III. RENTY ŻYCIOWE
Rentą życiową nazywamy ciąg okresowych płatności dokonywanych w równych od-
stępach czasu od momentu zawarcia umowy rentowej do końca życia rentobiorcy lub
do końca kontraktu.
Czas trwania umowy rentowej może być ograniczony lub nieograniczony, a mo-
ment pierwszej wypłaty może nastąpić natychmiast po zawarciu umowy rentowej lub być
odroczony na pewien okres czasu.
Renty życiowe płatne są miesięcznie, kwartalnie lub rocznie.
W niniejszym rozdziale omówimy metody wyznaczania jednorazowej składki netto dla
rent życiowych. Dla zrozumienia wyprowadzanych wzorów niezbędna jest znajomość teo-
rii rent pewnych, o których najważniejsze informacje zamieszczono w dodatku A.
3.1. RENTA ŻYCIOWA DOŻYWOTNIA PA
ATNA NATYCHMIAST
Dla wyprowadzenia wzoru na jednorazową składkę netto renty życiowej płatnej
natychmiast z dołu wprowadzimy następujące założenia (por. Rozdział 2.1)
a) K - zmienna losowa oznaczająca liczbę pełnych lat życia od momentu zawarcia ubez-
pieczenia do momentu śmierci
b) raty renty życiowej są stałe i są równe jednostce pieniężnej (1zł, 1 tys. zł, 1mln zł)
c) w momencie zawierania umowy rentowej ubezpieczony jest w wieku x lat
d) r - techniczna stopa procentowa (r=0,05)
e) v = (1+r)-1 - czynnik dyskontujący
Przyjmując wyżej zapisane założenia możemy stwierdzić, że wartość początkowa oma-
wianej renty życiowej jest kapitałem losowym określonym przez zmienną losową postaci
Y1 = v + v2 + v3 + ... + vK = aKr (3.1)
{
�#
dla K=1,2, . . . ,w-x
gdzie:aKr - wartość początkowa renty jednostkowej pewnej płatnej z dołu przez K lat
�#
(por. dodatek B)
v -(1+r)-1 - czynnik dyskontujący v+(1+r)-1
60
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y1 jest związany z rozkładem dalszego
trwania życia i jest określony wzorem:
Prob (Y1 = ak r) = Prob(K = k) =kpxqx+ k (3.2)
dla k=0,1,2, ..., w-x.
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y1 możemy zapisać w tablicy (por. roz-
kład zmiennej losowej S1)
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y1
k 0 1 2 . . . . i . . . w-x
yk a0 r a1 r a2 r ai r . . . .
aw - x r
P(Y1=yk)
qx 1pxqx+1 pxqx+ 2 . . . . pxqx+i . . . . pxqw
2 i w - x
Porównując rozkłady zmiennych losowych S1 i Y1 zauważmy, że
Prob (Y1 = ak r) = Prob(S1 = vk +1)
(3.4)
dla k=0,1,2, ..., w-x.
Korzystając z wzoru na wartość początkową pewnej renty jednostkowej (por. dodatek A)
otrzymujemy:
1- vk
Y1 = ak�#r =
r
a stąd
v �" r �"Y1 = v - S1
co daje
1 r + 1S
Y1 == - (3.5)
1
r r
Wzór (3.5) podaje relację między zmiennymi losowymi Y1 i S1 oraz pozwala wyznaczyć
jednorazową składkę netto jednostkowej renty życiowej dożywotniej płatnej natychmiast z
dołu z wykorzystaniem jednorazowej składki netto dożywotniego ubezpieczenia na wypa-
dek śmierci.
