II. UBEZPIECZENIA ŻYCIOWE
Matematyka finansowa i aktuarialna stanowi podstawy teoretyczne metod obliczeń
wysokości składek ubezpieczeń na życie.
Matematyka finansowa6 zajmuje się metodami oprocentowania i dyskontowania ka-
pitału (zmianami wartości pieniądza w czasie), metodami spłaty długów, mierzeniem efek-
tywności inwestycji finansowych (inwestycji w akcje i obligacje).
Matematyka aktuarialna7 (matematyka ubezpieczeniowa) stosuje metody analizy
matematycznej, rachunku prawdopodobieństwa, statystyki matematycznej do:
" ustalania wysokości składek ubezpieczeniowych i funduszy rezerwowych gromadzo-
nych przez towarzystwa ubezpieczeń
" obliczania rozkładu prawdopodobieństwa roszczeń z tytułu ubezpieczeń według ich
wysokości i wielkości w określonym czasie oraz określonej grupie ubezpieczeń
" ustalanie wielkości odszkodowań i świadczeń wypłacanych przez towarzystwa ubezpie-
czeniowe w razie zajścia określonych zdarzeń losowych.
W matematyce finansowej i aktuarialnej do wyceny wartości kapitałów losowych,
(wyceny wartości zysków lub strat w grze losowej, wyceny wartości ciągu rocznych skła-
dek wpłacanych do firmy ubezpieczeniowej na rzecz ubezpieczenia) stosuje się pojęcie
wartości oczekiwanej, a do oceny stopnia ryzyka związanego z tym kapitałem stosuje się
pojęcie wariancji, odchylenia standardowego lub innych charakterystyk statystycznych.
Załóżmy, że pewne przedsięwzięcie (udział w grze losowej, podpisanie umowy
ubezpieczeniowej) generuje dochody (wpłaty) lub straty (wypłaty) x1, x2, . . . xn z prawdo-
podobieństwami odpowiednio p1,p2, . . . pn.
Można w tym przypadku powiedzieć, że przedsięwzięcie to jest związane z pewnym kapi-
tałem losowym określonym przez zmienną losową X o danym rozkładzie prawdopodo-
bieństwa
Prob(X = xi) = pi dla i =1, 2, . . . n (2.1)
6
Bijak W, Podgórska M, Utkin J; Matematyka finansowa, Bizant, Warszawa 1994
7
Stroiński E., Ubezpieczenia na życie. Wyższa Szkoła Ubezpieczeń i Bankowości, , Warszawa 1995.
19
Wyceną Netto Kapitału Losowego X o rozkładzie prawdopodobieństwa Prob(X=xi)=pi
n
dla i =1, 2, ..., n nazywamy wartość oczekiwaną
E(X) = pi zmiennej losowej X.
"x
i
i=1
Dwa Kapitały Losowe X i Y są Równoważne Netto, gdy wyceny netto wartości tych
kapitałów są sobie równe (E(X)=E(Y).
Podstawą wszystkich obliczeń ubezpieczeniowych jest Jednorazowa Składka Netto
równa wartości oczekiwanej zdyskontowanych na moment zawierania umowy ubezpiecze-
niowej przyszłych wypłat świadczeń firmy ubezpieczeniowej na rzecz ubezpieczonego.
Do dyskontowania tych świadczeń stosuje się roczną stopę procentową r nazywaną Tech-
niczną Stopą Procentową. W dalszej części pracy przedstawimy zasady wyznaczania Jed-
norazowej Składki Netto dla różnych rodzajów ubezpieczeń życiowych i rent życiowych.
Wyznaczymy również wielkość ryzyka związanego z tymi ubezpieczeniami mierzonego
wielkością wariancji, odchylenia standardowego, współczynnika zmienności lub prawdo-
podobieństwem.
Ubezpieczeniem na życie nazywamy umowę między ubezpieczonym a ubezpieczycie-
lem, w której ubezpieczony zobowiązuje się do zapłacenia składki ubezpieczeniowej
(jednorazowo lub ratalnie), a ubezpieczyciel zobowiązuje się do wypłacenia sumy u-
bezpieczenia (jednorazowo lub ratalnie) w razie śmierci osoby ubezpieczonej na rzecz
określonych w ubezpieczeniu osób.
