Filtry do analizy na termin zer Nieznany

background image

19.12.2011

Filtry cyfrowe do analizy na egzamin zerowy z Przetwarzania Sygnałów

Swiss Army Knife of Digital Networks

– czyli wielofunkcyjny filtr cyfrowy –

agregat filtru grzebieniowego FIR (ang. comb filter) i ogniwa bikwadratowego IIR

(ang. biquad)

Transmitancja

wielofunkcyjnego filtru cyfrowego (FC), na podstawie którego

można wygenerować filtry pokazane na następnych stronach, o numerach od 1.1 do 1.22

)

(z

H

2

2

1

1

0

2

2

1

1

0

1

/

1

)

1

(

)

(

+

+

×

=

z

a

z

a

a

z

b

z

b

b

z

c

z

H

N

1

z

]

[n

y

1

z

1

z

]

[n

y

1

z

0

a

1

a

2

a

0

b

1

b

2

b

]

[n

x

N

z

1

c

+ −

]

1

[

n

w

]

2

[

n

w

]

[n

w

Literatura

[1]

R. Lyons and A. Bell: The Swiss Army Knife of Digital Networks, IEEE Signal Processing

Magazine, dsp tips & trics, vol. 21, May 2004, pp. 90-100. Dostęp: czytelnia WETI w wersji

papierowej lub elektronicznie via Biblioteka Główna PG, baza IEEEXplore.

[2]

C. Turner: Recursive discrete-time sinusoidal oscillators, IEEE Signal Processing Magazine,

vol. 20, May 2003, pp. 103-111.

[3]

http://ccrma-www.stanford.edu/~jos/waveguide/Comb-Filters.html

[4]

Texas Instruments: How can comb filters be used to synthesize musical instruments on a

TMS320 DSP?, TMS320 DSP Designers Notebook, No 56, 1995.

[5]

J. Proakis and D. Manolakis: Digital Signal Processing – Principles, Algorithms and

Applications. 3

rd

edition, Upper Saddle River, NJ, Prentice-Hall, 1996, Comb Filters pp. 345-

350.

[6]

C. Dick and F. Harris: FPGA signal processing using sigma-delta modulation, IEEE Signal

Processing Magazine, vol. 17, Jan. 2000, pp. 20-35.

[7] Materiały firmy Xilinx w Internecie: w Google wpisujemy

“Cascaded Integrator Comb (CIC)” +”March 14, 2002”

background image

1.1. System średniej ruchomej

1

z

1

z

]

[n

x

N

/

1

]

[n

y

]

[n

v

N

z

+ −

Algorytm

]

1

[

]

[

1

])

1

[

]

[

(

1

]

[

]

[

]

[

]

[

+

=

+

=

=

n

y

n

v

N

n

Ny

n

v

N

n

y

N

n

x

n

x

n

v

Transmitancja

1

1

1

1

)

(

=

z

z

N

z

H

N

Powyższy filtr można też zrealizować jak niżej.

]

[n

x

N

/

1

]

[n

y

]

[n

v

)

1

(

N

z

+

1

z

Tę strukturę znajdujemy pod nazwą RRS od ang. Recursive Running Sum i jest ona stosowana

m.in. jako pierwszy stopień filtru antyaliasingowego w konwerterach A/C np. firmy Analog

Devices. Algorytmem tej struktury jest

)])

1

(

[

]

[

(

1

]

[

]

1

[

]

[

]

[

=

+

=

N

n

v

n

v

N

n

y

n

v

n

x

n

v

Taką samą transmitancję ma filtr FIR o długości N, o strukturze transwersalnej i algorytmie

=

=

+

+

+

=

1

0

]

[

1

)])

1

(

[

]

1

[

]

[

(

1

]

[

N

k

k

n

x

N

N

n

x

n

x

n

x

N

n

y

L

gdzie współczynniki są jednostkowe.

1

z

1

z

L

L ⊕

1

z

]

[n

y

]

[n

x

N

/

1

]

2

[

n

x

]

1

[

n

x

)]

1

(

[

N

n

x

2

background image

Struktura rekursywna (IIR – RRS) jest bardziej efektywna, bo wymaga tylko jednego

dodawania i jednego odejmowania na jedną próbkę wyjściową (pomijając skalowanie)

niezależnie od wartości N, podczas gdy filtr FIR musi wykonać

1

N

dodawań na próbkę

wyjściową. Zauważmy też, że ma tu N zer równomiernie rozłożonych na okręgu

jednostkowym, dla

)

(z

H

)

/ N

k

2

exp( j

z

k

π

=

,

N

k

<

0

i jeden biegun dla

1

=

z

, który kasuje zero

na tej pozycji.

