ALGEBRA

1

Algebra

WYKŁAD 3

ALGEBRA

2

Postać wykładnicza liczby zespolonej

Niech

e

oznacza stałą Eulera



Definicja

Równość







sin

cos

i

e

i





nazywamy wzorem Eulera.

Liczby zespolone

ALGEBRA

3

Każdą liczbę zespoloną różną od zera można przedstawić w postaci







i

e

z

i

z

z

|

|

)

sin

(cos

|

|









Definicja

Przedstawienie liczby zespolonej



i

e

z

z

|

|



nazywamy

postacią wykładniczą

Liczby zespolone

ALGEBRA

4

Przykład

Korzystając z postaci wykładniczej obliczyć

z

jeżeli

 





2

4

3

3

1

i

i

z







i

e

i

4

2

1







i

e

i

6

2

3









 







































3

4

sin

3

4

cos

4

4

2

2

3

4

2

4

3

3

3















i

e

e

e

e

e

z

i

i

i

i

i

2

,

1

,

0

,

3

2

3

4

sin

3

2

3

4

cos



















































k

k

i

k

z

k





































9

4

sin

9

4

cos

0





i

z





























9

10

sin

9

10

cos

1





i

z





























9

16

sin

9

16

cos

2





i

z

Liczby zespolone

ALGEBRA

5

P

odstawiając we wzorze Eulera







otrzymujemy

równość

:

0

1







i

e

,

nazywaną tożsamością Eulera

Tożsamość Eulera bywa nazywana najpiękniejszym wzorem matematycznym ponieważ:



w

ykorzystane są w niej trzy działania arytmetyczne: dodawanie, mnożenie

i

potęgowanie,



łączy pięć fundamentalnych stałych matematycznych:

liczbę 0,
liczbę 1,

liczbę

π

,

liczbę

e

,

jednostkę urojoną

i



każda ze stałych jest użyta są dokładnie raz,



wzór ten jest przedstawiony w zwyczajowej formie równania,
którego prawa strona jest zerem.

Liczby zespolone

ALGEBRA

6

Liczby zespolone

CIEKAWOSTKA

Zbiór Mandelbrota

ALGEBRA

7

Liczby zespolone

ALGEBRA

8

Zbiór Mandelbrota

ALGEBRA

9

Zbiór Mandelbrota

ALGEBRA

10

Zbiór Mandelbrota

ALGEBRA

11

Zbiór Mandelbrota

ALGEBRA

12

Zbiór Mandelbrota

ALGEBRA

13

Zbiór Mandelbrota

ALGEBRA

14

Zbiór Mandelbrota - podzbiór płaszczyzny zespolonej, którego brzeg
jest jednym ze sławniejszych fraktali. Nazwa tego obiektu została
wprowadzona dla uhonorowania jego odkrywcy, matematyka Benoit
Mandelbrota.

Zbiór Mandelbrota

ALGEBRA

15

Konstrukcja

Zbiór Mandelbrota

M

wyznaczają te punkty

dla których ciąg opisany

równaniem rekurencyjnym:

nie dąży do nieskończoności:

Można wykazać, że jest to równoważne z warunkiem:

Podsumowując:

Zbiór Mandelbrota

ALGEBRA

16

Za pomocą komputera można wykreślić przybliżone obrazy zbioru Mandelbrota
(

obrazy takie przedstawiają zamieszczone rysunki).

Aby uzyskać taki obraz dla każdego punktu p oblicza się pewną liczbę
początkowych wyrazów ciągu z

n

.

Przyjmuje

się, że punkt należy do zbioru jeżeli dla wszystkich (w szczególności

dla ostatniego) wyrazów tego podciągu spełniony jest warunek | z

n

| < 2.

Jest to tym samym obraz przybliżony (okazuje się jednak, że efekt przybliżenia
jest widoczny tylko w dużych powiększeniach).
Zbiór Mandelbrota jest podzbiorem każdego przybliżenia.
Dla każdego z punktów nie należących do zbioru można określić liczbę m:

Jest to liczba

początkowych wyrazów ciągu z

n

, które spełniają powyższy

warunek.

