135 43,192 45,351 47,619
OBECNA WARTOŚĆ SUMY 50 tys. zł
33
PRAWDOPODOBIEC
STWO WYPA
ATY
 Zauważmy, że w przypadku ubezpieczenia 20 letniego mężczyzny prawdopodobieństwo
zdarzenia, że ubezpieczyciel nie wypłaci odszkodowania jest bardzo duże, większ od 0,99.
Podobnie jest w pozostałych przypadkach. Oznacza to, że rozkład prawdopodobieństwa
zmiennej losowej S2 jest skrajnie asymetryczny. W tym przypadku traci swój sesns staty-
styczny wartość oczekiwana (średnia), odchylenie standardowe i współczynnik zmienno-
ści. Należy więc, być bardzo ostrożnym w przyjmowaniu za podstawę kalkulacji aktuarial-
nych wartości składki netto - wartości oczekiwanej zmiennej losowej S2. Dla pełniejszego
zilustrowania danych zawartych w tablicy 2.4 sporządzono rysunek 2.6 na którym nie
umieszczono prawdopodobieństwa zerowej wypłaty.
Rys.2.6. TERMINOWE UBEZPIECZENIE NA WYPADEK.
ÅšMIERCI. ROZKA
AD PRAWDOPODOBIEC
STWA.
( Warunki:suma ubez.50 tys. zł.,okres 5 lat, tech. stopa
r=0,05)
0,008
0,007
0,006
Prob.40M
Prob.20M
0,005
Prob.40K
Prob.20K
0,004
0,003
0,002
0,001
0
39,17631 41,13512 43,19188 45,35147 47,61905
OBECNA WARTOŚĆ SUMY 50 tys.zł.
Wartości oczekiwane zmiennych losowych S2 - jednorazowej składki netto, odchy-
lenie standardowe i współczynnik zmienności tych zmiennych losowych dla sumy ubez-
pieczenia 50 tys.zł., okresu ubezpieczenia - 5 lat oraz technicznej stopy procentowej r
=0,05
zamieszczono w tablicy 2.5.
34
WYPA
ATY
PRAWDOPODOBIEC
STWO
Tablica 2.5. Terminowe ubezpieczenie na wypadek śmierci na okres 5 lat.
Jednorazowa składka netto
Wiek M
ŻCZYZNA KOBIETA
ubez. Składka Odchylenie współczynnik Składka jedn- Odchylenie współczynnik
w jednrazowa standardowe zmienności razowa w standardowe zmienności
latach w tys.zł tys.zł
x Ax D V Ax D V
18 0,309 3,632 11,759 0,082 1,891 22,941
19 0,339 3,810 11,233 0,083 1,901 22,815
20 0,362 3,943 10,888 0,084 1,911 22,690
21 0,376 4,023 10,703 0,086 1,930 22,452
22 0,382 4,057 10,632 0,088 1,949 22,220
23 0,383 4,066 10,610 0,091 1,981 21,835
24 0,386 4,078 10,563 0,095 2,021 21,368
25 0,395 4,121 10,426 0,101 2,084 20,699
26 0,412 4,204 10,198 0,108 2,156 19,965
27 0,437 4,322 9,900 0,118 2,249 19,121
28 0,468 4,470 9,559 0,129 2,354 18,249
29 0,504 4,638 9,204 0,143 2,475 17,350
30 0,544 4,816 8,854 0,158 2,604 16,478
31 0,589 5,007 8,505 0,176 2,744 15,624
32 0,638 5,210 8,162 0,196 2,895 14,805
33 0,694 5,427 7,824 0,218 3,056 14,014
34 0,755 5,658 7,494 0,243 3,227 13,263
35 0,822 5,900 7,174 0,272 3,409 12,547
36 0,895 6,152 6,870 0,303 3,600 11,871
37 0,975 6,414 6,577 0,338 3,800 11,240
38 1,063 6,688 6,294 0,376 4,005 10,658
39 1,161 6,981 6,014 0,416 4,215 10,123
40 1,271 7,294 5,739 0,460 4,427 9,631
41 1,396 7,631 5,467 0,506 4,645 9,172
42 1,534 7,987 5,206 0,556 4,867 8,745
43 1,684 8,354 4,962 0,609 5,088 8,357
44 1,839 8,718 4,740 0,661 5,302 8,016
45 1,998 9,072 4,541 0,712 5,503 7,724
46 2,158 9,413 4,362 0,762 5,689 7,469
47 2,321 9,746 4,198 0,811 5,866 7,238
48 2,493 10,079 4,043 0,862 6,046 7,011
49 2,677 10,421 3,892 0,923 6,247 6,771
50 2,880 10,781 3,743 0,996 6,482 6,507
Jak można było przewidzieć na podstawie danych zamieszczonych w tablicy 2.4 odchyle-
nie standardowe D oraz współczynnik zmienności V zmiennej losowej S2 przewyższa wie-
lokrotnie wartość oczekiwaną tej zmiennej.
