www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZYWANIE RÓWNA ´
N I
NIERÓWNO ´SCI
Jak wygl ˛
adaj ˛
a równania i nierówno´sci wszyscy mniej wi˛ecej wiemy, wi˛ec nie b˛edziemy si˛e
tu bawi´c w definicje. Zamiast tego przypomnijmy, ˙ze rozwi ˛
azanie równania/nierówno´sci
powinno zawsze składa´c si˛e z dwóch etapów:
a) Przekształcenie równania/nierówno´sci do prostszej postaci, z której da si˛e łatwo od-
czyta´c wszystkie mo ˙zliwe rozwi ˛
azania.
b) Sprawdzenie, które z rozwi ˛
aza ´n przekształconego równania/nierówno´sci s ˛
a te ˙z roz-
wi ˛
azaniami równania/nierówno´sci, które mieli´smy rozwi ˛
aza´c.
W pierwszej chwili powy ˙zsze dwa punkty mog ˛
a budzi´c zdziwienie (pewnie nigdy nie roz-
wi ˛
azywali´scie równania w dwóch krokach), ale warto zdoby´c si˛e na wysiłek i zrozumie´c t˛e
uwag˛e, bo pozwala ona unikn ˛
a´c wielu bł˛edów i nieporozumie ´n przy rozwi ˛
azywaniu zada ´n.
Je˙zeli liczby s ˛
a równe, to s ˛
a równe
Przekształcanie równa ´n opiera si˛e na banalnym stwierdzeniu zawartym w tytule tego aka-
pitu. Powiedzmy, ˙ze chcemy rozwi ˛
aza´c równanie 2x
−
1
=
3. Robimy to tak: skoro 2x
−
1
jest równe 3, to je ˙zeli wykonamy jak ˛
akolwiek operacj˛e algebraiczn ˛
a na obu tych liczbach na
raz, to nadal b˛ed ˛
a równe. Z tego wła´snie powodu mo ˙zemy do tej równo´sci doda´c, co tylko
chcemy, mo ˙zemy j ˛
a pomno ˙zy´c przez co tylko chcemy, mo ˙zemy j ˛
a podnie´s´c do kwadratu,
mo ˙zemy zlogarytmowa´c (je ˙zeli s ˛
a dodatnie) itd. Skoro wystartowali´smy od liczb, które s ˛
a
równe, po ka ˙zdej takiej operacji b˛edziemy mie´c liczby równe. I to jest dokładnie przekształ-
canie równa ´n.
Przekształ´cmy równanie 2x
−
1
=
3 tak, aby było wida´c jakie jest jego rozwi ˛
azanie.
2x
−
1
=
3
/
+
1
2x
=
4
/ : 2
x
=
2.
Zwró´cmy uwag˛e, ˙ze w pierwszym kroku dodali´smy do obu stron 1 – na ogół mówi
si˛e krótko, ˙ze przenie´sli´smy -1 na praw ˛
a stron˛e. Tak wi˛ec przenoszenie z jednej
strony równania na drug ˛
a to nic innego, jak dodawanie do obu stron równania tej
samej liczby.
Zadajmy sobie teraz niezwykle wa ˙zne pytanie: sk ˛
ad wiemy, ˙ze wyliczona w powy ˙zszym
przykładzie warto´s´c x
=
2 rzeczywi´scie spełnia równanie, które mieli´smy rozwi ˛
aza´c? Głu-
pie pytanie? Niekoniecznie, co łatwo zobaczy´c na przykładach.
Materiał pobrany z serwisu
1
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Przekształ´cmy równanie x
=
2 podnosz ˛
ac je stronami do kwadratu. Mamy wi˛ec
x
2
=
4.
Zatem x
= −
2 lub x
=
2. Oczywi´scie tylko druga z tych liczb jest rozwi ˛
azaniem
równania, od którego wystartowali´smy.
Wyj´sciow ˛
a równo´s´c mogli´smy przekształci´c jeszcze brutalniej, mo ˙zemy obie strony
pomno ˙zy´c przez 0 i otrzymamy równanie 0
=
0, które jest spełnione przez ka ˙zd ˛
a
liczb˛e.
Rozwi ˛
a ˙zmy równanie 1
+
q
+
q
2
+
q
3
+
q
4
=
0.
Ze wzoru na sum˛e pocz ˛
atkowych wyrazów ci ˛
agu geometrycznego mamy
1
−
q
5
1
−
q
=
0
/
· (
1
−
q
)
1
−
q
5
=
0
q
5
=
1
⇐⇒
q
=
1.
Łatwo sprawdzi´c, ˙ze q
=
1 wcale nie jest rozwi ˛
azaniem wyj´sciowego równania.
Rozwi ˛
a ˙zmy równanie 2 log x
=
0.
Na mocy dobrze znanego wzoru n log x
=
log x
n
, mo ˙zemy to równanie zapisa´c w
postaci
log x
2
=
0.
Zatem x
= −
1 lub x
=
1. Jednak tylko druga z tych liczb spełnia wyj´sciowe rów-
nanie.
Po tych przykładach radz˛e jeszcze raz przeczyta´c pierwszy akapit tego poradnika. Po-
winno by´c teraz jasne, ˙ze przekształcenie równania do prostszej postaci to tylko połowa
pracy.
Równowa˙zno´s´c, a implikacja
Jednak w przypadku pierwszego przykładu: 2x
−
1
=
3 raczej nie mamy w ˛
atpliwo´sci, ˙ze
otrzymane rozwi ˛
azanie x
=
2 jest poprawne. Dlaczego tak jest? Ano dlatego, ˙ze otrzyma-
li´smy je przekształcaj ˛
ac równanie przy pomocy równowa˙zno´sci. ˙Zeby dobrze zrozumie´c o
co chodzi, zapiszmy to przekształcenie u ˙zywaj ˛
ac znaczka implikacji
2x
−
1
=
3
⇒
2x
=
4
⇒
x
=
2.
To co jest wa ˙zne, to ˙ze ka ˙zd ˛
a z tych strzałek mo ˙zna odwróci´c. ˙Zeby nie było w ˛
atpliwo´sci
zapiszmy przekształcenia odpowiadaj ˛
ace odwróceniu strzałek.
x
=
2
/
·
2
2x
=
4
/
−
1
2x
−
1
=
3.
Materiał pobrany z serwisu
2
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Powy ˙zszy rachunek jest sprawdzeniem, ˙ze rzeczywi´scie x
=
2 spełnia wyj´sciowe równanie.
Aby podkre´sli´c, ˙ze przekształcamy równanie przy pomocy równowa ˙zno´sci, zwykle zapisu-
jemy mi˛edzy kolejnymi krokami znak równowa ˙zno´sci
2x
−
1
=
3
⇐⇒
2x
=
4
⇐⇒
x
=
2.
Dla porównania, zapiszmy przekształcenia z drugiego z przykładów.
x
=
2
⇒
x
2
=
4
⇒
x
= ±
2.
Mamy tu dwie implikacje, ale tylko druga z nich jest równowa ˙zno´sci ˛
a. Implikacji
x
=
2
⇒
x
2
=
4
nie mo ˙zna odwróci´c, tzn. nie jest prawd ˛
a, ˙ze z warunku x
2
=
4 wynika, ˙ze x
=
2 (bo mo ˙ze
by´c te ˙z x
= −
2). Dokładnie z tego powodu otrzymali´smy fałszywe rozwi ˛
azanie x
= −
2.
Nierówno´sci
Na razie mówili´smy tylko o równaniach, ale w przypadku nierówno´sci sprawa jest jesz-
cze powa ˙zniejsza. Powód jest taki, ˙ze w przypadku równa ´n zwykle rozwi ˛
azanie składa si˛e
tylko z kilku warto´sci, i nawet jak nie jeste´smy pewni czy wszystkie strzałki w naszych
przekształceniach mo ˙zna odwróci´c, to ostatecznie zawsze mo ˙zemy posprawdza´c otrzyma-
ne rozwi ˛
azania (podstawiaj ˛
ac je do wyj´sciowego równania).
W przypadku nierówno´sci sprawa si˛e komplikuje, bo na ogół rozwi ˛
azaniem jest zbiór,
który ma niesko ´nczenie wiele elementów, wi˛ec sprawdzanie metod ˛
a podstawiania nie wcho-
dzi w rachub˛e.
Rozwi ˛
a ˙zmy nierówno´s´c 2
(
x
+
2
)
2
+
x
>
2
+ (
x
+
1
)
2
.
Liczymy
2x
2
+
8x
+
8
+
x
>
2
+
x
2
+
2x
+
1
x
2
+
7x
+
5
>
0
∆
=
49
−
20
=
29
x
1
=
−
7
−
√
29
2
,
x
2
=
−
7
+
√
29
2
x
∈
−
∞,
−
7
−
√
29
2
!
∪
−
7
+
√
29
2
,
+
∞
!
.