Ubezpieczenia na życie dzielimy na:
a) ubezpieczenia życiowe - jednorazowa płatność sumy ubezpieczenia w przypadku
śmierci ubezpieczonego
b) renty życiowe - ciągi płatności dokonywane przez ubezpieczyciela na rzecz osoby u-
bezpieczonej w określonych terminach w sytuacji gdy osoba ubezpieczona żyje
Ubezpieczenia na życie są kombinacjami ubezpieczeń życiowych i rent życiowych.
Niżej przedstawimy zasady obliczania jednorazowej składki netto dla najważniejszych
ubezpieczeń życiowych.
20
2.1. DOŻYWOTNIE UBEZPIECZENIE NA WYPADEK ŚMIERCI
Dożywotnim ubezpieczeniem na wypadek śmierci nazywamy ubezpieczenie, na
mocy którego ubezpieczyciel zobowiązuje się do wypłacenia sumy ubezpieczenia
spadkobiercom po śmierci ubezpieczonego.
W tym przypadku wypłata sumy ubezpieczenia występuje napewno nieznany jest jedynie
moment wypłaty, który jest momentem losowym zależnym od długości dalszego trwania
życia ubezpieczonego
Dla przeprowadzenia obliczeń przyjmujemy następujące założenie i oznaczenia:
a) K - zmienna losowa oznaczająca liczbę pełnych lat życia od momentu zawarcia ubez-
pieczenia do momentu śmierci ubezpieczonego
b) K+1 - moment płatności ubezpieczenia (płatność w końcu roku w którym nastąpiła
śmierć ubezpieczonego)
c) suma ubezpieczenia wynosi jedną jednostkę pieniężną (1 zł. ,1 tys. zł., 1 mln zł.)
d) w momencie zawierania umowy ubezpieczenia ubezpieczony ma x - lat
e) r - techniczna stopa procentowa
f) v = (1+r)-1 - czynnik dyskontujący
Przyjmując wyżej zapisane założenia możemy zauważyć, że zobowiązanie ubezpie-
czyciela określa kapitał losowy (obecna wartość sumy ubezpieczenia)
S1 = vK+1 (2.2)
o rozkładzie prawdopodobieństwa
Prob(S1 = vk +1) = Prob(K = k) =kpxqx+ k (2.3)
dla k= 0,1,2, . . . , w-x
Zobowiązania ubezpieczyciela są więc określone przez kapitał losowy o rozkładzie praw-
dopodobieństwa w istotny sposób związanym z rozkładem dalszego trwania życia osoby
ubezpieczanej (por.wzór 1.7)
Rożkład zmiennej losowej S1 możemy zapisać w następującej tablicy:
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej S1
21
k 0 1 2 . . . . i . . . w-x
sk v v2 v3 . . . . vi+1 . . . . vw-x+1
pxqx+1 pxqx+2
P(S1=sk) qx 1 2 . . . . pxqx+i . . . . pxqw
i w - x
Zgodnie zatem z zasadą wyceny netto wartości kapitału losowego jednorazowa składka
netto dożywotniego ubezpieczenia na wypadek śmierci jest równa wartości oczekiwanej
zmiennej losowej S1
w-x
k+1
A1 = E(S1) =
(2.4)
"v pxqx+k
x k
k=0
Korzystając z zależności zawartych we wzorach (1.8) do (1.12) jednorazową składkę netto
można wyznaczyć ze wzoru
w-x
lx+k dx+k w-x dx+k w-x vx+k+1dx+k
A1 = vk+1 �" = vk+1 = =
"" "
x
lx lx+k k=0 lx k=0 vxlx
k=0
Cx + Cx+1 + . . . + Cw Mx
= =
Dx Dx
Mx
A1 = (2.5)
x
Dx
Cx = vx+1dx
gdzie: - zdyskontowana liczba umarłych (2.6)
Dx = vxlx - zdyskontowana liczba żywych (2.7)
w-x
Mx =
(2.8)
"C
x+k
k=0
w-x
Nx =
(2.9)
"D
x+k
k=0
Wielkości Cx , Dx , Mx i Nx nazywamy LICZBAMI KOMUTACYJNYMI.