35
Dla ubezpieczenia mężczyzny odchylenie standardowe zmienia się od 12 krotnie większe-
go od wartości oczekiwanej dla mężczyzny 18 letniego do prawie 4 krotnie większego dla
mężczyzny 50 letniego. Jeszcze większą zmienność możemy zaobserwować w przypadku
ubezpieczenia kobiety, gdzie odchylenie standardowe zmienia się od 23 krotnie przewyż-
szającego wartość oczekiwaną dla kobiety 18 letniej do prawie 6.5 krotnie dla kobiety 50
letniej. Gdyby zatem posługiwać się tylko danymi za-wartymi w tab. 2.5 i ryzyko związa-
ne z ubezpieczeniem mierzyć odchyleniem standardowym D lub współczynnikiem zmien-
ności V, to terminowe ubezpieczenie na wypadek śmierci byłoby związane z bardzo du-
żym ryzykiem. Wiemy jednak (por. tab.2.4), że tak nie jest ponieważ prawdopodobieństwo
wypłaty sumy ubezpieczenia wynosi mniej niż 0,01 (mniej niż 1%).
W celu przeanalizowania zmian zachodzących w przypadku wydłużenia okresu ubez-
pieczenia w tablicy 2.6 zamieszczono rozkład zmiennej losowej S2 dla okresu ubezpiecze-
nia 20 lat.
Tablica 2.6. Rozkład prawdopodobieństwa terminowego ubezpieczenia na wypadek
śmierci na okres 20 lat.
Lata Obecna war- Mężczyzna Kobieta
tość sumy
ubezpieczenia x=20 lat x=40 lat x=20 lat x=40 lat
k 50v(k+1) Prob(S2=k) Prob(S2=k) Prob(S2=k) Prob(S2=k)
20 0,000 0,951506 0,779045 0,985754 0,915325
19 18,844 0,004351 0,018938 0,001550 0,008224
18 19,787 0,004011 0,017857 0,001387 0,007593
17 20,776 0,003692 0,016809 0,001244 0,006993
16 21,815 0,003394 0,015836 0,001112 0,006393
15 22,906 0,003127 0,014895 0,000999 0,005814
14 24,051 0,002880 0,013998 0,000897 0,005286
13 25,253 0,002664 0,013133 0,000806 0,004821
12 26,516 0,002468 0,012323 0,000724 0,004438
11 27,842 0,002294 0,011577 0,000653 0,004128
10 29,234 0,002129 0,010896 0,000591 0,003879
9 30,696 0,001985 0,010269 0,000540 0,003683
8 32,230 0,001851 0,009674 0,000489 0,003507
7 33,842 0,001769 0,009047 0,000459 0,003310
6 35,534 0,001738 0,008388 0,000428 0,003072
5 37,311 0,001738 0,007707 0,000418 0,002814
4 39,176 0,001769 0,007026 0,000398 0,002566
3 41,135 0,001790 0,006410 0,000398 0,002338
2 43,192 0,001748 0,005848 0,000388 0,002131
1 45,351 0,001635 0,005372 0,000388 0,001935
0 47,619 0,001460 0,004951 0,000377 0,001748
36
Należy zauważyć, że w przypadku wydłużenia okresu ubezpieczenia z 5 do 20 lat
rozkład zmiennej losowej S2 pozostaje skrajnie asymetryczny. Prawdopodobieństwo wy-
płacenia odszkodowania zmienia się
dla mężczyzny 20 letniego od 0,01 do 0,05
dla mężczyzny 40 letniego od 0,03 do 0,12
dla kobiety 20 letniej od 0,002 do 0,02
dla kobiety 40 letniej od 0,01 do 0,08 .
W tablicy 2.7 zamieszczono wyniki obliczeń wartości oczekiwanej zmiennej losowej S2
jednorazowej składki netto, odchylenia standardowego i współczynnika zmienności dla
sumy ubezpieczenia 50 tys. zł, okresu ubezpieczenia 20 lat i technicznej stopy procentowej
r=0,05.
Tablica 2.7. Terminowe Ubezpieczenie na wypadek śmierci na okres 20 lat
Jednorazowa składka netto.
