Równania ró niczkowe i całkowe w fizyce i technice
S. Leble
2006
Zastosowanie szeregów pot gowych do rozwi zywania równa ró niczkowych
Ogólny kształt równania liniowego drugiego rz du jednorodnego o współczynnikach zmiennych ma
postać:
y ''+ f x y '+ g x y = 0
( ) ( )
(1)
Tego typu klasa równa obejmuje wiele zjawisk fizyki i techniki. W ród nich znajduje si równanie
postaci:
y ''+ u x y =  y = hy (2)
( )
okre lane jako stacjonarne równanie Schr�dingera (u ywane w mechanice kwantowej). Tutaj u(x)
ma sens energii potencjalnej (potencjał jednej cz stki punktowej). Np. je eli u x = x2 , wówczas
( )
otrzymujemy reprezentacj przypadku oscylatora harmonicznego (kx2/2).
Analiz tego równania przeprowadzimy poprzez poszukiwanie takiej funkcji y x , gdzie
( )
oznacza parametr, od którego zale y rozwi zanie. Stosujemy zaawansowane metody, które
pozwalaj uzyskać nowe wyra enia.
Je eli funkcja jest analityczna, to rozwijamy j w szereg pot gowy postaci:
"
y x = Cnxn (3)
( )
"
n=0
Poszukiwanie rozwi zania w takiej postaci jest podej ciem ogólnym. Dlatego potrzebne s warunki
pocz tkowe i brzegowe, by takie równanie rozwi zać. Nale y dokładnie przy tym podać, jakie s
granice, odcinek rozwi zywania.
Niech x" "," . Zakładamy, e y x 0 x ą" i pod takim wła nie warunkiem szukamy
( ) ( ) ()
2
rozwi zania. Taki warunek ma swoje fizyczne uzasadnienie. y x ma sens prawdopodobie stwa
( )
odnalezienia cz stki w punkcie x. St d nakłada si pewne ograniczenie funkcji dane poprzez
unormowanie danej funkcji:
"
2
y x dx =1 (4)
( )

"
Podstawmy wobec tego (3) do (1):
y ''+ x2y =  y (5)
Uwzgl dniamy (2), co daje:
"
'
y x = nxn 1
( )
"C
n
n=1
(6)
a ró niczkowanie powy szego daje:
"
''
y x = Cnn n 1 xn 2 (7)
( ) ( )
"
n=2
Z powy szych otrzymujemy:
"" "
Cnn n 1 xn 2 + x2 xn  xn = 0 (8)
( )
""C "C
n n
n=2 n=0 n=0
Podstaw zastosowanej metody rozwi zywania jest stwierdzenie, e funkcje xn s liniowo
n
�! an = 0
niezale ne ( anxn = 0 ). Otrzymujemy zatem:
"
n=0
C22(2 1 C0)x0 + ( C33(2)x1 C1)x1 + ( C44�"3+ C0 C2)x2 +... = 0 (9)
()
W wyra eniu (6) ka dy nawias zeruje si . W przypadku funkcji liniowo niezale nych mo na
napisać, e:
2C2 + C0 = 0
6C3 + C1 = 0
(10)
12C4 C0 + C2 = 0
Np. przy dowolnym n nast puj cy szereg n + 2 n +1 Cn+2 Cn 2 + Cn = 0 jest dowolnie
( )( )
okre lony.
Z powy szych rozwa a widać, e rozwi zaniem y jest wielko ć . Wprowadzamy now funkcj :
2
y x,C0,C1 = e x / 2� x,C1,C2 (11)
() ( )
1
Mo na udowodnić, e � x,C1,C2 jest wielomianem dla  = n n + . Szereg dla mo na
( )
2
wyprowadzić, powtarzaj c procedur , przy czym szereg urywa si dla pewnych warto ci . Wynika
z tego, e y 0 , gdy x ą" . Taki warunek przy " jest spełniony tylko dla szczególnych
warto ci . S to warto ci własne tego równania lub operatora H.
hy =  y (12)
Takie podej cie jest istotne, gdzie do analizy funkcji specjalnych stosuje si metod rozwini cia w
y
szereg. Wprowadzane s tu funkcje Hermite a .
Ogólnie Metoda szeregów pot gowych (tzw. metoda Frobeniusa (1873, patrz Ince, 365, 396))
Maj c ogólne równanie ró niczkowe zwyczajne jednorodne rz du n:
y(n) x + fn 1 x y(n 1) x + ...+ f0 (x) y = 0 (13)
( ) ( ) ( )
chcemy znale ć punkty, w których funkcja y d y do ". Za pomoc przesuni cia mo na taki punkt
sprowadzić do x=0.
Niech x=0 jest punktem, w którym y(x) 0 x� , gdzie � < 0 . Oznacza to, e w tym punkcie nie
istnieje rozwini cie w szereg Taylora, a w równaniu y = x� z x funkcja z(x) jest ju funkcj
( )
regularn .
Twierdzenie Równanie (13) posiada rozwi zanie w postaci szeregu
"
y� = Cnxn+� (14)
"
n=0
je eli funkcje fk(x) maj osobliwo ci izolowane w zerze (x=0), bieguny rz du n-k. Istnieje pewna
warto ć >0 taka, e szereg (14) jest zbie ny w x < � .
Metoda faktoryzacji do równania oscylatora harmonicznego
2
dd d d d
�ł�ł�ł �ł
+ x + x = + x x + x2 (15)
�ł�ł�ł �ł
dx dx
�łłł�ł łł dx2 dx dx
d d
Analizie poddajemy ró nic x x .
dx dx
d d d d
L = (x x)� x = x� ' x� ' = x� ' x� ' � = x x = 1
( ) ( )
dx dx dx dx
(16)
Ten operator w nawiasie jest równowa ny do operatora (-1).
d
L = 1+x2 (17)
dx2
Wracamy do równania oscylatora
d
( + x2)y =  y (18)
dx2
Z to samo ci (16) wynika:
dd
�ł
+ x�ł�ł + x�ł y =  +1 y (19)
( )
�ł�ł�ł �ł
dx dx
�łłł�ł łł
Mo na sprawdzić, e
dd d
�ł
+ x�ł�ł + x�ł = + x2 +1 (20)
�ł�ł�ł �ł
dx dx
�łłł�ł łł dx2
Pozwala to rozwi zać równanie w taki sposób, e wprowadza si operatory:
d
a+ = + x (21)
dx
d
a = +x (22)

dx
przy czym a+a a+ y =  +1 a+ y , gdzie a+ y jest rozwi zaniem równania z operatorem a+a
( ) ( )

n
dla warto ci własnej  +1. Pami tać nale y, e a+ y daje warto ć wi ksz o n (  + n ), a a y

obni a warto ć o 1 (  1).
St d:
a y0 = 0 (23)

i
n
yn x = a+ y0 (24)
( )
Równania (23) i (24) przedstawia zagadnienie o warto ciach własnych dla rozwi zania równania.
Podsumowanie
Istniej dwa sposoby tworzenia funkcji specjalnych:
1. za pomoc szeregów pot gowych
f x = a0 + a1x + a2x2 +... (25)
( )
ai
gdzie współczynniki okre laj funkcj (regularn ), a w otoczeniu punktu x=0 szukamy
rozwi zania równania ró niczkowego.
2. za pomoc metody faktoryzacji
dd d
�ł
L = + x2 1 = + x�ł�ł + x�ł = A A+ (26)
�ł�ł�ł �ł
dx dx
dx2 �łłł�ł łł
Tego typu operatory tworz przestrze rozwi za dla oscylatora kwantowego.
A+ A A+ � = A+� = A+ A A+�
( ) ( )

(27)
A+ A A+ � = E 1 A+� = A+ A A+� (28)
( ) ( )( ) ( )

A+
Maj c równanie A A+� = E 1 � to mno c przez dostajemy:
( )

A+ A A+� = E 1 A+� (29)
( )( ) ( )

A+ A A+� = A A+ A+� + 2 A+� = E 1 A+� (30)
( )( ) ( ) ( ) ( )

A A+ A+� = E 3 A+� (31)
( )( ) ( )( )

L� = E 1 �
( )
(32)
Krok po kroku podwy szeniu ulega warto ć E i w ten sposób otrzymujemy ró ne warto ci
parametrów. � = A � nale y do przestrzeni fizycznej (poziomy energii oscylatora
( )m
0
"
2
harmonicznego) w tym sensie, e � dx <" .

"
Uwaga W ten sposób mo na wygenerować wielomiany Legendre a i funkcje Bessela. Ka da z tych
funkcji specjalnych rozwi zuje pewne równania ró niczkowe drugiego rz du.
Rozwi zanie przybli one. Metody numeryczne.
Wcze niej poznali my sposób rozwi zania przybli onego poprzez szeregi pot gowe. Pewne
uogólnienie daje metoda Frobeniusa. Istnieje jednak jeszcze tzw. metoda kodów numerycznych.
df
Oznacza to, e jego podstaw jest mo liwo ć zast pstwa pochodnej przez ró nic
dx
f n +1 f n :
( ) ( )
df 1
f n +1 f n , nh" 0,1 (1)
( ) ( ) [ ]
()
dx h
Istnieje mo liwo ć korzystania z przybli onego opisu pochodnej, ze wzoru Taylora. Maj c funkcj
f x , istnieje rozwini cie w szereg Taylora obok punktu x = n + h .
( )
h2
f x = n + h = f n + f ' n h + f '' +... (2)
( ) ( ) ( )
2
x" n �,n +� , � > 0 (3)
()
Rozwa my nast puj ce równanie ró niczkowe pierwszego rz du:
y ' = F y, x (4)
( )
Równanie to mo na zast pić przez
y n + h y n
( ) ( )
= F y n , x (5)
( )
( )
h
lub w postaci indeksów jako
yn+1 yn
= F
h
(6)
yn+1 yn = hF (7)
Rozwa aj c sytuacj fizycznie, to gdy h 0 , punkty le g sto na odcinku i to mo e stanowić ju
rozwi zanie. Pozostaje problem zbie no ci.
Aby udowodnić, e równanie (6) jest rozwi zaniem (5) trzeba udowodnić, e yn y x przy
( )
h 0 . Musi dlatego istnieć przej cie graniczne w tym sensie, e y nh yn h 0 0 .
( )
Wyst pić mo e pewien problem z okre leniem punktów osobliwo ci. I st d powstaje pytanie, czy ta
metoda daje rozwi zanie tego równania. Podej cie do problemu wymaga spełnienia trzech
warunków: a) zbie no ci, b) pr dko ci zbiegania, c) stabilno ci- ka de rozwi zanie jest funkcj
równania, a małe zmiany powoduj małe zmiany rozwi za .
Na postać zagadnienia fizycznego składa si równanie (5) (albo inne) oraz warunki brzegowe
(pocz tkowe).
Rozwa my poni sze zagadnienie brzegowe:
ńły = F y, x
( )
�ł
(8)
�ł
( )
�ły 0 = a
ół
Dla równania pierwszego rz du to jest układ warunków zawieraj cych w sobie pełn informacj . W
takim przypadku mo na udowodnić twierdzenie o istnieniu i stabilno ci przy pewnych
ograniczeniach na funkcji f. Rozwi zanie mo na zaznaczyć jako y x,a . Twierdzenie daje si
( )
udowodnić przez reprezentacj równania (5) przez równanie algebraiczne (6). Korzystaj c z niego
napiszemy:
ńł yn+1 = yn + hF yn, nh
( )
�ł
(9)
�ł
y0 = 0
�ł
ół
To najprostszy algorytm do obliczenia. Poza tym łatwo spostrzec, e układ (8) daje si zast pić
przez (9).
Np. y1 = y0 + hF y0,0 �! y1 = a + hF a,0
( ) ( )
(10)
Czasami mo na wprost scałkować równanie numeryczne. Tak samo da si policzyć z powy szego
y2
y2 = y1 + hF y1,h = a + hF a,0 + hF a + hF a,0 ,h (11)
( ) ( ) ( )
( )
Poza tym wyst puje mo liwo ć oceny bł du, dokonanego podczas wykonywania oblicze . Na
ka dym kroku liczenia pojawia si bł d z nim zwi zany
N
h2
y '' n d" Nmax (12)
( )2
"
n=1
Algorytm jest taki, ze bł d wzrasta z ka dym krokiem liczenia.
N
h2 h2
y '' n d" Nmax y '' n (13)
( )22
( )
"
n=1
Rozwi zanie ogólne zale y od jednego parametru a . Je eli druga pochodna istnieje i jest
ograniczona, to gdy h 0 , to bł d równie d y do zera. Wa ne bowiem jest, by nie tylko stworzyć
wyniki, ale równie i podać ocen dokładno ci, z której mo na policzyć rozwi zanie na danym
odcinku przy zadanych warunkach brzegowych.
Uwaga
1. W podobny sposób mo na rozwa yć równanie drugiego rz du, przy czym nie oznacza to
jednoczesnej mo liwo ci udowodnienia.
2. Istnieje inne podej cie (klasyczne) do twierdzenia o istnieniu i o rozwi zaniu przybli onym
przez równanie całkowe.
Stabilno ć. Ruch chaotyczny.
Stabilno ć oznacza ci gł zale no ć od warunków pocz tkowych. W teorii równa ró niczkowych
zwyczajnych stabilno ć jest stabilno ci fizyczn
Ci g o ć i ró niczkowalno ć rozwi zywania równa ró niczkowych zwyczajnych
wzgl dem parametrów zagadnienia fizycznego ( równanie + warunki brzegowo- pocz tkowe)
Rozwa my y ' = F y, x . Jest to równanie ró niczkowe zwyczajne pierwszego rz du. y 0 = a
( ) ( )
()
Rozwi zanie jest funkcj współrz dnej x i parametru a . Je eli funkcja y x,a jest funkcj ci gł o
( )
zmiennej a , wtedy mówimy, e rozwi zanie jest ci głym wzgl dem warunków brzegowych.
Stwierdzenie to wa ne jest od strony fizycznej zagadnienia, bowiem pomiary zawsze wykonywane
s z pewn dokładno ci . Oznacza to, e warto ć a jest ustalona z pewnym bł dem pomiarowym.
Z kolei brak ci gło ci oznacza brak mo liwo ci przewidzenia przyszło ci w zagadnieniu, co nale y
do przypadków szczególnych. Hadamard wprowadził tzw. zagadnienie le uwarunkowane (ill-posed
problem). Wyst puj trzy sytuacje  problemowe :
1.rozwi zanie nie istnieje w pewnych obszarach
2. nie ma jednego rozwi zania
3. rozwi zanie nie ci gle zale y od warunków pocz tkowych albo brzegowych
Podobnie mo na mówić o zale no ci parametrów równania:
y ' = F y, x,b �! y x,a,b (1)
( ) ( )
W tych przypadkach zagadnienie fizyczne jest le uwarunkowane, lecz istnieje mo liwo ć poprawy
tego zagadnienia. Mówimy wówczas wówczas o tzw. zagadnieniach odwrotnych.
Równania ró niczkowe cz stkowe

xi = f x1,..., xn (1)
( )
gdzie x1,..., xn " Rn
xi 0 = �i (2)
( )
xi = �i t,� (3)
( )
Stabilno ć (statyczno ć)
Przykład: zegar wahadłowy
Okre lenie stabilno ci wg Lapunowa (1898)
Rozwa my układ równa ró niczkowych (1). Załó my, e f nie zale y jawnie od czasu (jest to układ
autonomiczny). Załó my, e istnieje zbiór drugich pochodnych okre lony jako:
"2 f
, gdzie xi �""�" Rn (4)
"xi"xj
xi = �i t,� , � = �1,...,�n (5)
( ) { }
Punkt a"Rn nazywamy punktem stabilno ci wg Lapunowa je li:
1) " � > 0 � a < � " y t,� " t (6)
( )
2) " � > 0 "� < � � a < � �! � t,� a < � " t (7)
( )
3) mówimy, e a jest punktem stabilno ci asymptotycznej, je eli "� < � � a < � oraz
lim � t,� a = 0 (8)
( )
t +"
Warunek stabilno ci układów liniowych (warunek wystarczaj cy)

x = Ax (9)

x1 a11 a12 x1
�ł �ł �ł�ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
a21 a22 �ł �ł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
= (10)
�ł �ł �ł �ł �ł �ł