Jakie mamy teraz szanse na sprawdzenie, ˙ze liczby z otrzymanego zbioru rzeczy-
wi´scie spełniaj ˛
a wyj´sciow ˛
a nierówno´s´c? Szczerze mówi ˛
ac marne. W takiej sytuacji
nie mamy wyj´scia, musimy by´c pewni, ˙ze przekształcenia były równowa ˙zno´sciami.
Co wolno, a czego nie wolno
Maj ˛
ac na uwadze powy ˙zsze przykłady powinno by´c jasne, ˙ze bardzo wa ˙zna jest umiej˛etno´s´c
odró ˙zniania przekształce ´n, które s ˛
a równowa ˙zno´sciami od przekształce ´n, które s ˛
a tylko im-
plikacjami. Zacznijmy od przekształce ´n, które zawsze s ˛
a równowa ˙zno´sciami:
Materiał pobrany z serwisu
3
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
a) proste operacje algebraiczne na jakichkolwiek składnikach równania, w szczególno-
´sci dodawanie, mno ˙zenie, odejmowanie, dzielenie, pot˛egowanie, pierwiastkowanie,
stosowanie wzorów skróconego mno ˙zenia, wymna ˙zanie nawiasów, stosowanie to ˙zsa-
mo´sci trygonometrycznych (je ˙zeli uwa ˙zamy na zera mianowników);
b) dodanie do obu stron równania dowolnej liczby;
c) pomno ˙zenie obu stron równania przez dowoln ˛
a liczb˛e niezerow ˛
a;
d) podniesienie obu stron równania do nieparzystej pot˛egi.
Do przekształce ´n, które na ogół nie s ˛
a równowa ˙zno´sciami nale ˙z ˛
a
a) podnoszenie równania stronami do parzystej pot˛egi;
b) obustronne mno ˙zenie równania przez 0;
c) stosowanie wzorów z logarytmami (je ˙zeli jest w tych wzorach niewiadoma);
d) przykładanie do obu stron równo´sci warto´sci bezwzgl˛ednej;
Jak to zapami˛eta´c? Oczywi´scie najlepszy sposób to trening, ale ogólna rada jest nast˛epuj ˛
a-
ca: wykonuj ˛
ac jakiekolwiek przekształcenia równania, czy nierówno´sci, cały czas miejmy
z tyłu głowy pytanie, czy zastosowane przekształcenie mo ˙zna odwróci´c. Powinno by´c ja-
sne, ˙ze przy prostych przekształceniach zawsze da si˛e to zrobi´c, ale gdy podnosimy równa-
nie/nierówno´s´c do kwadratu, to powinna nam si˛e zapali´c czerwona ˙zaróweczka.
Jak z implikacji zrobi´c równowa˙zno´s´c
Mieli´smy przed chwil ˛
a ’czarn ˛
a list˛e’ złych przekształce ´n, czy to oznacza, ˙ze nie mo ˙zemy ich
u ˙zywa´c? Oczywi´scie mo ˙zemy, a bardzo cz˛esto wr˛ecz musimy. W wielu przykładach jest to
jedyny sposób na rozwi ˛
azanie równania, czy te ˙z nierówno´sci.
Problem implikacji w przekształceniach mo ˙zna rozwi ˛
aza´c na dwa sposoby.
1.
Mo ˙zna pogodzi´c si˛e z tym, ˙ze przekształcamy równanie/nierówno´s´c tylko przy pomocy
implikacji, a na koniec sprawdzi´c otrzymane rozwi ˛
azania. Metoda ta jest bardzo wygodna
w przypadku równa ´n (szczególnie logarytmicznych) – przekształcamy beztrosko równanie,
a na koniec sprawdzamy otrzymane rozwi ˛
azania.
Rozwi ˛
a ˙zmy równanie
√
x
+
1
=
x
−
1.
Musimy pozby´c si˛e pierwiastka, wi˛ec podnosimy równanie stronami do kwadratu.
x
+
1
=
x
2
−
2x
+
1
0
=
x
2
−
3x
=
x
(
x
−
3
)
x
=
0
∨
x
=
3.
Łatwo sprawdzi´c, ˙ze tylko x
=
3 jest rozwi ˛
azaniem wyj´sciowego równania.
Materiał pobrany z serwisu
4
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Rozwi ˛
a ˙zmy równanie log
x
+
1
x
−
1
+
log
x
−
1
2x
+
3
=
0.
Gdyby´smy chcieli rozwi ˛
aza´c to równanie przy pomocy równowa ˙zno´sci, to musie-
liby´smy wyznaczy´c jego dziedzin˛e, a to jest bardzo nieprzyjemne zadanie (musimy
sprawdzi´c kiedy obydwa wyra ˙zenia pod logarytmami s ˛
a dodatnie). Zamiast tego
rozwi ˛
azujemy beztrosko, a na koniec sprawdzimy otrzymane rozwi ˛
azania.
log
x
+
1
x
−
1
+
log
x
−
1
2x
+
3
=
0
log
x
+
1
x
−
1
·
x
−
1
2x
+
3
=
log 1
x
+
1
2x
+
3
=
1
x
+
1
=
2x
+
3
⇐⇒
x
= −
2.
No i sprawdzamy
log
x
+
1
x
−
1
+
log
x
−
1
2x
+
3
=
log
−
1
−
3
+
log
−
3
−
1
=
log
1
3
·
3
=
0.
2.
Powy ˙zszy sposób bywa bardzo elegancki, ale jak ju ˙z pokazali´smy w jednym z wcze´sniej-
szych przykładów, potrafi by´c całkowicie nieskuteczny w przypadku nierówno´sci. Jedyne
wyj´scie z takiej sytuacji to nało ˙zenie na poszukiwan ˛
a niewiadom ˛
a dodatkowych zało ˙ze ´n
tak, aby ’zakazane przekształcenia’ zamieniły si˛e w równowa ˙zno´sci. W kolejnych podroz-
działach omówimy ró ˙zne mo ˙zliwe sytuacje.
Dziedzina
Je ˙zeli chcemy przekształca´c równanie/nierówno´s´c przy pomocy równowa ˙zno´sci (tak aby
nie sprawdza´c otrzymanych rozwi ˛
aza ´n), musimy rozpocz ˛
a´c od ustalenia jaka jest jego dzie-
dzina. Jest to niezwykle wa ˙zny krok, co ilustruj ˛
a poni ˙zsze przykłady.
Rozwi ˛
a ˙zmy równanie
√
x
−
1
=
√
2x
−
1
Obie strony s ˛
a dodatnie, wi˛ec mo ˙zemy podnie´s´c obie strony do kwadratu (i jest to
równowa ˙zno´s´c!).
x
−
1
=
2x
−
1
⇐⇒
x
=
0.
Otrzymane rozwi ˛
azanie nie jest rozwi ˛
azaniem wyj´sciowego równania (pomimo, ˙ze
przekształcali´smy przy pomocy równowa ˙zno´sci). Powód: nie sprawdzili´smy dzie-
dziny równania.
Rozwi ˛
a ˙zmy równanie log 2x
=
log
(
x
−
1
)
.
Logarytm jest ró ˙znowarto´sciowy, wi˛ec mo ˙zemy pu´sci´c logarytmy.
2x
=
x
−
1
⇐⇒
x
= −
1.
Otrzymane rozwi ˛
azanie jest bł˛edne (chocia ˙z przekształcenia s ˛
a równowa ˙zno´scia-
mi). Powód? Nie sprawdzili´smy dziedziny równania.
Materiał pobrany z serwisu
5
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Podnoszenie do kwadratu
Zacznijmy od podnoszenia równia stronami do parzystej pot˛egi (w szczególno´sci do kwa-
dratu). Aby tego typu przekształcenie było równowa ˙zno´sci ˛
a, musimy wiedzie´c, ˙ze obie stro-
ny maj ˛
a ten sam znak ( ˙zeby z równo´sci a
2n
=
b
2n
mo ˙zna było wywnioskowa´c, ˙ze a
=
b).
Poniewa ˙z zawsze mo ˙zna zmieni´c znak obu stron równania/nierówno´sci (mno ˙z ˛
ac stronami
przez -1), wystarczy zapami˛eta´c, ˙ze podnoszenie do parzystej pot˛egi jest równowa ˙zno´sci ˛
a
je ˙zeli obie strony s ˛
a nieujemne.
Rozwi ˛
a ˙zmy raz jeszcze równanie
√
x
+
1
=
x
−
1, ale tym razem postarajmy si˛e
je przekształca´c w sposób równowa ˙zny. Zaczynamy od dziedziny: D
= h−
1,
+
∞
)
.
