II. Równania różniczkowe zwyczajne II-go rzędu.
1. Motywacja fizyczna. Równanie wahadła matematycznego.
Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny o masie m, zawieszony
na długiej, cienkiej i nierozciągliwej nici. Wykonuje on wahania wokół najniżej
położonego punktu O, zwanego środkiem wahań. Załóżmy, że wahania te są
bardzo małe. Wprowadz
my oznaczenia
" s - odchylenie od środka wahań,
" a - przyspieszenie wahadła w punkcie P ,
" g - przyspieszenie ziemskie,
" � - miara kąta odchylenia wahadła od pionu,
" l - długość wahadła.
Zauważmy, że siła działająca na punkt materialny jest dana przez składową
siły ciążenia styczną do toru wahań (składowa prostopadła do niej jest równoważona
przez sprężystość nici, na której wisi wahadło). Wówczas otrzymujemy
ma = -mg sin �,
przy czym znak minus występuje na skutek przeciwnych kierunków wychylenia
i działającej siły. Wyrażając przyspieszenie wahadła przez drugą pochodną
odchylenia s, otrzymamy
m� = -mg sin �(t), czyli s(t) = -g sin �(t).
s(t) �
Jeżeli zmierzymy s wzdłuż łuku, po którym porusza się punkt materialny, to
s(t) = l �(t)
i ostatecznie otrzymamy równanie wahadła
g
�(t) = - sin �(t).
�
l
Dla małych drgań można przyjąć sin � H" �. Zatem małe drgania wahadła
dają się opisać równaniem
g
� = -k sin �, gdzie k = .
�
l
1
Zagadnienie początkowe dla tego równania ma postać
� = -k sin �, �(t0) = �0, �(t0) = �1,
� Ł
tzn. do opisania zachowania wahadła oprócz wychylenia początkowego �0
należy podać kątową prędkość początkową �1.
2. Równania różniczkowe zwyczajne II-go rzędu sprowadzalne do
równań rzędu pierwszego.
Przypomnijmy, że równaniem różniczkowym zwyczajnym II-go rzędu nazywamy
równanie postaci
(2.1) F (t, x, x , x ) = 0,
gdzie F jest zadaną funkcją. Przy odpowiednich założeniach o funkcji F
równanie (2.1) można zapisać w tzw. postaci normalnej
(2.2) x = f(t, x, x ).
Przedstawimy trzy typy równań II-go rzędu, które za pomocą odpowiednich
podstawień można sprowadzić do równań rzędu I-go.
Typ 1. F (t, x , x ) = 0
Równanie postaci
(2.3) F (t, x , x ) = 0,
tj. równanie, w którym funkcja niewiadoma x nie występuje w sposób jawny,
rozwiązujemy stosując podstawienie
x = u, gdzie u = u(t).
Wówczas x = u i równanie (2.3) przybiera postać F (t, u, u ) = 0.
Przykład.
Rozwiążemy równanie x = 1 + (x )2.
2
Typ 2. F (x, x , x ) = 0
Równanie postaci
(2.4) F (x, x , x ) = 0,
tj. równanie, w którym zmienna niezależna t nie występuje w sposób jawny,
rozwiązujemy stosując podstawienie
x = v, gdzie v = v(x).
Wówczas
d dx
x = v(x) = v (x) = v (x)v(x).
dt dt
Przykład.
Rozwiążemy równanie x = -x.
Typ 3. F (t, x, x , x ) = 0 jednorodne względem x, x , x
Równanie postaci
(2.5) F (t, x, x , x ) = 0,
które jest jednorodne (stopnia k)względem x, x , x , tzn.dla każdego ą
F (t, ąx, ąx , ąx ) = ąk F (t, x, x , x ),
rozwiązujemy stosując podstawienie
x = eu, gdzie u = u(t).
Wtedy x = eu u oraz x = eu (u )2 + eu u i równanie typu (2.5) można
sprowadzić do równania typu (2.3).
Przykład.
Rozwiążemy równanie xx - (x )2 = 0.
3
3. Równania różniczkowe liniowe II-go rzędu. Istnienie i jednoznaczność
rozwiązań.
Definicja 3.1.
Równanie różniczkowe II-go rzędu postaci
(3.1) x + b(t)x + c(t)x = F (t),
gdzie b(t), c(t), F (t) są funkcjami zmiennej t " (a, b), nazywamy równaniem
liniowym II-go rzędu. Jeżeli F (t) a" 0 mówimy o równaniu liniowym jednorodnym,
w przeciwnym przypadku niejednorodnym.
Zdefiniujmy operator A : C2((a, b)) C0((a, b))
A(x(t)) := x (t) + b(t)x (t) + c(t)x(t).
Oczywiście A jest przekształceniem liniowym, tj.
A(ąx1 + �x2) = ąA(x1) + �A(x2).
Równanie liniowe jednorodne można wtedy zapisać w postaci A(x) = 0, zaś
niejednorodne jako A(x) = F (t).
Uwaga 3.2.
Z liniowości operatora A wynika, że dowolna kombinacja liniowa rozwiązań
równania jednorodnego A(x) = 0 jest również rozwiązaniem tego równania.
Dalej będziemy zakładać ciągłość funkcji b(t), c(t), F (t) na przedziale (a, b).
Niech t0 " (a, b). Równanie (3.1) będziemy dalej rozważać z warunkami
początkowymi
(3.2) x(t0) = x0, x (t0) = x1.
Uwaga 3.3.
Zauważmy, że równanie II-go rzędu (3.1) można sprowadzić do układu dwóch
równań rzędu I-go. Istotnie, przyjmując y1 = x, y2 = x , zapiszemy (3.1) jako