1.2. System różnicujący – dyskretna wersja systemu różniczkującego. Tu transmitancja

. Ten system jedynie przybliża idealną charakterystykę dla m.cz.

względem

. A idealny system różniczkujący ma liniową charakterystykę amplitudową

w funkcji częstotliwości.

1

1

)

(

=

z

z

H

s

F

1

z

]

[n

y

]

[n

x

+

1.3. Integrator. Ten system realizuje sumę bieżącą wejściowych próbek

, stanowiąc

dyskretno-czasowy równoważnik integratora (układu całkującego) czasu ciągłego.

]

[n

x

1

z

]

[n

y

]

[n

x

3

background image

1.4. Integrator z przeciekiem. Transmitancja

1

)

1

(

1

)

(

=

z

z

H

α

α

. Ten integrator nazywany

jest również uśredniającym eksponencjalnie (ang. exponential averager). Stosowany jest

w implementacjach LP (ang. lowpass) do redukcji szumu losowego. Jest to filtr IIR

pierwszego rzędu, gdzie, dla stabilnej pracy, stała

α musi leżeć w zakresie

0

1

<

<

α

.

Jest to filtr o nieliniowej charakterystyce fazowej, z pojedynczym biegunem dla

α

= 1

z

. Dla małych wartości

α charakterystyka amplitudowa jest wąska, kosztem

wydłużenia odpowiedzi impulsowej filtru, a więc odpowiedzi na pobudzenie

]

n

[

δ

.

1

z

]

[n

x

]

[n

y

α

α

1

1.5. System opóźniający pierwszego rzędu

]

[n

x

R

]

[n

y

]

[n

v

1

z

R

]

1

[

n

v

Jest to system wszechprzepustowy (podklasa IIR) pierwszego rzędu, który ma względnie stałą

charakterystykę opóźnienia grupowego dla małych częstotliwości. Opóźnienie systemu

wynosi

delay

total

1

+

=

D

próbek, gdzie typowo

leży w zakresie od

delay

5

.

0

do 0.5 i jest ułamkiem okresu

próbkowania

. Przykładowo, gdy

s

F

T

/

1

=

delay

jest równe 0.2, to opóźnienie systemu dla

małych częstotliwości wynosi 1.2 okresu próbkowania. Współczynnik R o wartości

rzeczywistej to

4

background image

2

delay

delay

+

=

R

A transmitancja systemu

)

1

(

)

(

)

(

1

1

del

1,

+

+

=

Rz

z

R

z

H

ma biegun dla

R

z

=

i zero dla

R

z

/

1

=

. Charakterystyka amplitudowa dla

=0.2

(R=0.91) jest stała. Pasmo skupione jest wokół składowej stałej (dc), w którym opóźnienie

grupowe zmienia się o nie więcej niż

delay

10

/

delay

względem wyspecyfikowanej wartości

(pozioma „belka” na wykresie w tablicy 1 [1]) obejmując z grubsza przedział o szerokości od

o

dla systemów pierwszego rzędu. System ten okazuje się użyteczny, gdy

sygnał wejściowy jest nadpróbkowany, tzn. gdy jego widmo jest w zakresie częstotliwości

małych względem

.

total

D

s

F

1

.

0

d

s

F

s

F

2

.

0

1.6. System opóźniający drugiego rzędu

1

z

]

[n

x

]

[n

y

2

R

1

R

z

1

1

R

2

R

]

[n

v

]

2

[

n

v

]

1

[

n

v

Jest to system wszechprzepustowy (podklasa IIR) drugiego rzędu, który ma względnie stałą

charakterystykę opóźnienia grupowego dla małych częstotliwości, ale w szerszym zakresie

częstotliwości niż dla systemu pierwszego rzędu. Opóźnienie systemu wynosi

delay

total

2

+

=

D

próbek, gdzie typowo

leży w zakresie od

delay

5

.

0

do 0.5 i jest ułamkiem okresu

próbkowania

. Przykładowo, gdy

s

F

T

/

1

=

delay

jest równe 0.3, to opóźnienie systemu dla

5

background image

małych częstotliwości wynosi 2.3 okresu próbkowania. Współczynniki

i

o wartościach

rzeczywistych to

1

R

2

R

10

/

3

2

delay

delay

1

+

=

R

i

)

4

)(

3

(

)

1

)(

(

delay

delay

delay

delay

2

+

+

+

=

R

Charakterystyka amplitudowa jest stała. Pasmo skupione jest wokół składowej stałej (dc), w

którym opóźnienie grupowe zmienia się o nie więcej niż

delay

względem

wyspecyfikowanej wartości

(pozioma „belka” na wykresie w tablicy 1 [1]) obejmując z

grubsza przedział o szerokości od

do

dla tego systemu drugiego rzędu.

total

D

s

F

26

.