�ł �ł �ł�ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł

xn xn
�ł łł �łłł �ł łł
Pytanie: Jaki punkt jest stabilny dla układu liniowego?
2
x = Tx (11)
1
2
A = T AT = diag 1,...,n (12)
{ }
i to warto ci własne macierzy A, det A-I = 0
( )
i< 0
2
xi eit (13)
0
1
2
x = T x i jest to punkt asymptotycznie stabilny (14)
0
Je li warto ci własne macierzy A s mniejsze od zera wówczas mo emy powiedzieć, e
"ą , r > 0 � t,� d" r � e ąt t > 0
( )
(15)
wtedy x = 0 jest punktem stabilnym (wg Lapunowa) i asymptotycznie stabilnym.
Twierdzenie Liapunowa
Rozwa my dowolny układ (równie nieliniowy) (1) przy warunkach (2).
xi = ai + "xi
(16)
ai stanowi punkt stabilny (równowagi), a to odchylenie od punktu równowagi
"xi
Podstawiaj c nast pnie (16) do równania (1) otrzymujemy:
i
i
n
"f a
( )"x + Ri gdzie "f a
( )
i

"xi = f a + , aij (17)
( )
" j
"x "x
j j
j=1
Uzyskali my rozwini cie wyra enia w szereg Taylora.
i
Je eli a jest punktem równowagi, wtedy f a = 0 . Otrzymujemy:
( )

"xi = "x + Ri (18)
"a
ij j
"2 f
Ri
"xi"x
j
(19)
Twierdzenie Liapunowa
i
Je li wszystkie warto ci własne macierzy A = aij maj Imi < 0 , wtedy punkt a jest
{ }
asymptotycznie stabilny.
Oznacza to, e
"� > 0 � a < � � a d" r � a e ą t , gdzie r > 0 , ą > 0 nie zale y od � .
Wyprowadzenie równa ró niczkowych cz stkowych w fizyce.
Równania struny. Propagacja fal.
Innym przykładem wyprowadzenia równa w stosunku do zjawisk fizycznych jest b d ce
poł czeniem zasad fizyki i równa ró niczkowych jest drugie prawo Newtona:



mr = R (1)

gdzie R to równowa ca siła działaj ca na cz stk punktow .
Wyra enie to zastosujemy do wyprowadzenia równania ruchu niesko czonego struny. Obieramy
czas t jako dowolny, ale jedyny. Niech U(x) to odchylenie od poło enia równowagi. Zakładamy te ,
e U x,t U0 . Głównym celem jest poł czenie pochodnych przez równanie oraz z geometri (tj.
( )
k ta nachylenia, itp.). Rozwa eniom w pewnych warunkach poddajemy małe drgania, wychylenia z
poło enia równowagi, które powinny zostać okre lone.
Charakterystyk odchylenia U x jest pochodna cz stkowa
( )
"U "U
H" (2)
"x "x
"U
Wynika z tego. e = tgą , gdzie to k t nachylenia stycznej, przy czym zakładamy, ze
"x
tg ą 1 (" )
czyli jest funkcj bezwymiarow .
Drug funkcj jest � x tylko jednej współrz dnej:
( )
"m
� x H" (3)
( )
"x
Podobnie wa nym elementem tego wyprowadzenia jest siła napr enia struny T x . Przy
( )

najprostszym zało eniu siła T jest skierowana wzdłu stycznej (struna łatwo si wygina). Je li struna
jest niesko czona, wówczas rozci gni cie zale y od warunków dla przypadku niesko czono ci.
Interesuje nas ruch struny wzdłu osi y, co oznacza, e:
"2U x,t
( )
"m H" T x siną ( ) ( ) ( )
x + T x + x siną x + x (" " )
( )
"t2
Po prawej stronie wyra enia mamy sum sił działaj cych na cz stk punktow , przy czym znak  H" 
oznacza, e rozwa amy odcinek, a nie cz stk punktow , a przyspieszenie jest dla jednej
współrz dnych.
"U
Uwaga siną H"~ tgą =
"x
Dla (1) uzyskujemy:

A'
"2U x,t "U x,t
( ) ( )
A x = � x x H" T x +T x + x (4)
( ) ( ) ( ) ( )
"x
"t2
Przyjmujemy, e rozwa any odcinek d y do cz stki punktowej.
F x + x
( ) "F
lim =
x 0 x "x
(5)
Równanie (6) odtwarza niejako równanie (1). Jest to tzw. drugie równanie Newtona, które równie
nosi nazw równania struny. Jest to równanie dwóch zmiennych: x i t. Istnieje przypadek, gdy:
"T x
( ) "�
� x = const , = 0 , = 0
( )
"x "x
(6)
Wtedy mówimy, e struna jest jednorodna. Po dokonaniu pewnych uproszcze otrzymujemy:
"2U T "2U "2U
== C2 (7)
"t2 � "x2 "x2
T
gdzie: C2 =
�
Równanie struny jest równaniem falowym, jednowymiarowym. Przykład ten pozwala zrozumieć
du y ci g zjawisk. U x,t posiada wi c sens fizyczny fali. Za tym stoi cały szereg przybli e .
( )
Je eli k t nachylenia stycznej jest niewielki, a odchylenie od poło enia równowagi tak e jest małe,
wówczas równanie jest liniowe. W przypadku odrzucenia warunku (" ) otrzymujemy równanie
nieliniowe. Równanie struny jest najprostszym równaniem falowym. Warunek (" " ) da si
uzupełnić, dodaj c z lewej strony wyra enia sił zewn trzn .
Uwaga 1
"" + f x,t x �! 4 + f x,t (8)
( ) ( ) ( ) ( )
Z prawej strony (4) nale y jeszcze dodać sił f x,t zmienn w czasie (np. w polu grawitacyjnym
( )
lub o pochodzeniu zupełnie innym- np. magnetyczne i wtedy na ka dy odcinek działa siła Lorentza
zale na od pr dko ci). Struna stanowi bardzo dobry przykład jednowymiarowy.
Uwaga 2
Równanie w trzech wymiarach ma postać ogóln :
"2U r,t
( )
� x ="T r "U r,t + f r,t (9)
( ) ( ) ( ) ( )
"t2
Równanie dyfuzji. Przewodnictwo cieplne.
Poni sze równanie
"T
Cv =" �"T (1)
( )
"t
gdzie q = � "T wynika z prawa Fouriera.
nosi nazw równania przewodnictwa cieplnego w układzie trójwymiarowym. Podobne równanie
mo na wyprowadzić dla zjawiska dyfuzji.
Dyfuzj mo na okre lić jako zmian koncentracji cz stek w czasie t w obszarze o powierzchni S i
obj to ci V.
C r,t H" (2)
( ) mcz
V
Niech całkowita masa cz stek znajduj cych si w obszarze o obj to ci V wynosi:

M = (" )
C(r,t)dV
V
"M
Pr dko ć zmiany masy jest sum strumienia Q cz stek po powierzchni S
"t

"M
= QdS (3)

"t
S '


gdzie dS = ndS , n to wektor jednostkowy normalny do powierzchni S.
Równanie (3) wyra a prawo zachowania masy. Strumie cz stek przepływaj cy przez powierzchni
S wyra a równanie:

Q = D"C r ,t
( )
(4)
Je li (4) i (" ) wstawimy do (2) to uzyskamy równanie formy zamkni tej
"C r,t "C r,t
( ) ( )dS
dV = D (5)

"t "n
VS '
Stosuj c prawo Gaussa - Ostrogradskiego do całki powierzchniowej S otrzymujemy:
"C r,t "C
( )( ) ( )
= div �łD r grad Cłł dV �! = "D" C (6)
= n,"C = n," C ( ) ( )
�ł�ł
"n "t
V
Równanie (6) to równanie dyfuzji masy.
Uwaga W przypadku obecno ci ródła masy o q r,t dodajemy odpowiedni człon do prawej
( )
strony wyra enia, co daje si zapisać jako:
q r,t �! 3 + dV (7)
( ) ( )
q
Przykładem s reakcje chemiczne. Wtedy wynika z tego, e
6 + q r,t
( ) ( )
"D
Najprostszy wyra enie powstaje w sytuacji jednowymiarowej i przy zało eniu, e = 0 .
"x
Wówczas równanie (6) przyjmuje poni sz postać:
"C "2C
= D (8)
"t
"x2
Równanie Laplace a i Poissona. Zagadnienie elektrostatyki.

divB = 0 (1)

divE = f r (2)
( )

Je eli E = grad V to div grad V = "2V = "V = f r (3)
( )
Powy sze równanie nosi nazw równania Poissona. Je eli f = 0 , wówczas dostajemy znane

równanie Laplace a. Natomiast kiedy r " x, y , to otrzymujemy
{ }
"2� "2�
+ = f x, y (4)
( )
"x2 "y2
Dostajemy równanie o dwóch zmiennych. Jest to równanie Poissona na płaszczy nie.
Równanie ró niczkowe dwóch zmiennych. Klasyfikacja.
Dotychczas rozwa ali my klas równa ró niczkowych ró niczkowych jednej zmiennej. Były to
równania ró niczkowe zwyczajne. W przypadku wyst powania dwóch zmiennych sprawa
przedstawia si inaczej.
Rozwa my funkcj dwóch zmiennych U x, y i równanie ró niczkowe liniowe drugiego rz du,
( )
które ogólnie da si przedstawić w postaci:
"2U "2U "2U
a11 x, y + 2a12 x, y + a22 x, y = F Ux,U , x, y
( ) ( ) ( )
( )
y
"x"y
"x2 "y2
(1)
"U "U
gdzie: Ux = , U =
y
"x "y
Równanie (1) to ogólna postać równania ró niczkowego liniowego drugiego rz du (najwy sza
warto ć pochodnej) z dwoma zmiennymi o pochodnych cz stkowych.
Równania ró niczkowe tego typu da si w pewien sposób upro cić. Dokonamy tego poprzez
wprowadzenie nowych zmiennych niezale nych. Otó ka d ze zmiennych x, y mo na przedstawić
w postaci kombinacji nowych zmiennych:
� = � x, y oraz � =� x, y
( ) ( )

St d druga postać przybiera inn postać, czyli U x, y U �,� .
( ) ( )
Dlatego mo emy równie napisać:
"U
= Ux = U��x +U�� (2)
x
"x
"U
= U = U��y +U�� (3)
y y
"y
Oznaczamy, e
2 2
Uxx = U���x + 2U���� +U���x (4)
x x
Uxy =U���y� +U���x� +U��� �y +U���� +U�� +U��xy (5)
x xx x y xy
2 2
U = U���y + 2U���y� +U���y (6)
yy y
Nast pnie równania (4),(5),(6) wstawiamy do (1), wobec czego uzyskujemy nast puj ce wyra enie:
22
( )
(a �x + 2a12�x�y + a22�y)U + 2 �ła11�x� + 2a12 �x� +� �y + a22�y� łłU�� +
11 �� x y x y
�ł�ł
(7)
22
+ � + 2a12� � + a22�
()
(a )U = Ś U� ,U� ,� ,�
11 xx y y ��
Równanie (7) poddamy teraz analizie. Dokonujemy przekształcenia ze zmiennymi
� = � x, y oraz � =� x, y
( ) ( )
Niech
ą11U�� + 2ą12U�� +ą22U�� = Ś U� ,U� ,�,�
( )
(8)
2 2
ą11 = a11�x + 2a12�x�y + a22�y (9)
ą12 = a11�x� + 2a12 �x� +� �y + a22�y�
()
x y x y
(10)
2 2
ą22 = a11� + 2a12� � + a22� (11)
x x y y
Rozpocz li my od równania postaci: a11U + 2a12U + a22U . Jest to równanie ró niczkowe
xxxy yy
drugiego rz du. Wprowadzamy nowe zmienne i dokonujemy przekształcenia, aby zmniejszyć liczb
drugich pochodnych. Dlatego te z (8) ą11 musi równać si zero. Natomiast rozwa my (9), (10),
�
(11) jako równania dla funkcji . St d:
ą11 = 0
(12)
oraz
2
�ł �ł
�x �x
�y `" 0
a11 �ł �ł + 2a12 + a22 = 0 (ale ) (13)
�ł �ł
�y �y
�ł łł
Wykonane zostały działania algebraiczne, w wyniku których dostajemy algebraiczne równanie
�x
kwadratowe, przy czym , �y to pochodne cz stkowe. Uzyskano równanie ró niczkowe
pierwszego rz du. Mo na je otrzymać wzgl dem tego, e:
2
a12 ą a12 a11a22
�x
= = ką kiedy a11 `" 0 (14)
�y a11
co równie mo na zapisać jako:
�x ką�y = 0 (15)
Rozwa aj c z kolei równanie (11) uzyskuje si podobne równanie:
� ką� = 0 ( gdzie dobrano tak współczynniki, by ą22 = 0 )
xy
� � . Przy
Stwierdzamy, e je eli istnieje rozwi zanie , , wtedy istnieje rozwi zanie ą11 =ą22 = 0
ką � ką �
czym jedno równanie z daje , a drugie z daje .
Metoda charakterystyk
Zmierzamy do rozwi zania równania (15). Mo na zastosować w tym miejscu metod , której ide
stanowi wybór współrz dnych wygodnych do scałkowania równania ró niczkowego.
�
Rozwa my wobec tego ró niczk d� w funkcji
d� d� dy
d� = dx + dy = dx�ł�x +�y �ł
�ł �ł
(16)
dx dy dx
�ł łł
dy
Niech = k ( tg� ) � - k t nachylenia krzywej
dx
Je eli �x + k�y = 0 (17), to z tego wynika, e d� = 0 . (18)
dy
Otrzymujemy wówczas krzyw postaci: = k x, y (19)
( )
dx
dla której spełniona jest zale no ć (18). Widać z powy szego, e udało si sprowadzić równanie
ró niczkowe o pochodnych cz stkowych (17) sprowadzić do równania zwyczajnego postaci (19).
Rozwi zuj c natomiast to ostatnie równanie dostajemy w wyniku, e
� x, y = � const
( ) ( )
(20)
Powy sze wyra enie nazywa si całk równania charakterystycznego (19).
Przyk ad
�x �y = 0
(21)
Rozwi zanie tego równania wygenerujemy krok po kroku.
dy
= 1 (22)
dx
Po scałkowaniu tego równania dostajemy w wyniku
y = x + C (23)
Odpowiednikiem (20) jest tutaj
y + x = �
(24)
Nale y wspomnieć, e (24) jest szczególnym przykładem równania
� x, y = y + x
( )
Powstaje pytanie, w jaki mo na stworzyć rozwi zanie ogólne. W tym celu rozpatrzmy płaszczyzn
(x, y). Równanie (23) okre la rodzin krzywych dla ró nych warto ci C. Pozwala to wprowadzić
połow układu odniesienia; jest to zbiór prostych równoległych.
Rozwi zanie ogólne równania (21) jest mo liwe do otrzymania. Rozwi zanie to da si zdobyć licz c
od punktu x=0 (tzw. zagadnienie Cauchy ego). Wynika z tego, e:
� 0, y = A y (25)
( ) ( )
Zauwa yć nale y, e dopiero (25)+(21) tworzy zagadnienie Cauchy ego, a samo (25) jest
zagadnieniem pocz tkowym równania (21). Rozwi zanie jest funkcj zmiennej � .
� x, y = A � = A x + y
( ) ( ) ( )
Twierdzenie
Dowolna funkcja A x + y jest rozwi zaniem (21).
( )
"A "� "A
�x == = A�
"� "x "�
�y = A��y = A�
sk d �x �y = A� A� = 0
Uwaga
Je eli (25) zawiera funkcje A y , wtedy � x, y = A x + y jest rozwi zaniem (21)+ (25)
( ) ( ) ( )
albo zagadnienia Cauchy ego.
Ogólnie
A � jest rozwi zaniem równania (15), je li tylko � = � x, y jest całk równania
( ) ( )
charakterystyk.
Do równania struny
Powy ej udało si rozwi zać równanie powstałe na drodze transformacji równania ró niczkowego
pochodnych cz stkowych drugiego rz du. Maj c rozwi zanie równania (15) mo na wprowadzić
ką i , mamy ą12
dwie zmienne, ró ni ce si o czynnik . Z kolei eliminuj c ą11 ą22 ( tu
poszczególne czynniki nie wyzeruj si ).
Wróćmy do postaci ogólnej równania ró niczkowego danej przez:
ą12U�� =Ś U� ,U� ,U,�,� (26)
( )
Funkcja ta przybiera tak form ze wzgl du na to, i udaje si rozwi zać (15) i w dodatku pod
warunkiem k+ `" k W tym przypadku istnieje dwie funkcje:

a) � = � x, y , która jest pierwsz całk �x k+ = 0
( )
b) � =� x, y , b d ca pierwsz całk � k � = 0
( )
x y
Uzyskujemy w tej sytuacji dwie nast puj ce mo liwo ci:
2
1. "= a12 a11a22 > 0 w obszarze D �" R2
a12 a22 k+ k
Ogólnie i s funkcjami, a to oznacza, e i s rzeczywiste. Wtedy cz ć urojona

Imką = 0 �
, co prowadzi do tego, e � i s rzeczywiste. Równanie (20) przyjmuje postać (26) w
nowych zmiennych. Wtedy (1) nosi nazw równania hiperbolicznego hiperbolicznego obszarze. W
tych współrz dnych równania s rzeczywiste.
Uwaga
Ko cowa forma (26) przedstawia si nast puj co:
U�� =Ś U� ,U� ,U,�,� (26 )
( )
Równanie (26 ) to postać kanoniczna równania (26).
2. "< 0
W takim przypadku zmienne s zmiennymi zespolonymi
ką = k1,ą k2,ą (27)
Z tego wynika, e
� = � + i� (28)
� = � i� (29)
Równania te s sprz one.
�
Je eli k+ = k , wtedy � i s zmiennymi sprz onymi. A
atwo wówczas przej ć do zmiennych

� +� = 2�
� � = 2i�
przy czym � i � s zmiennymi rzeczywistymi. Oznacza to dalej, e
"2U "2U "2U
U�� = + = U�� + U�� = "U � ,� (30)
( )
2 2
"� "� "� "�
W takim przypadku równanie (1) nazywamy równaniem eliptycznym.
Za
U�� +U�� = Ś2 U� ,U� ,U,�,� (31)
( )
nosi nazw postaci kanonicznej równania (30).
3. "= 0 wtedy k+ = k

Otrzymujemy jedno równanie. Istnieje wi c wówczas tylko � = � x, y (32)
( )
Mo na dla tego przypadku udowodnić, ze wówczas ą12 = 0
. Oznacza to, e jedna zmienna mo e
zostać wybrana jako (29), a druga- dowolnie, np. � = x . Tzn. aby spełniony był jakobian, który
powinien być okre lony jednoznacznie.
�x �x
`" 0
� �
y y
(33)
Formuła kanoniczna przedstawia si nast puj co:
U� +U�� = Ć3 U� ,U� ,U,�,�
( )
(34)
Odnosz c powy sze zagadnienia do fizyki mo na zauwa yć, e w przypadku 3. mamy do czynienia
� x
z równaniem dyfuzji. I wtedy � t oraz . Przypadek 2. obrazuje równanie Poissona i
"U = f . Za 1. przedstawia równanie falowe, a w układzie jednowymiarowym jest to ju równanie
struny. Widzimy wi c, ze ka de z przedstawionych równa posiada swoj form kanoniczn .
Natomiast maj c kształt takiego równania, mo na ju wnioskować o jego typie.
Twierdzenie
2
Znak a12 a11a22 = " jest niezmiennikiem transformacji typu x, y � ,� . Jako
22
współczynnik traktujemy jakobian postaci ą12 ą11ą22 = J " .
Przedstawione równania, tj. równanie dyfuzji, Poissona, falowe stanowi niejako podstaw fizyki
teoretycznej. W oparciu o nie otrzymujemy modele ró nych procesów. Mo na te stwierdzić, e
równanie ró niczkowe daje podstawy, by zrozumieć fizyk jako cało ć oraz przewidzieć modele
procesów.
Równanie hiperboliczne. Rozwi zanie równania struny. Propagacja fal.
Rozwa my propagacj fali płaskiej w pró ni.
Utt C2Uxx = 0 (1)
T
Tx = const �x = const
gdzie C2 = , przy czym: , �! struna jednorodna
�
Post pujemy jak podobnie jak dotychczas. Wybieramy metod charakterystyk. Przechodzimy do
zmiennych x,t . Przyjmujemy, e x" "," . Sprowadzamy do funkcji kanonicznej
( ) ( )
2
a12 ą a12 a11a22
�x
= k+ =
� a11
(2)
ą C2
Tutaj: a12 = 0 a11 =1 ką == ąC .
, , a22 = C2 . Natomiast
1
Równanie charakterystyk przedstawia si nast puj co:
dx
=ą C
dt
(3)
czyli dostajemy dwa ró ne równania hiperboliczne.
St d
x ct = �
x + ct = �
(4)
Uzyskujemy równanie kanoniczne:
U�� = 0 (5)
�
Dostajemy układ współrz dnych � i . Na podstawie powy szego równania mo emy zapisać jego
ogólne rozwi zanie jako:
U =Ś � + F � (6)
( ) ( )
Natomiast
U =Ś x ct + F x + ct (7)
( ) ( )
stanowi rozwi zanie ogólne (1).
Równania różniczkowe i ca lkowe w fizyce
Gdańsk, styczeń 2004
1
06.10.2003
1 T
ownanie różniczkowe zwyczajne
1.1 Pojecie równania różniczkowego
ą
Pochodna funkcji y(x)
dy
y = . (1.1)
dx
Rozważmy równanie różniczkowe

y = f(x). (1.2)
Ca to równanie, możemy znalez
ć jego rozwiazanie
lkujac
ą ą

x
y(x) = f(�)d� + const. (1.3)
Wpowyższym równaniu const oznacza sta ca la lkowania może być wlaczona do
la lkowania. Sta ca
ą ą
granic ca
lkowania.
Przyk
lad

y = c (c = const). (1.4)
Po sca
lkowaniu otrzymujemy

y = cx + const (1.5)
Dostaliśmy rozwiazanaie ogólne, zawiera ono nieskończenie wiele rozwiazańrównania. W konkret-
ą ą
nym przypadku interesuje nas rozwiazanie szczególne, potrzebna jest dodatkowa informacja -
ą
wartość funkcji w jakimś punkcie.
W ogólności trudno jest uzyskać rozwiazanie równania różniczkowego. Sytuacja komplikuje sie
ą ą
już przy równaniach drugiego stopnia

y = f(y, x) (1.6)
Równanie (1.6) nie ma rozwiazania analitycznego, nie udowodniono jego istnienia.
ą
Równania różniczkowe to jedno z podstawowych narzedzi używanych w fizyce teoretycznej. W
ą
równaniach fizyki teoretycznej symbolom matemacznym odpowiadaja wilekości fizyczne. Przyk
lad:
ą
"x
vx = lim = � (1.7)
"t
"t
Powyższe wyrażenie nie jest równaniem, a definicja predkości. Abyśmy mogli mówić o równaniu,
ą ą
musimy znać wielkości, które sie wnimpojawia. Wyrażenie
ą ą
mć = -kx (1.8)
można nazwać równaniem, o ile wiemy, co kryje sie za każdym użytym symbolem. Powszech-
ą
nie wiadomo, że wzór (1.8) jest jednym z równań Newtona; m oznacza mase cia k jest
la,
ą
wspó lożenie, a ć przyspieszenie. Jest to równanie różniczkowe
lczynnikiem spreżystości, x określa po
ą
drugiego rzedu. Jak je rozwiazać? Można próbować odgadnać rozwiazanie.
ą ą ą ą
Z matematycznego punktu widzenia najistotniejsze sa nastepujace aspekty:
ą ą ą
" Czy istnieje rozwiazanie?
ą
" Czy jest jedno rozwiazanie, czy wiecej?
ą ą
" Rozwiazanie ogólne?
ą
" Stabilność rozwiazania
ą
" Ca
lkowalność rozwiazania
ą
2
Jeżeli istnieje stabilne, jednoznaczne rozwiazanie, możemy mówić, że mamy do czynienia z fizyka.
ą ą
W fizyce wszystko jest określone jednoznacznie.
Podstawmy do równania (1.8)
x(t) =a sin �t. (1.9)
Otrzymamy
m� = k. (1.10)
Aby określić wartość stalej a, potrzebujemy warunku poczatkowego. Ilość potrzebnych warunków

ą
poczatkowych zależy od rzedu pochodnej. Funkcja
ą ą
x(t) =b cos �t (1.11)
też jest rozwiazaniem naszego równania. Można wiec zapisać
ą ą
x(t) =a sin �t + b cos �t. (1.12)
Niezbedne warunki poczatkowe - po i predkość poczatkowa
lożenie
ą ą ą ą

x(0) = x
(1.13)
x (0) = v
Potrzebne by dwie wielkości, bo równanie jest drugiego rzedu.
ly
ą
Bardzo istotnym problemem jest stabilność rozwiazania. W fizyce jest toważne, ponieważ wszelkie
ą
pomiary dokonywane sa z pewna dok la
ladnościa. Mówimy, że rozwiazanie jest stabilne, jeśli ma
ą ą ą ą
zmiana argumentu t t + � prowadzi do ma zmiany wartości funkcji x x + .
lej
Zdefiniujmy i �:
|x - x| < (1.14)


t - t <�.

(1.15)
Jeżeli dla każdego (dowolnie ma z równania (1.14) istnieje takie �, że spe jest równanie
lego) lnione
(1.15), to mówimy o stabilności w stosunku do zmian argumentu. Inne ważne pojecia to stabilność
ą
wzgledem warunków poczatkowych i wzgledem wspó
lczynników równania. Sa one zwiazane z
ą ą ą ą ą
ciag
lościa.
ą ą
Uogólnienie równania (1.8)
ż#
mć = f (x, y, z, �, Ź, ż)
�#
m� = f (x, y, z, �, Ź, ż) (1.16)
�#
m� = f (x, y, z, �, Ź, ż)
z
lub inaczej
� Ł
m = f( t). (1.17)
r r, r,
Niektóre takie uk maja swoje rozwiazania analityczne.
lady
ą ą
1.2 Równania o zmiennych rozdzielonych
Rozważmy równanie

y = f(x), (1.18)
czyli
dy
= f(x), (1.19)
dx
co można zapisać wpostaci
dy = f(x)dx, (1.20)
a nastepnie sca
lkować.
ą
Jeśli za pomoca pewnych przekszta równanie można doprowadzić do postaci (1.18) lub (1.20),
lceń
ą
to dostajemy równanie o zmiennych rozdzielonych. To, czy jest możliwe takie przekszta
lcenie,
można sprawdzić za pomoca teorii grup Lie go.
ą
3
1.3 Równanie liniowe rzedu pierwszego
ą
Równanie jest liniowe, jeśli niewiadome i ich pochodne wystepuja w pierwszej potedze. Równanie
ą ą ą

xn
� =exp(x) = (1.21)
n!
n
nie jest liniowe. W fizyce najważniejszym przyk procesu nieliniowego jest zależność od am-
ladem
plitudy
x = a�(t),a - amplituda. (1.22)
W procesach liniowych efekty nie zależa od amplitudy.
ą
Ogólna postać równania różniczkowego pierwszego rzedu:
ą

y = f(x, y). (1.23)
Równanie różniczkowe pierwszego rzedu zawsze ma rozwiazanie - można udowodnić, że dla równań
ą ą
pierwszego rzedu rozwiazanie zawsze istnieje.
ą ą
Matematycznie - zamiana y ąy prowadzi do nowego równania, które jest równoważne do (1.23).
Takie przekszta nazywamy przeskalowaniem. Przeskalowanie jest ważne w fizyce, skala
lcenie
określa wymiar fizyczny. Jeśli równanie różniczkowe jest symetryczne wzgledem przeskalowania
ą
niewiadomych, to jest liniowe. Mamy
y

y ąy = y �! y = (1.24)

ą
zatem

dy d y 1 d
y
y = = = . (1.25)
dx dx ą ą dx
Nasze równanie różniczkowe zapiszemy w postaci

