Parę uwag na temat równań falowodów

Igor Nowicki

27 lipca 2013

1

Wstęp

Rozważmy równania Maxwella w materii przy założeniu zerowej gęstości ładunków i prądów swobod-
nych:

div

E =

0

(1)

div

H =

0

(2)

rot

E =

−µ

∂H

∂t

(3)

rot

H =

ε

∂E

∂t

(4)

Standardowa metoda wyznaczania równań falowodu prostokątnego zakłada przekształcenie równań

Maxwella do równania Helmholtza z wykorzystaniem tożsamości laplasjanu:

∇

2

f

=

grad div f − rot rot f

(5)

(tutaj skorzystamy z równań 1 i 2, co bardzo uprości równanie 5):

−rot rot E = ∇

2

E = µε

∂

2

E

∂t

2

(6)

−rot rot H = ∇

2

H = µε

∂

2

H

∂t

2

(7)

Narzucam następujące warunki falowodu: fala rozchodzi się w kierunku z-owej składowej układu

współrzędnych, o zwrocie dodatnim. Przewiduję zatem następującą formę rozwiązań:

E

z

=

˜

E

0

X

1

(x)Y

1

(y) e

i(ωt−k

z

z)

(8)

H

z

=

˜

H

0

X

2

(x)Y

2

(y) e

i(ωt−k

z

z)

(9)

zakładając jednocześnie rozdzielenie zmiennych x, y, z (amplitudy ˜

E

0

, ˜

H

0

∈ C dla możliwości zawarcia

w nich przesunięcia fazy). Przekształcając równania 8 i 9:

1

X

i

∂

2

X

i

∂x

2

+

1

Y

i

∂

2

Y

i

∂y

2

− k

2

z

= −

ω

2

c

2

,

i = 1, 2

(10)

gdzie c =

1

√

µε

jest prędkością światła w ośrodku o przenikalnościach ε i µ. Każdy z członów równania

10 musi być stały, by prawa strona również mogła być stała. Warto tutaj zaznaczyć że funkcje X(x) i
Y (y) muszą być rozwiązaniem jakiegoś równania oscylatora harmonicznego. Przekształcając równanie
10 otrzymuję zależność:

k

2

x

+ k

2

y

+ k

2

z

=

ω

2

c

2

(11)

1

Dodatkowo narzucam warunek nieskończonego falowodu prostokątnego w obszarze (0, a) × (0, b) ×
(−∞, +∞) o ścianach z doskonałego przewodnika. Jest to tożsame z warunkami zerowych składowych
prostopadłych wektora E i składowych stycznych wektora H na ścianach falowodu. Odpowiednie
równania to:

E

x

(x, y = 0) = E

x

(x, y = b) = E

y

(x = 0, y) = E

y

(x = a, y) = 0

(12)

H

y

(x, y = 0) = H

y

(x, y = b) = H

x

(x = 0, y) = H

x

(x = a, y) = 0

(13)

Modem TE (transwersalnym elektrycznym) nazwę rozwiązanie w którym funkcja E

z

jest stała w całej

przestrzeni. Analogicznie mod TM (transwersalny magnetyczny) będzie oznaczał że funkcja H

z

jest

stała. Łatwo pokazać że mod TEM (tj. TE + TM) jest tożsamy braku fal elektromagnetycznych w
falowodzie - reprezentuje on stałe pole elektromagnetyczne w całej przestrzeni.

Widzimy, że mody TE, TM oraz TEM są liniowo niezależne - niemożliwe jest dodanie do siebie

tych rozwiązań tak aby otrzymać zero. Dodatkowo, baza zbudowana z modów TE, TM i TEM bę-
dzie zupełna- każde rozwiązanie fali propagującej się w stronę wzrastających współrzędnych z-owych
można z dokładnością do stałej oprzeć o równania 8 i 9. Od tej pory również założę, że mod TEM jest
równy zeru z definicji, aby uprościć przyszłe rozważania.