61
r + 1S = 1 r + 1A1
ś#
ax = E(Y1) = E�#1 -1
ś# ź# -
(3.7)
x
�# r r # r r
a stąd po wprowadzeniu zależności (2.5) mamy
1 r + 1 Mx
ax = - �" (3.8)
r r Dx
gdzie:
ax - jednorazowa składka netto jednostkowej renty życiowej płatnej natychmiast
z dołu
Wzór (3.5) pozwala również wyznaczyć wariancję zmiennej losowej Y1
r + 1S = 1
D2(Y1) = D2�#1 -1ś# D2(S1) (3.9)
ś# ź#
�# r r #
d2
gdzie: D2(S1) - oznacza wariancję jednorazowej składki netto dożywotniego ubezpieczenia
na wypadek śmierci (por. 2.14)
d - równoważna stopa dyskontowa d=r(1+r)-1
Wzór na wartość oczekiwaną zmiennej losowej Y1 (jednorazową składkę netto ax) może-
my również wyprowadzić korzystając bezpośrednio z definicji wartości oczekiwanej oraz
wzorów (3.1) i (3.2).
w - x
ax = E(Y1) =
(3.10)
"a pxqx+
k k
kr
�#
k =1
,który po przekształceniach przyjmuje postać12
w- x
ax = vk kpx
(3.11)
"
k =1
Korzystając z (3.11) możemy wyprowadzić kolejny wzór na jednostkową składkę netto
renty życiowej ax
12
Wzór (3.11) można również otrzymać traktując zmienną losową Y1 jako sumę zmiennych losowych S3 -
ubezpieczenia na dożycie k=0,1,2, ...,w-x lat.
62
w - x w - x k
vx+ lx+ k
ax = vk lx+ k =
""
lx k =1 vxlx
k =1
a po wprowadzeniu liczb komutacyjnych (por. wzory 2.6 - 2.9) otrzymujemy:
w-x
Dx+k = Nx+1
(3.12)
ax =
"
Dx Dx
k=1
Wyżej przeprowadzone rozumowanie pozwala w prosty sposób wyznaczyć jedno-
razową składkę netto jednostkowej renty życiowej dożywotniej płatnej natychmiast z góry.
Renta ta określona jest przez zmienną losową
&&
&&
Y1 =1 + v + v2 + v3 +...+ vK = aK+1 (3.13)
�#r
dla K=0,1,2, . . . , w-x o rozkładzie prawdopodobieństwa
&&
&&
Pr ob(Y1 = ak+1 ) = Pr ob(K = k) =kpxqx+k (3.14)
�#r
dla k = 0,1,2,. . . w-x .
Porównując wzory (3.1) i (3.2) oraz (3.13) i (3.14) zauważymy prosty związek między
&&
zmiennymi losowymi Y1 oraz
Y1
&&
Y1 =1 + Y1 (3.15)
Konsekwencją zależności (3.15) są następujące wzory:
&&
&&
a = E(Y1) = 1 + E(Y1) = 1 + a (3.16)
x x
1 r +1 Mx
&&
ax =1 + - �" (3.17)
r r Dx
Nx
&&
ax = (3.18)
Dx
1
&&
(3.19)
D2 (Y1) = D2 (Y1) = D2 (S1)
d2
Dla zilustrowania rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y1 sporządzono
rysunek 3.1, na którym umieszczono rozkład tej zmiennej dla przypadku mężczyzny i ko-
63
biety w wieku 40 lat oraz technicznej stopy procentowej r =0,05. Dane do rysunku wybra-
no z tablicy 1.1 oraz dodatku B.
Rys.3.1.JEDNOSTKOWA RENTA ŻYCIOWA
DOŻYWOTNIA PA
ATNA NATYCHMIAST Z GÓRY.
ROZKA
AD PRAWDOPODOBIEC
STWA.
Prob-Mężczyzna 40 lat Prob-Kobieta 40 lat
0,040000
0,035000
0,030000
0,025000
0,020000
0,015000
0,010000
0,005000
0,000000
OBECNA WARTOŚĆ RENTY w tys.zł.
W tablicy 3.1 zamieszczono wartość jednorazowej składki netto omawianej renty.
Tablica 3.1. Jednostkowa renta życiowa dożywotnia płatna natychmiast z góry.
Składka jednorazowa netto.