y1 = y2
(3.3)

y2 = -b(t) y2 - c(t) y1 + F (t).
4
Ogólnie, przypomnijmy, że równanie rzędu n postaci
(3.4) x(n) = f(t, x, x , ..., x(n-1)),
można sprowadzić do układu n równań rzędu I-go. Przyjmujemy
y1 = x, y2 = x . . . , yn = x(n-1).
Wtedy (3.4) zapiszemy w postaci układu
ńł

y1 = y2
�ł
�ł
�ł

�ł
�ł y2 = y3
�ł
�ł
�ł .
.
.
(3.5)

�ł yk = yk-1,
�ł
�ł
�ł .
.
�ł
.
�ł
�ł
ół

yn = f(t, y1, y2, ..., yn),
czyli y = g(t, y), gdzie y = (y1, y2, ..., yn)T , g(t, y) = (y2, y3, ..., f(t, y1, y2, ..., yn))T .
Jeżeli funkcja g(t, y) jest ciągła i spełnia lokalnie warunek Lipschitza względem
zmiennej y = (y1, y2, ..., yn), to dla zadanych warunków początkowych istnieje
jednoznaczne rozwiązanie układu (3.5), a tym samym równania (3.4).
Fakt 3.4.
Jeżeli funkcje b(t), c(t), F (t) są ciągłe dla t " (a, b), to zagadnienie początkowe
x + b(t)x + c(t)x = F (t), x(t0) = x0, x (t0) = x1,
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
5
4. Układ fundamentalny rozwiązań równania jednorodnego.
Rozważamy równanie liniowe jednorodne postaci
(4.1) x + b(t)x + c(t)x = 0.
Definicja 4.1.
Dwa rozwiązania x1(t), x2(t) równania (4.1) nazywamy jego układem fundamentalnym,
jeżeli dowolne rozwiązanie x(t) tego równania jest postaci
x(t) = c1 x1(t) + c2 x2(t),
gdzie c1 i c2 oznaczają dowolne stałe rzeczywiste, tzn. x(t) jest kombinacją
liniową rozwiązań x1(t) i x2(t).
Definicja 4.2.
Niech x1(t) i x2(t) będą funkcjami różniczkowalnymi na przedziale (a, b).
Wyrażenie


x1(t) x2(t)