1 d y
y
= f , x (1.26)
ą dx ą
czyli

d y
y
= ąf , x = f( x). (1.27)
y,
dx ą
wostatniej równości za lnia
lożyliśmy, że funkcja f spe odpowiedni warunek niezmienniczości. Nie
każda funkcja f spe ten warunek, tylko funkcje liniowe wzgledem y daja równania liniowe. W
lnia
ą ą
ogólności
f( x) =A(x) + B(x). (1.28)
y, y
Zgodnie z (1.27) musi zachodzić
Aąy + B =(Ay + B)ą (1.29)
stad wynika, że
ą
B = 0 (1.30)
a nasze równanie liniowe ma postać

y = A(x)y. (1.31)
Jak widać, równanie (1.31) jest równaniem o zmiennych rozdzielonych:
dy
= A(x)y (1.32)
dx
stad
ą
dy
= A(x)dx. (1.33)
y
4
Ca powyższe równanie, mamy
lkujac
ą

x
ln y = A(x)dx +lnC (1.34)
ostatecznie, można zapisać


x
y(x) =C exp A(x)dx (1.35)
Wzór (1.35) okres rozwiazanie ogólne równania liniowego (1.23). Wielkość ln C jest sta
la la
ą ą
ca
lkowania.
13.10.2003
1.4 Równania liniowe drugiego rzedu, mechanika czastki punktowej. Os-
ą ą
cylator
Ogólne równanie drugiego rzedu
ą

y = f(y , y, x). (1.36)
Nie istnieje twierdzenie, mówiace o tym, że rozwiazanie tego równania zawsze istnieje.
ą ą
Równanie liniowe drugiego rzedu (wystepuje symetria wzgledem przekszta y = ąy):
lcenia
ą ą ą

A(x)y + B(x)y + C(x)y =0. (1.37)
W przypadku równań rzedu drugiego poszukiwanie rozwiazań jest bardziej skomplikowane niż dla
ą ą
równań rzedu pierwszego. Nawet dla równań liniowych tudno jest znalez
ć rozwiazania ogólne.
ą ą
Równania różniczkowe liniowe drugiego rzedu sa bardzo czesto wykorzystywane w fizyce. Za-
ą ą ą
piszmy równanie (1.37) w postaci
d y dy
+ ą(x) + �(x)y =0. (1.38)
dx dx
Niech zmienna x reprezentuje czas. Pochodne po czasie zwykle oznacza sie kropkami
ą
dy
Ź = (1.39)
dt
d y
� = . (1.40)
dt
Równanie w postaci
m� + ąŹ + �y =0, (1.41)
gdzie ą i � sa sta opisuje oscylator liniowy t
le, lumiony. Każdemu symbolowi odpowiada pewna
ą
wielkość fizyczna: m jest masa czastki punktowej, wykonujacej drgania, y opisuje po
lożenie tej
ą ą ą
czastki, sk ąŹ reprezentuje si t le
ladnik ly lumienia, a �y = ky si Hooke a.
ą ą
W nierelatywistycznej mechanice kwantowej jednym z podstawowych równań jest
Ż
h d �(x)
- + U(x)�(x) =E�(x). (1.42)
2m dx
Jest to jedna z postaci równania Schr�dingera. W powyższym wzorze Ż jest sta Plancka, m
h la
ą
jest masa czastki, x opisuje jej po
lożenie, �(x) jest tzw. funkcja falowa, U(x) reprezentuje energie
ą ą ą ą ą
potencjalna, a E jest wartościa w tego równania i odpowiada energii ca
lasna lkowitej czastki. Intere-
ą ą ą ą
suje nas rozwiazanie tego równania wraz z pewnym warunkiem brzegowym. Rówanie (1.42) wraz
ą
z narzuconym warunkiem bedzie przyk tzw. zagadnienia w
ladem lasnego. W wyniku rozwiazania
ą ą
5
tego zagadnienia w lasnych {Ei} (jest to tzw. widmo energii
lasnego otrzymujemy zbiór wartości w
czyli zbiór możliwych wartości energii) oraz funkcje w �E(x). Jeśli narzucamy warunek
lasne

"
|�E| dx<", (1.43)
-"
uzyskamy widmo dyskretne, energia bedzie mog przyjać jedna ze zbioru konkretnych wartości.
la
ą ą ą
Warunek (1.43) oznacza, że opisywana czastka jest fizycznie zlokalizowana wokó pewnego miejsca,
l
ą
mówimy, że czastka jest zwiazana. W procesach niestacjonarnych (np. w zjawiskach rozpraszania)
ą ą
dodajemy do równania Schr�dingera inne warunki i wówczas możemy otrzymać tzw. widmo ciag
le,
ą
tzn. energia bedzie mog przyjać wartość dowolna. W pewnych zagadnieniach można również
la
ą ą ą
otrzymać widmo mieszane. Charakter widma zależy także od U(x). Jeśli U(x) = 0, otrzymamy
tylko widmo ciag A w przypadku tzw. nieskończonej studni potencja
le. lu
ą

-" dla 0 d" x d" a
U(x) = (1.44)
0 dla x>a
dostaniemy tylko widmo dyskretne.
Do równania (1.41) dodajemy warunki poczatkowe
ą
y(0) = y , Ź(0) = v (1.45)
Laczac (1.41) i (1.45), dostajemy zagadnienie w dla jednowymiarowego oscylatora t
lasne lumionego.
ą ą
Zagadnienia w czesto spotyka sie również w teorii rezonatorów akustycznych i elektromag-
lasne
ą
netycznych.
1.4.1 Ruch jednowymiarowy czastki punktowej
ą
Mamy czastke punktowa o masie m, niech x(t) oznacza po tej czastki w chwili t. Ruch tej
lożenie
ą ą ą ą
czastki można opisać równaniem
ą
mć = R(x). (1.46)
Rozwiazanie x(t) bedzie zależa od po
lo lożenia poczatkowego x i predkości poczatkowej v . Na
ą ą ą ą ą
podstawie przes fizycznych ustalamy przedzia t " [0, +") oraz x " (-", +"). Mnożac
lanek ly
ą
równanie (1.46) przez �, dostaniemy
m�ć = R(x)�. (1.47)
Na podstawie w lożonej, wiemy, że
lasności pochodnej funkcji z
d df(x)
f(x) = �, (1.48)
dt dx
zatem można zapisać

d
� =2�ć. (1.49)
dt
Korzystajac z (1.49), uzyskamy
ą

1 d
m � = R(x)�. (1.50)
2 dt
Skorzystajmy jeszcze raz z równania (1.48), zapiszmy je w postaci
d dU(x)
U(x) = �. (1.51)
dt dx
Za óżmy, że istnieje taka funkcja U(x), że
l
dU(x)
= -R(x). (1.52)
dx
6
Aby to by możliwe, funkcja R(x) musi być calkowalna. Równanie (1.50) przyjmie teraz postać
lo

1 d dU
m � = - (1.53)
2 dt dt
a po scalkowaniu

m�
+ U = E, (1.54)
2
gdzie E jest sta która nazwiemy energia. Wyrażenie (1.54) jest ca pierwsza równania (1.46),
la, lka
ą ą ą ą ą
można je nazwać prawem zachowania energii. Równanie (1.52) jest równaniem o zmiennych
rozdzielonych, wiec latwo znajdujemy

ą

x

U(x) =- R(x )dx . (1.55)
-"
Równanie (1.54) jest równaniem różniczkowym - zawiera pochodna po czasie. W ogólności, gdy
ą
mamy do czynienia z wyrażeniem
F (�, x, t) =0, (1.56)
próbujemy doprowadzić je do postaci
� = f(x, t). (1.57)
W naszym przypadku
2
� = (E - U), (1.58)
m
a wkonsekwencji

2
� = (E - U). (1.59)
m
Znów mamy do czynienia z równaniem o zmiennych rozdzielonych
dx
dt = , (1.60)
2(E - U(x)) /m
a stad
ą


m dx
t = + const. (1.61)
2
(E - U(x))
W przypadku, gdy wartośc energii bedzie równa E , E < E < E i x " [x (E ); x (E )] (patrz
ą
rysunek). Ruch bedzie okresowy, okres bedzie wynosi T :
l
ą ą


x2
m dx
T = . (1.62)
2
(E - U(x))
x1
Na podstawie wzoru (1.54)
m�
= E - U, (1.63)
2
wiec dla E = U, mamy � = 0, czastka bedzie sie w tych punktach zatrzymywać i zawracać. A
ą ą ą ą
zatem czastka nigdy nie wyleci poza obszar [x ; x ], nigdy nie zajdzie warunek E < U, sa to
ą ą
 punkty wzbronione - predkość nie może być ujemna.
ą
1.4.2 Wahad sferyczne
lo
Czastka zawieszona jest na nieważkiej nici i może poruszać sie nie tylko w plaszczyz
nie. Opis w

ą
trzech wymiarach, poczatek uk wspó lad
ladu lrzednych umieszczamy w punkcie zaczepienia nici. Uk
ą ą
wspó
lrzednych sferycznych (l, �, �), � - kat biegunowy, � - kat azymutalny. Nić jest nierozciagliwa,
ą ą ą ą
l oznacza d nici, lŁ =0. Skladowe predkości sa do siebie ortogonalne
lugość
ą ą
Ł
v� = l�, (1.64)
7
U
E2
E3
E1
x1 x2 x
Rysunek 1: Przyk potencja w równaniu (1.61)
lad lu
v� = l sin ��. (1.65)
Ł
Energia


m m ml
v
Ł
E = = v� + v� = � +sin �� . (1.66)
Ł
2 2 2
Można pokazać, że
dE
=0, (1.67)
dt
tzn. że E jest sta Mówimy, że E jest sta ruchu. Jest jeszcze druga sta ruchu. Równanie
le. la la
zachowania momentu pedu:
ą
m�v� = ml sin �� = M� = const, (1.68)
Ł
gdzie
� = l sin �. (1.69)
Równania (1.66) i (1.68) tworza uk dwóch równań różniczkowych pierwszego rzedu. Z (1.68)
lad
ą ą
wyznaczamy �
Ł
M�
� = (1.70)
Ł
m l sin �
i podstawiamy do (1.66) :
ml M� ml
Ł
� + = E, (1.71)
2
2m l sin �
stad
ą

2 M�
Ł
� = E - (1.72)
ml
2ml sin �
pierwiastkujemy i ca
lkujemy
- /

2 M�
t = E - d� (1.73)
ml
2ml sin �
8
Nie ma rozwiazań za pomoca funkcji elementarnych. Rozwiazanie wyraża sie przez funkcje elipty-
ą ą ą
czne (przyk tzw. funkcji specjalnych). Majac zależność �(t) podstawiamy ja do (1.70).
lad
ą ą
20.10.2003
Przypomnienie. Za óżmy, że istnieje taka funkcja U(x), że si F (x) można zapisać
l le
ą
"U
F (x) =- . (1.74)
"x
Z równania Newtona
mć = F (x) (1.75)
wynika, że
m�
E(x, �) = + U = const, (1.76)
2

(x, �) =0. (1.77)
Mówimy, że E jest pierwsza ca ruchu. Znajdujemy predkość
lka
ą ą ą
dx
� = Ć(x, E) = , (1.78)
dt
a stad wyznaczamy
ą

dx
t = , (1.79)
Ć
jest to druga ca ruchu.
lka
Problem ca ladów
lkowalności uk równań różniczkowych
�i = fi(x , ..., xn), i =1, ..., n. (1.80)
Liouville sformu l twierdzenie o ca ladu
lowa lkowalności uk (1.80). Nie zawsze istnieje rozwiazanie
ą
(1.80). Gdy istnieje n ca ruchu Ci, i =1, ..., n i gdy nawias Piossona
lek
{Ci, Cj} =0, (1.81)
to istnieje rozwiazanie (1.80) w postaci ca (kwadratura), patrz ksiażka Ince a.
lek
ą ą
1.4.3 Ca eliptyczne
lki
Wksiażce  Higher Transcendental Functions vol. 3 - o funkcjach eliptycznych i automorficznych.
ą
Problemem zwiazanym z ca eliptycznymi jest odnalezienie x(t), gdyż mamy wyrażenie na t.
lkami
ą
Określenie
Ca eliptyczna
lka

I = R(x, y) dx, (1.82)
gdzie R jest funkcja wymierna u
lamkowa
ą ą ą
Q(x, y)
R = (1.83)
S(x, y)
a y jest pierwiastkiem wielomianu rzedu n
ą

y(x) = Pn(x). (1.84)
Dażymy do znalezienia krzywej y(x).
ą
9
1.4.4 Oscylator
Równanie oscylatora niet
lumionego
mć + ą� + �x =0. (1.85)
Wez
my funkcje
ą
f(t) =ełt, (1.86)
jej pochodna
fŁ(t) =łełt. (1.87)
Wez
my
x(t) =Cełt, (1.88)
i wstawmy to do równania oscylatora (1.85)

ełt mł + ął + � =0. (1.89)
Stad otrzymujemy wielomian charakterystyczny
ą
mł + ął + � =0, (1.90)
którego pierwiastkami sa
ą

ą ą �
łą = - ą - . (1.91)
2m 4m m
Równanie oscylatora jest liniowe, daje to możliwość przeskalowania zmiennych. Z liniowości
równania wynika również zasada superpozycji: jeśli istnieja dwa rozwiazania x i x równania
ą ą
(1.85), to wtedy
x = C x + C x (1.92)
również jest rozwiazaniem (1.85)
ą
+ -t
x(t) =C eł t + C eł . (1.93)
Pytanie, czy (1.93) określa rozwiazanie ogólne (1.85) ? Pojecie liniowej niezależności funkcji.
ą ą
Funkcje xi sa liniowo niezależne na pewnym odcinku, jeśli ich kombinacja liniowa zeruje sie tylko
ą ą
w przypadku, gdy wspó
lczynniki Ci sa równe zeru:
ą
C x (x) +C x (x) +... + Cnxn(x) =0 �! Ci =0, i =1, ..., n. (1.94)
ą
Można pokazać, że funkcje eł t sa liniowo niezależne. Mamy warunki poczatkowe
ą ą
x(0) = x , �(0) = v , (1.95)
uwzgledniamy je w (1.93)
ą
x(0) = C + C = x , (1.96)
�(0) = C ł + C ł- = v . (1.97)
Warunek istnienia rozwiazań - niezerowy wyznacznik:
ą


1 1


=0, (1.98)

ł ł-
zatem

ą �
ł- - ł = -2 - =0. (1.99)

4m m
Tw.
Jeśli ł- = ł , to wzór (1.93) określa jednoznacznie rozwiazanie równania (1.85).