Liczby te zależą od:
22
lx - liczby osób dożywających wieku x,
dx -- liczby osób zmarłych w wieku x
r - technicznej stopy procentowej (v = (1+r)-1 )
W dodatku C zamieszczono tablice liczb komutacyjnych obliczone dla technicznej stopy
procentowej r=0,05 i r=0,1025 oraz danych zawartych w PTTŻ 1990-19911
Przykład 2.1
Obliczyć jednorazową składkę netto dla ubezpieczenia na wypadek śmierci na kwotę
50 tys.zł, dla mężczyzny 40 letniego przyjmując techniczną stopę procentową r = 0,05 oraz
dane zawarte w PTTŻ 1990-19911.
Korzystając z własności wartości oczekiwanej E(aS1) = a E(S1) (por.dodatek C ) oraz wzo-
ru (2.5) mamy
Mx 3555,6328
tys. zł
A1 = 50�" = 50 = 50�" 0,2705769 = 13,528
x
Dx 13140,93016
Wariancję zmiennej losowej S1 możemy wyznaczyć korzystając ze znanej własności ope-
ratora wariancji:
2
D2(S1) = E(S1 ) - ( )2
E(S1) (2.10)
2
2
zatem D2(S1) = E(S1) - A1)
( )
x
Dla wyznaczenia wariancji D2(S1) wystarczy więc obliczyć drugi moment zwykły zmien-
nej losowej S1
w-x
2
2
ES1) = vk+1 kpxqx+k
(
(2.11)
" ( )
k=0
Ponieważ
k +1
k +1
2 k +1
�# ś#
1 1
�# ś#
vk +1 = v2 = = ,
ś#1 + r(2 + r)ź# (2.12)
ś# ź#
( ) ( )
�# #
�# (1 + r)2 #
23
Drugi moment zwykły zmiennej losowej S1 jest więc równy jednorazowej składce netto
obliczonej dla technicznej stopy procentowej8 r1 = r(2+r)
2
ES1 ) = A1|r(2+r) (2.13)
(
x
Ostatecznie
2
D2(S1) = A1| r) - A1| (2.14)
( )
xr(2+ xr
gdzie : A1| - jednorazowa składka netto dla technicznej stopy procentowej r
xr
A1| r) - jednorazowa składka netto dla technicznej stopy procentowej
r1 = r(2 + r)
xr(2+
Przykład 2.2.
Obliczyć odchylenie standardowe zmiennej losowej S1 dla danych z przykładu 2.1
D - odchylenie standardowe
r = 0,05 ; r(2+r) = 0,05(2,05) = 0,1025
Mx|r(2+r) 199,750406
A1|r(2+r) == = 0,107016508
x
Dx|r(2+r) 1866,57204
D2(S1) = 0,107016508 - (0,2705769528)2 = 0,03380463341
DS1) = D2(S1) = 0,1838603639
(
D(50�"S1) = D2(50�"S1) = 502 �" D2(S1) = 50 D2(S1)
tys.zł
D(50 �" S1) = 50 �" D(S1) = 50 �" 0,1838603639 = 9,193
Współczynnik zmienności
DS1) 0,1838603639
(
(67,95%)
V == = 0,6795
ES1) 0,2705769528
(
Zauważmy, że wypłaty odszkodowań których obecna wartość jest mniejsza od E(S1) są
korzystne dla ubezpieczyciela (odchylenia in minus E(S1). Natomiast wypłaty odszkodo-
wań których obecna wartość jest większa od E(S1) są korzystne dla spadkobierców ubez-
pieczonego (odchylenia in plus E(S1).
8
Jeżeli r=0,05, to r1=r(2+r)=0,1025 stąd też w dodatku C znajdują się liczby komutacyjne dla tych stóp pro-
centowych.