0

s

F

38

.

0

Performancja dla

=0.3 (

= – 0.182 i

=0.28) jest pokazana w tablicy 1 [1].

Pasmo płaskiej charakterystyki opóźnienia grupowego jest szersze dla ujemnych

niż

gdy

jest dodatnie. Przykładowo, to oznacza, że gdy potrzebujemy mieć opóźnienie

grupowe

=2.5 odstępów próbkowania, to lepiej użyć zewnętrznego opóźnienia

jednostkowego i ustawić

na – 0.5 niż pozwolić na to, by

delay

delay

1

R

2

R

delay

delay

total

D

delay

było równe 0.5. Aby

zapewnić stabilność,

delay

musi być większe od – 1.

1.7. Obwód (filtr) Goertzela

1

z

]

[n

y

N

k

π

2

cos

2

z

1

N

k

j

e

π

2

1

]

[n

x

]

[n

v

]

2

[

n

v

]

1

[

n

v

Ten tradycyjny obwód Goertzela jest wykorzystywany do detekcji pojedynczego tonu

(sinusoidy) ponieważ oblicza on N-punktową, tzw. „single-bin”, dyskretną transformatę

Fouriera (DFT) scentrowaną na kącie

N

k /

2

π

θ

=

w radianach na próbkę (rad/Sa)

odpowiadającym częstotliwości

Hz. Zmienna częstotliwościowa k, z zakresu

, nie musi być całkowita. W tablicy 2 linią ciągłą pokazano zachowanie się tego

N

kF

s

/

N

k

<

0

6

background image

obwodu. Natomiast charakterystykę amplitudową algorytmu Goertzela dla N=8 i k=1

pokazano linią przerywaną.

Po zaaplikowaniu na wejściu N+1 próbek, na wyjściu otrzymamy wynik: y[n] w postaci

„single-bin DFT”. Nakład obliczeniowy na DFT wynosi tu N+2 rzeczywistych mnożeń i

2N+1 dodawań. Obwód jest typowo stabilny ponieważ w praktyce bierze się stosunkowo

małe N (rzędu setek) przed ponowną jego inicjacją.

1.8. Przesuwna DFT (ang. sliding DFT)

1

z

1

z

]

[n

x

N

k

j

re

π

2

]

[n

y

]

[n

v

N

z

+

N

r

W tej strukturze obliczana jest N-punktowa, tzw. „single-bin”, dyskretna transformata

Fouriera (DFT) scentrowana na kącie

N

k /

2

π

θ

=

w radianach na próbkę (rad/Sa) na okręgu

jednostkowym, odpowiadającym częstotliwości

Hz. N to rozmiar DFT, a zmienna

częstotliwościowa k, z zakresu

N

s

/

kF

N

k

<

0

, jest całkowita. Aby zapewnić stabilność tego

obwodu, współczynnik tłumienia r (ang. damping factor) powinien być możliwie bliski, na

ile to możliwe, ale mniejszy od jedności. Po zaaplikowaniu N próbek wejściowych, ten

obwód obliczy nowy wynik kolejnej DFT dla każdej nowej próbki wejściowej (stąd

nazwa „przesuwna DFT”) przy nakładzie numerycznym (ang. computational workload)

wynoszącym jedynie cztery mnożenia rzeczywiste i cztery dodawania rzeczywiste na próbkę

wejściową. Jeżeli podstawimy

to pasmo analizowanych częstotliwości będzie

scentrowane na kącie

]

[n

x

N

r

N

/

)

2

/

1

c

=

1

k

(

2

+

=

π

θ

w rad/Sa, co odpowiada częstotliwości

Hz.

N

F

k

s

/

)

2

/

1

(

+

7

background image

1.9. Oscylator sinusoidy o wartościach rzeczywistych.

1

z

]

[n

x

]

[n

y

2

/

1

ϑ

cos

2

z

1

2

/

1

1

Algorytm

]

2

[

]

1

[

cos

2

]

[

]

[

]

2

[

2

1

]

[

2

1

]

[

+

=

=

n

v

n

v

n

x

n

v

n

v

n

v

n

y

ϑ

generuje sygnał sinusoidy

o wartościach rzeczywistych, której amplituda nie jest

funkcją częstotliwości wyjściowej. Wartość

]

[n

y

s

t

F

F

/

2

π

ϑ

=

w rad na próbkę, gdzie to

częstotliwość generowana, w Hz. By zastartować oscylator należy zadać próbkę

t

F

]

1

[

n

y

,

poprzez wymuszenie wartości mnożnika

ϑ

cos

2

1

=

a

równej 1, a następnie obliczamy nowe

próbki wyjściowe dla rosnącej wartości n. Dla implementacji stałoprzecinkowej

współczynniki filtru mogą wymagać skalowania tak, aby wszystkie wyniki pośrednie

znajdowały się we właściwym zakresie numerycznym.