Wiek M
ŻCZYZNA KOBIETA
ubez. Składka Odchylenie współczynnik Składka Odchylenie współczynnik
w jednorazo- standardowe zmienności jednorazowa standardowe zmienności
latach wa w tys. zł w tys. zł
x Ax D V Ax D V
18 18,584 2,549 0,137 19,544 1,589 0,081
19 18,484 2,607 0,141 19,479 1,626 0,083
20 18,381 2,659 0,145 19,410 1,665 0,086
21 18,277 2,705 0,148 19,338 1,708 0,088
22 18,171 2,746 0,151 19,262 1,753 0,091
23 18,061 2,785 0,154 19,183 1,802 0,094
24 17,946 2,826 0,157 19,099 1,853 0,097
25 17,825 2,873 0,161 19,012 1,909 0,100
26 17,698 2,927 0,165 18,920 1,967 0,104
27 17,563 2,987 0,170 18,825 2,029 0,108
28 17,423 3,051 0,175 18,724 2,093 0,112
29 17,276 3,118 0,180 18,620 2,159 0,116
30 17,125 3,186 0,186 18,511 2,226 0,120
31 16,968 3,255 0,192 18,397 2,294 0,125
64
WYPA
ATY
PRAWDOPODOBIEC
STWA
0,952
4,329
7,108
9,394
11,274
12,821
14,094
15,141
16,003
16,711
17,294
17,774
18,169
18,493
18,761
18,980
32 16,805 3,323 0,198 18,279 2,364 0,129
33 16,638 3,392 0,204 18,156 2,434 0,134
34 16,464 3,462 0,210 18,029 2,505 0,139
35 16,286 3,531 0,217 17,896 2,575 0,144
36 16,102 3,599 0,223 17,759 2,646 0,149
37 15,913 3,666 0,230 17,617 2,717 0,154
38 15,719 3,732 0,237 17,470 2,786 0,159
39 15,520 3,796 0,245 17,317 2,855 0,165
40 15,315 3,859 0,252 17,160 2,921 0,170
41 15,106 3,921 0,260 16,998 2,987 0,176
42 14,892 3,980 0,267 16,830 3,050 0,181
43 14,673 4,037 0,275 16,658 3,112 0,187
44 14,451 4,089 0,283 16,479 3,172 0,192
45 14,226 4,137 0,291 16,295 3,230 0,198
46 13,998 4,179 0,299 16,106 3,286 0,204
47 13,768 4,216 0,306 15,911 3,339 0,210
48 13,535 4,248 0,314 15,709 3,391 0,216
49 13,297 4,276 0,322 15,500 3,444 0,222
50 13,056 4,303 0,330 15,283 3,499 0,229
Z analizy danych zawartych w tablicy 3.1 wynika, że omawiana renta (zmienna
&&
losowa Y1) charakteryzuje się relatywnie małą zmiennością. Dla ilustracji danych zawar-
tych w tablicy 3.1 sporządzono rysunek 3.2.
Rys.3.2.JEDNOSTKOWA RENTA ŻYCIOWA DOŻYWOTNIA
PA
ATNA NATYCHMIAST Z GÓRY. SKA
ADKA JEDNORAZOWA
NETTO.
Składka ax-mężczyzna Składka ax-kobieta
20,000
15,000
10,000
5,000
0,000
WIEK UBEZPIECZONEGO w latach
65
w tys.zł.
WYSOKOŚĆ SKA
ADKI
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
66
3.1. RENTA ŻYCIOWA TERMINOWA PA
ATNA PRZEZ N LAT
Rentą życiową terminową płatną przez n lat nazywamy ciąg corocznych płatności,
który wygasa w momencie śmierci rentobiorcy lub po upływie n lat.
Przyjmując założenia poczynione w rozdziale 3.1. możemy wartość początkową
omawianej renty życiowej płatnej z dołu zdefiniować jako kapitał losowy określany przez
zmienną losową
aK�#r dla K = 012,...n - 1
, ,
ż#
�#
(3.19)
Y2 =
�#
�#
�#an|r dla K e" n
o rozkładzie prawdopodobieństwa
Prob(Y2 = ak�#r ) = Pr ob(K = k) = pxqx+ k (3.20)
k
Prob(Y2 = an�#r ) = Pr ob(K e" k) = px (3.21)
n
gdzie: n - kontraktowy termin wypłacania renty.