ą
10
To znaczy, że można przy jego pomocy rozwiazać dowolne zagadnienie poczatkowe (czyli wyznaczyć
ą ą
sta C i C ). Gdy ł- = ł , to istnieje drugie rozwiazanie o postaci
le
ą
x(t) =tełt. (1.100)
Uwaga fizyczna.
Wielkość x opisuje po cia cześć urojona x jest równa zeru
lożenie la,
ą
Imx =0, �! x" = x, (1.101)
"
gdzie oznacza sprzeżenie zespolone. Znamy tożsamości
ą
x
e =cos x +i sinx, (1.102)
e- x =cos x - i sinx, (1.103)
 i - jest jednostka urojona. Pamietamy, że
ą ą ą

ą ą �
łą = - ą - , (1.104)
2m 4m m
zatem ł może być zespolone. W takim wypadku zapiszemy
x = C cos ł t + C cos ł-t +i (C sin ł t + C sin ł-t) . (1.105)
Przepiszmy równanie (1.85) w postaci
mć = -ą� - �x. (1.106)
Równanie to może opisywać ruchciala o masie m, wykonujacego drgania na spreżynie. Cz -ą�
lon
ą ą
opisuje si oporu, a FH = -�x jest si Hooke a (� >0). Przy s t la
ly la labym lumieniu si Hooke a jest
ą
dużo wieksza od si t
ly lumiacej, stad wynika
ą ą ą
ą �
<< . (1.107)
4m m
Przy powyższym za
lożeniu, zapiszemy

ą � � ą
- =i - =i�, (1.108)
4m m m 4m
wielkość � bedzie opisywać czestość drgań. Rozpiszmy
ą ą

-ąt
+
eł t =exp (cos �t +i sin�t) (1.109)
2m

-ąt
-t
eł =exp (cos �t - i sin�t) . (1.110)
2m
Podstawimy to do naszego x(t)

-ąt
+ -t
x = C eł t + C eł =exp (C cos �t + C cos �t +iC sin �t - iC sin �t) . (1.111)
2m
Czastka bedzie oscylować, amplituda oscylacji bedzie mala eksponencjalnie. Okres drgań bedzie
la
ą ą ą ą
wynosi
l
2Ą
T = . (1.112)
�
Ogólny sposób postepowania przy rozwiazywaniu równania:
ą ą
11
" uzyskanie rozwiazań szczególnych
ą
" uzyskanie rozwiazania ogólnego
ą
" warunki poczatkowe (brzegowe)
ą
" końcowe rozwiazanie (wybór sta
lych)
ą
27.10.2003
1.5 Rozwiazywanie równań niejednorodnych o wspó lych
lczynnikach sta
ą
1.5.1 Określenie równania niejednorodnego i ogólne twierdzenia
Wponiższym równaniu x = x(t)
mć + ą� + kx = f(t). (1.113)
Jeśli w tym równaniu f(t) =0, równanie to bedzie jednorodne. Natomiast jeśli funkcja f(t) nie
ą
jest tożsamościowo równa zeru, i jest niezależna od rozwiazania x(t), wówczas równanie (1.113)
ą
bedzie równaniem niejednorodnym. Takie równanie może s np. do opisu wahad t
lużyć la lumionego,
ą
poddanego dzia pewnej zewnetrznej si wymuszajacej drgania.
laniu ly
ą ą
Równanie (1.113) można zapisać nastepujaco
ą ą

d d
m + ą + k x = f(t). (1.114)
dt dt
Ć
Definiujac operator L
ą
d d
Ć
L = m + ą + k, (1.115)
dt dt
równanie (1.114) przepiszemy w postaci
Ć
Lx = f(t). (1.116)
Ć
Funkcja x(t) oraz L(x) powinny należeć do pewnej przestrzeni funkcyjnej U. Interesuje nas przy-
padek, kiedy operator jest liniowy, tzn.
Ć Ć Ć
L(ax + bx ) =aLx + bLx . (1.117)
Dzia operatora liniowego na kombinacje liniowa dwóch rożwiazańjest równoważne kombinacji
lanie
ą ą ą
liniowej rozwiazań poddanych dzia tego operatora.
laniu
ą
Wzór (1.116) jest najogólniejsza postacia naszego równania niejednorodnego. Formalnie można
ą ą
zapisać
Ć
x = L- f (1.118)
Niech x (t) bedzie rozwiazaniem równania jednorodnego
ą ą
Ć
Lx =0. (1.119)
Przez podstawienie można sprawdzić, że poniższa postać x (t) spe równanie (1.119)
lnia
x (t) =e-łt (C cos � t + C sin � t) , (1.120)
przy czym � jest czestościa drgań wlasnych, a ł jest wspó lumienia. Funkcja ta
lczynnikiem t
ą ą
opisuje oscylacje zanikajace z up czasu. Poszukiwanie rozwiazania równania niejednorodnego
lywem
ą ą
12
jest bardziej z
lożone.
Tw.
Rozwiazanie ogólne równania niejednorodnego jest suma rozwiazania równania jednorodnego x (t)
ą ą ą
i rozwiazania szczególnego równania niejednorodnego xn(t)
ą
x = x + xn (1.121)
Rozwiazanie ogólne bedzie zawiera w sobie wszystkie możliwe po
lo lożenia poczatkowe i predkości
ą ą ą ą
poczatkowe. Niech funkcja f(t) wrównaniu (1.113) opisuje si wymuszajaca o czestości �
le
ą ą ą ą ą
f(t) =f cos �t. (1.122)
Rozwiazaniem szczególnym równania niejednorodnego bedzie w naszym przypadku
ą ą
xn(t) =A cos �t + B sin �t. (1.123)
Funkcje sin i cos sa liniowo niezależne, a wiec xn bedzie sie mog na jakimś odcinku wyzerować
lo
ą ą ą ą
tylko wtedy, gdy obie sta A i B beda równe zeru. Podstawiajac równanie (1.123) do (1.113),
le
ą ą ą
otrzymamy
-m� (A cos �t + B sin �t) +ą� (-A sin �t + B cos �t) +k (A cos �t + B sin �t) =f cos �t.
(1.124)
Korzystamy z liniowej niezależności sin i cos (zapisujemy osobno czynniki stojace przy cos �t i
ą
sin �t)
-m� A + ą�B + kA = f (1.125)
-m� B - ą�A + kB =0. (1.126)
Zpowyższego uk równań obliczamy wartości sta A i B i otrzymamy rozwiazanie szczególne
ladu lych
ą
równania niejednorodnego a w konsekwencji rozwiazanie ogólne równania niejednorodnego (1.113)
ą
x(t) =e-łt (C cos � t + C sin � t) +A cos �t + B sin �t. (1.127)
Wrozwiazaniu tym możemy uwzglednić dowolne warunki poczatkowe
ą ą ą
x(0) = x (po poczatkowe), (1.128)
lożenie
ą
�(0) = v (predkość poczatkowa). (1.129)
ą ą
1.5.2 Równanie różniczkowe pierwszego rzedu
ą
Ogólna postać liniowego równanania pierwszego rzedu
ą
�(t) +�(t)x(t) =�(t). (1.130)
Jeśli � a" 0, to równanie jest niejednorodne. Znajdz
my rozwiazanie x (t) równania jednorodnego
/
ą
� (t) +�(t)x (t) =0. (1.131)
Zapiszmy to w postaci
dx (t)
= -�(t)x (t), (1.132)
dt
stad
ą
dx (t)
= -�(t)dt. (1.133)
x (t)
Po sca
lkowaniu mamy

t
ln |x (t)| = - �(�)d�, (1.134)
t0
13
wiec
ą


t
x (t) =C exp - �(�)d� , (1.135)
gdzie sta C zawiera ca od t do t. Wprowadz
my oznaczenie
la lke
ą


t
T (t) =exp - �(�)d� , (1.136)
x (t) =CT (t). (1.137)
Dla t =0
T (0) = 1 �! X(0) = C = x . (1.138)
Rozwiazujemy równanie niejednorodne, poprzez za lej)
lożenie, że C jest funkcja t (uzmiennianie sta
ą ą
xn(t) =C(t)T (t). (1.139)
Podstawiajac (1.139) do (1.130), mamy
ą
Ł

T + CT + �CT = � (1.140)
ale na ponieważ T jest rozwiazaniem równania jednorodnego, zachodzi
ą

C j + �T =0. (1.141)
Wrównaniu (1.140) pozostanie

T = �, (1.142)
wiec
ą

= �/T, (1.143)
stad, po uwzglednieniu (1.136)
ą ą


t �
C(t) = �(�)exp �(�)d� d�. (1.144)
Ostatecznie, rozwiazanie szczególne równania niejednorodnego przyjmie postać
ą


t t �
xn(t) = exp - �(�)d� � �(�)exp �(�)d� d�. (1.145)
Rozwiazanie ogólne równania niejednorodnego bedzie suma rozwiazania ogólnego równania jed-
ą ą ą ą
norodnego i rozwiazania szczególnego równania niejednorodnego
ą
x(t) =x (t) +xn(t). (1.146)
1.5.3 Równanie dowolnego rzedu. Metoda faktoryzacji
ą
W przypadku wielomianów czasami wygodne jest zapisanie wielomianu w postaci iloczynowej
P (x) =x + bx + c =(x - x )(x - x ). (1.147)
Szukamy czegoś analogicznego dla równańróżniczkowych, aby móc je rozwiazywać algorytmicznie.
ą
Majac równanie różniczkowe
ą
Ć
Lx = f (1.148)
możemy jego rozwiazanie zapisać nastepujaco
ą ą ą
Ć
x = L- f. (1.149)
14
Ć
Jeśli operator L (zawierajacy różniczkowanie) można przedstawić jako iloczyn dwóch operatorów
ą
Ć Ć Ć
L = L L , (1.150)
to
Ć Ć
x = L- L- f. (1.151)
Mamy równanie rzedu n (rzad jest liczba ca
lkowita), niech funkcja y(x) bedzie różniczkowalna
ą ą ą ą ą
do rzedu n w
lacznie
ą ą

n n-
an(x)y (x) +an- (x)y (x) +... + a (x)y (x) +a (x)y(x) =f(x). (1.152)
Jest to równanie różniczkowe zwyczajne rzedu n, liniowe, niejednorodne. Przyjmijmy, że ak(x) =
ą
const, dla k =0...n, mamy wówczas rówanie o sta wspó
lych lczynnikach. Przyjete oznaczenia:
ą
dy(x)
y (x) = , (1.153)
dx
dny(x)
n
y (x) = . (1.154)
dxn
Wez
my n =2, a =0

d y(x) dy(x)
a + a + a y(x) =f(x). (1.155)
dx dx
Otrzymaliśmy znów równanie opisujace oscylator. Za
lożyliśmy, że ai(x) =const, zatem
ą
dai
=0. (1.156)
dx
Równanie (1.155) dzielimy przez a , ale dla wygody pozostajemy przy tych samych oznaczeniach
d y dy
+ a + a y = f (1.157)
dx dx
czyli

d d
+ a + a y = f. (1.158)
dx dx
Operator wystepujacy po lewej stronie równania (1.158) przypomina trójmian z równania (1.147).
ą ą
Zapiszmy

d d
- b - b y = f. (1.159)
dx dx
Wprowadz
my funkcje z
ą

d dy
z = - b y = - b y. (1.160)
dx dx
Dostajemy równanie pierwszego rzedu.
ą
dz
- b z = f. (1.161)
dx
Zapiszmy równanie równoważne do (1.130)

d
- � y = �. (1.162)
dx
Wpowyższym równaniu spróbujemy zapisać lewa strone w nieco inny sposób. Na podstawie
ą ą
rachunku pochodnych można pokazać, że

d d
g- (gy) =g- (g y + gy ) =g- g y + y = + g- g y, (1.163)
dx dx
15
przy czym
1
g- g = g =1. (1.164)
g
Porównujac lewa strone (1.162) i prawa (1.163), zapiszmy
ą ą ą ą
1 dg
g- g = = -�. (1.165)
g dx
Po sca
lkowaniu uzyskamy


x
g =exp - � d� . (1.166)
Przyk
ladowo, gdy � = c = const, to
g =exp (-c x) . (1.167)
Na podstawie (1.162), (1.163) i (1.165) mamy
d
g- (gy) =�. (1.168)
dx
Mnożymy powyższe równanie przez g:
d
(gy) =g� (1.169)
dx
ca
lkujemy:

x
g(x)y(x) = (g(�)�(�)) d� (1.170)
i otrzymujemy

x
1
y(x) = (g(�)�(�)) d�. (1.171)
g(x)
Powyższe rozumowanie możemy zastosować do równania (1.161). Dojdziemy do postaci:
d
exp (b x) [exp (-b x) z(x)] = f(x) (1.172)
dx
i do rozwiazania
ą

x
z(x) =exp (b x) exp (-b x) f(�) d�. (1.173)
Przepiszmy równanie (1.160)

d
- b y(x) =z(x) (1.174)
dx
i dzialamy wed tego samego schematu, jak powyżej. Dostajemy
lug
d
exp (b x) [exp (-b x) y(x)] = z(x) (1.175)
dx
i rozwiazanie
ą

x
y(x) =exp (b x) exp (-b x) z(�) d�. (1.176)
Podstawiajac (1.173), otrzymujemy rozwiazanie równania niejednorodnego drugiego rzedu o
ą ą ą
sta wspó
lych lczynnikach, dla dowolnej funkcji f(x). Fizycznie - rozwiazanie zagadnienia liniowego
ą
wahad z dowolnym napedem.
la
ą
16
Metoda pozwala rozwiazywać równania dowolnego rzedu.
ą ą
03.11.2003
Operator różniczkowania - odwzorowuje funkcje na jej pochodna
ą ą


d df(x)
f(x) = = f (x). (1.177)
dx dx
Operator mnożenia przez funkcje
ą

ą(x) f(x) = ąf (1.178)
odwzorowuje funkcje f na iloczyn ąf. Suma operatorów
ą

d d
+ ą(x) f(x) = f (x) +ą(x)f(x) =exp (�(x)) exp (-�(x)) f(x)
dx dx


d
= e� -� e-�f + e-�f = -� + f(x). (1.179)
dx
Aby to by s uszne, musi zachodzić
lo l