1.10. Oscylator kwadraturowy

1

z

]

[n

x

]

[n

y

]

[n

G

ϑ

j

e

]

1

[

n

y

Oscylator zwany z ang. „coupled” – połączony – generuje sygnał wyjściowy zespolony

)

exp(

)

sin(

)

cos(

]

[

ϑ

ϑ

ϑ

jn

n

j

n

n

y

=

+

=

(tzw. zespoloną sinusoidę) nastrojoną na

8

background image

częstotliwość

Hz. Eksponenta dla w tablicy 2 [1] wynosi

t

F

1

a

s

t

F

F

/

2

π

ϑ

=

rad/Sa. Aby

zastartować ten oscylator, zadajemy wartość zespolonej próbki

, sterującej

mnożnikiem

, wynoszącą

0 , i zaczynamy obliczać próbki wyjściowe z rosnącą

wartością n. Ażeby zapewnić stabilność sygnału na wyjściu oscylatora w implementacjach z

arytmetyką stałoprzecinkową, należy obliczyć korektę wzmocnienia

dla każdej próbki

wyjściowej. Wartości będą bardzo bliskie jedności [2].

]

1

[

n

y

]

[n

G

1

a

1 j

+

]

[n

G

2

]

[n

y

[

n

y

2

z

1

α

α

±

=

z

α

α

α

=

1

a

1.11. Akustyczny filtr grzebieniowy

z

]

[n

x

α

]

2

Ta struktura to system IIR drugiego rzędu (najprostsza wersja) wykorzystywana przez fanów

audio do syntetyzowania dźwięku instrumentu szarpanej struny (ang. plucked string

instrument

). Sygnałem wejściowym są próbki szumu losowego. Filtr ten ma piki (maksima)

charakterystyki amplitudowej dla składowej stałej (dc) i dla częstotliwości , co

powoduje „dołki” (ang. dips) dla częstotliwości

2

/

s

F

±

4

/

s

F

±

. Transmitancją filtru jest

1

)

(

=

z

H

ac

, która ma dwa bieguny zlokalizowane dla

na płaszczyźnie

zespolonej. Ażeby zapewnić stabilność, wartość rzeczywistej musi być mniejsza od

jedności, a im jest bliższa jedności, tym węższe są piki na charakterystyce amplitudowej.

Bardziej realistyczną syntezę dźwięku otrzymamy np. biorąc

i górny element

biquadu na rysunku ze strony 1 o opóźnieniu zwiększonym do, powiedzmy, ośmiu zamiast

jednostkowego, to uzyskamy więcej pików na charakterystyce amplitudowej pomiędzy 0 i

Hz. W tej muzycznej aplikacji sygnałem wejściowym dla filtru są próbki białego

szumu gaussowskiego. Inne obwody syntetyzujące z sukcesem instrumenty szarpanej struny

(ang. plucked string instrument) omówiono m.in. w [3], [4] i [5].

2

/

s

F

9

background image

1.12. Filtr grzebieniowy

N

z

]

[n

y

]

[n

x

+

W tablicy 3 [1] na samym początku występuje standardowy filtr FIR – kluczowy element w

wielu aplikacjach filtracji. Jego transmitancja

zawiera N zer równomiernie

rozłożonych na okręgu jednostkowym na płaszczyźnie z, ulokowanych w

,

gdzie k jest liczbą całkowitą

N

z

z

H

= 1

)

(

comb

N

k

j

e

k

z

/

2

]

[

π

=

N

k

<

0

)

(

comb

z

H

. Te wartości to N pierwiastków o wartości

jednostkowej, gdy weźmiemy równe zero co daje

]

[k

z

(

)

]

/

2

=

N

k

j

N

e

π

1

=

N

[k

z

2

/

N

m

. N zer na

okręgu jednostkowym powoduje powstanie miejsc zerowych na charakterystyce

amplitudowej (nieskończone tłumienie) dla okresowo powtarzających się częstotliwości

, gdzie m jest liczbą całkowitą

N

mF

s

/

0

. Maksymalne wzmocnienie tego

liniowo-fazowego filtru wynosi dwa.