Wiek M
ŻCZYZNA KOBIETA
ubez. Składka Odchylenie współczynnik Składka jedn- Odchylenie współczynnik
w jednrazowa standardowe zmienności razowa w standardowe zmienności
latach w tys.zł tys.zł
x Ax D V Ax D V
18 1,214 6,017 4,956 0,336 3,182 9,457
19 1,296 6,210 4,790 0,361 3,273 9,074
20 1,381 6,393 4,629 0,389 3,378 8,680
21 1,468 6,565 4,472 0,422 3,499 8,284
22 1,559 6,728 4,317 0,460 3,633 7,892
23 1,657 6,893 4,160 0,504 3,783 7,510
24 1,768 7,076 4,001 0,553 3,947 7,142
25 1,898 7,286 3,838 0,608 4,130 6,789
26 2,048 7,526 3,675 0,670 4,326 6,451
27 2,219 7,794 3,513 0,740 4,538 6,131
28 2,409 8,084 3,356 0,816 4,760 5,833
29 2,616 8,388 3,206 0,898 4,993 5,559
30 2,839 8,701 3,065 0,985 5,230 5,309
31 3,078 9,023 2,931 1,078 5,474 5,079
32 3,334 9,352 2,805 1,177 5,724 4,865
33 3,610 9,688 2,684 1,283 5,981 4,662
34 3,906 10,031 2,568 1,398 6,246 4,468
35 4,224 10,381 2,458 1,523 6,518 4,281
36 4,564 10,734 2,352 1,659 6,799 4,098
37 4,928 11,090 2,251 1,808 7,088 3,921
38 5,315 11,447 2,153 1,969 7,384 3,750
39 5,730 11,804 2,060 2,143 7,686 3,586
40 6,172 12,161 1,970 2,330 7,991 3,430
37
41 6,644 12,515 1,884 2,532 8,301 3,279
42 7,146 12,865 1,800 2,751 8,617 3,132
43 7,675 13,207 1,721 2,989 8,939 2,990
44 8,228 13,536 1,645 3,249 9,268 2,852
45 8,804 13,848 1,573 3,534 9,603 2,718
46 9,400 14,141 1,504 3,844 9,943 2,587
47 10,020 14,415 1,439 4,185 10,289 2,459
48 10,666 14,669 1,375 4,559 10,643 2,334
49 11,343 14,905 1,314 4,974 11,009 2,213
50 12,053 15,124 1,255 5,432 11,387 2,096
Jak wynika z przytoczonych danych (por.tab.2.5 i 2.7) w przypadku wydłużenia okresu
ubezpieczenia z 5 do 20 lat współczynnik zmienności V zmniejsza się 2,5 - 3 krotnie.
Współczynnik ten przyjmuje jednak również i w tym przypadku duże wartości.
Dane zawarte w tablicach 2.5 i 2.7 zilustrowano na rysunkach 2.7 i 2.8.
Rys.2.7.TERMINOWE UBEZPIECZENIE NA WYPADEK ÅšMIERCI.
JEDNORAZOWA SKA
ADKA NETTO-M
ŻCZYZNA. (Warunki:suma
ubezp.50 tys.zł., okres 5(20) lat, tech. stopa r=0,05)
Składka5 Ax Składka5+odchl.Ax+D Składka20 Ax Składka20+odchl.Ax+D
30,000
25,000
20,000
15,000
10,000
5,000
0,000
WIEK UBEZPIECZONEGO w latach
38
zł.
WYSOKOŚĆ SKA
ADKI w tys.
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
Rys.2.8.TERMINOW E UBEZPIECZENIE NA W YPADEK ÅšMIERCI.
JEDNORAZOW A SKA
ADKA NETTO- KOBIETA. (W a runki: sum a
ubezp. 50 tys.zł.,okres 5 ( 20) lat, te ch. stopa r=0,05)
Składka5 A x Składka5+odchl.A x+D Składka20 A x Składka20+odchl.A x+D
18,000
16,000
14,000
12,000
10,000
8,000
6,000
4,000
2,000
0,000
WIEK UBEZPIECZONEJ w latach
Rys.2.9.TERMINOWE UBEZPIECZENIE NA WYPADEK ÅšMIERCI.
WSPÓA
CZYNNIK ZMIENNOÅšCI JEDNORAZOWEJ SKA
ADKI NETTO.
(Warunki: suma ubezp.50 tys.zł.,okres 5(20) lat, tech. stopa r=0,05)
V5-kobieta V20-kobieta V5-mężczyzna V20-mężczyzna
25,00
20,00
15,00
10,00
5,00
0,00
WIEK UBEZPIECZONEGO w latach
39
WYSOKOŚĆ SKA
ADKI w tys.zł.
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
WSPÓA
CZYNNIK ZMIENNOÅšCI V
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
 Z przytoczonych obliczeń wynika, że zmienna losowa S2 przyjmuje z dużym praw-
dopodobieństwem wartość (Prob(S2 =0) E" 0,97 E" 0,99) w związku z tym jest asymetryczna
a jej wartość oczekiwana przyjmuje relatywnie małe wartości.
Wobec powyższego jednorazowa składka netto terminowego ubezpieczenia na wy-
padek śmierci jest niska w porównaniu z sumą ubezpieczenia.
Również z uwagi na skrajną asymetrię zmiennej losowej S2 odchylenie standardowe D tej
zmiennej oraz jej współczynnik zmienności V przyjmują niewspółmiernie duże wartości.
Oznacza to, że ryzyko tego ubezpieczenia nie powinno być mierzone odchyleniem stan-
dardowym. Wyżej opisane własności zmiennej losowej S2 powodują, że firmy ubezpiecze-
niowe w zasadniczo odmienny sposób traktują terminowe ubezpieczenie na wypadek
śmierci od jego wersji dożywotniej (zmienna losowa S1).
40