W (x1(t), x2(t)) = = x1(t)x (t) - x2(t)x (t)
2 1

x (t) x (t)
1 2
nazywamy wyznacznikiem Wrońskiego (wrońskianem) układu funkcji x1(t) i
x2(t). Jeżeli W (x1(t), x2(t)) = 0 dla każdego t " (a, b), to układ funkcji x1(t),

x2(t) nazywamy liniowo niezależnym na (a, b).
Lemat 4.3.
Dwa rozwiązania x1(t) i x2(t) równania (4.1) tworzą jego układ fundamentalny
na przedziale (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy W (x1(t), x2(t)) = 0 dla każdego

t " (a, b).
Dowód.
Uwaga 4.4.
W lemacie wystarczy założyć, że W (x1(t0), x2(t0)) = 0 dla pewnego

t0 " (a, b).
6
5. Równanie liniowe jednorodne o stałych współczynnikach.
Rozważamy równanie liniowe jednorodne postaci
(5.1) ax + bx + cx = 0,
gdzie a, b, c " R i a = 0.

Definicja 5.1.
Równanie
(5.2) a2 + b + c = 0,
nazywamy równaniem charakterystycznym równania (5.1).
Układ fundamentalny równania (5.1) zależy od wyróżnika � = b2 - 4ac
równania (5.2).
Przypadek � > 0.
Jeżeli � > 0, to (5.2) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste 1 i 2. Wtedy
układ fundamentalny równania (5.1) tworzą funkcje
1 2
x1(t) = e t, x2(t) = e t
i rozwiązanie ogólne równania (5.1) ma postać
1 2
x(t) = c1 e t + c2 e t,
gdzie c1, c2 oznaczają dowolne stałe rzeczywiste.
Przypadek � = 0.
Jeżeli � = 0, to (5.2) ma jeden podwójny pierwiastek rzeczywisty 0. Wtedy
układ fundamentalny równania (5.1) tworzą funkcje
0 0
x1(t) = e t, x2(t) = e t t
i rozwiązanie ogólne równania (5.1) ma postać
0 0 0
x(t) = c1 e t + c2 e t t = (c1 + c2 t)e t,
gdzie c1, c2 oznaczają dowolne stałe rzeczywiste.
7
Przypadek � < 0.
Jeżeli � < 0, to (5.2) ma dwa pierwiastki zespolone 1 = ą + i� i 2 = ą - i�,
"
b -"
gdzie ą = - , � = . Wtedy układ fundamentalny równania (5.1) tworzą
2a 2a
funkcje
x1(t) = eą t cos � t, x2(t) = eą t sin � t
i rozwiązanie ogólne równania (5.1) ma postać
x(t) = eą t(c1 cos � t + c2 sin � t),
gdzie c1, c2 oznaczają dowolne stałe rzeczywiste.
Przykład.
Rozwiążemy równanie (a) x + 2x + x = 0.
6. Równanie liniowe niejednorodne o stałych współczynnikach.
Rozważamy równanie liniowe niejednorodne postaci
(6.1) ax + bx + cx = F (t),
gdzie a, b, c " R i a = 0, zaś F (t) jest daną funkcją.

Jeżeli funkcje x1(t) i x2(t) tworzą fundamentalny układ rozwiązań równania
jednorodnego (5.1) oraz xs(t) jest dowolnym rozwiązaniem szczególnym równania
niejednorodnego (6.1), to rozwiązanie ogólne x(t) równania niejednorodnego
(6.1) ma postać
x(t) = c1 x1(t) + c2 x2(t) + xs(t).
Metoda przewidywań.
W przypadku szczególnej postaci prawej strony równania (6.1), tj. funkcji
F (t), możemy przewidzieć ogólną postać rozwiązania szczególnego xs(t). Taki
sposób wyznaczania rozwiązania szczególnego xs(t) równania niejednorodnego
(6.1) określa się mianem metody przewidywań.
8
10 F (t) = antn + an-1tn-1 + ... + a1t + a0.
Przewidujemy
xs(t) = ąntn + ąn-1tn-1 + ... + ą1t + ą0.
W celu wyznaczenia współczynników ąi wstawiamy xs(t) do równania (6.1),
skąd mamy
(6.2) a(n(n-1)ąn tn-2+...+2ą2)+b(nąn tn-1+...+ą1)+c(ąntn+ąn-1tn-1+...+ą1t+ą0) =
= antn + an-1tn-1 + ... + a1t + a0.
Porównując współczynniki przy tych samych potęgach t, dostajemy układ
n + 1 równań dla współczynników ąi
cąn = an, cąn-1 + bnąn = an-1, ...
Jeśli c = 0, to układ ten ma jednoznaczne rozwiązanie. Jeśli c = 0, to lewa