Rozwinę teraz do jawnej postaci równania 3 i 4:

ˆ

yE

z

− ˆ

zE

y

=

−µˆ

tH

x

ˆ

zE

x

− ˆ

xE

z

=

−µˆ

tH

y

ˆ

xE

y

− ˆ

yE

x

=

−µˆ

tH

z

ˆ

yH

z

− ˆ

zH

y

=

εˆ

tE

x

ˆ

zH

x

− ˆ

xH

z

=

εˆ

tE

y

ˆ

xH

y

− ˆ

yH

x

=

εˆ

tE

z

Zrezygnowałem tutaj ze standardowego oznaczenia ∂

x

i

na rzecz ˆ

x

i

- który będę rozumiał jako ope-

rator różniczkowania cząstkowego po zmiennej x

i

. Dalej korzystam z faktu, iż różniczkowane funkcje

opisujące fale są funkcjami własnymi kwadratów operatorów - tj. ˆ

x

2

i

f = −k

2

i

f dla wszystkich funkcji

opisujących składowe wektorów E i H.

Od tego momentu wyrażenie mnożę funkcję przez operator będę rozumiał jako działanie operatora

na funkcji z uzyskaniem funkcji pochodnej.

2

2

Metoda

Wcześniejsze rozwinięcia równań z rotacją proponuję zawrzeć w formie przedstawionej na rycinie 1.

Rysunek 1: Gwiazda Dawida z rozmieszczonymi składowymi wektora i operatorami.

Konstrukcja: narysować dwa trójkąty z rozmieszczonymi składowymi wektorów E i H antykano-

nicznie. Następnie złożyć ze sobą trójkąty tak, aby składowe po tej samej zmiennej były do siebie
przeciwległe. Pomiędzy składowymi dwóch różnych współrzędnych umieścić operator różniczkowania
po trzeciej współrzędnej.

Dla wygody w miejsce aktualnie zerowanej współrzędnej polecam wstawić zero. Metoda uzyski-

wania równań jest następująca: wybieram jedną funkcję dla której chcę uzyskać równanie. Następnie
biorę dwie najbliższe jej funkcje z drugiego trójkąta. Każdą z funkcji przyległych mnożę przez operator
znajdujący się we wgłębieniu pomiędzy nią a pierwszą funkcją. Idąc kanonicznie, odejmuję od siebie
dwie funkcje przemnożone przez odpowiednie operatory. Całość jest równa pierwszej funkcji wymno-
żonej przez odpowiadający jej operator czasowy, tj. (εˆ

t) dla składowych wektora E oraz (−µˆ

t) dla

składowych wektora H.

Przykład: chcę wyprowadzić równanie dla funkcji H

x

. Przyległe jej funk-

cje to E

z

oraz E

y

, natomiast odpowiadające im operatory: ˆ

y i ˆ

z. Idąc

kanonicznie mnożę funkcję E

z

przez operator ˆ

y i odejmuję funkcję E

y

wymnożoną przez operator ˆ

z. Całość jest równa funkcji H

x

mnożonej

przez odpowiedni jej operator czasowy, tj. (−µˆ

t). W efekcie otrzymuję

równanie:

ˆ

yE

z

− ˆ

zE

y

= (−µˆ

t)H

x

(14)

Teraz wyprowadzę drugie równanie aby wyrugować funkcję H

x

. Przy-

ległe do składowej E

y

to funkcje H

x

oraz H

z

, w tym wypadku ta druga

tożsamościowo równa zeru. Odpowiedni operator dla funkcji H

x

to ˆ

z.

Będzie on równy funkcji E

y

wymnożonej przez odpowiadający jej ope-

rator czasowy, tutaj (εˆ

t). Uzyskane równanie

ˆ

zH

x

= (εˆ

t)E

y

(15)

mogę teraz wymnożyć przez (−µˆ

t) aby było równe lewej stronie równa-

nia 14 wymnożonego przez operator ˆ

z. W efekcie otrzymuję

(−µεˆ

t

2

)E

y

= ˆ

z ˆ

yE

z

− ˆ

z

2

E

y

.