ą(x) =-� (x) (1.180)
czyli

�(x) =- ą(x)dx, (1.181)
a jeśli ą = const, to
�(x) =-ąx. (1.182)
Rozważmy równanie

y + ay + by = f. (1.183)
Zapiszmy też

d d
+ ą + � y = f (1.184)
dx dx
czyli

d d d
+ ą + � + ą� y = f (1.185)
dx dx dx
a jeśli � jest sta
le,

d d
+(ą + �) + ą� y = f. (1.186)
dx dx
Na podstawie (1.183) i (1.186) mamy
ą + � = a, ą � � = b. (1.187)
W przypadku równania kwadratowego zwiazki pomiedzy pierwiastkami równania a
ą ą
wspó ly
lczynnikami określa wzory Viete a.
Porównujac (1.184) z rozumowaniem (1.179) (1.182), zapiszemy
ą
d d
e-ąx eąxe-�x e�xy = f. (1.188)
dx dx
Stad
ą
d d
ą-� x
e e�xy = eąxf. (1.189)
dx dx
Po sca
lkowaniu:

d
ą-� x
e e�xy = eąxf dx + C (1.190)
dx
17
a dalej

x


d
�-ą x �-ą x
e�xy = e eąx f(x ) dx + e C , (1.191)
dx
stad
ą


x x

C
�-ą x �-ą x
y = e-�x e eąx f(x ) dx dx + e e-�x + C e-�x (1.192)
� - ą
przy czym ą = �. Ostatecznie



x x


�-ą x
y(x) =e-�x e eąx f(x ) dx dx + C e-ąx + C e-�x. (1.193)
Jest to rozwiazanie ogólne. Rozważmy przyk ą = �, wtedy równanie (1.184) bedzie równoważne
lad
ą ą
d
e-ąx eąxy = f. (1.194)
dx
Rozwiazniem bedzie
ą ą


x x


y(x) =e-ąx eąx f(x ) dx dx +(C x + C ) e-ąx. (1.195)
Tw.
a
Rozwiazanie ogólne równania różniczkowego (1.184) w przypadku - b = 0 jest określone

ą
a
wzorem (1.193), a w przypadku = b wzorem (1.195). Dla równania jednorodnego
rozwiazaniem jest
ą
y(x) =C e-ąx + C e-�x. (1.196)
W przypadku, gdy równanie (1.184) jest jednorodne, równanie
ą + aą + b = 0 (1.197)
nazywa sie równaniem charakterystycznym równania różniczkowego (1.184). Można z niego wyz-
ą
naczyć wartość ą
Wszystkie powyższe rozważania sa s
luszne dla równań U
ożniczkowych zwyczajnych o
ą
sta wspó
lych lczynnikach. Metode faktoryzacji można też stosować dla równań o zmiennych
ą
wspó
lczynnikach, ale jest to trudne. Duże trudności sa również w przypadku równań o pochodnych
ą
czastkowych.
ą
My przeprowadziliśmy algorytm metody faktoryzacji dla równania różniczkowego zwyczajnego
drugiego rzedu o sta wspó
lych lczynnikach.
ą
Ogólnie

n n-
d d
an + an- + ... + a y = f. (1.198)
dx dx
Równanie charakterystyczne bedzie rzedu n
ą ą
anąn + an- ąn- + ... + a =0. (1.199)
Zgodnie z twierdzeniem Abela równanie to może być rozwiazane analitycznie dla n = 4 -

ą
rozwiazanie przez pierwiastki. Dla n =3 lub n =4 można korzystaćzewzorów Cardano. Twierdze-
ą
nie Abela udowodni E. Galois. Dla ąi różnych rozwiazanie ogólne równania różniczkowego (1.198)
l
ą
ma postać:
n

i
y(x) = Cie-ą x. (1.200)
i-
Dla ą = ą = ... = ąm = ą:
m+1 n
y(x) =Pm(x)e-ąx + Cm e-ą x + ... + Cne-ą x, (1.201)
gdzie Pm(x) jest wielomianem.
18
1.6 Równanie różniczkowe zupe (exact)
lne
Do tej pory przy równaniach pierwszego rzedu mieliśmy
ą

F (y , y, x) =0, (1.202)
co zapisywaliśmy w postaci

y = f(y, x) (1.203)
lub
dy = f(y, x)dx. (1.204)
Postać ogólniejsza:
P (x, y)dx + Q(x, y)dy =0. (1.205)
Oczywiście (1.204) jest szczególnym przypadkiem równania (1.205). Równanie (1.205) jest bardzo
ważne w fizyce. Np. pierwsza zasade termodynamiki zapisujemy
ą ą
�Q =dU + pdV, (1.206)
a w procesach adiabatycznych
dU + pdV =0. (1.207)
�Q oznacza wielkość przekazanego ciep dU - zmiane energii wewnetrznej, a pdV - prace
la,
ą ą ą
elementarna.
ą
Wyrażenie P(x,y) dx + Q(x, y)dy nazywa sie forma Pfaffa I rzedu. Rozważmy funkcje dwóch
ą ą ą ą
"u "u
zmiennych u(x, y), niech ta funkcja posiada pochodne czastkowe i . Różniczka tej funkcji
ą ą
"x "y
nazywamy wielkość
"u "u
du = dx + dy. (1.208)
"x "y
Jeśli du =0, to u = const. Porównujac (1.205) i (1.208), otrzymujemy warunek zupe
lności
ą
"P "Q
= , (1.209)
"y "x
jest on skutkiem warunku Schwartza
" u " u
= . (1.210)
"x"y "y"x
Wyrażenie (1.209) jest warunkiem koniecznym ca lujemy i
lkowalności równania (1.205). Sformu
udowodnimy warunek dostateczny. Rozważmy funkcje
ą

x
u = P (x, y)dx + �(y). (1.211)
xo
Pokażemy, że jest ona rozwiazaniem równania (1.205). Obliczamy
ą

x
"u "P (x, y)
= dx + � (y), (1.212)
"y "y
xo
a po skorzystaniu z (1.209)

x
"u "Q(x, y)
= dx + � (y) =Q(x, y) - Q(x , y) +� (y). (1.213)
"y "x
xo
Wiemy, że
"u
Q(x, y) = (1.214)
"y
19
Uwzgledniamy to w (1.213) a nastepnie ca
lkujemy po y:
ą ą

y
�(y) = Q(x , y)dy (1.215)
y0
i mamy

x y
u(x, y) = P (x, y)dx + Q(x , y)dy = c. (1.216)
xo y0
Jest to ca rówania (1.205), du =0 �! u = c. Wzór (1.216) jest warunkiem dostatecznym
lka
ca le
lkowalności równania (1.205). Zawiera trzy sta x , y i c. Wybór x i y prowadzi do zmiany,
przeskalowania c.
Ćw.
Rozwiazać
ą
2x - y 2y + x
dx + dy =0. (1.217)
x + y x + y
Rozwiazanie:
ą
x
ln(x + y ) - arctg = c. (1.218)
y
Sposób dojścia do rozwiazania: wyca zgodnie z (1.216).
lkować
ą
1.7 Metoda uzmiennienia sta
lych
Przy rozwiazywaniu równań niejednorodnych dowolnego rzedu sta zastepujemy funkcjami Ci(x).
le
ą ą ą
1.8 Uwagi fizyczne o zagadnieniach brzegowych. Przyk fizyczne i
lady
techniczne
Warunki brzegowe decyduja o konkretnych wartościach sta wystepujacych w rozwiazaniach.
lcyh,
ą ą ą ą
Równanie Newtona
ć = f(x, �, t). (1.219)
Potrzebne sa dwa warunki
ą
x(0) = x , �(0) = v . (1.220)
Równanie jest drugiego rzedu, w rozwiazaniu pojawia sie dwie sta
le
ą ą ą ą
x = �(t, C , C ). (1.221)
Za óżmy, że czas t " [0, "). Wartości sta C i C uzyskamy z uk równań
l lych ladu
x(0) = �(0, C , C ). (1.222)

"�

�(0) = . (1.223)

"t
t
Przyk
lad
Przewodnictwo cieplne w zagadnieniach jednowymiarowych. Mamy pret, którego poczatek
ą ą
umieszczamy w punkcie x = 0 i temperaturze T a koniec w x = L i T . Wzdluż preta bedzie

ą ą
przep cieplo, zajdzie propagacja. Po pewnym czasie proces stanie sie stacjonarny - ustabi-
lywać
ą
lizuje sie i rozklad temperatury T nie bedzie zależa od czasu
l
ą ą
"T
=0. (1.224)
"t
Strumień ciepla, czyli ilość ciep przep
la lywajaca przez jednostkowa powierzchnie, oznaczamy jako
ą ą ą ą
q. Zgodnie z prawem Fouriera
dT
q = -�(x) , (1.225)
dx
20
� - wspó
lczynnik przewodnictwa cieplnego. W stanie stacjonarnym w dowolnym miejscu wartość
strumienia ze strony lewej i prawej beda jednakowe, temperatura nie bedzie zależa od czasu, a
la
ą ą ą
tylko od po
lożenia x

d dT
�(x) =0. (1.226)
dx dx
W ogólności pret może być niejednorodny, dlatego za lcamy
lożyliśmy, że � jest funkcja x. Przekszta
ą ą
powyższe równanie
d T d� dT
� + =0. (1.227)
dx dx dx
Oznaczmy
dT
y = . (1.228)
dx
Mamy

dy �
= - (1.229)
dx �
a stad
ą

�
dy = - dx (1.230)
�
czyli

�
y = - dx + C (1.231)
�
i
y = - ln � + C (1.232)
a ze wzoru (1.228) widzimy, że

T = y dx + C . (1.233)
Uwzgledniamy warunki brzegowe
ą
T (0) = T , T (L) =T , (1.234)

za óżmy, że � = const, a wiec � =0, dostajemy
l
ą
T (x) =C x + C , (1.235)
przy czym
C = T , (1.236)
a ponieważ
T (L) =C L + T = T , (1.237)
stad
ą
T - T
C = . (1.238)
L
21
1 Wzór d Alemberta
Rozpatrzmy zagadnienie Cauchy ego dla jednorodnego równania falowego:
"2u(x, t) "2u(x, t)
- c2 =0, (1.1)
"t2 "x2
u(x, 0) = �(x), (1.2)
"u(x, 0)
= �(x), (1.3)
"t
przy czym x " (-", +"), natomiast c jest prędkością. Korzystając z wyniku otrzymanego za
pomocą metody charakterystyk, wprowadzimy nowe zmienne niezależne w postaci
� = x - ct, (1.4)
� = x + ct. (1.5)
Mamy wówczas

"2u(x, t) " "u(�, �) "� "u(�, �) "� " "u(�, �) "u(�, �)
= + = -c - . (1.6)
"t2 "t "� "t "� "t "t "� "�
Ponieważ

" "u(�, �) "2u(�, �) "� "2u(�, �) "�
= + (1.7)
"t "� "�2 "t "�"� "t
oraz

" "u(�, �) "2u(�, �) "� "2u(�, �) "�
= + , (1.8)
"t "� "�2 "t "�"� "t
więc możemy napisać ostatecznie
"2u(x, t) "2u(�, �) "2u(�, �) "2u(�, �)
= c2 - 2c2 + c2 . (1.9)
"t2 "�2 "�"� "�2
Analogiczne rozważania prowadzą do kolejnego wzoru
"2u(x, t) "2u(�, �) "2u(�, �) "2u(�, �)
= +2 + . (1.10)
"x2 "�2 "�"� "�2
Podstawiając wyrażenia (1.9) i (1.10) do równania falowego (1.1) otrzymamy
"2u(�, �)
4c2 =0, (1.11)
"�"�
co ostatecznie zapiszemy jako
"2u(�, �)
=0. (1.12)
"�"�
Rozwiązanie ogólne powyższego równania przyjmujemy w postaci
u(�, �) =F (�) +G(�) (1.13)
i mamy wówczas
u(x, t) =F (x - ct) +G(x + ct), (1.14)
u(x, 0) = F (x) +G(x) =�(x), (1.15)
"u(x, 0)

= -cF (x) +cG (x) =�(x), (1.16)
"t
1
przy czym prim oznacza różniczkowanie ze względu na argument. Całkując równanie (1.16) otrzy-
mamy

x
1
G(x) - F (x) = �(z)dz. (1.17)
c
0
Jeśli teraz dodamy stronami równania (1.15) i (1.17) to otrzymamy

x
1
2G(x) =�(x) + �(z)dz, (1.18)
c
0
a jeśli odejmiemy stronami (1.15) i (1.17), to wówczas

x
1
2F (x) =�(x) - �(z)dz. (1.19)
c
0
Zapisując rozwiązanie zagadnienia Cauchy ego dla jednorodnego równania falowego, w oparciu o
(1.14), (1.18) i (1.19), otrzymujemy wzór d Alemberta

x+ct
�(x + ct) +�(x - ct) 1
u(x, t) = + �(z)dz. (1.20)
2 2c
x-ct
Podamy teraz bez dowodu twierdzenie o stabilności rozwiązania zagadnienia Cauchy ego dla
równania falowego, w postaci wzoru d Alemberta. Otóż
Twierdzenie 1 Rozwiązanie zagadnienia Cauchy ego dla równania falowego w postaci wzoru
d Alemberta jest rozwiązaniem stabilnym.
2 Metoda funkcji Greena
2.1 Funkcja delta Diraca
W roku 1928 fizyk angielski Paul Adrien Maurice Dirac wprowadził do mechaniki kwantowej
nowy element formalizmu matematycznego, który nazwał funkcją delta i oznaczył symbolem �(t).
Dirac przyjął, że funkcja delta jest określona na całej osi liczbowej i spełnia następujące warunki:

0 gdy t =0

�(t) = (2.1)
+" gdy t =0
oraz

+"
�(t)dt =1. (2.2)
-"
W teorii funkcji zmiennej rzeczywistej warunki (2.1) i (2.2) są wzajemnie sprzeczne, gdyż nie
istnieje funkcja, która jest wszędzie równa 0, z wyjątkiem jednego punktu t =0, i której całka, w
przedziale od -" do +", byłaby różna od zera. Warunki (2.1) i (2.2) są jednak przejawem pewnej
intuicji fizycznej: �(t) może reprezentować nieskończenie wielki impuls pojawiający się w chwili
t = 0 i trwający nieskończenie krótko. Podobnie można wprowadzić model ładunku punktowego:
wpunkcie x = 0 przyjmuje on nieskończenie dużą wartość, natomiast wszędzie poza tym punktem
wartość równą 0.
Poprawną teorią matematyczną, na gruncie której można wprowadzić funkcję delta Diraca, jest
teoria dystrybucji (funkcji uogólnionych). Pojęcie dystrybucji związane jest z pojęciem funkcjonału.
Okazuje się, że dystrybucję określa ciągły i liniowy funkcjonał.
Funkcję �(x - x0) można również określić jako granicę takiego ciągu �n(x - x0), że

0 dla x = x0,

lim �n(x - x0) = (2.3)
n"
+" dla x = x0,
2
ż#
/
�# 0 dla x0 " [a, b],
�#
�#

b �#
1
lim �n(x - x0)dx = dla x0 = a lub x0 = b, (2.4)
2
n"
�#
a
�#
�#
�#
1 dla x0 " (a, b).
A oto przykłady ciągów zmierzających do funkcji �(x - x0) w sensie równań (2.3) i (2.4):
n 2
"
�n(x - x0) = e-n (x-x0)2, (2.5)
Ą
1 n
�n(x - x0) = , (2.6)
Ą 1+n2(x - x0)2
sin n(x - x0)
�n(x - x0) = , (2.7)
Ą(x - x0)
1 - cos n(x - x0)
�n(x - x0) = . (2.8)
Ąn(x - x0)2
Poniżej zbieżemy kilka ważniejszych własności funkcji delta Diraca:
�(-x) =�(x), (2.9)
1
�(ax) = �(x), (2.10)
|a|
d�(x - x0)
�(x - x0) = , (2.11)
dx
gdzie �(x - x0) jest funkcją Heaviside a (zwaną czasem funkcją schodkową), zdefiniowaną następu-
jąco
ż#
�# 0 dla x�#
�#
�#
1
�(x - x0) = dla x = x0, (2.12)
2
�#
�#
�#
�#
1 dla x>x0.
Własność filtrująca funkcji delta Diraca:

+"
�(x - x0)f(x)dx = f(x0). (2.13)
-"
Ważna jest także następująca własność:

+"
� (x - x0)f(x)dx = -f (x0). (2.14)
-"
2.2 Funkcja Greena dla równania dyfuzji
Rozważmy zagadnienie Cauchy ego dla równania dyfuzji na całej osi rzeczywistej, tzn. dla
x " (-", +"):
"u(x, t) "2u(x, t)
= �2 (2.15)
"t "x2
u(x, 0) = �(x), (2.16)
przy czym � oznacza współczynnik dyfuzji. Rozwiązania powyższego zagadnienia (2.15) i (2.16)
poszukiwać będziemy w postaci

+"
u(x, t) = G(x, �, t) �(�)d�, (2.17)
-"
3
przy czym G(x, �, t) jest funkcją Greena dla powyższego problemu, zdefiniowaną jako rozwiązanie
następującego zagadnienia
"G(x, �, t) "2G(x, �, t)
= �2 , (2.18)
"t "x2
G(x, �, 0) = �(x - �). (2.19)
Pomocniczo rozwiążemy równanie
"w(x, 0, t) "2w(x, 0, t)
= �2 , (2.20)
"t "x2
z warunkiem
w(x, 0, 0) = �(x), (2.21)
przy czym związek funkcji Greena G(x, �, 0) z nowo wprowadzoną funkcją w(x, �, t) ma postać
"w(x, �, 0)
G(x, �, 0) = . (2.22)
"x
Wprowadzimy teraz kolejne oznaczenie
w(x, 0, t) =Z(�), (2.23)
przy czym
x
� = , (2.24)
tą
natomiast ą " R. Spróbujmy sprowadzić równanie cząstkowe (2.20), dla funkcji w(x, 0, t), do
równania różniczkowego zwyczajnego dla funkcji Z(�). W tym celu policzymy:
"w(x, 0, t) "�
= Z (�) = -ąxt-ą-1Z (�), (2.25)
"t "t
"w(x, 0, t) "�
= Z (�) = t-ąZ (�), (2.26)
"x "x
"2w(x, 0, t)
= t-2ąZ (�). (2.27)
"x2
Podstawiając powyższe wyrażenia do równania (2.20) otrzymamy
-ąxt-ą-1Z (�) =�2t-2ąZ (�), (2.28)
co przepiszemy w postaci
-ąxtą-1Z (�) =�2Z (�). (2.29)
Aby otrzymać równanie różniczkowe zwyczajne musi zachodzić
xtą-1 = � = xt-ą, (2.30)
skąd mamy, iż
1
ą = . (2.31)
2
Oznacza to, że otrzymujemy szukane równanie różniczkowe zwyczajne
1
- �Z (�) =�2Z (�). (2.32)
2
Powyższe równanie można rozwiązać wprowadzająć nową funkcję Y (�), w następujący sposób

Z (�) =Y (�), Z (�) =Y (�). (2.33)
4
Podstawienie (2.33) w równaniu (2.32) prowadzi do

Y (�) �
= - . (2.34)
Y (�) 2�2
Z kolei powyższe równanie całkujemy, otrzymując
�2
ln Y (�) =- +lnC, (2.35)
4�2
gdzie ln C oznacza stałą całkowania. Dalej możemy napisać

�2
Y (�) =C exp - . (2.36)
4�2
W celu wyznaczenia funkcji Z(�), korzystając z (2.33), całkujemy powyższe równanie, przy czym
teraz stałą całkowania C1 wprowadzimy do dolnej granicy całkowania:


�
ś2
Z(�) =C exp - dś. (2.37)
4�2
C1
W przypadku gdy t 0, na funkcję Z(�) narzucamy pewne warunki:

� +" gdy x>0, przyjmujemy Z(�) =1,
dla t 0 (2.38)
� -" gdy x<0, przyjmujemy Z(�) =0.
Z przyjętego założenia, że Z(�) =0 dla � -"wynika, iż C1 = 0, a więc korzystając z pierwszego
z warunków (2.38), mamy


+"
ś2
C exp - dś =1. (2.39)
4�2
-"
W celu wyznaczenia stałej C, wprowadz
my nową zmienną niezależną w powyższej całce
ś

ś = , (2.40)
2�
skąd mamy

dś =2�dś. (2.41)
Taka zamiana prowadzi do następującego równania

+"

2�C exp -ś2 dś =1. (2.42)
-"
Ponieważ

+"

"
exp -x2 dx = Ą, (2.43)
-"
więc ostatecznie
1
C = " , (2.44)
2� Ą
czyli
"


x/ t
1 ś2
w(x, 0, t) = " exp - dś. (2.45)
2� Ą 4�2
-"
Dokonując w powyższej całce zamiany zmiennej za pomocą transformacji (2.40)-(2.41), możemy
napisać
"

x/2� t
1

w(x, 0, t) = " exp -ś2 dś. (2.46)
Ą
-"
5
Zapisując powyższe wyrażenie następująco
"

0 x/2� t
1 1

w(x, 0, t) = " exp -ś2 dś + " exp -ś2 dś, (2.47)
Ą Ą
0
-"
"
Ą
=
2
otrzymujemy
"

x/2� t
1 1

w(x, 0, t) = + " exp -ś2 dś. (2.48)
2 Ą
0
Jeśli skorzystamy teraz z defincji funkcji błędu

x
2 2
erf(x) = " e-z dz, (2.49)
Ą
0
to funkcję (2.48) można zapisać następująco

1 x
w(x, 0, t) = 1+erf " . (2.50)
2
2� t
Aby rozwiązać zagadnienie (2.18)-(2.19) skorzystamy z rozwiązania zagadnienia (2.20)-(2.21),
przyjmując
w(x, �, 0) = �(x - �) (2.51)
oraz
"
G(x, �, t) = w(x, �, t). (2.52)
"x
W oparciu o (2.46) i powyższe wyrażenia mamy
"


x/2� t
" 1 1 (x - �)2

G(x, �, t) = " exp -ś2 dś = " exp - , (2.53)
"x Ą 4�2t
2� Ąt
0
co prowadzi ostatecznie do poszukiwanego rozwiązania


+" +"
1 (x - �)2
u(x, t) = G(x, �, t) �(�)d� = " exp - �(�)d�. (2.54)
4�2t
2� Ąt
-" -"
2.3 Funkcja Greena dla równania Poissona
Rozważmy równanie Poissona
"u(r, t) =f(r, t), (2.55)
przy czym r =[x, y, z] " R3, natomiast
"2 "2 "2
"= + + (2.56)
"x2 "y2 "z2
jest laplasjanem (operatorem Laplace a). Funkcja u(r, t), która jest funkcją niewiadomą w równaniu
Poissona, ma następujący sens fizyczny: jest mianowicie potencjałem pochodzącym od ładunku
opisanego funkcją f(r, t). Ponieważ w elektrostatyce zakładamy, że ładunki są stałe w czasie, tak
więc przyjmujemy, że funkcja opisująca ładunek nie zależy od czasu
f(r, t) =f(r). (2.57)
Równanie, które definiuje funkcję Greena dla równania (2.55), ma postać
"G(r, r ) =�(r). (2.58)
6
O funkcji Greena możemy założyć, że jest ona funkcją zależną tylko od r, ze względu na symetrię
sferyczną rozważanego zagadnienia
G(r, r ) =�(r), (2.59)
przy czym r oznacza współrzędną radialną w sferycznym układzie współrzędnych (r, �, �)
ż#
�# x = r sin � cos �,
�#
�#
�#
y = r sin � sin �, (2.60)
�#
�#
�#
�#
z = r cos �,
przy czym r " [0, +"), � " [0, Ą], � " [0, 2Ą], związaną ze współrzędnymi kartezjańskimi nastę-
pującą relacją

r = x2 + y2 + z2. (2.61)
Wyrazimy teraz laplasjan (2.56) we współrzędnych sferycznych
1 " "
"= r2 +"��, (2.62)
r2 "r "r
przy czym "�� oznacza kątową część laplasjanu, daną wzorem
1 " " 1 "2
"�� = sin � + . (2.63)
r2 sin � "� "� "�2
r2 sin2 �
Ponieważ funkcja Greena zależy tylko od r, tak więc równanie (2.58), w oparciu o (2.62), przyjmie
postać
1 " "�(r)
r2 = �(r). (2.64)
r2 "r "r
Korzystając z następującej własności funkcji delta Diraca

�(r)dr =1, (2.65)
R3
na podstawie (2.64), mamy


R

1
r2 r2� (r) dr d2n =1, (2.66)
r2
0
4Ą
=4Ą
przy czym, n =[�, �]. Otrzymujemy następujące równanie różniczkowe
d�(R)
4ĄR2 =1, (2.67)
dR
którego rozwiązanie ma postać
1
�(R) =- . (2.68)
4ĄR
Oznacza to, że funkcja Greena wyraża się wzorem
1
G(r, r ) = , (2.69)
4Ą|r - r |
a w kosekwencji, rozwiązanie równania Poissona zapisujemy jako

u(r) = G(r, r )f(r )dr . (2.70)
R3
7
3 Metoda separacji zmiennych (metoda Fouriera)
Metoda separacji (rozdzielenia) zmiennych, zwana również metodą Fouriera, polega na poszuki-
waniu rozwiązania równania różniczkowego cząstkowego w postaci iloczynu funkcji zależnych tylko
od jednej zmiennej niezależnej. Metoda ta jest przydatna w przypadku zagadnień na odcinku, tzn.
gdy np. x " [0, a]. Uzyskane tą metodą rozwiązania zagadnień brzegowych mają zwykle postać
nieskończonych szeregów, np.
"

u(x, y) = AnXn(x)Yn(y). (3.1)
n=0
3.1 Metoda Fouriera dla równania falowego - struna
Rozważmy równanie falowe opisujące drgającą strunę, zamocowaną na końcach x = 0 oraz
x = l
"2u(x, t) "2u(x, t)
- c2 =0. (3.2)
"t2 "x2
Poszukujemy rozwiązania powyższego równania w zbiorze
D = {(x, t) : 0 x l, t 0}, (3.3)
spełniającego warunki początkowe
u(x, 0) = f(x), (3.4)
"u(x, 0)
= �(x) (3.5)
"t
na odcinku x " [0, l], oraz warunki brzegowe (wynikające z obustronnego zamocowania struny)
u(0, t) =0, u(l, t) = 0 (3.6)
dla każdej chwili czasu t >0.
Jak już wspomniano we wstępie, poszukiwać będziemy rozwiązania równania (3.2) najpierw w
postaci iloczynu
u(x, t) =X(x)T (t), (3.7)
spełniającego warunki brzegowe (3.6). Okazuje się, że rozwiązań takich jest nieskończenie wiele. Z
tych rozwiązań tworzymy następnie rozwiązanie w postaci szeregu, którego współczynniki dobie-
ramy tak, aby spełnione były warunki początkowe (3.4) i (3.5).
Wstawiając (3.7) do (3.2), otrzymamy

X(x)T (t) =c2X (x)T (t), (3.8)
skąd

T (t) X (x)
= . (3.9)
c2T (t) X(x)
Po lewej stronie powyższej równości stoi funkcja zależna tylko od zmiennej t, a po prawej stronie
funkcja zależna tylko od zmiennej x. Równość taka może być spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy
obie wspomniane funkcje są równe tożsamościowo tej samej stałej. Oznaczymy ją, dla póżniejszej
wygody, przez -2. Mamy więc

T (t) X (x)
= = -2, (3.10)
c2T (t) X(x)
skąd otrzymujemy dwa równania różniczkowe zwyczajne
X (x) +2X(x) =0, (3.11)

T (t) +2c2T (t) =0. (3.12)
8
Rozwiązania ogólne powyższych równań mają postać
X(x) =C sin x + D cos x, (3.13)
T (t) =A sin ct + B cos ct, (3.14)
gdzie A, B, C i D są dowolnymi stałymi.
Możemy teraz napisać
u(x, t) =(C sin x + D cos x)(A sin ct + B cos ct). (3.15)
Dobierzemy stałe A, B, C i D tak, aby spełnione były warunki brzegowe (3.6)
C � 0+D � 1 =0, (3.16)
C sin l + D cos l =0, (3.17)
skąd wynika, że
D = 0 oraz C sin l =0. (3.18)
Ponieważ odrzucamy rozwiązania tożsamościowo równe zeru, tak więc zakładamy, iż C = 0 -

oznacza to, że ostatnie z równań (3.18) będzie spełnione, gdy l = nĄ, przy czym n jest dowolną
liczbą całkowitą. Mamy
nĄ
 = , (3.19)
l
przy czym, ze względu na dowolność stałych A i C możemy przyjąć, iż n =1, 2, . . .. Wstawiając do
wzoru (3.15) wyrażenie (3.19) oraz oznaczając AC i BC odpowiednio przez An i Bn, otrzymamy
nieskończony ciąg rozwiązań równania (3.2), spełniających warunki brzegowe (3.6):

nĄx nĄct nĄct
un(x, t) =sin An sin + Bn cos . (3.20)
l l l
Przypuśćmy, że szereg

"

nĄx nĄct nĄct
sin An sin + Bn cos (3.21)
l l l
n=1
jest zbieżny oraz dwukrotnie różniczkowalny wyraz po wyrazie w sposób ciągły, względem obu
zmiennych, w zbiorze D. Wówczas jego suma

"

nĄx nĄct nĄct
u(x, t) = sin An sin + Bn cos (3.22)
l l l
n=1
jest rozwiązaniem równania (3.2), spełniającym warunki brzegowe (3.6). Aby dodatkowo uwzględ-
nić warunki początkowe (3.4) i (3.5), zróżniczkujemy szereg (3.22) względem t wyraz po wyrazie

"