strona równości (6.2) nie jest wielomianem stopnia n i rozwiązanie xs(t)
należy postulować w postaci
xs(t) = t(ąntn + ... + ą1t + ą0).
Wstawiamy xs(t) do (6.1) i z odpowiedniego układu równań wyznaczamy ąi.
Będzie to możliwe o ile b = 0. Jeśli b = 0, to rozwiązanie xs(t) postuluje się

w postaci
xs(t) = t2(ąntn + ... + ą1t + ą0).
Zatem otrzymujemy następujące zależności:
" Jeżeli  = 0 nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego (5.2),
to
xs(t) = ąntn + ąn-1tn-1 + ... + ą1t + ą0.
" Jeżeli  = 0 jest pojedynczym pierwiastkiem równania charakterystycznego
(5.2), to
xs(t) = t (ąntn + ąn-1tn-1 + ... + ą1t + ą0).
" Jeżeli  = 0 jest podwójnym pierwiastkiem równania charakterystycznego
(5.2), to
xs(t) = t2 (ąntn + ąn-1tn-1 + ... + ą1t + ą0).
9
20 F (t) = (antn + an-1tn-1 + ... + a1t + a0) eAt.
Przewidujemy
xs(t) = eAt u(t),
gdzie u(t) jest nieznaną funkcją. Wstawiając xs(t) do równania (6.1) otrzymujemy
równanie dla funkcji u(t)
au + (2aA + b)u + (aA2 + bA + c)u = antn + an-1tn-1 + ... + a1t + a0.
Poszukiwanie funkcji u(t) sprowadza się więc do przypadku 10. Otrzymujemy
zatem następujące zależności:
" Jeżeli  = A nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego (5.2),
to
xs(t) = eAt(ąntn + ąn-1tn-1 + ... + ą1t + ą0).
" Jeżeli  = A jest pojedynczym pierwiastkiem równania charakterystycznego
(5.2), to
xs(t) = eAt t (ąntn + ąn-1tn-1 + ... + ą1t + ą0).
" Jeżeli  = A jest podwójnym pierwiastkiem równania charakterystycznego
(5.2), to
xs(t) = eAt t2 (ąntn + ąn-1tn-1 + ... + ą1t + ą0).
30 F (t) = (antn + an-1tn-1 + ... + a1t + a0) cos �t lub
F (t) = (antn + an-1tn-1 + ... + a1t + a0) sin �t.
Przypadek ten sprowadzamy do przypadku 20, przechodząc do funkcji zmiennej
zespolonej. Zauważmy, że
cos �t + i sin �t = ei � t
i rozważmy równanie
(6.3) ax + bx + cx = (antn + an-1tn-1 + ... + a1t + a0)ei � t.
10
Jeżeli x(t) = u(t) + i v(t) jest zespolonym rozwiązaniem równania (6.3), to
część rzeczywista u(t) spełnia równanie
au + bu + cu = (antn + an-1tn-1 + ... + a1t + a0) cos �t,
zaś część urojona v(t) równanie
av + bv + cu = (antn + an-1tn-1 + ... + a1t + a0) sin �t,
Otrzymujemy teraz następujące zależności:
" Jeżeli  = � i nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego (5.2),
to
xs(t) = (ąntn + ąn-1tn-1 + ... + ą1t + ą0) cos �t+
+(ąntn + ąn-1tn-1 + ... + ą1t + ą0) sin �t.
� � � �
" Jeżeli  = � i jest pierwiastkiem równania charakterystycznego (5.2), to
xs(t) = t (ąntn + ąn-1tn-1 + ... + ą1t + ą0) cos �t+
+t (ąntn + ąn-1tn-1 + ... + ą1t + ą0) sin �t.
� � � �
40 F (t) = (antn + an-1tn-1 + ... + a1t + a0) eą t cos �t lub
F (t) = (antn + an-1tn-1 + ... + a1t + a0) eą t sin �t.
Podobnie jak w przypadku 30 otrzymujemy następujące zależności:
" Jeżeli  = ą + � i nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego
(5.2), to
xs(t) = eą t (ąntn + ąn-1tn-1 + ... + ą1t + ą0) cos �t+
+eą t (ąntn + ąn-1tn-1 + ... + ą1t + ą0) sin �t.
� � � �
" Jeżeli  = ą+� i jest pierwiastkiem równania charakterystycznego (5.2),
to
xs(t) = eą t t (ąntn + ąn-1tn-1 + ... + ą1t + ą0) cos �t+
+eą t t (ąntn + ąn-1tn-1 + ... + ą1t + ą0) sin �t.
� � � �
11
Uwaga 6.1.
Jeżeli funkcje �(t) i �(t) są rozwiązaniami odpowiednio równań
ax + bx + cx = f1(t), ax + bx + cx = f2(t),
to suma �(t) + �(t) jest rozwiązaniem równania
ax + bx + cx = f1(t) + f2(t).
Taki sam fakt jest prawdziwy dla równań o zmiennych współczynnikach, tj.
a(t)x + b(t)x + c(t)x = f1(t) + f2(t).
Przykład.
Rozwiążemy równanie (b) x + 2x + x = t + 2e3t.
7. Równanie liniowe niejednorodne o dowolnych współczynnikach.
Metoda uzmienniania stałych.
Rozważamy równanie liniowe niejednorodne postaci
(7.1) x + b(t)x + c(t)x = F (t).
Niech funkcje x1(t) i x2(t) tworzą fundamentalny układ rozwiązań równania
jednorodnego
(7.2) x + b(t)x + c(t)x = 0.
Wówczas rozwiązanie równania niejednorodnego (7.1) ma postać
x(t) = C1(t) x1(t) + C2(t) x2(t),
gdzie funkcje C1(t) i C2(t) są rozwiązaniami układu równań