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y2 możemy zapisać w tablicy
(por. rozkład zmiennej S4)
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y2
k 0 1 2 . . . . n-1 n
yk a0 r a1 r a2 r an r
an-1 r
P(Y2=yk)
pxqx+1 pxqx+ 2
qx 1 2 . . . . pxqx+ px
n-1 n-1 n
Porównując rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Y2 i S4(por. rozdział 2.4)
zauważymy, że
1 - vk
Y2 = ak�#r =
r
co daje
v �" r �" Y2 = v - S4
67
a stąd (por.3.5)
1 r + 1S
Y2 == - (3.22)
4
r r
r + 1S
ś#
axn = E(Y2) = E�#1 -4
ś# ź#
:
�# r r #
1 r + 1
axn = - Ax:n (3.23)
:
r r
Z zależności (3.22) możemy również wyprowadzić wariancję zmiennej losowej Y2.
1
D2(Y2) == D2(S4) (3.24)
d2
Gdzie: d - równoważna stopa dyskontowa d = r(1+r)-1.
Jeżeli natomiast posłużymy się definicją wartości oczekiwanej zmiennej losowej Y2 , to
otrzymujemy
n-1
ax:n�# = E(Y2) =
(3.25)
"ak�#r pxqx+ + an|r �"npx
k k
k =0
Po przekształceniu wzoru (3.25) mamy:
n-1
axn�# = E(Y2) = vk kpx
(3.26)
"
:
k =0
Po wprowadzeniu funkcji tablicowych i liczb komutacyjnych do wzoru (3.26) otrzymuje-
my:
n-1 n -1 k
vx+ lx+ k n Dx+ k
k
k
ax:n�# = =
"v lx+ = "= "
lx k =0 vx lx k =1 Dx
k =0
w - x
Dx+ k w - x Dx+ k
-=
" "
Dx k = n+1 Dx
k =1
Ostatecznie (por 2.9)
Nx+1 - Nx+n+1
(3.27)
axn�# =
:
Dx
W podobny sposób możemy wyprowadzić wzór opisujący jednostkową terminową rentę
życiową płatną przez n lat z góry
68
dlaK = 0,1,2,...n -1
ż#&&
�#a K+1 �#
&&
(3.28)
Y2 =
�#
�#&&
�#a n|r dlaK e" n
o rozkładzie prawdopodobieństwa
&&
&&
Prob(Y2 = ak+1r ) = Prob(K = k) =k pxqx+k (3.29)
�#
dla k=0,1,2, . . . n-2
&&
&&
Prob(Y2 = an|) = Prob(K e" n -1) =n px (3.30)
dla k=n-1
Porównując wzory (3.19 - 3.21) z wzorami (3.28-3.30) zauważymy, że
(
&&
Y2 =1 + Y2n-1) (3.31)
(
gdzie: Y2n-1) - oznacza jednostkową rentę życiową płatną z dołu przez n-1 lat
&&
,a stąd otrzymujemy następujące zależności dla zmiennej losowej Y2 - jednostkowej ter-
minowej renty życiowej płatnej przez n lat z góry
&&
&&
ax:n�# = E(Y2 ) = 1+ E(Y1(n -1) ) = 1+ a
(3.31)
x:n -1�#
Nx - Nx+n
&& (3.32)
ax:n�#=
Dx
&&
Można również wykazać następujący związek między zmiennymi losowymi Y2 oraz S4
1 - S4
&&
Y2 = (3.34)
d
z którego wynika, że
1 - A4
x:n�#
&&
a = (3.34)
x:n�#
d
oraz, że
1
&&
D2 (Y2 ) = D2 (S4 ) (3.35)
d2
69
gdzie: d - równoważna stopa dyskontowa d = r(1+r)-1.
&&
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y2 zilustrowano na rysunku 3.3, który
wykonano na podstawie danych zawartych w tablicy 2.10, dodatku B, technicznej stopy
procentowej r=0,05 oraz przy założeniu, że 25 letnia renta życiowa oferowana jest męż-
czyz
nie lub kobiecie w wieku 40 lat.