W

ykorzystuje się ją do barwienia punktów nie należących do zbioru Mandelbrota

przyporządkowując każdej z wartości m pewien kolor.

Zbiór Mandelbrota

ALGEBRA

17

Benoit B. Mandelbrot, (1924 -2010) wybitny i nowatorski matematyk
pochodzący z Polski.
Był on twórcą tzw. geometrii fraktalnej, opisującej nieregularne kształty
występujące w przyrodzie, takie jak linia brzegowa, zbocza górskie, i systemy
komórkowe. Fraktale w najogólniejszym znaczeniu to interpretacja graficzna
równań i ciągów uchodzących poprzednio za całkowicie abstrakcyjne i nie mające
odniesień do rzeczywistości.
Jak wykazał Mandelbrot, powinny one być przedmiotem badań i mają
zastosowania w wielu dziedzinach praktycznych. Jedną z nich była m.in. grafika
komputerowa.
Benoit Mandelbrot urodził się w Warszawie 20 listopada 1924 roku w rodzinie
litewskich Żydów. W 1936 roku wyemigrował z rodzicami do Francji, gdzie
studiował w Ecole Polytechnique w Paryżu. Po wojnie wyjechał do USA. Pracował
w centrum badawczym im. Watsona w Nowym Jorku, wykładał na Uniwersytecie
Harvarda, w Massachusetts Institute of Technology, a od 1987 roku był profesorem
na Uniwersytecie Yale.

-

Jeśli mówimy o wpływie w matematyce i jej zastosowaniach w naukach ścisłych,

Mandelbrot był jedną z najważniejszych postaci ostatnich 50 lat - powiedział o
zmarłym profesor matematyki z Uniwersytetu w Bremie, Heinz-Otto Peitgen,
cytowany w artykule wspomnieniowym w niedzielnym "New York Timesie".

ALGEBRA

18

Macierze

ALGEBRA

19



Definicja

Macierzą rzeczywistą wymiaru m



n, gdzie m,n



N

nazywamy tablicę

prostokątną m



n liczb rzeczywistych ustawionych w m wierszach i n

kolumnach:

kolumna

ta

j

wiersz

ty

i

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

mn

mj

m

in

ij

i

n

j







































































1

1

1

1

11

Element stojący na przecięciu i-tego wiersza i j-tej kolumny oznaczamy
przez

a

ij

.

Macierz A o elementach

a

ij

zapisywana jest jako [

a

ij

] lub [

a

ij

]

mxn

.

Macierze

ALGEBRA

20

Uwagi

W definicji macierzy przyporządkowujemy parze (i,j)
(

miejscu na przecięciu i-tego wiersza i j-tej kolumny)

liczbę

a

ij

, zatem macierz jest wartością funkcji

odwzorowującej iloczyn kartezjański
(1,..., m)



(1, ... , n

) w zbiór liczb rzeczywistych R

( i, j)



( 1, ..., m)



( 1, ..., n), ( i, j)



a

ij

.

Jeżeli

a

ij

są liczbami zespolonymi, to otrzymujemy

macierz zespoloną.

Macierze

ALGEBRA

21



Definicja

Macierz kwadratowa stopnia n jest to macierz o wymiarze n



n.

Liczbę wierszy n równą liczbie kolumn n nazywamy stopniem
macierzy.

























nn

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a



















1

2

22

21

1

11

Elementy macierzy mające ten sam numer wiersza i kolumny
tworzą główną przekątną macierzy

.

Macierze

ALGEBRA

22

Macierz diagonalna stopnia n jest to macierz kwadratowa stopnia
n,

w której wszystkie elementy poza główną przekątną są równe 0.

























nn

a

a

a

















0

0

0

0

0

22

11

Macierz jednostkowa stopnia n jest to macierz diagonalna,
której przekątna składa się z samych jedynek. Oznaczamy ją I

n

lub I.

























1

0

0

1

0

0

0

1

















Macierze

ALGEBRA

23

Wektor kolumnowy jest to macierz o wymiarze m



1.

Wektor wierszowy jest to macierz o wymiarze 1



n.