(16)

3

Ponieważ E

y

i E

z

są funkcjami własnymi operatorów ˆ

t

2

i ˆ

z

2

, legalne jest branie ich odwrotności:

E

y

=

ˆ

z ˆ

y

−µεˆ

t

2

+ ˆ

z

2

E

z

=

ˆ

z ˆ

y

ω

2

c

2

− k

2

z

E

z

=

−ik

z

ˆ

y

ω

2

c

2

− k

2

z

E

z

(17)

(ponieważ wartością własną operatora ˆ

z jest −ik

z

). Analogicznie mogę wyprowadzić równanie na E

x

:

E

x

=

ˆ

z ˆ

x

−µεˆ

t

2

+ ˆ

z

2

E

z

=

−ik

z

ˆ

x

ω

2

c

2

− k

2

z

E

z

.

(18)

Przypomnę teraz równanie 12, w którym narzuciłem warunek zerowania się funkcji E

x

i E

y

w od-

powiednich miejscach. Narzuca to bardzo restrykcyjne warunki dla postaci funkcji X(x) i Y (y) - już
wcześniej stwierdziłem, że będą spełniać równanie oscylatora harmonicznego, teraz dodatkowo ich po-
chodne muszą zerować się dla x, y = 0 (co wyklucza inną postać niż cos), oraz dla x = a i y = b (co
daje kwantyzację współczynników k

x

, k

y

).

Napiszę teraz równania dla wektora H:

H

x

=

1

(−µˆ

t)

"

1 −

ˆ

z

2

(−µεˆ

t

2

) + ˆ

z

2

#

ˆ

y E

z

=

(εˆ

t) ˆ

y

−µεˆ

t

2

+ ˆ

z

2

E

z

(19)

H

y

=

−

(εˆ

t) ˆ

x

(−µεˆ

t

2

) + ˆ

z

2

E

z

(20)

Oto jawne równania dla składowych wektorów pola elektromagnetycznego dla modu TE:

E

z

=

E

0

X(x) Y (y) exp(ωt − k

z

z)

H

z

=

0

ˆ

xX(0) = ˆ

xX(a)

=

ˆ

yY (0) = ˆ

yY (b) = 0

X(x)

=

cos k

x

x

k

x

=

nπ

a

,

n ∈ N

Y (y)

=

cos k

y

y

k

y

=

mπ

b

,

m ∈ N

E

x

=

E

0

k

z

k

x

ω

2

c

2

− k

2

z

sin(k

x

x) cos(k

y

y) exp

h

i(ωt − k

z

z +

π

2

)

i

E

y

=

E

0

k

z

k

y

ω

2

c

2

− k

2

z

cos(k

x

x) sin(k

y

y) exp

h

i(ωt − k

z

z +

π

2

)

i

E

z

=

E

0

cos(k

x

x) cos(k

y

y) exp

h

i(ωt − k

z

z)

i

H

x

=

E

0

εωk

y

ω

2

c

2

− k

2

z

cos(k

x

x) sin(k

y

y) exp

h

i(ωt − k

z

z −

π

2

)

i

H

y

=

E

0

εωk

x

ω

2

c

2

− k

2

z

sin(k

x

x) cos(k

y

y) exp

h

i(ωt − k

z

z +

π

2

)

i

H

z

=

0

4

Teraz natomiast równania dla modu TM. Swoje wyprowadzenie oprę o rycinę 2:

Rysunek 2: Gwiazda Dawida dla modu TM.