Jeżeli podstawimy w filtrze grzebieniowym

1

1

=

c

otrzymując transmitancję

, to mamy tu alternatywny liniowo-fazowy filtr grzebieniowy z zerami

obróconymi (zrotowanymi) wokół okręgu jednostkowego w kierunku przeciwnym do ruchu

wskazówek zegara o kąt

N

z

z

H

+

= 1

)

(

comb

alt

N

/

π

rad/Sa, co pozycjonuje zera dla kątów

N

k

/

)

2

/

1

(

2

+

π

rad/Sa

na okręgu jednostkowym płaszczyzny z. Te obrócone zera spowodują występowanie miejsc

zerowych na charakterystyce amplitudowej dla okresowo powtarzających się częstotliwości

. Dla tego filtru pik na charakterystyce amplitudowej jest zlokalizowany na

częstotliwości 0 Hz (dc).

N

F

m

s

/

)

2

/

1

(

+

1.13. Filtr pasmowy na

4

/

s

F

]

[n

x

]

[n

y

+

16

z

]

16

[

n

x

+

2

z

]

2

[

n

y

10

background image

Jest to filtr pasmowy (ang. bandpass) scentrowany wokół częstotliwości , liniowo-

fazowy w paśmie przenoszenia, o charakterystyce amplitudowej opisanej funkcją typu

. Ma on bieguny w

4

/

s

F

x

x /

)

sin(

j

z

±

=

, a zatem aby nastąpiło zerowanie bieguna/zera,

opóźnienie (N) filtru grzebieniowego musi być całkowitą wielokrotnością liczby cztery.

Transmitancja tego bezmnożnikowego filtru pasmowego o gwarantowanej stabilności wynosi

)

1

/(

)

1

(

)

(

2

pb

+

=

z

z

z

H

N

.

1.14. Filtr IIR pierwszego rzędu

]

[n

x

z

j

z

e

R

θ

]

[n

y

]

[n

v

1

z

p

j

p

e

R

θ

]

1

[

n

v

Ten filtr ma strukturę 2D (ang. direct form) z pojedynczym biegunem ulokowanym na

promieniu

względem początku układu współrzędnych na płaszczyźnie z pod kątem

p

R

p

θ

rad/Sa i pojedynczym zerem na promieniu

względem początku układu współrzędnych na

płaszczyźnie z pod kątem

z

R

z

θ

π

+

. Dla współczynników rzeczywistych (

0

=

=

z

p

θ

θ

) ten filtr

może mieć charakterystykę amplitudową jedynie dolnoprzepustową albo górno-przepustową,

ale nie jest możliwe zrealizowanie charakterystyk: pasmowo-przepustowej ani pasmowo-

zaporowej. Transmitancją filtru jest

.

)

1

z

1

/(

)

1

(

(

1

iir

1,

+

e

R

z

e

R

z

H

p

z

j

p

j

z

θ

θ

)

=

Charakterystyka amplitudowa tego filtru ma szerokie pasma przejściowe tak, że trudno

tu wyróżnić pasma: przepustowe i zaporowe. Oczywiście, aby zapewnić stabilność należy

lokować biegun wewnątrz okręgu jednostkowego na płaszczyźnie z, a im

jest bliższe

jedności, tym filtr jest bardziej wąskopasmowy.

p

R

11

background image

1.15. Korektor (ang. equalizer) fazy pierwszego rzędu

]

[n

x

R

]

[n

y

]

[n

v

1

z

R

]

1

[

n

v

Ta struktura ma charakterystykę amplitudową, która jest stała w całym paśmie częstotliwości

(filtr wszech-przepustowy). Ma ona biegun dla

R

z

= na płaszczyźnie z i zero ulokowane dla

, gdzie gwiazdka oznacza sprzężenie. Wartość R, która może być rzeczywista lub

zespolona, ale której moduł (wartość bezwzględna) musi być mniejsza od jedności by

zapewnić stabilność, kontroluje nieliniową charakterystykę fazową. Ten korektor ma

transmitancję

.

R

/

1

(

=

)

1

/(

)

)

(

1

1

eq

1,

+

Rz

z

R

z

H

Takie obwody mogą być użyte jako korektory fazowe przez skaskadowanie za filtrem

lub obwodem, którego nieliniowa charakterystyka fazowa wymaga zgrubnej linearyzacji.

Celem jest tu uczynienie docelowej charakterystyki fazowej tak bliskiej liniowej, jak jest to

tylko możliwe. W tablicy 3 [1] pokazano ciągłą linią charakterystykę fazową filtru dla

, a dla porównania linią przerywaną przedstawiono charakterystykę fazową dla

. Ten filtr wszech-przepustowy pierwszego rzędu może być również użyty do

interpolacji i uzyskania audio rewerberacji dla sygnałów o małych częstotliwościach.