Chcemy podnie´s´c obie strony do kwadratu. Aby tego typu przekształcenie było
równowa ˙zno´sci ˛
a, musimy wiedzie´c, ˙ze obie strony s ˛
a nieujemne. Lewa jest zawsze
nieujemna, wi˛ec nie ma problemu. Je ˙zeli prawa strona jest ujemna, czyli dla x
<
1,
to równanie jest na pewno sprzeczne (bo lewa strona jest nieujemna). Mo ˙zemy wi˛ec
zało ˙zy´c, ˙ze x
>
1 i przy tym zało ˙zeniu mo ˙zemy ´smiało podnie´s´c równanie stronami
do kwadratu.
x
+
1
=
x
2
−
2x
+
1
0
=
x
2
−
3x
=
x
(
x
−
3
)
x
=
0
∨
x
=
3.
Pierwsze rozwi ˛
azanie nie spełnia naszego zało ˙zenia x
>
1, zatem jedyne rozwi ˛
aza-
nie to x
=
3. Koniecznie trzeba tu podkre´sli´c, ˙ze nie ma potrzeby sprawdzania, czy
x
=
3 jest rozwi ˛
azaniem wyj´sciowego równania. Po to po drodze martwili´smy si˛e
o równowa ˙zno´s´c, ˙zeby tego unikn ˛
a´c.
Rozwi ˛
a ˙zmy nierówno´s´c
|
x
+
3
| <
x.
Dziedzina to
R, wi˛ec nie ma tu problemu. Prosty sposób pozbycia si˛e warto´sci bez-
wzgl˛ednej, to podniesienie nierówno´sci stronami do kwadratu (bo
|
x
|
2
=
x
2
). W
tym celu zakładamy, ˙ze x
>
0 (dla x
<
0 nierówno´s´c jest sprzeczna).
(
x
+
3
)
2
<
x
2
6x
< −
9
⇐⇒
x
< −
3
2
.
W poł ˛
aczeniu z naszym zało ˙zeniem x
>
0 oznacza to, ˙ze nierówno´s´c jest sprzeczna.
Materiał pobrany z serwisu
6
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Tym razem rozwi ˛
a ˙zmy nierówno´s´c
|
x
+
3
| >
x.
Nierówno´s´c wygl ˛
ada bardzo podobnie jak nierówno´s´c w poprzednim przykładzie,
ale jest odrobin˛e bardziej podchwytliwa. Ponownie chcemy podnie´s´c j ˛
a stronami
do kwadratu. Teraz jednak zało ˙zenie x
>
0 wcale nie jest automatyczne i musimy
si˛e temu dokładnie przyjrze´c. Je ˙zeli x
<
0 to prawa strona jest ujemna, a lewa
niedodatnia, zatem nierówno´s´c jest spełniona. Pozostało rozpatrzy´c przypadek x
>
0, a to robimy jak poprzednio.
(
x
+
3
)
2
>
x
2
6x
> −
9
⇐⇒
x
> −
3
2
.
W poł ˛
aczeniu z zało ˙zeniem x
>
0 daje to zbiór
h
0,
+
∞
)
. Do tego zbioru musimy
doda´c jeszcze wcze´sniej otrzymany zbiór
(−
∞, 0
)
i widzimy, ˙ze nierówno´s´c jest
spełniona przez ka ˙zd ˛
a liczb˛e rzeczywist ˛
a.
Mno˙zenie stronami przez 0
Mo ˙ze nie brzmi to powa ˙znie, bo po co niby mno ˙zy´c stronami przez zero? No wi˛ec czasami
robimy to niechc ˛
acy, gdy mno ˙zymy przez wyra ˙zenie zawieraj ˛
ace niewiadom ˛
a
Rozwi ˛
a ˙zmy równanie 1
+
x
+
x
2
+
x
3
+
x
4
=
0.
Równanie wygl ˛
ada na trudne, ale jeste´smy sprytni i chcemy skorzysta´c ze wzoru
a
5
−
b
5
= (
a
−
b
)(
a
4
+
a
3
b
+
a
2
b
2
+
ab
3
+
b
4
)
.
Mno ˙zymy je wi˛ec stronami przez 1
−
x i mamy
1
−
x
5
=
0
⇐⇒
x
=
1.
Otrzymane rozwi ˛
azanie jest niepoprawne. Powód? Dla x
=
1 mno ˙zyli´smy równa-
nie stronami przez 0.
Co zrobi´c, ˙zeby to rozwi ˛
azanie było poprawne? Jak zwykle mamy dwa wyj´scia: al-
bo sprawdzamy otrzymane rozwi ˛
azanie, albo jeste´smy ostro ˙zniejsi przy mno ˙zeniu
stronami i zakładamy wtedy, ˙ze q
6=
1 (a przypadek q
=
1 sprawdzamy osobno).
Tak czy inaczej otrzymujemy poprawne uzasadnienie, ˙ze równanie jest sprzeczne.
Powy ˙zszy przykład jest do´s´c nietypowy, o wiele powszechniejsz ˛
a sytuacj ˛
a jest mno ˙zenie
przez mianowniki. W takim przypadku problem sam si˛e rozwi ˛
azuje je ˙zeli tylko wyznaczy-
my dziedzin˛e równania/nierówno´sci.
Rozwi ˛
a ˙zmy równanie
x
−
2
x
2
−
3x
+
2
=
0.
Mno ˙zymy równanie stronami przez x
2
−
3x
+
2 i mamy rozwi ˛
azanie x
=
2. Czy jest
to dobre rozwi ˛
azanie? Jak zwykle mamy dwa wyj´scia: albo sprawdzamy podsta-
wiaj ˛
ac, albo wyznaczamy dziedzin˛e równania i oka ˙ze si˛e, ˙ze mno ˙zyli´smy stronami
przez 0 (dla x
=
2). Oba sposoby daj ˛
a nam poprawne uzasadnienie, ˙ze równanie
jest sprzeczne.
Materiał pobrany z serwisu
7
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Rozwi ˛
a ˙zmy równanie
tg x
1
+
tg x
=
1.
Liczymy
sin x
cos x
1
+
sin x
cos x
=
1
sin x
cos x
+
sin x
=
1
sin x
=
cos x
+
sin x
⇐⇒
cos x
=
0.
I teraz zagadka, sk ˛
ad nam si˛e wzi˛eło fałszywe rozwi ˛
azanie? Z mno ˙zenia przez
sin x
+
cos x? Nie, to wyra ˙zenie jest niezerowe dla cos x
=
0. Fałszywe rozwi ˛
azanie
stworzyli´smy upraszczaj ˛
ac cos x w pi˛etrowych ułamkach. Wła´snie wtedy zmienili-
´smy dziedzin˛e równania mno ˙z ˛
ac licznik i mianownik du ˙zego ułamka przez 0 (dla
cos x
=
0). Jak zwykle, naprawi´c to mo ˙zemy na dwa sposoby, ale akurat tutaj o wie-
le pro´sciej jest sprawdzi´c otrzymane rozwi ˛
azanie ni ˙z sprawdza´c kiedy cos x
6=
0 i
sin x
+
cos x
6=
0.
Rozwi ˛
a ˙zmy jeszcze nierówno´s´c
x
−
2
x
−
3
>
0.
Mamy nierówno´s´c, wi˛ec chcemy zrobi´c to porz ˛
adnie, ˙zeby mie´c pewno´s´c popraw-
no´sci otrzymanych rozwi ˛
aza ´n. Dziedzina to
R
\ {
3
}
. Przy tym zało ˙zeniu mo ˙zemy
´smiało mno ˙zy´c przez mianownik (jest niezerowy). Poniewa ˙z jednak nie wiemy jaki
ma znak, to mno ˙zymy przez jego kwadrat, który z pewno´sci ˛
a jest dodatni. Dosta-
jemy zwykł ˛
a nierówno´s´c kwadratow ˛
a.
(
x
−
2
)(
x
−
3
) >
0.
Jej rozwi ˛
azaniem jest zbiór
(−
∞, 2
i ∪ h
3,
+
∞
)
. Musimy jeszcze z tego zbioru wy-
rzuci´c x
=
3, bo nie nale ˙zy do dziedziny.
Wzory z logarytmami
W przypadku stosowania wzorów z logarytmami sytuacja jest najbardziej podchwytliwa.
W zasadzie ka ˙zdy, nawet najprostszy wzór zmienia dziedzin˛e równania/nierówno´sci, wi˛ec
trzeba bardzo ostro ˙znie je stosowa´c.
Rozwi ˛
a ˙zmy nierówno´s´c log
2
x
+
log
2
(
x
+
1
) <
1.
Liczymy
log
2
x
(
x
+
1
) <
log
2
2
x
2
+
x
<
2
∆
=
1
+
8
=
9
x
1
= −
2,
x
2
=
1
x
∈ (−
2, 1
)
.
Tymczasem patrz ˛
ac na nierówno´s´c wida´c gołym okiem, ˙ze x nie mo ˙ze by´c ujem-
ny (bo jest pod logarytmem). W tym przykładzie problem mo ˙zna łatwo rozwi ˛
aza´c
licz ˛
ac na pocz ˛
atku dziedzin˛e nierówno´sci.