Ponownie wyprowadzam po dwa równania dla każdej ze składowych wektora pola. Tym razem

opieram równania o składową H

z

:

εˆ

tE

y

=

ˆ

zH

x

− ˆ

xH

z

(−µˆ

t)H

x

=

ˆ

zE

y

H

x

=

ˆ

z ˆ

x

(−µεˆ

t

2

) + ˆ

z

2

H

z

εˆ

tE

x

=

ˆ

yH

z

− ˆ

zH

y

(−µˆ

t)H

y

=

ˆ

zE

x

H

y

=

ˆ

z ˆ

y

(−µεˆ

t

2

) + ˆ

z

2

H

z

Następnie, posiadając już wszystkie składowe wektora H korzystam z powyższych wzorów dla

znalezienia składowych E:

εˆ

tE

y

=

ˆ

zH

x

− ˆ

xH

z

E

y

=

1

εˆ

t

"

ˆ

z

2

(−µεˆ

t

2

) + ˆ

z

2

− 1

#

ˆ

x H

z

E

y

=

−

(−µˆ

t) ˆ

x

(−µεˆ

t

2

) + ˆ

z

2

H

z

εˆ

tE

x

=

ˆ

yH

z

− ˆ

zH

y

E

x

=

1

εˆ

t

"

1 −

ˆ

z

2

(−µεˆ

t

2

) + ˆ

z

2

#

ˆ

y H

z

E

x

=

(−µˆ

t) ˆ

y

(−µεˆ

t

2

) + ˆ

z

2

H

z

Można teraz dostrzec duże podobieństwo rozwiązań - gdyby wziąć rozwiązania H

x

, H

y

dla modu TE i

zastąpić w nich literkę H literką E, natomiast operator (εˆ

t) operatorem (−µˆ

t) wynik byłby identyczny.

Analogia się kończy gdy dla funkcji H

x

, H

y

narzucam warunki brzegowe z 12 - tym razem zerować się

musi nie składowa prostopadła do brzegu, a składowa równoległa!

5

Postać jawna równań:

E

z

=

0

H

z

=

H

0

X(x) Y (y) exp(ωt − k

z

z)

X(0) = X(a)

=

Y (0) = Y (b) = 0

X(x)

=

sin k

x

x

k

x

=

nπ

a

,

n ∈ N

Y (y)

=

sin k

y

y

k

y

=

mπ

b

,

m ∈ N

H

x

=

H

0

k

z

k

x

ω

2

c

2

− k

2

z

cos(k

x

x) sin(k

y

y) exp

h

i(ωt − k

z

z −

π

2

)

i

H

y

=

H

0

k

z

k

y

ω

2

c

2

− k

2

z

sin(k

x

x) cos(k

y

y) exp

h

i(ωt − k

z

z −

π

2

)

i

H

z

=

H

0

sin(k

x

x) sin(k

y

y) exp

h

i(ωt − k

z

z)

i

E

x

=

H

0

µωk

y

ω

2

c

2

− k

2

z

sin(k

x

x) cos(k

y

y) exp

h

i(ωt − k

z

z +

π

2

)

i

E

y

=

H

0

µωk

x

ω

2

c

2

− k

2

z

cos(k

x

x) sin(k

y

y) exp

h

i(ωt − k

z

z −

π

2

)

i

E

z

=

0

Pozostaje jeszcze kwestia zmiennej k

z

. W ogólnym przypadku zmienna nad którą mamy kontrolę

to ω, w sensie ustalenia częstotliwości fali EM. Liczba falowa k pozostaje poza zasięgiem - zależy ona
od liczb n, m. Korzystając z równania k

2

ω

2

= c

2

jestem w stanie wyznaczyć składową k

z

:

k

2

x

+ k

2

y

+ k

2

z

=

ω

2

c

2

(21)

k

2

z

=

ω

2

c

2

−

n

2

π

2

a

2

−

m

2

π

2

b

2

(22)

Z równania 22 od razu narzuca się podstawowa własność falowodów: jeśli częstotliwość fali EM jest
zbyt niska (zbyt długa λ), fala może się zwyczajnie nie zmieścić w falowodzie. Definiuje się tzw.
częstość obcięcia poniżej której składowa k

z

ma wymiar czysto urojony i fala EM ma charakter zani-

kający. Jako długość L zdefiniuję większą z wartości a, b:

ω

c

=

cπ

L

,

L = min(a, b)

Literatura

[1] Marcus Zahn: Pole elektromagnetyczne, §4.8.

6