7

.

0

=

R

3

.

0

=

R

12

background image

1.16. Filtr IIR drugiego rzędu

1

z

]

1

z

]

[n

w

1

z

[n

y

1

z

]

[n

w

194

.

1

1

=

a

436

.

0

2

=

a

0605

.

0

0

=

b

121

.

0

1

=

b

0605

.

0

2

=

b

]

[n

x

Ten filtr drugiego rzędu o strukturze 2D (ang. direct form) zwany jest koniem roboczym (ang.

workhorse) implementacji filtru IIR. Zespolone sprzężone pary biegunów i zer sterujące

charakterystyką amplitudowo-fazową, mogą być ulokowane gdziekolwiek na płaszczyźnie z.

Z powodu tego, że filtry IIR wysokiego rzędu są bardzo wrażliwe na efekty kwantyzacji i

problemy związane z potencjalnym przepełnieniem rejestrów (ang. overflow), praktycy

typowo implementują filtry IIR przez kaskadowanie kopii tego filtru IIR drugiego rzędu

celem zapewnienia stabilności i uniknięcia cykli granicznych. Transmitancja filtru jest taka,

jak na pierwszej stronie tego opracowania, ale przy

0

1

=

c

. Można tu zrealizować filtry

dolnoprzepustowe, górno-przepustowe, pasmowo-przepustowe i pasmowo-zaporowe.

1.17. Korektor fazy (ang. equalizer) drugiego rzędu

]

]

[n

w

[n

y

]

[n

w

θ

cos

2

1

R

a

=

2

2

R

a

=

θ

cos

2

1

R

b

=

2

2

1

R

b

=

]

[n

x

1

z

1

z

13

background image

Ta struktura (ang. biquad) ma charakterystykę amplitudową, która jest stała w całym paśmie

częstotliwości (filtr wszech-przepustowy). Ma ona dwa bieguny zespolone sprzężone

ulokowane na promieniu R na płaszczyźnie z, z kątami

θ

±

rad/Sa i dwa zespolone sprzężone

zera ulokowane dla promienia odwrotnego,

1

, z kątami

R

/

θ

±

rad/Sa. Położenie biegunów i

zer, kontrolowane za pomocą rzeczywistej wartości R, steruje kształtem nieliniowej

charakterystyki fazowej.

W tablicy 3 [1] pokazano ciągłą linią charakterystyki: amplitudową i fazową, filtru dla

i

6

.

0

=

R

3

/

π

θ

=

7

.

0

, a dla porównania linią przerywaną przedstawiono charakterystykę fazową

dla

i

=

R

3

/

π

θ

=

. Takie obwody mogą być w pierwszym rzędzie użyte jako korektory

fazowe przez skaskadowanie za filtrem lub obwodem, którego nieliniowa charakterystyka

fazowa wymaga linearyzacji. Celem jest tu uczynienie docelowej charakterystyki fazowej tak

bliskiej liniowej, jak jest to tylko możliwe. Wielokrotnie skaskadowane biquady mogą mieć

akceptowalnie skorygowane charakterystyki fazowe.

1.18. Filtr interpolacyjny CIC (od ang. cascaded integrator-comb) jednostopniowy

wykorzystywany do interpolacji w dziedzinie czasu dyskretnego

1

z

1

z

]

[n

x

]

[n

y

+ −

8

z

Jeżeli sygnał dyskretny jest przepróbkowywany w górę, za pomocą ekspandera o krotności

N, (przez wtrącenie

próbek o wartości 0 pomiędzy każdą parę próbek danych) i

następnie przetworzymy go przez filtr dolnoprzepustowy, to na wyjściu filtru otrzymamy

interpolowany przez N wariant sygnału oryginalnego. Transmitancją filtru

dolnoprzepustowego z powyższego rysunku jest

1

N

1

1

1

)

(

=

z

z

z

H

N

, gdzie

. Celem

zwiększenia tłumienia obrazów widma, możemy skaskadować (połączyć szeregowo – w

łańcuszek) M kopii filtru grzebieniowego, a po nim skaskadować M ogniw bikwadratowych.

Takie skaskadowane filtry będą również miały węższe pasmo przenoszenia wokół

częstotliwości 0 Hz.

8

=

N

W praktyce operacja ekspansji (wtrącania zer) jest wykonywana za filtrem

grzebieniowym, a przed bikwadem. Korzystne tu jest, że opóźnienie filtru grzebieniowego

14

background image

jest wówczas równe

, co redukuje potrzeby pamięciowe dla filtru grzebieniowego do

jedynki.