Materiał pobrany z serwisu
8
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Co gorsza, mo ˙zliwe jest tu całkowicie nowe zjawisko, mianowicie beztroskie przekształcanie
mo ˙ze nie tylko dodawa´c fałszywe rozwi ˛
azania, ale mo ˙ze te ˙z gubi´c prawidłowe!
Rozwi ˛
a ˙zmy równanie log x
2
=
1.
Korzystaj ˛
ac ze wzoru log x
n
=
n log x mamy
2 log x
=
1
⇐⇒
x
=
√
10.
No i? No i zgubili´smy rozwi ˛
azanie x
= −
√
10. Stało si˛e tak, bo stosuj ˛
ac wzór
log x
2
=
2 log x znacznie zmniejszyli´smy dziedzin˛e równania. Zauwa ˙zmy, ˙ze tu
nic nie pomo ˙ze wyliczenie dziedziny równania na pocz ˛
atku. Mamy w tej konkret-
nej sytuacji dwa wyj´scia: albo musimy ostro ˙zniej stosowa´c wzór log x
n
=
n log x,
albo mo ˙zemy si˛e nauczy´c wzoru log x
2n
=
2n log
|
x
|
, który jest prawdziwy o ile
tylko x
6=
0.
Rozwi ˛
a ˙zmy równanie log
x
−
1
2x
−
1
=
0.
Korzystaj ˛
ac ze wzoru na logarytm ilorazu mamy
log
(
x
−
1
) −
log
(
2x
−
1
) =
0
log
(
x
−
1
) =
log
(
2x
−
1
)
.
To równanie jest sprzeczne, bo po opuszczeniu logarytmów dostaniemy x
=
0,
które nie nale ˙zy do dziedziny tego równania. Z drugiej strony, x
=
0 jest rozwi ˛
aza-
niem wyj´sciowego równania, wi˛ec zgubili´smy je po drodze. Wyj´scia s ˛
a dwa: albo
musimy by´c ostro ˙zniejsi, albo musimy si˛e nauczy´c wzoru, log xy
=
log
|
x
| +
log
|
y
|
,
który jest prawdziwy o ile tylko xy
>
0 (co na ogół sprawdzamy wyznaczaj ˛
ac dzie-
dzin˛e równania).
Podstawianie
Podstawianie w równaniach i nierówno´sciach to jedna z najpot˛e ˙zniejszych metod ich roz-
wi ˛
azywania, jednak posługiwanie si˛e t ˛
a metod ˛
a wymaga odrobiny wprawy. Zwykle sami
musimy wymy´sli´c za co nale ˙zy podstawi´c, ˙zeby otrzyma´c prostsze równanie/nierówno´s´c.
Najpopularniejszy szkolny motyw z podstawianiem, to równania i nierówno´sci dwu-
kwadratowe. S ˛
a to równania/nierówno´sci, w których niewiadoma wyst˛epuje w wyra ˙zeniu
postaci
ax
4
+
bx
2
+
c.
Podstawiaj ˛
ac w tym równaniu t
=
x
2
sprowadzamy sytuacj˛e do zwykłego równania/nierówno´sci
kwadratowej. No prawie zwykłego, bo t
=
x
2
>
0, wi˛ec mamy mocno okrojon ˛
a dziedzin˛e.
Materiał pobrany z serwisu
9
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Rozwi ˛
a ˙zmy nierówno´s´c x
4
−
x
2
−
6
<
0.
Podstawiamy t
=
x
2
i mamy nierówno´s´c
t
2
−
t
−
6
<
0
∆
=
1
+
24
=
25
t
1
= −
2,
t
2
=
3
t
∈ (−
2, 3
)
.
Przypominamy sobie jednak, ˙ze interesuj ˛
a nas tylko nieujemne rozwi ˛
azania, wi˛ec
mamy t
∈ h
0, 3
)
. Daje to nam nierówno´s´c
x
2
<
3
⇐⇒
x
∈ (−
√
3,
√
3
)
.
Inne popularne przykłady podstawie ´n to podstawienia za funkcje trygonometryczne, wy-
kładnicze lub logarytmiczne.
Rozwi ˛
a ˙zmy równanie sin
2
x
−
cos x
+
1
=
0.
Podstawiamy t
=
cos x.
1
−
cos
2
x
−
cos x
+
1
=
0
/
· (−
1
)
t
2
+
t
−
2
=
0
∆
=
1
+
8
=
9
t
= −
2
∨
t
=
1.
Ze wzgl˛edu na podstawienie t
=
cos x dziedzin ˛
a naszego równania kwadratowego
jest przedział
h−
1, 1
i
(zbiór warto´sci funkcji cosinus), wi˛ec jedyny pierwiastek to
t
=
1. St ˛
ad cos x
=
1, czyli x
=
2kπ, k
∈
C
.
Zadania
.info
Podoba Ci się ten poradnik?
Pokaż go koleżankom i kolegom ze szkoły!
T
IPS
& T
RICKS
1
Warto pami˛eta´c, ˙ze rozwi ˛
azaniem zarówno równania jak i nierówno´sci jest zbiór. Pod tym
wzgl˛edem równania nie ró ˙zni ˛
a si˛e specjalnie od nierówno´sci. Na ogół jest tak, ˙ze rozwi ˛
aza-
niem równania jest zbiór sko ´nczony, a nierówno´sci przedział (lub suma przedziałów), ale
nie jest to ˙zadna reguła.
Rozwi ˛
a ˙zmy równanie
|
x
| =
x.
Je ˙zeli x
<
0 to równanie jest sprzeczne, a je ˙zeli x
>
0 to mamy równo´s´c x
=
x,
któr ˛
a spełnia ka ˙zda liczba rzeczywista. Zatem rozwi ˛
azaniem tego równania jest
zbiór
h
0,
+
∞
)
.
Materiał pobrany z serwisu
10
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Rozwi ˛
a ˙zmy nierówno´s´c
(
x
2
−
1
)
2
6
0.
Kwadrat liczby jest zawsze nieujemny, wi˛ec jedyna mo ˙zliwo´s´c, aby powy ˙zsza nie-
równo´s´c mogła zachodzi´c to sytuacja, gdy lewa strona jest równa 0. Mamy zatem
x
2
−
1
=
0
⇐⇒
x
= ±
1.
Tak wi˛ec rozwi ˛
azaniem tej nierówno´sci jest dwuelementowy zbiór
{−
1, 1
}
.
2
Rozwi ˛
azywanie równa ´n jest jednym z niewielu rodzajów zada ´n, gdzie do´s´c łatwo mo ˙zemy
sprawdzi´c poprawno´s´c otrzymanego rozwi ˛
azania.
Powiedzmy, ˙ze mamy na maturze rozwi ˛
aza´c równanie 4x
3
−
5x
2
−
x
+
1
=
0.
Liczymy, liczymy, dzielimy wielomiany itd. Na koniec wychodz ˛
a nam pierwiastki
x
=
1 oraz x
= ±
1
2
. No i chcemy teraz sprawdzi´c poprawno´s´c tych długa´snych
rachunków. Czytamy je jeszcze raz? Jest to jaka´s metoda, ale o wiele pro´sciej jest
podstawi´c otrzymane rozwi ˛
azania do równania i sprawdzi´c czy wychodzi zero.
Dodatkow ˛
a zalet ˛
a takiego sprawdzenia jest jego zupełna niezale ˙zno´s´c od naszych
rachunków. Zauwa ˙zenie pomyłki w rachunkach mo ˙ze by´c bardzo trudne, a spraw-
dzaj ˛
ac czy liczba jest pierwiastkiem mamy bardzo mało miejsca na pomyłk˛e.
3
Wiele razy pisali´smy wy ˙zej, ˙ze wa ˙zne jest wyznaczanie dziedziny równania/nierówno´sci.
S ˛
a jednak sytuacje, w których jest jasne, ˙ze rozwi ˛
azania b˛ed ˛
a nale ˙zały do dziedziny i w
takich przykładach wyznaczanie dziedziny bywa strat ˛
a czasu.
Rozwi ˛
a ˙zmy nierówno´s´c
x
2
+
2
x
x
2
−
x
−
20
>
0.
Poniewa ˙z licznik jest dodatni nierówno´s´c b˛edzie spełniona dokładnie wtedy, gdy
mianownik b˛edzie dodatni.
x
2
−
x
−
20
>
0
∆
=
1
+
80
=
81
x
1
= −
4,
x
2
=
5
x
∈ (−
∞,
−
4
) ∪ (
5,
+
∞
)
.
Zauwa ˙zmy, ˙ze w tym przykładzie nie miało sensu sprawdzanie kiedy mianownik
jest ró ˙zny od zera, bo sprawdzali´smy znacznie mocniejszy warunek, ˙ze mianownik
jest dodatni. Skoro jest dodatni to nie mo ˙ze by´c równy zero.