Rys.3.3.JEDNOSTKOWA TERMINOWA RENTA ŻYCIOWA
PA
ATNA Z GÓRY PRZEZ 25 LAT.
ROZKA
AD PRAWDOPODOBIEC
STWA
Prob-mężczyzna 40 lat Prob- kobieta 40 lat
0,900000
0,800000
0,700000
0,600000
0,500000
0,400000
0,300000
0,200000
0,100000
0,000000
OBECNA WARTOŚĆ RENTY w tys.zł.
W tablicy 3.2 zamieszczono wyliczenia jednorazowej składki netto jednostkowej
terminowej renty życiowej płatnej z góry przez 25 lat dla mężczyzny i kobiety w wieku od
18 do 50 lat.
70
WYPA
ATY
PRAWDOPODOBIEC
STWO
1,000
2,859
4,546
6,076
7,463
8,722
9,863
10,899
11,838
12,690
13,462
14,163
14,799
Tablica 3.2. Jednostkowa terminowa renta życiowa płatna z góry przez 25 lat.
Wiek M
ŻCZYZNA KOBIETA
ubez. Składka Odchylenie współczynnik Składka Odchylenie współczynnik
w jednorazo- standardowe zmienności jednorazowa standardowe zmienności
latach wa w tys. zł w tys. zł
x Ax D V Ax D V
18 14,538 1,378 0,095 14,727 0,719 0,049
19 14,520 1,424 0,098 14,723 0,732 0,050
20 14,503 1,465 0,101 14,717 0,748 0,051
21 14,485 1,499 0,103 14,711 0,768 0,052
22 14,468 1,528 0,106 14,704 0,790 0,054
23 14,449 1,554 0,108 14,696 0,817 0,056
24 14,427 1,584 0,110 14,686 0,847 0,058
25 14,402 1,621 0,113 14,675 0,883 0,060
26 14,373 1,667 0,116 14,663 0,923 0,063
27 14,339 1,721 0,120 14,650 0,967 0,066
28 14,301 1,782 0,125 14,635 1,015 0,069
29 14,260 1,849 0,130 14,618 1,066 0,073
30 14,214 1,918 0,135 14,600 1,120 0,077
31 14,165 1,991 0,141 14,580 1,177 0,081
32 14,111 2,066 0,146 14,559 1,236 0,085
33 14,054 2,144 0,153 14,536 1,298 0,089
34 13,991 2,225 0,159 14,511 1,361 0,094
35 13,924 2,308 0,166 14,484 1,426 0,098
36 13,852 2,393 0,173 14,454 1,493 0,103
37 13,774 2,480 0,180 14,423 1,561 0,108
38 13,691 2,569 0,188 14,389 1,630 0,113
39 13,603 2,658 0,195 14,352 1,700 0,118
40 13,508 2,748 0,203 14,313 1,771 0,124
41 13,407 2,840 0,212 14,271 1,842 0,129
42 13,300 2,932 0,220 14,225 1,913 0,134
43 13,187 3,024 0,229 14,176 1,985 0,140
44 13,068 3,114 0,238 14,123 2,057 0,146
45 12,944 3,200 0,247 14,065 2,130 0,151
46 12,814 3,283 0,256 14,002 2,202 0,157
47 12,680 3,361 0,265 13,933 2,275 0,163
48 12,538 3,436 0,274 13,858 2,349 0,170
49 12,390 3,509 0,283 13,774 2,428 0,176
50 12,233 3,581 0,293 13,682 2,511 0,184
71
Dla ilustracji danych zawartych w tablicy 3.2 sporządzono rysunek 3.4
Rys.3.4.JEDNOSTKOWA TERMINOWA RENTA ŻYCIOWA
PA
ATNA Z GÓRY PRZEZ 25 LAT. JEDNORAZOWA SKA
ADKA
NETTO.
Składka ax-mężczyzna Składka ax-kobieta
16,000
14,000
12,000
10,000
8,000
6,000
4,000
2,000
0,000
WIEK UBEZPIECZONEGO w latach
72
tys.zł.
WARTOŚĆ RENTY w
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50