C1(t) x1(t) + C2(t) x2(t) = 0

C1(t) x (t) + C2(t) x (t) = F (t),
1 2
czyli
x2(t) F (t) x1(t) F (t)

C1(t) = - , C2(t) = ,
W (t) W (t)
12
gdzie W (t) = W (x1(t), x2(t)) jest wrońskianem dla układu fundamentalnego
x1(t), x2(t). Stąd W (t) = 0.

Istotnie, wiadomo, że funkcja x(t) = C1 x1(t) + C2 x2(t) jest rozwiązaniem
równania jednorodnego (7.2). Istotą metody uzmienniania stałych jest postulowanie,
że rozwiązanie równania niejednorodnego można przedstawić w postaci
(7.3) x(t) = C1(t) x1(t) + C2(t) x2(t),
gdzie C1(t) i C2(t) są odpowiednio dobranymi różniczkowalnymi funkcjami.
Wówczas mamy

x (t) = C1(t) x (t) + C2(t) x (t) + C1(t) x1(t) + C2(t) x2(t).
1 2
Zakładamy, że

(7.4) C1(t) x1(t) + C2(t) x2(t) = 0.
Wówczas

x (t) = C1(t) x (t) + C2(t) x (t) + C1(t) x (t) + C2(t) x (t).
1 2 1 2
Zatem funkcja x(t) zadana wzorem (7.3) będzie rozwiązaniem równania (7.1)
wtedy i tylko wtedy, gdy będzie spełniała równość

C1(t) x + C2(t) x + C1(t) x + C2(t) x + b(t) [C1(t) x + C2(t) x ]+
1 2 1 2 1 2
+c(t)[C1(t) x1 + C2(t) x2] = F (t),
czyli

C1(t) [x +b(t) x +c(t) x1]+C2(t) [x +b(t) x +c(t) x2]+C1(t) x +C2(t) x = F (t),
1 1 2 2 1 2
a stąd

C1(t) x + C2(t) x = F (t).
1 2

Zatem otrzymujemy następujący układ równań dla pochodnych C1(t) i C2(t)


C1(t) x1(t) + C2(t) x2(t) = 0

C1(t) x (t) + C2(t) x (t) = F (t).
1 2

Układ ten ma jednoznaczne rozwiązanie C1(t) i C2(t), gdyż jego wyznacznik
(wrońskian układu fundamentalnego x1(t), x2(t)) jest różny od zera.
13