84 Â

WIAT

N

AUKI

Paêdziernik 1996

T

ermin „matematyka” zosta∏ wy-
myÊlony przez staro˝ytnych Gre-
ków i ju˝ prawie nikt nie pami´-

ta, ˝e oznacza∏ on szeroko rozumianà
wiedz´ i nawiàzywa∏ do logicznego my-
Êlenia. DziÊ matematyka to wysoce abs-
trakcyjne poj´cia i hermetyczny j´zyk,
czyli specyficzna wiedza dla wybra-
nych. Czy zastanawialiÊmy si´ kiedyÊ,
jak powstawa∏y poj´cia matematyczne?
Wydaje si´, ˝e matematyka po prostu
jest, trwa i nie ulega zmianom; poj´cia
w niej wyst´pujàce sà niezmienne, a ich
znaczenie nie podlega dyskusji. Jest to
przecie˝ nauka absolutnie Êcis∏a. Histo-
ria matematyki – jeÊli coÊ takiego w ogó-
le istnieje – jest chyba tylko kronikà od-
notowujàcà pojawianie si´ nowych poj´ç
i twierdzeƒ.

O ludziach tworzàcych matematyk´

zazwyczaj wiemy niewiele, o ideach
jeszcze mniej. Nie wspominajà o nich
podr´czniki historii skupiajàce si´
przede wszystkim na bitwach i rewolu-
cjach; historia powszechna przedstawia
g∏ównie zdarzenia gwa∏towne z dzie-
jów naszej cywilizacji, kultura i nauka
przewa˝nie pozostajà na drugim pla-
nie. Wa˝niejsze dla losów Êwiata wyda-
jà si´ na przyk∏ad bitwy pod Cheroneà
lub Gauganellà ni˝ odkrycia dokonane
dzi´ki twierdzeniu Talesa czy Pitagora-
sa. Nawet opracowania poÊwi´cone kul-
turze traktujà dzieje matematyki raczej
marginalnie, k∏adàc wi´kszy nacisk na
filozofi´. W szkole te˝ nie ma miejsca
na histori´ matematyki – kto mia∏by si´
tym zajàç? Tak wi´c tworzy si´ pewien
stereotyp surowej, niedost´pnej i „od-
humanizowanej” matematyki, a „praw-
dziwi” humaniÊci obnoszà si´ ze swojà
matematycznà niewiedzà.

Nie ma zbyt wielu ksià˝ek, które uka-

zywa∏yby rozwój poj´ç matematycz-
nych, i sami matematycy nie zawsze
wiedzà, jakà ewolucj´ przechodzi∏y ba-
dane przez nich twory. PrzywykliÊmy
do poj´ç, które wpojono nam w szkole
lub na studiach, i bez nich nie potrafi-
my sobie wyobraziç matematyki. Funk-
cje, zbiory – wydaje si´, ˝e terminy te
by∏y w matematyce zawsze, gdy tym-
czasem przez prawie 2000 lat matema-
tycy dawali sobie rad´ bez nich. Nie
znaczy to, ˝e sà one niepotrzebne, lecz

tylko stosunkowo m∏ode: funkcje istnie-
jà w matematyce od oko∏o 300 lat,
a zbiory zaledwie od stu.

Czy próbowaliÊmy kiedyÊ zrozumieç

struktur´ prostej, p∏aszczyzny lub prze-
strzeni? Dziwne pytanie, przecie˝ wia-
domo, ˝e w geometrii sà to poj´cia pier-
wotne, a wi´c intuicyjnie oczywiste.
Mo˝na jeszcze dodaç, ˝e prosta sk∏ada
si´ z punktów. Czy nie dziwi∏ nas fakt,
˝e obiekt zbudowany z pozbawionych
wymiarów punktów ma d∏ugoÊç albo
pole i obj´toÊç? Jak punkty sà umiesz-
czone na prostej? Czy mo˝na wskazaç
dwa sàsiednie punkty? JeÊli tak, to co

jest mi´dzy nimi? Czy przylegajà do sie-
bie z jednej strony? Ale czy punkt ma
strony?... Takie „g∏upie” pytania mno˝à
si´ same, lecz odpowiedzi nie sà wcale
oczywiste i natychmiastowe, jeÊli w ogó-
le istniejà... Podobne kwestie, a tak˝e
wiele innych rozwa˝a Jerzy Mioduszew-
ski w swojej ksià˝ce Ciàg∏oÊç. Wpraw-
dzie tytu∏ sugeruje, ˝e skierowana jest
ona do matematyków, ˝e jest czymÊ
w rodzaju podr´cznika, to jednak pod-
tytu∏ Szkice z historii matematyki wska-
zuje na coÊ innego.