Macierzą trójkątną dolną (dolnotrójkątną

)

nazywamy macierz

kwadratową, w której elementy leżące nad górną przekątną są
równe 0.

Macierzą trójkątną górną (górnotrójkątną)

nazywamy macierz

kwadratową, w której elementy leżące pod górną przekątną są
równe 0.

Macierz zerowa

oznaczona 0 lub 0

mxn

jest macierzą wymiaru m



n

składającą się z samych zer

.

Macierze

ALGEBRA

24

Przykłady

Wektor kolumnowy wymiaru 3:

Wektor wierszowy wymiaru 4:

[2, -4, 7, 3].

Macierz o wymiarze 2



3:

Macierz dolnotrójkątna stopnia 2:

Macierze

ALGEBRA

25



Definicja

Macierze A i B

nazywamy równymi, co zapisujemy A = B, jeżeli

mają ten sam wymiar m



n

i jeżeli a

ij

= b

ij

dla i = 1, ..., m

oraz j = 1, ... ,n.

Przykład

Obliczyć dla jakich wartości x i y macierze A i B są równe.

Macierze

ALGEBRA

26



Definicja

Sumą macierzy A = [ a

ij

] i B = [ b

ij

] wymiaru m



n, nazywamy

macierz C = [ c

ij

] wymiaru m



n

taką, że

c

ij

= a

ij

+ b

ij

, 1



i



m, 1



j



n.

(oznaczenie C = A + B)

Przykład

Macierze

ALGEBRA

27



Definicja

Różnicą macierzy A = [ a

ij

] i B = [ b

ij

] wymiaru m



n, nazywamy

macierz C = [ c

ij

] wymiaru m



n

taką, że

c

ij

= a

ij

- b

ij

, 1



i



m, 1



j



n.

(oznaczenie C = A - B)

Przykład

Macierze

ALGEBRA

28

Zadanie

Jaką wartość musi mieć x, żeby podana niżej macierz była
macierzą trójkątną dolną?

Macierze

ALGEBRA

29



Definicja

Dla macierzy A =[ a

ij

] i liczby rzeczywistej c

c



A =[ c



a

ij

].

Mnożąc macierz A przez liczbę c, mnożymy każdy wyraz macierzy

przez c.

Przykład

Macierze

ALGEBRA

30

Niech

A

= [

a

ij

]

będzie macierzą wymiaru m



p oraz

B = [ b

jk

]

macierzą wymiaru p



n.



Definicja

Iloczynem macierzy

A

i

B

nazywamy macierz

C= [ c

ij

]

wymiaru

m



n o wyrazach:

pj

ip

j

i

j

i

ij

b

a

b

a

b

a

c











2

2

1

1

gdzie 1



i



m, 1



j



n, tzn.:

 

n

m

p

k

kj

ik

n

m

ij

b

a

c

B

A



























1

Macierze

ALGEBRA

31

Praktyczny sposób mnożenia macierzy

Wybieramy i - ty wiersz macierzy A tzn. (

a

i1

, a

i2

, ... , a

ip

) oraz j -

tą kolumnę

macierzy B tzn. (

b

1j

, b

2j

, ... , b

pj

).

Mnożymy kolejno odpowiednie wyrazy wybranego wiersza i wybranej
kolumny przez siebi

e i otrzymane iloczyny dodajemy, otrzymując wyraz

c

ij

macierzy C.

Wyraz

c

ij

macierzy C

jest więc iloczynem skalarnym i - tego wiersza macierzy

A oraz j - tej kolumny macierzy B

.



Macierze

ALGEBRA

32

Uwagi !

Mnożenie macierzy w ogólnym przypadku nie jest przemienne.

Dwie macierze można pomnożyć tylko wtedy gdy liczba kolumn

macierzy A

jest równa liczbie wierszy macierzy B.

Przykład

Obliczyć iloczyny macierzy: A



B i B



A.

















2

3

1

2

A



















3

1

2

1

B

A



B



B



A

Macierze

ALGEBRA

33

Przykłady

=

Macierze

ALGEBRA

34

Zadanie

Obliczyć iloczyn macierzy:

Macierze