1

=

N

Filtry CIC są typowo wykorzystywane jako pierwszy stopień wielostopniowej filtracji

dolnoprzepustowej [7] w sprzętowej (ang. hardware) interpolacji z krotnością N z powodu

tego, że nie potrzeba tu żadnych mnożeń.

Rysunki poniżej wykonano dla

8

dla

,

1

1

1

)

(

1

=

=

N

z

z

N

z

H

N

, a wówczas

1

)

0

(

=

=

z

H

co oznacza, że charakterystyka amplitudowa jest równa 1 dla składowej stałej.

Te rysunki otrzymano w MATLABie za pomocą GUI: fvtool([

/8,

]

1

0

0

0

0

0

0

0

1

])

1

1

[

z

parametrami – wielkość fontów 16 pkt, grubość ramki 3 pkt, grubość krzywej niebieskiej 3

pkt.

15

background image

1.19. Zespolony FSF

1

z

1

z

]

[n

x

]

[n

y

+ −

N

z

k

j

e

a

θ

=

1

k

b

)

1

(

0

=

Ta struktura to pojedyncza sekcja zespolonego częstotliwościowo próbkującego filtru FSF

(ang. frequency sampling filter) o amplitudowej charakterystyce częstotliwościowej opisanej

funkcją typu

, scentrowanej na kącie

x

x /

)

sin(

N

k

k

/

2

π

θ

=

rad na próbkę na okręgu

jednostkowym, odpowiadającemu częstotliwości

Hz. N i k to liczby całkowite, a k

należy do przedziału

N

kF

s

/

N

k

<

0

. Im większe N, tym węższy jest listek główny charakterystyki

amplitudowej filtru.

Jeżeli połączymy równolegle wiele biquadów (wszystkie sterowane za pomocą

pojedynczego filtru grzebieniowego) z sąsiadującymi ze sobą częstotliwościami środkowymi,

to możemy zbudować filtry pasmowo-przepustowe o niemal liniowej charakterystyce

fazowej. Tablica 4 [1] pokazuje charakterystyki potrójnego zespolonego filtru pasmowego o

trzech biquadach scentrowanych, odpowiednio, na

2

i

,

1

,

0

=

k

.

1.20. Rzeczywisty FSF, Typ I

1

z

]

[n

y

1

z

1

z

]

[n

y

1

z

k

a

θ

cos

2

1

=

k

k

H

b

φ

cos

0

=

)

cos(

1

k

k

k

H

b

θ

φ

=

]

[n

x

N

z

+ −

]

1

[

n

w

]

2

[

n

w

]

[n

w

N

k

k

/

2

π

θ

=

+

16

background image

Ta struktura to pojedyncza sekcja częstotliwościowo próbkującego filtru FSF (ang. frequency

sampling filter) o współczynnikach rzeczywistych, o amplitudowej charakterystyce

częstotliwościowej opisanej funkcją typu sin(

, scentrowanej na kątach

x

x /

)

N

k

k

/

2

π

θ

±

=

±

rad na próbkę na okręgu jednostkowym, gdzie N jest liczbą całkowitą, a k należy do

przedziału

. Im większe N, tym węższy jest listek główny charakterystyki

amplitudowej filtru.

N

k

<

0

Jeżeli połączymy równolegle wiele biquadów (wszystkie sterowane za pomocą

pojedynczego filtru grzebieniowego) z sąsiadującymi ze sobą częstotliwościami środkowymi,

to możemy zbudować filtry dolnoprzepustowe o niemal liniowej charakterystyce fazowej. W

tym przypadku zespolone czynniki wzmocnienia

są pożądanymi wartościami pików

charakterystyk amplitudowych dla k-tego biquadu. Parametr

k

H

k

φ

w rad to pożądane względne

przesunięcie fazy

. Tablica 4 [1] pokazuje charakterystyki potrójnego zespolonego filtru

dolnoprzepustowego z N=22, o trzech biquadach, scentrowanych, odpowiednio, na

. W tym przykładzie

k

H

2

i

,

1

,

0

=

k

1

0

=

H

,

2

1

=

H

i

74

2

=

H

.

0

. Te filtry mogą mieć, w

paśmie przepustowym, fluktuacje charakterystyki grupowego opóźnienia tak duże jak

Ten filtr rekursywny FSF (FIR) jest najczęściej spotykany w podręcznikach z DSP (ang.

digital signal processing), np. [5].

s

F

/

2

.