Materiał pobrany z serwisu
11
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Rozwi ˛
a ˙zmy nierówno´s´c log
(
x
2
−
21
) >
2.
Nierówno´s´c jest równowa ˙zna nierówno´sci
log
(
x
2
−
21
) >
log 10
2
x
2
−
21
>
100
⇐⇒
x
∈ (
∞,
−
11
) ∪ (
11,
+
∞
)
.
Zauwa ˙zmy, ˙ze tak naprawd˛e rozwi ˛
azywali´smy nierówno´s´c x
2
−
21
>
100. A skoro
to wyra ˙zenie jest wi˛eksze od 100, to oczywi´scie jest dodatnie. W takiej sytuacji nie
jest nam do niczego potrzebna dokładna dziedzina nierówno´sci.
4
Nawet, gdy dziedzina jest wa ˙zna, to cz˛esto nie musimy jej dokładnie wylicza´c, a wystarczy
zapisa´c j ˛
a w postaci warunku, przy pomocy którego da si˛e sprawdzi´c otrzymane rozwi ˛
aza-
nia.
Rozwi ˛
a ˙zmy równanie
2 tg x
+
1
3 tg x
+
2
=
1.
W tym przykładzie dokładne wyliczenie dziedziny byłoby trudniejsze ni ˙z samo
rozwi ˛
azanie równania. Dlatego zapiszmy krótko, ˙ze musi by´c cos x
6=
0 ( ˙zeby tan-
gens miał sens), oraz tg x
6= −
2
3
( ˙zeby w mianowniku nie było 0). Teraz rozwi ˛
azu-
jemy równanie
2 tg x
+
1
=
3 tg x
+
2
−
1
=
tg x
⇐⇒
x
= −
π
4
+
kπ, k
∈
C
.
Pomimo, ˙ze nie wyliczyli´smy dziedziny dokładnie (tzn. jaki jest to zbiór), to widzi-
my, ˙ze otrzymane rozwi ˛
azanie do niej nale ˙zy (skoro tangens jest równy -1, to nie
mo ˙ze by´c równy
−
2
3
).
5
Tak naprawd˛e s ˛
a inne ’niebezpieczne’ operacje na równaniach, o których jeszcze nie wspo-
mnieli´smy. Pierwsza z nich to dzielenie przez 0. Oczywi´scie wszyscy wiemy, ˙ze nie wolno
dzieli´c przez 0, ale czasami to 0 jest pewnym wyra ˙zeniem z parametrem i mo ˙zna go nie za-
uwa ˙zy´c. Generalnie powinni´smy sobie wyrobi´c nawyk, ˙ze zawsze jak dzielimy równanie,
to sprawdzamy, czy to, przez co dzielimy, nie jest przypadkiem równe 0.
Materiał pobrany z serwisu
12
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Rozwi ˛
a ˙zmy równanie (z parametrem)
m
+
1
m
x
−
1
=
m.
Oczywi´scie musi by´c m
6=
0. Przekształcamy (mno ˙zymy obie strony przez
m
m
+
1
)
x
−
m
m
+
1
=
m
2
m
+
1
x
=
m
2
+
m
m
+
1
=
m.
No i oczywi´scie popełnili´smy po drodze gaf˛e, bo dzielili´smy przez 0 (mno ˙z ˛
ac przez
wyra ˙zenie z m
+
1 w mianowniku). Przypadek m
= −
1 musimy rozpatrzy´c osobno
i jak si˛e oka ˙ze otrzymamy wtedy równo´s´c 0
=
0, która jest spełniona przez ka ˙zd ˛
a
liczb˛e rzeczywist ˛
a.
Inne niebezpieczne operacje to logarytmowanie lub pierwiastkowanie stronami. W zasadzie
s ˛
a to równowa ˙zno´sci, o ile tylko wiemy, ˙ze obie strony równania/nierówno´sci s ˛
a dodatnie.
Rozwi ˛
a ˙zmy nierówno´s´c x
2
>
x.
Logarytmujemy nierówno´s´c stronami (logarytmem dziesi˛etnym)
log x
2
>
log x
2 log x
>
log x
log x
>
0
⇐⇒
x
>
1.
No i zgubili´smy cały przedział rozwi ˛
aza ´n
(−
∞, 0
)
. Wszystko przez to, ˙ze logaryt-
mowali´smy x, który wcale nie musiał by´c dodatni. Aby naprawi´c nasze rozwi ˛
aza-
nie, wystarczy na pocz ˛
atku dopisa´c, ˙ze dla x
<
0 nierówno´s´c jest spełniona (bo
lewa strona jest dodatnia, a prawa ujemna), a dla x
=
0 sprzeczna.
6
Omawiaj ˛
ac ró ˙zne niebezpiecze ´nstwa zwi ˛
azane ze wzorami z logarytmami, nie wspomnie-
li´smy ani razu o najmniej lubianym wzorze, mianowicie o wzorze na zmian˛e podstawy
logarytmu.
log
a
x
=
log
b
x
log
b
a
.
Jest ku temu dobry powód: obie strony tego wzoru (jako funkcje zmiennej x) maj ˛
a taka sam ˛
a
dziedzin˛e. W tym sensie jest to najporz ˛
adniejszy wzór z logarytmami i mo ˙zemy go u ˙zywa´c
zupełnie bezkarnie (przynajmniej dopóki nie zacznie si˛e pojawia´c niewiadoma w podstawie
logarytmu).
7
Czasami stosujemy w przekształceniach wzory, które s ˛
a obarczone dodatkowymi ogranicze-
niami. Takie ograniczenia na ogół zmniejszaj ˛
a dziedzin˛e rozwa ˙zanego równania/nierówno´sci.
Typowe przykłady to wzory Viète’a czy te ˙z wzór na sum˛e kolejnych wyrazów ci ˛
agu geome-
trycznego (te ˙z szeregu geometrycznego).
Materiał pobrany z serwisu
13
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Rozwi ˛
a ˙zmy równanie 1
+
x
+
x
2
+
x
3
+ · · · =
4x
2
−
8x
−
1
4x
−
4
.
Z lewej strony mamy sum˛e niesko ´nczonego ci ˛
agu geometrycznego. Ze wzoru na
tak ˛
a sum˛e mamy
1
x
−
1
=
4x
2
−
8x
−
1
4x
−
4
/
· (
4x
−
4
)
4
=
4x
2
−
8x
−
1
4x
2
−
8x
−
5
=
0
∆
=
64
+
80
=
144
x
=
8
−
12
8
= −
1
2
∨
x
=
8
+
12
8
=
5
2
.
Poniewa ˙z szereg geometryczny jest zbie ˙zny tylko dla 1
> |
q
| = |
x
|
, tylko pierwsze
z tych rozwi ˛
aza ´n jest poprawne.
8
Nie pisali´smy do tej pory o tym wyra´znie, ale przekształcaj ˛
ac nierówno´sci musimy uwa ˙za´c
przez co je mno ˙zymy. Mno ˙z ˛
ac przez liczby ujemne musimy zmieni´c znak.
Niech f
(
x
) =
x
−
1
(
x
+
1
)(
x
−
3
)(
x
+
5
)
. Równanie f
(
x
) =
0 mo ˙zemy bezkarnie pomno ˙zy´c
przez mianownik i otrzymujemy x
=
1. Na koniec sprawdzamy tylko, czy nie było
to przypadkiem zero mianownika.
Z nierówno´sci ˛
a f
(
x
) >
0 sprawa jest o wiele bardziej skomplikowana, bo nie wie-
my jaki mianownik ma znak (oczywi´scie zale ˙zy on od warto´sci x). Jedyne co mo-
˙zemy zrobi´c, to pomno ˙zy´c przez kwadrat mianownika i sprowadzi´c t˛e nierówno´s´c
do nierówno´sci wielomianowej
(
x
−
1
)(
x
+
1
)(
x
−
3
)(
x
+
5
) >
0.
9
Podstawiaj ˛
ac w równaniach nale ˙zy zachowa´c odrobin˛e rozs ˛
adku. Trzeba pami˛eta´c, ˙zeby
podstawienie nie zmniejszało nam dziedziny wyj´sciowego równania.
Rozwi ˛
a ˙zmy równanie x
2
=
5.
Podstawiamy x
=
√
t i mamy równanie t
=
5, zatem x
=
√
5. Gdzie zgubili´smy
drugie rozwi ˛
azanie? Podstawiaj ˛
ac x
=
√
t zmniejszyli´smy dziedzin˛e wyj´sciowego
równania do zbioru
h
0,
+
∞
)
.
10
Szczególnego komentarza wymagaj ˛
a zadania na dowodzenie równo´sci i nierówno´sci. W ta-
kim przypadku metoda ’beztroskiego przekształcania’, a na koniec sprawdzenia wyniku nie
Materiał pobrany z serwisu
14
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
wchodzi w rachub˛e i musimy stara´c si˛e u ˙zywa´c tylko przekształce ´n ró ˙znowarto´sciowych.