24
W tablicy 2.1 zamieszczono rozkład zmiennej losowej S1 dla dożywotniego ubezpieczenia
na wypadek śmierci mężczyzny w wieku 40 lat oraz kobiety w wieku 40 lat dla sumy
ubezpieczenia 50 tys.zł, technicznej stopy procentowej r = 0,05 oraz danych zawartych w
PTTŻ.
Tablica 2.1 Rozkład prawdopodobieństwa kapitału losowego S1
Kapitał losowy S1 Mężczyzna 40 lat Kobieta 40 lat
Obecna wartość
Lata
Prawdopodobieństwo Prawdopodobieństwo
sumy ubezp.
k 50 v(k+1) Prob( S1=k) Prob( S1=k)
60 2,549311 0,000951 0,004686
59 2,676776 0,001286 0,005917
58 2,810615 0,001719 0,007345
57 2,951146 0,002259 0,008990
56 3,098703 0,002919 0,010821
55 3,253638 0,003708 0,012838
54 3,416320 0,004637 0,015021
53 3,587136 0,005718 0,017307
52 3,766493 0,006961 0,019676
51 3,954818 0,008345 0,022066
50 4,152558 0,009869 0,024425
49 4,360186 0,011523 0,026701
48 4,578196 0,013274 0,028821
47 4,807105 0,015101 0,030735
46 5,047461 0,016971 0,032401
45 5,299834 0,018830 0,033777
44 5,564825 0,020657 0,034822
43 5,843067 0,022408 0,035525
42 6,135220 0,024040 0,035877
41 6,441981 0,025510 0,035867
40 6,764080 0,026786 0,035515
39 7,102284 0,027845 0,034853
38 7,457398 0,028634 0,033870
37 7,830268 0,029229 0,032660
36 8,221782 0,029629 0,031253
35 8,632871 0,029856 0,029690
34 9,064514 0,029910 0,028035
33 9,517740 0,029780 0,026318
32 9,993627 0,029499 0,024580
31 10,493308 0,029056 0,022873
30 11,017974 0,028483 0,021207
29 11,568872 0,027791 0,019604
28 12,147316 0,027034 0,018073
27 12,754682 0,026245 0,016614
26 13,392416 0,025445 0,015228
25 14,062037 0,024645 0,013925
24 14,765139 0,023867 0,012724
23 15,503396 0,023056 0,011638
22 16,278565 0,022170 0,010645
21 17,092494 0,021176 0,009745
20 17,947118 0,020051 0,008938
19 18,844474 0,018938 0,008224
18 19,786698 0,017857 0,007593
25
c.d. Tablicy 2.2
Lata k 50 v(k+1) Prob( S1=k) Prob( S1=k)
17 20,776033 0,016809 0,006993
16 21,814834 0,015836 0,006393
15 22,905576 0,014895 0,005814
14 24,050855 0,013998 0,005286
13 25,253398 0,013133 0,004821
12 26,516068 0,012323 0,004438
11 27,841871 0,011577 0,004128
10 29,233964 0,010896 0,003879
9 30,695663 0,010269 0,003683
8 32,230446 0,009674 0,003507
7 33,841968 0,009047 0,003310
6 35,534067 0,008388 0,003072
5 37,310770 0,007707 0,002814
4 39,176308 0,007026 0,002566
3 41,135124 0,006410 0,002338
2 43,191880 0,005848 0,002131
1 45,351474 0,005372 0,001935
0 47,619048 0,004951 0,001748
Dane z tablicy 2.1 zilustrowano na rysunku 2.1 a parametry omawianych rozkładów
zmiennej losowej S1 - dożywotniego ubezpieczenia na wypadek śmierci podano w tablicy
2.2
Rys.2.1. DOŻYWOTNIE UBEZPIECZENIE NA WYPADEK
ŚMIERCI.ROZKA
AD PRAWDOPODOBIEC
STWA.