1.21. Rzeczywisty FSF, Typ IV

1

z

]

[n

y

1

z

1

z

]

[n

y

1

z

k

a

θ

cos

2

1

=

k

k

M

b

)

1

(

0

=

)

(

)

1

(

2

k

k

M

b

=

]

[n

x

N

z

+ −

]

1

[

n

w

]

2

[

n

w

]

[n

w

N

k

k

/

2

π

θ

=

+

17

background image

Ta struktura zachowuje się podobnie jak poprzedni filtr FSF, typu I, ale z istotnymi

wyjątkami. Po pierwsze, w implementacjach dolnoprzepustowych z wieloma biquadami (ang.

multibiquad) ten filtr ma dokładnie liniową charakterystykę fazową. Również, ten filtr ma

większe tłumienie zaporowe niż filtr typu I.

Współczynniki wzmocnienia

to pożądane wartości pików charakterystyki

amplitudowej k-tego biquadu. Tablica 4 [1] pokazuje charakterystyki dla potrójnego

zespolonego filtru dolnoprzepustowego z N=22, o trzech biquadach, scentrowanych,

odpowiednio, na k

. W tym przykładzie mamy

k

M

2

i

,

1

,

0

=

1

0

=

M

,

i

M

. O

tym filtrze warto wiedzieć, że: przy roztropnym wyborze współczynników wzmocnienia

,

można zbudować wąskopasmowe dolnoprzepustowe liniowo-fazowe filtry FIR, które w

pewnych przypadkach mogą wymagać mniejszych nakładów obliczeniowych (ang.

computational workload) niż słynne filtry FIR optymalne w sensie Czebyszewa [5],

wykorzystywane często jako odniesienie do porównań z innymi, nowymi filtrami.

2

1

=

M

74

.

0

2

=

M

k

1.22. System usuwania składowej stałej

]

[n

x

+

]

[n

y

]

[n

v

1

z

α

=

1

a

]

1

[

n

v

Ten system usuwa składową stałą (dc) z sygnału wejściowego . Transmitancja systemu

]

[n

x

1

1

dc

1

1

)

(

=

z

z

z

H

α

ma biegun zlokalizowany dla

α

=

z

i zero dla

1

=

z

. Ostrość wycinania

(ang. notch) jest determinowana przez

α

=

z

. Wycinana jest częstotliwość 0 Hz (dc).

Stabilność zapewnia spełnienie warunku

1

0

<

<

α

. Im

α

jest bliższa jedności, tym ostrzejsza

jest charakterystyka wycinania. (Przykładowa wartość

α

to 0.8 w tablicy 4 [1].) Filtr ten ma

nieliniową charakterystykę fazową.

W tych implementacjach stałoprzecinkowych, gdzie ciąg wyjściowy musi mieć

obcięte wartości próbek aby uniknąć przepełnienia (ang. data overflow), tzn.

musi mieć

]

[n

y

]

[n

y

18

background image

mniej bitów niż ciąg wejściowy , można użyć metodę kształtowania szumu ze

sprzężeniem zwrotnym (ang. feedback noise shaping) aby zredukować szum kwantyzacji

spowodowany powyższym obcięciem bitów [6].

]

[n

x

b

1

Ażeby uniknąć przepełnienia, alternatywą do obcinania bitów jest ograniczenie

wzmocnienia filtru. Przykładowo, możemy poprzedzić nasz system usuwania składowej stałej

o dodatnim wzmocnieniu, obwodem, którego wzmocnienie jest mniejsze od jedności. Jeszcze

innym sposobem jest wzięcie b

i

G

=

0

G

=

, gdzie

2

/

)

1

(

α

+

=

G

w naszej implementacji

dla tego celu, przy czym uzyskamy transmitancję

1

1

dc

alt,

1

)

(

=

G

z

H

z

Gz

α

o zredukowanym

wzmocnieniu.

19


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Zaproszenie do sklepu na prezen Nieznany
FutureMap 1 terminarz wydarzeń do 40r na Planecie Ziemia (ang )
Portrety Żydów na kartach szkolnych lektur Przedstaw różne sposoby kreacji Żydów, odwołując się do a
Czerniak, Adam Pozyskiwanie i interpretowanie danych do analiz ilościowych Potrzeby pracodawców a k
tablice do analizy konkur
DO TEL! 5= Genetyka nadci nieni Nieznany
(W7a Stale do kszta t na zimno cz I [tryb zgodno ci])
instrukcja bhp na stanowisku ko Nieznany
1 2510 do pracy na zimno
MATERIALY DO WYKLADU CZ IV id Nieznany
FW14 fale na granicy osrodkow 0 Nieznany
2009 EGZ WSTEPNY NA AM ODP(2) Nieznany

więcej podobnych podstron