Co wi˛ecej, warto na koniec napisa´c, ˙ze wszystkie przekształcenia były równowa ˙zno´sciami i
mo ˙zna je przepisa´c od ko ´nca. Mo ˙zna te ˙z je przepisa´c od ko ´nca – cz˛esto tak wła´snie zapisuje
si˛e dowody w ksi ˛
a ˙zkach matematycznych i to jest powód, dla którego niewiele mo ˙zna z
tych dowodów zrozumie´c.
Udowodnijmy nierówno´s´c a
+
b
>
2
√
ab.
Przekształcamy (zaczynamy od podniesienia stronami do kwadratu).
a
2
+
2ab
+
b
2
>
4ab
a
2
−
2ab
+
b
2
>
0
(
a
−
b
)
2
>
0.
Otrzymali´smy nierówno´s´c prawdziw ˛
a, co ko ´nczy dowód. Naprawd˛e? To podstaw-
my w udowodnionej nierówno´sci a
=
b
= −
1. Zauwa ˙zmy, ˙ze problem nie polega
tu na dziedzinie nierówno´sci! Problem polega na tym, ˙ze uzasadnili´smy tylko im-
plikacj˛e
(
a
+
b
>
2
√
ab
)
⇒
((
a
−
b
)
2
>
0
)
,
a do dowodu potrzebna nam jest dokładnie implikacja przeciwna (musimy wy-
startowa´c od czego´s oczywistego i doj´s´c do tego, co mamy udowodni´c). Gdy za-
czniemy odwraca´c powy ˙zsze przekształcenia, b˛edzie jasne, ˙ze pewnym momencie
rozumowanie si˛e zacina.
Tym razem udowodnijmy nierówno´s´c
|
a
| + |
b
| >
2
p
|
ab
|
, która jak si˛e oka ˙ze jest
prawdziwa.
Jest jasne, ˙ze nie ma problemu z dziedzin ˛
a oraz obie strony nierówno´sci s ˛
a dodat-
nie, wi˛ec mo ˙zemy nierówno´s´c podnie´s´c stronami do kwadratu (i jest to równowa ˙z-
no´s´c!).
a
2
+
2
|
ab
| +
b
2
>
4
|
ab
|
a
2
−
2
|
ab
| +
b
2
>
0
(|
a
| − |
b
|)
2
>
0.
Przekształcenia były równowa ˙zno´sciami, wi˛ec jest to kompletny dowód. Mo ˙zemy
go zapisa´c od ko ´nca:
(|
a
| − |
b
|)
2
>
0
⇒
(|
a
| + |
b
|)
2
>
4
|
ab
|
⇒
|
a
| + |
b
| >
2
q
|
ab
|
.
11
Inny, bardzo elegancki sposób dowodzenia nierówno´sci to dowód nie wprost.
Materiał pobrany z serwisu
15
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Udowodnijmy, ˙ze
1
x
+
x
>
2 dla x
>
0.
Załó ˙zmy przeciwnie, ˙ze
1
x
+
x
<
2. Mamy wtedy
1
x
+
x
<
2
/
·
x
1
+
x
2
<
2x
(
x
−
1
)
2
<
0.
Otrzymali´smy sprzeczno´s´c, co dowodzi wyj´sciowej nierówno´sci. Zauwa ˙zmy, ˙ze
jest to bardzo elegancka metoda: nie ma potrzeby odwracania ˙zadnych strzałek,
wi˛ec nie trzeba si˛e martwi´c równowa ˙zno´sciami.
12
Popularny motyw wielu trudniejszych zada ´n z równaniami i nierówno´sciami to suma nie-
ujemnych składników równa 0. W takiej sytuacji wszystkie składniki musz ˛
a by´c zerami.
Uzasadnijmy, ˙ze je ˙zeli a
2
+
b
2
+
c
2
=
ab
+
bc
+
ca to a
=
b
=
c.
Przenosimy wszystko na lew ˛
a stron˛e i mno ˙zymy stronami przez 2.
(
a
2
−
2ab
+
b
2
) + (
b
2
−
2bc
+
c
2
) + (
c
2
−
2ca
+
a
2
) =
0
(
a
−
b
)
2
+ (
b
−
c
)
2
+ (
c
−
a
)
2
=
0.
Liczby z lewej strony s ˛
a nieujemne, zatem musz ˛
a by´c zerami. St ˛
ad a
=
b
=
c.
Rozwi ˛
a ˙zmy nierówno´s´c x
2
6
log cos x.
Poniewa ˙z cos x
6
1, prawa strona nierówno´sci jest niedodatnia. Lewa natomiast
jest nieujemna, zatem obie musz ˛
a by´c równe 0. Mamy st ˛
ad jedyne rozwi ˛
azanie:
x
=
0.
13
Ile pierwiastków ma równanie
(
x
−
1
)
2
=
0?
No wi˛ec chyba 1. Chyba, bo mówi ˛
ac o pierwiastkach wielomianów bardzo cz˛esto wpro-
wadza si˛e poj˛ecie pierwiastków wielokrotnych i w my´sl tej terminologii x
=
1 jest pier-
wiastkiem dwukrotnym tego równania. Co gorsza, z pewnych powodów, czasami wygod-
nie jest pierwiastek dwukrotny traktowa´c jak dwa równe pierwiastki. Dokładnie z tego po-
wodu ( ˙zeby unikn ˛
a´c nieporozumie ´n) w tre´sciach zada ´n cz˛esto wyst˛epuje potworek j˛ezyko-
wy ’dwa ró ˙zne rozwi ˛
azania’. Skoro rozwi ˛
azania s ˛
a dwa, to jak mog ˛
a by´c równe? Mog ˛
a, w
opisanym przed chwil ˛
a sensie.
Materiał pobrany z serwisu
16
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Typowy przykład, gdy wygodnie jest my´sle´c o dwóch równych rozwi ˛
azaniach to
wzory Viète’a.
x
1
+
x
2
= −
b
a
,
x
1
x
2
=
c
a
dla rozwi ˛
aza ´n równania kwadratowego ax
2
+
bx
+
c
=
0. Przy opisanej konwen-
cji pozostaj ˛
a one prawdziwe równie ˙z w przypadku gdy
∆
=
0, czyli przypadku
pierwiastka podwójnego (a wi˛ec dwóch równych :)).
14
Czytaj ˛
ac cały ten poradnik z ró ˙znymi radami dotycz ˛
acymi przekształcania równa ´n, mo ˙zna
odnie´s´c wa ˙znie, ˙ze panuje w tym niezły bałagan. Tego typu wra ˙zenie w matematyce jest
sygnałem, ˙ze posługujemy si˛e niewła´sciwym j˛ezykiem. A jaki jest wła´sciwy j˛ezyk? – jest to
j˛ezyk funkcji.
Nale ˙zy my´sle´c tak: mamy równo´s´c x
=
y. Przekształcenie tej równo´sci polega na zastoso-
waniu do obu stron pewnej funkcji f , czyli napisaniu równo´sci f
(
x
) =
f
(
y
)
. Oczywi´scie
mo ˙zemy to zrobi´c o ile x
=
y nale ˙zy do dziedziny funkcji f (co mo ˙ze nie by´c oczywiste, gdy
f
(
x
) =
√
x lub f
(
x
) =
log x). Takie przekształcenie daje nam implikacje:
(
x
=
y
)
⇒
(
f
(
x
) =
f
(
y
))
.
Pytanie czy prawdziwa jest te ˙z implikacja odwrotna
(
f
(
x
) =
f
(
y
))
⇒
x
=
y?
(Która jest nam potrzebna, je ˙zeli chcemy mie´c pewno´s´c otrzymanych rozwi ˛
aza ´n). To zale ˙zy
od funkcji f , a dokładniej, napisana przed chwil ˛
a implikacja to definicja ró˙znowarto´sciowo-
´sci
funkcji f . Przekształcenie jest wi˛ec równowa ˙zno´sci ˛
a dokładnie wtedy, gdy funkcja f jest
ró ˙znowarto´sciowa.
Zobaczmy jak j˛ezyk funkcji wygl ˛
ada w przypadku konkretnych przekształce ´n:
a) Dodawanie liczby a do obu stron równania: mamy f
(
x
) =
x
+
a. Funkcja ta
jest zawsze ró ˙znowarto´sciowa.
b) Mno ˙zenie obu stron równania przez liczb˛e a: mamy f
(
x
) =
ax. Funkcja jest
ró ˙znowarto´sciowa o ile tylko a
6=
0.
c) Podnoszenie równia stronami do kwadratu: mamy f
(
x
) =
x
2
. Aby mie´c funk-
cj˛e ró ˙znowarto´sciow ˛
a musimy dziedzin˛e funkcji obci ˛
a´c do jednego z prze-
działów
(−
∞, 0
i
lub
h
0,
+
∞
)
.