(Warunki: suma ubezp. 50 tys. zł. , tech. stopa r=0,05)
Prob-Mężczyzna 40 lat Prob-Kobieta 40 lat
0,040000
0,035000
0,030000
0,025000
0,020000
0,015000
0,010000
0,005000
0,000000
OBECNA WARTOŚĆ WYPA
ATY SUMY 50 tys. zł.
26
WYPA
ATY
PRAWDOPODOBIEC
STWO
2,54931
2,95115
3,41632
3,95482
4,57820
5,29983
6,13522
7,10228
8,22178
9,51774
11,01797
12,75468
14,76514
17,09249
19,78670
22,90558
26,51607
30,69566
35,53407
41,13512
47,61905
Tablica 2.2
Charakterystyki opisowe rozkładu zmiennej losowej S1- dożywotniego ubezpieczenia
na wypadek śmierci (por. tab.1.3)
Charakterystyka Mężczyzna Kobieta
Nazwa Symbol x=40 lat x=40 lat
Dminanta d 9,064 6,135
Mediana Me 10,493 6,764
Wartość
E(S1) 13,529 9,107
oczekiwana
D2(S1)
84,439 48,384
Wariancja
Odchylenie
6,9556
9,189
DS1)
(
standardowe
Współczynnik
V
0,486
0,679
zmienności
Współczynnik
0,486 0,427
As
asymetrii
(skośności)
Rozkład zmiennej losowej S1 - dożywotniego ubezpieczenia na wypadek śmierci jest
generowany przez rozkład zmiennej losowej Yx - dalszego trwania życia (por. tablice 1.1,
1.2 oraz 2.1).
Dominanta i mediana zmiennej losowej S1 są wyznaczone przez dominantę i medianę
zmiennej losowej Yx (por. tablice 1.1 - 1.3 oraz 2.1 - 2.2). Zauważmy, że zmienia się asy-
metria rozkładu S1 z lewostronnej dla rozkładu Yx na prawostronną dla rozkładu S1. Zmia-
na asymetrii spowodowana jest dyskontowaniem sumy ubezpieczenia, której obecna war-
tość dla początkowych lat po zawarciu umowy jest dośćduża a w kolejnych latach stosun-
kowo szybko maleje.
Z wartości parametrów zmiennej losowej S1 zamieszczonych w tablicy 2.2. wynika,
że gdyby składkę za ubezpieczenia 40 -letniego mężczyzny ustalono na poziomie mediany
Me = 10,493 tyz. zł, to średnio biorąc w 50% przypadków towarzystwo ubezpieczeniowe
wypłaciłoby odszkodowanie, którego obecna wartość jest wyższa (niższa) niż pobrana
składka. Gdyby składkę ustalono na poziomie wartości oczekiwanej E(S1)=13,529 tys.zł,
to średnio w 35% (65%) przypadków obecna wartość wypłaconej sumy ubezpieczenia
byłaby wyższa (niższa) od pobranej składki.
27
 W tablicy 2.3 zamieszczono wysokość składki netto, odchylenie standardowe i
współ- czynnik zmienności dla omawianego ubezpieczenia. Dane zamieszczone w tablicy
2.3
zilustrowano na rysunkach 2.2 - 2.4.
Tablica 2.3. Dożywotnie ubezpieczenie na wypadek śmierci.