Có˝ to jest ciàg∏oÊç? Termin ten poja-

wia si´ doÊç cz´sto w mowie potocznej.
Mówimy o ciàg∏oÊci pracy, tradycji, za-

uwa˝amy, ˝e jakiÊ proces przebiega
w sposób ciàg∏y, czyli zjawiska nast´-
pujà jedne po drugich, bez luk w cza-
sie. W matematyce „ciàg∏oÊç” to jedno
z najwa˝niejszych poj´ç, a poglàdowo
t∏umaczy si´ je za pomocà jednokawa∏-
kowoÊci wykresu funkcji; mówi si´, ˝e
funkcja jest ciàg∏a, jeÊli jej wykres mo˝-
na narysowaç jednym pociàgni´ciem.
Sprawa niby jasna i oczywista, gdy si´
jednak g∏´biej zastanowiç, to pojawiajà
si´ problemy. Istniejà funkcje ciàg∏e, któ-
rych intuicyjnie nigdy byÊmy tak nie na-
zwali, a mimo wszystko sà w jak naj-
lepszej zgodzie z formalnà definicjà.

Kiedy ciàg∏oÊç zaistnia∏a w matema-

tyce? Choç precyzyjna definicja formal-
na pojawi∏a si´ dopiero w XIX wieku,
poj´cie to tkwi w matematyce od cza-
sów staro˝ytnych, ponad dwa tysiàcle-
cia przed pojawieniem si´ funkcji, co
uÊwiadamia nam autor ksià˝ki. Czy
wiemy, dlaczego rzucony kamieƒ leci
podobnie jak wystrzelona z ∏uku strza-
∏a? To dziwaczne pytanie (takim wyda-
je si´ z powodu trywialnoÊci odpowie-
dzi) wyeksponowa∏ Zenon z Elei w
postaci aporii lecàcej strza∏y. Przekor-
nie wnioskowa∏, ˝e tak naprawd´ po-
ruszajàca si´ strza∏a pozostaje w bezru-
chu. Aporia oznacza nie tyle paradoks,
ile trudnoÊç: wszyscy wiemy, ˝e strza∏a
leci, lecz w ka˝dej chwili spoczywa,
a czas lotu sk∏ada si´ z chwil, a wi´c...?

Ciàg∏oÊç jest ÊciÊle zwiàzana ze struk-

turà prostej, p∏aszczyzny, a tak˝e cza-
su; od ciàg∏oÊci jest bardzo blisko do nie-
skoƒczonoÊci. A zatem historia ciàg∏oÊci
to kolejne próby zrozumienia struktu-
ry tych w∏aÊnie poj´ç. Oznacza to, ˝e
ksià˝ka Mioduszewskiego tak napraw-
d´ dotyka wszystkich wa˝nych proble-
mów w rozwoju matematyki, uwypu-
klajàc oczywiÊcie sprawy ÊciÊle zwià-
zane z ciàg∏oÊcià. Autor s∏usznie nazwa∏
teksty szkicami: zasygnalizowa∏ wi´k-
szoÊç wydarzeƒ w historii matematyki,
ale czytelnik zainteresowany tymi pro-
blemami odczuwa powa˝ny niedosyt.
Zagadnienia dobiera∏ jednak starannie
i jeÊli coÊ podkreÊli∏, a coÊ innego pomi-
nà∏, to nie bez przyczyny.

Ciàg∏oÊç to lektura specyficzna – jest

impresjà, a raczej zbiorem impresji.
Mo˝na jà traktowaç jako zbiór esejów
ÊciÊle ze sobà powiàzanych. Nie jest to
podr´cznik, choç ksià˝ka zosta∏a wyda-
na przez Wydawnictwa Szkolne i Peda-
gogiczne; ryzykowne by by∏o zalecanie
jej uczniom (chyba tym, którzy zetkn´-
li si´ ju˝ z filozofià). Autor stawia czytel-

RECENZJE I KOMENTARZE

Historia, matematyka, ciàg∏oÊç...

CIÑG¸OÂå. SZKICE Z HISTORII MATEMATYKI.
Jerzy Mioduszewski. Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1996.