I tak dalej. Wida´c, ˙ze j˛ezyk funkcji bardzo porz ˛
adkuje t˛e zagmatwan ˛
a sytuacj˛e.
Materiał pobrany z serwisu
17
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
15
Poprzedni tip dobrze wyja´sniał problem przekształcania równa ´n. A jak jest z nierówno´scia-
mi?
Podobnie, tylko ˙ze w przypadku nierówno´sci interesuj ˛
a nas implikacje
(
x
>
y
)
⇒
(
f
(
x
) >
f
(
y
))
(
x
>
y
)
⇒
(
f
(
x
) <
f
(
y
))
oraz implikacje odwrotne. Wybór, któr ˛
a z powy ˙zszych implikacji mamy zastosowa´c prze-
kształcaj ˛
ac nierówno´s´c to dokładnie pytanie o to, czy funkcja f jest rosn ˛
aca, czy malej ˛
aca.
W obu przypadkach implikacje odwrotne mamy za darmo, bo funkcja monotoniczna jest
ró ˙znowarto´sciowa.
Prze´sled´zmy ró ˙zne przykłady przekształce ´n nierówno´sci.
a) Dodawanie liczby a do obu stron nierówno´sci: mamy f
(
x
) =
x
+
a. Funkcja
ta jest zawsze rosn ˛
aca (nie zmieniamy znaku nierówno´sci).
b) Mno ˙zenie obu stron nierówno´sci przez liczb˛e a: mamy f
(
x
) =
ax. Funkcja jest
rosn ˛
aca dla a
>
0 (nie zmieniamy znaku) oraz malej ˛
aca dla a
<
0 zmieniamy
znak.
c) Podnoszenie nierówno´sci stronami do kwadratu: mamy f
(
x
) =
x
2
. Funk-
cja malej ˛
aca na przedziale
(−
∞, 0
i
(zatem zmieniamy znak, gdy obie strony
nierówno´sci s ˛
a ujemne) oraz rosn ˛
aca na przedziale
h
0,
+
∞
)
(nie zmieniamy
znaku, gdy obie strony s ˛
a dodatnie).
d) Logarytmowanie nierówno´sci stronami: mamy f
(
x
) =
log
a
x. Funkcja jest
malej ˛
aca dla a
<
1 oraz rosn ˛
aca dla a
>
1.
i tak dalej.
16
Czasami, szczególnie w zadaniach konkursowych, mamy podan ˛
a dodatkow ˛
a informacj˛e
ograniczaj ˛
ac ˛
a dziedzin˛e rozwi ˛
azywanego równania. Typowy przykład to tzw. równania
diofantyczne, czyli równania , w których niewiadome s ˛
a liczbami całkowitymi (lub wy-
miernymi).
Wyznaczmy wszystkie liczby całkowite spełniaj ˛
ace równanie xy
=
x
+
y.
Mo ˙zemy to równanie zapisa´c w postaci:
xy
−
x
−
y
+
1
=
1
(
x
−
1
)(
y
−
1
) =
1.
Skoro iloczyn dwóch liczb całkowitych ma dawa´c 1, to obie musz ˛
a by´c równe -1
lub 1. Otrzymujemy st ˛
ad dwa rozwi ˛
azania
(
x, y
) = (
0, 0
)
lub
(
x, y
) = (
2, 2
)
.
Zauwa ˙zmy, ˙ze ograniczenie dziedziny równania do liczb całkowitych było niezwy-
kle istotne. Bez tego zało ˙zenia łatwo znale´z´c niesko ´nczenie wiele rozwi ˛
aza ´n: wy-
starczy podstawi´c jakikolwiek y i wyliczy´c x.
Materiał pobrany z serwisu
18
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
17
Mo ˙zna te ˙z zmienia´c dziedzin˛e równania w druga stron˛e, na wi˛ekszy zbiór. A jaki zbiór jest
wi˛ekszy ni ˙z liczby rzeczywiste? W szkole si˛e o tym nie uczy, ale nast˛epny w kolejce to zbiór
liczb zespolonych. W´sród tych liczb jest jedna bardzo specjalna liczba oznaczana literk ˛
a i.
Ma ona t˛e własno´s´c, ˙ze i
2
= −
1. Jest jeszcze wiele innych rodzajów liczb: kwaterniony,
oktaniony, liczby Cayleya, liczby hiperrzeczywiste, liczby porz ˛
adkowe.
Pod wieloma wzgl˛edami matematyka bardzo si˛e upraszcza, gdy przechodzimy od liczb
rzeczywistych do zespolonych. Np. ka ˙zdy wielomian stopnia n ma dokładnie n pierwiast-
ków zespolonych (licz ˛
ac z krotno´sciami). Pozostaj ˛
ac w ´swiecie liczb rzeczywistych widzimy
tylko te z nich, które s ˛
a rzeczywiste. W tym sensie mamy bardzo ograniczone horyzonty.
Jakie s ˛
a rozwi ˛
azania zespolone równania x
3
=
1?
Je ˙zeli ju ˙z uwierzymy, ˙ze jest liczba o własno´sci i
2
= −
1 to pierwiastkami tymi s ˛
a
x
=
1 oraz x
= −
1
2
±
√
3
2
i. Trudno uwierzy´c? To sprawd´zmy!
−
1
2
−
√
3
2
i
!
3
= −
1
8
+
3
·
1
4
·
√
3
2
i
+
3
·
1
2
·
3
4
i
2
+
3
√
3
8
i
3
!
= −
1
8
+
3
√
3
8
i
−
9
8
−
3
√
3
8
i
!
=
1.
18
Pewnie nigdy nie zwrócili´scie na to uwagi, ale znaczek równo´sci ’=’ miewa ró ˙zne znaczenia
w zale ˙zno´sci od kontekstu w jakim jest u ˙zyty. Np. pisz ˛
ac wzór
(
x
+
1
)
2
=
x
2
+
2x
+
1
mamy na my´sli równo´s´c spełnion ˛
a przez ka˙zd ˛
a liczb˛e x
(a wi˛ec to ˙zsamo´s´c). Je ˙zeli natomiast
napiszemy
(
x
+
2
)
2
= −
x
2
+
3,
to ju ˙z zaczynamy to traktowa´c jak równanie, czyli raczej my´slimy, ˙ze istnieje liczba (roz-
wi ˛
azanie tego równania), która sprawia, ˙ze ta równo´s´c jest prawdziwa. Gdyby´smy chcieli te
nasze odczucia sprecyzowa´c, to by´smy musieli z przodu tych równo´sci dopisa´c kwantyfika-
tory
, w pierwszym przypadku ogólny (dla ka˙zdego x), a w drugim przypadku szczegółowy
(istnieje x). Poniewa ˙z jednak logika wyparowała ze szkoły, nie b˛edziemy tego tematu dr ˛
a ˙zy´c.
Zamiast tego, mo ˙zemy my´sle´c jeszcze inaczej, mianowicie ˙ze pierwsza równo´s´c to rów-
no´s´c funkcji (czyli jest spełniona dla wszystkich x), a druga równo´s´c to równo´s´c dwóch liczb
(dla pewnej warto´sci x). Czasami u ˙zywa si˛e nawet specjalnego znaczka ’
≡
’ na podkre´slenie,
˙ze mamy do czynienia z równo´sci ˛
a funkcji. Zapis f
(
x
) ≡
g
(
x
)
czyta si˛e f jest to˙zsama z g
i oznacza on równo´s´c dwóch funkcji f i g. Nie jest to jednak zbyt popularna notacja (cho´c
bywa bardzo wygodna), wi˛ec traktujecie to raczej jak ciekawostk˛e.
Materiał pobrany z serwisu
19
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z równo´sci
ax
+
3
=
x
+
b
wynika, ˙ze x
=
b
−
3
a
−
1
(o ile a
6=
1), a z to ˙zsamo´sci (równo´sci funkcji)
ax
+
3
≡
x
+
b
wynika, ˙ze a
=
1 i b
=
3 (wielomiany s ˛
a równe gdy maj ˛
a równe współczynniki).
19
Znaczek to ˙zsamo´sci ’
≡
’ jest u ˙zywany jeszcze w innym kontek´scie, mianowicie je ˙zeli liczby
a, b, c s ˛
a całkowite to zapis
a
≡
b
(
mod c
)
oznacza, ˙ze liczby a i b daj ˛
a t˛e sam ˛
a reszt˛e przy dzieleniu przez c (równo´s´c t˛e czytamy a
przystaje do b modulo c).
U ˙zywaj ˛
ac opisanej notacji zapisy
a
≡
1
(
mod 2
)
b
≡
0
(
mod 2
)
c
≡
0
(
mod 10
)
d
≡
2
(
mod 5
)
e
≡
f
(
mod 2
)
oznaczaj ˛
a kolejno: a jest liczb ˛
a nieparzyst ˛
a, b jest liczb ˛
a parzyst ˛
a, c dzieli si˛e przez
10, d daje reszt˛e 2 przy dzieleniu przez 5 (czyli d
−
2 dzieli si˛e przez 5), e i f s ˛
a tej
samej parzysto´sci (obie parzyste lub obie nieparzyste).