"u(x, t) nĄx nĄc nĄct nĄc nĄct
= sin An cos - Bn sin . (3.23)
"t l l l l l
n=1
Uwzględnienie warunków początkowych (3.4) i (3.5) we wzorach (3.22) i (3.23), prowadzi do na-
stępujących wyrażeń
"

nĄx
Bn sin = f(x), (3.24)
l
n=1
"

nĄc nĄx
An sin = �(x). (3.25)
l l
n=1
9
Powyższe wzory przedstawiają rozwinięcie odpowiednio funkcji f(x) i �(x) w szereg trygonome-
tryczny Fouriera samych sinusów w przedziale [0, l]. Można pokazać, że współczynniki występujące
w powyższych szeregach wyrażają się wzorami

l
2 nĄx
An = �(x)sin dx, (3.26)
nĄc l
0

l
2 nĄx
Bn = f(x)sin dx. (3.27)
l l
0
Podstawiając powyższe współczynniki do wzoru (3.22), otrzymujemy rozwiązanie równania falo-
wego (3.2) spełniające warunki początkowe (3.4) i (3.5) oraz warunki brzegowe (3.6).
4 Równania całkowe
4.1 Wstęp
Równanie całkowe to takie równananie o funkcji niewiadomej �(x), że pojawia się całka, w
której funkcja podcałkowa zależy od �(x). W równaniu takim mogą też występować inne składniki
- niekoniecznie w postaci całki - zależne bezpośrednio od �(x). Jeżeli w równaniu całkowym funkcja
niewiadoma występuje liniowo, to takie równanie nazywamy równaniem całkowym liniowym.
4.2 Klasyfikacja
Rozpatrywać będziemy tylko równania całkowe jednej zmiennej. O funkcjach �(x), f(x) zakła-
dać będziemy, że są one określone i ciągłe na odcinku [a, b], x " [a, b], natomiast o funkcji K(x, s)
zakładamy, że jest ona określona i ciągła w kwadracie [a, b] � [a, b], x " [a, b], s " [a, b]. Funkcje
f(x) oraz K(x, s) są funkcjami danymi i nazywane są odpowiednio funkcją zakłócającą oraz jądrem
równania całkowego.
Równania całkowe, w których obie granice całkowania są stałe, nazywa się równaniami całko-
wymi Fredholma, jeżeli natomiast tylko jedna z granic całkowania jest stałą, mówimy o równaniu
całkowym Volterry. Równania całkowe można dodatkowo sklasyfikować według następującego kry-
terium: jeżeli funkcja niewiadoma występuje jedynie pod znakiem całki to mówimy o równaniu
całkowym pierwszego rodzaju, jeżeli natomiast funkcja niewiadoma występuje nie tylko pod zna-
kiem całki, ale jeszcze w jakiś inny sposób, to równanie takie nazywamy równaniem całkowym
drugiego rodzaju. Poniżej przedstawiona jest taka właśnie klasyfikacja:
" równanie całkowe Fredholma pierwszego rodzaju

b
 K(x, s)�(s)ds + f(x) =0, (4.1)
a
" równanie całkowe Fredholma drugiego rodzaju

b
 K(x, s)�(s)ds + f(x) =�(x), (4.2)
a
" równanie całkowe Volterry pierwszego rodzaju

x
 K(x, s)�(s)ds + f(x) =0, (4.3)
a
" równanie całkowe Volterry drugiego rodzaju

x
 K(x, s)�(s)ds + f(x) =�(x), (4.4)
a
10
przy czym  jest pewnym parametrem, w ogólności zespolonym. W przypadku gdy f(x) = 0

mówimy o równaniu całkowym niejednorodnym, natomiast gdy f(x) =0, o równaniu jednorodnym.
Korzystając z klasyfikacji wprowadzonej przez Hadamarda okazuje się, że równania pierwszego
rodzaju Fredholma oraz Volterry, (4.1) i (4.3), są zagadnieniami z
le uwarunkowanymi (ill posed),
natomiast równania drugiego rodzaju Fredholma i Volterry, (4.2) i (4.4), są już zagadnieniami
dobrze uwarunkowanymi.
Równania całkowe można również zapisać, korzystając z operatora całkowego, którego jądrem
jest funkcja K(x, s). Dla przykładu, równanie, które definiuje taki operator dla równań typu Fre-
dholma, ma postać

b
Ć
K�(x) = K(x, s)�(s)ds. (4.5)
a
W konsekwencji równanie Fredholma pierwszego rodzaju przyjmie postać
1
Ć
K�(x) =- f(x), (4.6)

natomiast równanie Fredholma drugiego rodzaju zapiszemy jako

Ć
1 - K �(x) =f(x). (4.7)
4.3 Jednorodne równania całkowe o ciągłym jądrze. Widmo operatora
całkowego
Rozpatrzmy jednorodne równanie Fredholma drugiego rodzaju

b
 K(x, s)�(s)ds = �(x), (4.8)
a
przy czym, o funkcji K(x, s) zakładamy, że jest ona ciągła wkwadracie �

�= (x, s) " R2 : a x b, a s b . (4.9)
Powyższe równanie w postaci operatorowej przyjmuje postać
1
Ć
K�(x) = �(x). (4.10)

Zauważmy, że na powyższe równanie można patrzeć jak na zagadnienie spektralne, tzn. zagadnienie
Ć
na wartości własne, dla operatora całkowego K. W tym miejscu nasuwa się pytanie: co można
Ć
powiedzieć o wartościach własnych operatora całkowego K w równaniu (4.10)? Odpowiedz
na to
pytanie daje następujące twierdzenie:
Ć
Twierdzenie 2 Widmo operatora całkowego K, o ciągłym jądrze K(x, s), określonym w kwadracie
�, jest dyskretne.
4.4 Równania całkowe niejednorodne. Alternatywa Fredholma
Rozważmy niejednorodne równanie Fredholma drugiego rodzaju

b
 K(x, s)�(s)ds + f(x) =�(x). (4.11)
a
Ofunkcjach K(x, s) oraz f(x) ponownie zakładamy, że są one określone i ciągłe odpowiednio, w
kwadracie � oraz na odcinku [a, b].
Równanie (4.11) rozwiążemy metodą iteracyjną (jest to metoda przybliżonego znajdywania roz-
wiązań podobna do metody kolejnych przybliżeń Picarda dla równań różniczkowych zwyczajnych).
Jako zerowe przybliżenie szukanego rozwiązania �(x) przyjmiemy
�0(x) a" 0. (4.12)
11
Podstawiając to przybliżenie do lewej strony równania całkowego (4.11), otrzymujemy pierwsze
przybliżenie
�1(x) =f(x). (4.13)
Drugie przybliżenie otrzymamy, podstawiając (4.13) do (4.11)

b
�2(x) =f(x) + K(x, s)f(s)ds, (4.14)
a
z kolei trzecie przybliżenie otrzymuje się podstawiając (4.14) do (4.11)


b b
�3(x) =f(x) + K(x, s) f(s) + K(s, �)f(�)d� ds, (4.15)
a a
co można przepisać w postaci

b b b
�3(x) =f(x) + K(x, s)f(s)ds + 2 K(x, s)K(s, �)f(�)d� ds. (4.16)
a a a
Proces taki można kontynuować, otrzymując kolejne przybliżenia dla szukanej funkcji �(x). Zapis
operatorowy umożliwia podanie w czytelny sposób wyrażenia na n-te przybliżenie, czyli n-tego
kroku iteracyjnego:

Ć Ć Ć Ć
�n(x) = I + K + 2K2 + . . . + nKn f(x), (4.17)
Ć
przy czym I jest operatorem tożsamościowym, tzn.
Ć
If(x) =f(x). (4.18)
Przechodząc do granicy przy n "otrzymujemy tzw. szereg Neumanna:
"

Ć
�(x) = lim �n(x) = nKnf(x). (4.19)
n"
n=0
Okazuje się, że szereg (4.19) jest zbieżny. Podamy szkic dowodu zbieżności tego szeregu. Jak wiado-
mo, szereg jest zbieżny gdy ciąg jego sum częściowych jest zbieżny do granicy właściwej. Oznacza
to, że należy pokazać, iż

�(x) - �n(x) -n"
--- 0, (4.20)
-
przy czym norma zdefiniowana jest następująco

�(x)
= max �(x) . (4.21)
x"[a,b]
Zbieżność szeregu pokazuje się również za pomocą odpowiednich kryteriów. Skorzystamy z kryte-
rium porównawczego, które mówi, że jeżeli dwa szeregi, (a) i (b), o wyrazach dodatnich, począwszy
od pewnego n, spełniają warunek
an bn, (4.22)
to ze zbieżności szeregu (b) wynika, że szereg (a) jest zbieżny.
Wiadomo, że funkcja ciągła na odcinku jest funkcją ograniczoną. Oznacza to, iż

K(x, s) M, dla (x, s) " �
(4.23)
oraz

f(x)
F, dla x " [a, b], (4.24)
przy czym liczby M i F są kresami górnymi, odpowiednio jądra K(x, s) oraz funkcji f(x). W
oparciu o wyrażenia (4.23) i (4.24), możemy napisać następujący ciąg nierówności:



 b
K(x, s)f(s)ds ||MF(b - a), (4.25)


a
12



2 b b
K(x, s)K(s, �)f(�)d� ds ||2M2F (b - a)2, (4.26)


a a
dla n-tego wyrazu, w notacji operatorowej, mamy

nKnf(x)
Ć
||nMn(b - a)nF. (4.27)

W ostatniej nierówności, po prawej stronie występuje wyraz szeregu geometrycznego, który jest
zbieżny, gdy jego iloraz q spełnia warunek: |q| < 1. Oznacza to, że musi zachodzić

||M(b - a) < 1.
(4.28)
Na mocy kryterium porównawczego, szereg Neumanna (4.19) jest zbieżny, przy założeniu, że
1
|| < . (4.29)
M(b - a)
Analogiczne rozważania przeprowadzone dla równania Volterry prowadzą do następujących
oszacowań:


x

 K(x, s)f(s)ds ||MF(x - a),
(4.30)

a


x x

(x - a)2
2
K(x, s)K(s, �)f(�)d� ds ||2M2F (4.31)

2
a a
i dla n-tego wyrazu w notacji operatorowej

(x - a)n
nKnf(x)
Ć
||nMn F. (4.32)

n!
Szereg otrzymany po prawej stronie nierówności (4.32) jest zbieżny dla każdego x.
W przypadku równań całkowych Fredholma prawdziwe jest następujące twierdzenie:
Twierdzenie 3 (Alternatywa Fredholma) Szereg (4.19) jest rozwiązaniem niejednorodnego
równania Fredholma (4.11), dla wszystkich wartości  " C, wszędzie oprócz punktów  = n,
dla których to punktów (wartości własnych operatora całkowego) rozwiązanie niezerowe posiada
równanie jednorodne.
Równoważnie, powyższe twierdzenie można sformułować następująco:
Twierdzenie 4 (Alternatywa Fredholma) Niejednorodne równanie liniowe Fredholma

b
 K(x, s)�(s)ds + f(x) =�(x),
a
ma dokładnie jedno rozwiązanie przy dowolnej funkcji f(x) (z pewnej dostatecznie szerokiej klasy),
albo też odpowiednie równanie jednorodne

b
 K(x, s)�(s)ds = �(x)
a
ma co najmniej jedno rozwiązanie nietrywialne (nie równe tożsamościowo zeru).
Alternatywa Fredholma jest szczególnie ważna w praktyce. Często bowiem łatwiej jest pokazać, że
równanie jednorodne ma tylko rozwiązanie trywialne, niż dowodzić, że dane równanie niejednorodne
ma rozwiązanie.
13
4.5 Równania całkowe z jądrem zdegenerowanym
Rozpatrzmy równanie całkowe Fredholma drugiego rodzaju (4.11). Jądro K(x, s) takiego rów-
nania nazywa się zdegenerowanym, jeśli jest ono sumą skończonej ilości iloczynów funkcji zależnych
tylko od x przez funkcje zależne tylko od s, a więc jest funkcją postaci
m

K(x, s) = hi(x)gi(s). (4.33)
i=1
Rozważmy teraz najprostszy przypadek jądra zdegenerowanego
K(x, s) =h(x)g(s). (4.34)
Równanie Fredholma przyjmuje wówczas postać

b
�(x) = h(x)g(s)�(s)ds + f(x) =h(x)c + f(x), (4.35)
a
przy czym

b
c = g(s)�(s)ds. (4.36)
a
W celu wyznaczenia stałej c podstawimy wyrażenie (4.35) do wyjściowego równania (4.11), otrzy-
mując

b

h(x)c + f(x) =h(x) g(s) h(s)c + f(s) ds + f(x), (4.37)
a
co po przekształceniach prowadzi do wyrażenia


b b
c 1 -  g(s)h(s)ds = g(s)f(s)ds, (4.38)
a a
z którego otrzymujemy wyrażenie na stała c

b
g(s)f(s)ds
a
c = . (4.39)

b
1 -  g(s)h(s)ds
a
Analogiczne rozważania dla jądra w postaci (4.33) doprowadzą do układu m równań algebraicznych
na stałe c1, c2, . . . , cm. Gdyby udało się przedstawić jądro w postaci następującego szeregu
"

K(x, s) = hi(x)gi(s), (4.40)
i=1
to wówczas otrzymuje się metodę rozwiązywania równań całkowych poprzez faktoryzację jądra.
4.6 Równanie całkowe dla równania różniczkowego zwyczajnego
Okazuje się, że równanie różniczkowe liniowe zwyczajne
dny(x) dn-1y(x)
+ a1(x) + . . . + an(x)y(x) =f(x), (4.41)
dxn dxn-1
o ciągłych współczynnikach ai(x), (i =1, 2, . . . , n), przy warunkach początkowych
y(0) = C0, y (0) = C1, . . . , y(n-1)(0) = Cn-1, (4.42)
14
można sprowadzić do zagadnienia rozwiązania równania całkowego Volterry drugiego rodzaju. Aby
to pokazać rozważmy przykład równania różniczkowego drugiego rzędu
d2y(x) dy(x)
+ a1(x) + a2(x)y(x) =f(x), (4.43)
dx2 dx
z warunkami początkowymi
y(0) = C0, y (0) = C1. (4.44)
Przyjmijmy
d2y(x)
= �(x). (4.45)
dx2
Całkując kolejno powyższe wyrażenie i uwzględniając warunki początkowe (4.44), otrzymujemy

x
dy(x)
= �(s)ds + C1, (4.46)
dx
0

p x
y(x) = �(s)ds dp + C1x + C0. (4.47)
0 0
Korzystając następnie ze wzoru

x p x
dp �(s)ds = (x - t)�(t)dt, (4.48)
a a a
możemy napisać

x
y(x) = (x - t)�(t)dt + C1x + C0. (4.49)
0
Podstawiając teraz (4.45), (4.46) oraz (4.49) do równania (4.43), otrzymujemy

x x
�(x) +a1(x) �(t)dt + a2(x) (x - t)�(t)dt + a1(x)C1 + a2(x)(C1x + C0) =f(x), (4.50)
0 0
co po wprowadzeniu oznaczeń

K(x, t) =- a1(x) +a2(x)(x - t) , (4.51)
F (x) =f(x) - a1(x)C1 - a2(x)(C1x + C0), (4.52)
przyjmuje postać równania całkowego Volterry drugiego rodzaju:

x
�(x) = K(x, t)�(t)dt + F (x). (4.53)
0
15