Jednorazowa składka netto
Wiek M
ŻCZYZNA
KOBIETA
ubez. Składka Odchylenie współczynnik Składka jedn- Odchylenie współczynnik
w jednrazowa standardowe zmienności razowa w standardowe zmienności
latach w tys.zł tys.zł
x Ax D V Ax D V
18 5,750 6,070 1,056 3,455 3,784 1,095
19 5,989 6,206 1,036 3,610 3,871 1,072
20 6,233 6,331 1,016 3,773 3,965 1,051
21 6,481 6,441 0,994 3,944 4,066 1,031
22 6,734 6,538 0,971 4,123 4,174 1,012
23 6,995 6,631 0,948 4,312 4,290 0,995
24 7,268 6,729 0,926 4,509 4,413 0,979
25 7,556 6,841 0,905 4,717 4,546 0,964
26 7,860 6,970 0,887 4,934 4,684 0,949
27 8,180 7,112 0,869 5,161 4,831 0,936
28 8,514 7,265 0,853 5,399 4,982 0,923
29 8,863 7,425 0,838 5,647 5,140 0,910
30 9,224 7,586 0,822 5,905 5,299 0,897
31 9,597 7,749 0,807 6,175 5,463 0,885
32 9,984 7,913 0,793 6,455 5,628 0,872
33 10,383 8,077 0,778 6,746 5,795 0,859
34 10,795 8,242 0,763 7,049 5,964 0,846
35 11,220 8,406 0,749 7,362 6,132 0,833
36 11,657 8,568 0,735 7,688 6,300 0,820
37 12,107 8,728 0,721 8,025 6,468 0,806
38 12,569 8,885 0,707 8,374 6,634 0,792
39 13,043 9,039 0,693 8,735 6,797 0,778
40 13,529 9,189 0,679 9,108 6,956 0,764
41 14,028 9,335 0,665 9,492 7,111 0,749
42 14,538 9,477 0,652 9,889 7,262 0,734
43 15,058 9,612 0,638 10,299 7,410 0,719
44 15,587 9,737 0,625 10,721 7,553 0,704
45 16,123 9,850 0,611 11,157 7,691 0,689
46 16,664 9,950 0,597 11,605 7,823 0,674
47 17,211 10,037 0,583 12,067 7,950 0,659
48 17,766 10,114 0,569 12,545 8,075 0,644
49 18,331 10,182 0,555 13,040 8,201 0,629
50 18,906 10,245 0,542 13,554 8,332 0,615
28
Rys.2.2. DOŻYWOTNIE UBEZPIECZENIE NA WYPADEK
ŚMIERCI. JEDNORAZOWA SKA
ADKA NETTO-
M
ŻCZYZNA. (Warunki : Suma ubezpieczenia 50 tys.
zł., techniczna stopa r=0.05)
Składka Ax Skład.-odch. Ax-D Skład.+odch. Ax+D
30,000
25,000
20,000
15,000
10,000
5,000
0,000
-5,000
WIEK UBEZPIECZONEGO w latach
Rys.2.3.DOŻYWOTNIE UBEZPIECZENIE NA WYPADEK
ŚMIERCI. JEDNORAZOWA SKA
ADKA NETTO-KOBIETA.
(Warunki: Suma ubezpie. 50 tys.zł., tech. stopa r=0.05)
Składka Ax Skład.-odch. Ax-D Skład.+odch. Ax+D
25,000
20,000
15,000
10,000
5,000
0,000
-5,000
WIEK UBEZPIECZONEJ w latach
29
WYSOKOŚĆ SKA
ADKI w tys.zł.
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
WYSOKOŚĆ SKA
ADKI w tys.zł.
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
Rys.2.4.DOŻYWOTNIE UBEZPIECZENIE NA WYPADEK
ŚMIERCI. WSPÓA
CZYNNIK ZMIENNOŚCI V.
( Warunki: suma ubezp. 50 tys. zł., tech. stopa r=0,05)
V -kobieta V-mężczyzna
1,200
1,000
0,800
0,600
0,400
0,200
0,000
WIEK UBEZPIECZONEGO w latach.
Z tablic 2.3 i 2.4 oraz rysunku 2.4 wynika, że wraz ze wzrostem wieku osoby ubez-
pieczanej maleje zmienność zmiennych losowych S1 - dożywotniego ubezpieczenia na
wypadek śmierci. Nie oznacza to, że ubezpieczenie osób starszych jest mniej "ryzykowne"
niż ubezpieczenie osób młodszych. Wynika to z definicji zmiennej S1 , dyskontowania
sumy ubezpieczenia, rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej Yx - dalszego trwa-
nia życia oraz faktu, że wartość oczekiwana zmiennych losowych S1 rośnie szybciej niż
odchylenie standardowe tych zmiennych.
30
V
WSPÓA
CZYNNIK ZMIENNOŚCI
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50