Tego rodzaju równo´sci nosz ˛
a nazw˛e kongruencji i bywaj ˛
a bardzo u ˙zyteczne przy badaniu
podzielno´sci liczb całkowitych. Mo ˙zna pokaza´c, ˙ze kongruencje, podobnie jak zwykłe rów-
no´sci, mo ˙zna do siebie dodawa´c oraz przez siebie mno ˙zy´c.
Uzasadnijmy, ˙ze kwadrat liczby całkowitej zawsze daje reszt˛e 0 lub 1 przy dzieleniu
przez 4 (a wi˛ec nigdy nie daje reszty 2, ani 3).
Je ˙zeli n
=
2k jest liczb ˛
a parzyst ˛
a, to n
2
=
4k dzieli si˛e przez 4. Je ˙zeli natomiast
n
=
2k
+
1 jest liczb ˛
a nieparzyst ˛
a to mamy (liczymy modulo 4)
n
2
≡ (
2k
+
1
)
2
≡
4k
2
+
4k
+
1
≡
0
+
0
+
1
≡
1
(
mod 4
)
.
Zatem reszta w tym przypadku jest równa 1.
Jaka jest reszta z dzielenia przez 3 liczby 2
53
?
Liczymy modulo 3.
2
53
≡
2
·
2
52
≡
2
·
2
2
26
≡
2
·
4
26
≡
2
·
1
26
≡
2
(
mod 3
)
.
Zatem 2
53
daje reszt˛e 2 przy dzieleniu przez 3 (zatem 2
53
−
2 dzieli si˛e przez 3).
Materiał pobrany z serwisu
20
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
20
W zadaniach szkolnych na ogół mamy do czynienia z równaniami i nierówno´sciami licz-
bowymi
, co oznacza, ˙ze poszukiwane niewiadome maj ˛
a by´c liczbami. W ogólno´sci jednak
rozwa ˙za si˛e wiele innych równa ´n, w których niewiadome mog ˛
a by´c przeró ˙znymi obiektami,
np. wektorami (równania wektorowe), funkcjami (równania funkcyjne, równania ró ˙znicz-
kowe, równania całkowe), macierzami (równania macierzowe), zmiennymi losowymi/rozkładami
prawdopodobie ´nstwa (równania stochastyczne) itd.
Wyznaczmy wszystkie funkcje rzeczywiste spełniaj ˛
ace dla x, y
∈
R warunek f
(
x
+
y
)
2
>
f
(
x
)
2
+
f
(
y
)
2
.
Podstawiaj ˛
ac w tej równo´sci x
=
y
=
0 mamy
f
(
0
)
2
>
2 f
(
0
)
2
⇒
0
>
f
(
0
)
2
⇒
f
(
0
) =
0.
Je ˙zeli teraz podstawimy y
= −
x to mamy
f
(
0
)
2
>
f
(
x
)
2
+
f
(−
x
)
2
⇒
0
=
f
(
0
)
2
>
f
(
x
)
2
+
f
(−
x
)
2
.
Poniewa ˙z suma kwadratów mo ˙ze by´c niedodatnia tylko wtedy, gdy składniki s ˛
a
zerowe, otrzymujemy st ˛
ad f
(
x
) =
0.
Rozwi ˛
azania równania funkcyjnego f
(−
x
) = −
f
(
x
)
nazywamy funkcjami niepa-
rzystymi i oczywi´scie jest ich mnóstwo.
21
Bardzo silnym narz˛edziem przy analizie równa ´n i nierówno´sci s ˛
a pochodne.
Sprawd´zmy ile rozwi ˛
aza ´n ma równanie 3x
4
−
2x
3
−
log 2
=
0.
Równanie nie wygl ˛
ada zbyt atrakcyjnie (na pewno nie ma pierwiastków wymier-
nych), ale nie mamy go rozwi ˛
azywa´c, tylko sprawdzi´c ile ma rozwi ˛
aza ´n. Rozwa ˙z-
my funkcj˛e
f
(
x
) =
3x
4
−
2x
3
−
log 2.
Liczymy jej pochodn ˛
a
f
0
(
x
) =
12x
3
−
6x
2
=
6x
2
(
2x
−
1
)
.
Wida´c, ˙ze w punkcie x
=
0 mamy punkt przegi˛ecia (pochodna nie zmienia znaku),
a w punkcie x
=
1
2
minimum lokalne (pochodna zmienia znak z
−
na
+
). Zatem w
punkcie x
=
1
2
funkcja ma minimum globalne. Sprawd´zmy ile ono wynosi
f
1
2
=
3
16
−
1
4
−
log 2
=
3
−
4
16
−
log 2
<
0.
Zatem dane równanie b˛edzie miało dokładnie dwa rozwi ˛
azania: jedno na lewo od
x
=
1
2
, a drugie na prawo (bo funkcja jest malej ˛
aca na lewo od x
=
1
2
i rosn ˛
aca na
prawo od tego punktu.)
Materiał pobrany z serwisu
21
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Udowodnijmy, ˙ze dla x
>
0 prawdziwa jest nierówno´s´c: x
>
1
+
ln x.
Rozwa ˙zmy funkcj˛e
f
(
x
) =
x
−
1
−
ln x.
Liczymy jej pochodn ˛
a
f
0
(
x
) =
1
−
1
x
=
x
−
1
x
.
Wida´c, ˙ze pochodna przechodz ˛
ac przez x
=
1 zmienia znak z
−
na
+
, wi˛ec w
punkcie tym jest minimum lokalne funkcji f . Jest wi˛ec to jednocze´snie minimum
globalne (bo na lewo od tego punktu funkcja jest malej ˛
aca, a na prawo rosn ˛
aca).
Liczymy ile ono wynosi
f
(
1
) =
1
−
1
−
ln 1
=
0.
Zatem f
(
x
) >
0.
22
W zastosowaniach praktycznych na ogół nie s ˛
a nam potrzebne dokładne rozwi ˛
azania rów-
na ´n, ale zazwyczaj wystarcza nam algorytm otrzymywania rozwi ˛
aza ´n z dowoln ˛
a dokład-
no´sci ˛
a. Jest wiele bardzo efektywnych takich algorytmów, opiszemy jeden z najprostszych.
Powiedzmy, ˙ze chcemy wyliczy´c bardzo dokładn ˛
a warto´s´c pierwiastka równania
0
=
f
(
x
) =
x
5
−
x
−
7 (równanie to ma tylko jeden pierwiastek).
W pierwszym kroku szukamy jakiegokolwiek przedziału, w którym jest szuka-
ny przez nas pierwiastek. Poniewa ˙z f
(
1
) = −
7 i f
(
2
) =
23, za taki przedział
mo ˙zemy wzi ˛
a´c
h
1, 2
i
. W takim razie znamy ju ˙z pierwiastek z dokładno´sci ˛
a do 1
(jest mi˛edzy 1 a 2). W nast˛epnym kroku zast˛epujemy jeden z ko ´nców przedzia-
łu jego ´srodkiem. Który koniec? To zale ˙zy od warto´sci funkcji w ´srodku. Policzmy,
f
(
1, 5
) ≈ −
0, 1
<
0. Zatem pierwiastek jest w przedziale
h
1, 5; 2
i
. W ten sposób zna-
my ju ˙z pierwiastek z dokładno´sci ˛
a do
1
2
. I tak dalej. Poniewa ˙z funkcja wykładnicza
1
2
n
niezwykle szybko maleje, ju ˙z po kilku krokach otrzymamy bardzo dokładne
przybli ˙zenie poszukiwanego pierwiastka.
Materiał pobrany z serwisu
22
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Arkusz zadan rozwiazywanie rownan i nierowno (2)
2 Uklad rownan i nierownosci 4 rozwiazania zadanid 20878 (2)
2 Układ równań i nierówności 4 rozwiązania zadań
2 Układ równań i nierówności 3 przykładowe rozwiązania
2 Układ równań i nierówności 3 przykładowe rozwiązania
05 Rownania i nierownosci
Zestaw3 równania i nierówności
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
06 Rownania i nierownosci odp
2 Układ równań i nierówności 2 zadania
Zestaw Równania i nierówności
Simulink i jego zastosowanie do rozwiązywania równań nieliniowych
METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH , RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE JEDNORODNE WZGLĘDEM X i Y
matematyka, Sprawdzian równania i nierówności, Sprawdzian równania i nierówności
3 Metody numeryczne rozwiązywania równań algebraicznych
lab6 rozwiazywanie rownan id 26 Nieznany
matma rozszerzenie Równania, nierówności, układy równań
więcej podobnych podstron