Â

WIAT

N

AUKI

Paêdziernik 1996 85

nikowi du˝e wymagania intelektualne.
Niby wszystko jest wyt∏umaczone i opi-
sane, ale lepiej mieç ju˝ pewne przygo-
towanie – nawet nie matematyczne (choç
to z pewnoÊcià nie zaszkodzi), lecz z za-
kresu filozofii i historii. Stanà si´ wtedy
bardziej zrozumia∏e subtelne przemy-
Êlenia autora, a wiele interesujàcych spo-
strze˝eƒ nie umknie uwagi. Bo te˝ to nie
tylko historyczne sprawozdanie z roz-
woju pewnych idei, lecz tak˝e zbiór ory-
ginalnych myÊli dotyczàcych matema-
tyki, historii, filozofii oraz ich wzajem-
nych zwiàzków.

Autor przypomina i omawia takie fak-

ty, które bàdê by∏y pomijane w wyk∏a-
dach historii matematyki, bàdê przed-
stawiane pobie˝nie i stereotypowo, co
doprowadzi∏o do utrwalenia si´ mitów.
W ksià˝ce Mioduszewskiego nie ma
miejsca na mity oraz informacje nie
sprawdzone. Ka˝dy fakt jest udokumen-
towany, a wnioski bardzo ostro˝ne. Czy-
telnik ma okazj´ dowiedzieç si´, na czym
naprawd´ polegajà paradoksy (a dok∏ad-
niej aporie) Zenona, jak próbowano
przez stulecia je rozstrzygnàç, jakie by-
∏y konsekwencje odkrycia odcinków nie-
wspó∏miernych, jak Grecy geometryzo-
wali arytmetyk´ itd. Szczególnie ciekawe
i cenne sà rozwa˝ania o teorii proporcji
Eudoksosa i jej zwiàzkach z teorià De-
dekinda liczb rzeczywistych, informa-
cje o matematyce tworzonej przez Ara-
bów, jej wp∏ywie i znaczeniu dla ma-
tematyki europejskiej oraz historyczne
dywagacje o rozwoju matematyki w Êre-
dniowiecznej Europie.

Europejskie Êredniowiecze zwykle

traktowane jest jako okres zastoju albo
wr´cz zacofania w nauce, czas wyÊmia-
nej póêniej myÊli scholastycznej, ciem-
noty i obskurantyzmu, kiedy to zapo-
mniano o dokonaniach staro˝ytnych.
Mioduszewski zaÊ podnosi znaczenie
myÊli Êredniowiecznej w rozwoju nauki,
w szczególnoÊci matematyki; przypomi-
na, ˝e przecie˝ Galileusz równie˝ by∏
scholastykiem, a scholastycy angielscy
przygotowali solidne fundamenty pod
majàcy si´ narodziç w XVII wieku ra-
chunek ró˝niczkowy (ÊciÊle zwiàzany
z problemami ruchu i ciàg∏oÊci).

Zauwa˝amy, ˝e autor z du˝à sympa-

tià traktuje okres wyÊmiewany przez do-
moros∏ych historyków. Przyznaje, ˝e
„mówi si´ o Êredniowieczu jako o epoce
mrocznej”, dodaje jednak natychmiast:
„Ale jest to rodzaj mroku, który bywa
o Êwicie.” Podobnych sformu∏owaƒ
mo˝na znaleêç w ksià˝ce wi´cej. W in-
nym miejscu czytamy: „Z Galileuszem
Êredniowiecze schodzi ze sceny tak˝e
i w nauce. Jak i na innych polach, scho-
dzi pokonane. Màdrzy zwyci´zcy jed-
nak si´ nie cieszà. Po stuleciach wracamy

N

ak∏adem wydawnictwa DELTA
ukaza∏ si´ ostatnio (brak daty
wydania) Szkolny s∏ownik zoolo-

giczny (angielsko-polski, polsko-angielski)
Piotra Domaƒskiego. Intencjà autora by-
∏o „wype∏nienie luki na rynku wydaw-
niczym” i „u∏atwienie zrozumienia ob-
coj´zycznego tekstu specjalistycznego”,
przy czym zapewnia, ˝e „wyrazy zebra-
ne w s∏owniku korespondujà z termina-
mi, które uczeƒ spotyka w szkole pod-
stawowej i Êredniej oraz w czasie nauki
w∏asnej (korzystanie z encyklopedii oraz
atlasów przyrodniczych, a tak˝e prasy
popularnonaukowej)”. Niestety, cz´sto
nie jest to prawda, nawet w warstwie
j´zykowej, nie wspominajàc o meryto-
rycznej. Poni˝ej kilka przyk∏adowych
kategorii b∏´dów.

Autor u˝ywa poj´cia „taksony” (s. 15),

a na stronie 265 nawet „taxony” na okre-
Êlenie szczebli klasyfikacji (typ, groma-
da, rzàd itd.). Nie tylko nie wie, ˝e takso-
nem sà np. ssaki czy nietoperze, a nie ich
ranga systematyczna, lecz nawet, ˝e licz-
ba mnoga od „taxon” to „taxa”, a nie „ta-
xons”. Skàdinàd w wykazie szczebli tak-
sonomicznych na stronie 15 brakuje na
przyk∏ad nadrz´du, który pojawia si´ na
stronie 25, gdzie uczeƒ dowiaduje si´, ˝e
istniejà dwie klasyfikacje ptaków: nau-
kowcy amerykaƒscy dzielà ptaki na wy-
mar∏e i wspó∏czesne, a polscy – na nadrz´-
dy bezgrzebieniowców i grzebieniow-
ców! Dobór hase∏ jest doÊç przypadko-
wy: wykaz rz´dów ssaków (s. 26–27) za-
wiera takie, które reprezentowane sà
przez par´ gatunków (np. Pholidota, Si-
renia), a brakuje najliczniejszego – gryzo-
ni (rodents), podobnie uczeƒ mo˝e do-
wiedzieç si´, jak nazywa si´ t´goryjec
dwunastniczy (s. 35), nie znajdzie jednak
d˝d˝ownicy (earthworm). Zdarzajà si´
powa˝ne b∏´dy merytoryczne (np. na s.
63 i 64 „Mokasyn wodny (Natrix) jeden
z najjadowitszych w´˝y amerykaƒskich”
– tymczasem Natrix to niejadowity za-
skroniec; „do ˝mij prawdziwych zalicza
si´ okularnik egipski” – okularnik jest ko-

brà i nale˝y do zdradnicowatych, a nie
do ˝mij). W t∏umaczeniu nazw zwierzàt
autor czasem podaje hiperdok∏adne od-
powiedniki polskie, a czasem wymyÊla
w∏asne, dos∏ownie kalkujàc potoczne na-
zwy angielskie. Na przyk∏ad na stronie
37 mamy „the king-crab” – „krab królew-
ski” (powinno byç: „skrzyp∏ocz, ostro-
gon, limulus”, zresztà wcale nie krab),
„the spider-crab” – „krab pajàkowaty”
(krab pajàcznik), ale „prawn (Palaemon)”
to „Êlimoraczek pilasty” zamiast „kre-
wetka”. Na stronie 49 „brittle stars” to
„rozgwiazdy kruche”, wyliczone w gro-
madzie Asteroidea, podczas gdy w rze-
czywistoÊci jest to potoczna nazwa w´-
˝owide∏ (Ophiuroidea), które w tym˝e
s∏owniku widniejà ni˝ej jako ca∏kiem od-
r´bne has∏o. ˚ar∏acz ludojad (Carcharo-
don carcharias) nazywa si´ tu „bia∏y re-
kin” (s. 54), bo po angielsku to „great
white shark”. Podobnà metod´ stosuje
w drugà stron´ – t∏umaczy na przyk∏ad
˝ó∏wia b∏otnego jako „mud turtle” (za-
miast: European pond turtle); czasem re-
zygnuje z tego i w s∏owniku angielsko-

do tej epoki. Wiek XIX szuka∏ w niej in-
spiracji w sferze ducha. My spostrzega-
my jej nauk´ cechujàcà si´ uczciwoÊcià
i umiarem.”

Mioduszewski koƒczy na teorii mno-

goÊci, która powsta∏a, gdy ciàg∏oÊç osta-
tecznie sformalizowano i ujawni∏y si´ pa-
radoksy tego formalizmu, gdy wi´c
rozpoczà∏ si´ zupe∏nie nowy rozdzia∏
w rozwoju matematyki oraz pojmowaniu

nieskoƒczonoÊci. Czytelnik mo˝e jedynie
mieç ˝al do autora, ˝e przerwa∏ swoje roz-
wa˝ania w∏aÊnie w takim momencie.

Piszàc o ciàg∏oÊci i zwiàzanej z nià nie-

skoƒczonoÊci, w pos∏owiu autor stwier-
dza, ˝e „Êwiat ma natur´ dyskretnà i jest
skoƒczony”. Skàd ta przewrotnoÊç na
koniec? Odpowiedzi na to pytanie war-
to poszukaç w lekturze Ciàg∏oÊci.

Zdzis∏aw Pogoda

S∏ownik s∏ownikowi nierówny

SZKOLNY S¸OWNIK ZOOLOGICZNY ANGIELSKO-POLSKI, POLSKO-ANGIELSKI.
Piotr Domaƒski. Oficyna Wydawnicza DELTA W–Z.