AF 2012/2013, 3. Cia

‘

g lo´s´

c, zwarto´s´

c i domknie

‘

to´s´

c

12

§ 3.

Cia

‘

g lo´

s´

c, zwarto´

s´

c i domknie

‘

to´

s´

c

Plan wyk ladu:
1. Cia

‘

g lo´s´c operator´

ow liniowych.

2. Normy r´ownowa˙zne.
3. Zwarto´s´c kuli jednostkowej.
4. Domknie

‘

to´s´c podprzestrzeni liniowych.

1. Cia

‘

g lo´

s´

c

Niech X, Y p.unormowane. Cia

‘

g lo´s´c T : X → Y okre´slamy tak

jak w przestrzeniach metrycznych: T jest cia

‘

g le w x

0

∈ X, je´sli

dla ka˙zdego x

n

→ x

0

, T (x

n

) → T (x

0

). R´

ownowa˙znie: je´sli

∀ε > 0∃δ > 0 ||x − x

0

|| < δ ⇒ ||T (x) − T (x

0

)|| < ε.

T nazywamy cia

‘

g lym, je´sli jest cia

‘

g le w ka˙zdym punkcie.

T : X → Y nazywamy operatorem liniowym, je´sli T jest

addytywne oraz jednorodne, tj. je´sli T (x

1

+ x

2

) = T (x

1

) + T (x

2

)

oraz T (λx) = λT (x).

Je´sli T : X → Y jest liniowe, to T (0) = 0. Istotnie, mamy:

T (0) = T (0 · 0) = 0 · T (0) = 0.

Twierdzenie

Niech X, Y p.unormowane. Operator liniowy T : X → Y jest
cia

‘

g ly ⇔ T jest cia

‘

g ly w 0.

Dow´

od

. Implikacja cia

‘

g lo´s´c ⇒ cia

‘

g lo´s´c w 0 jest oczywista. Niech

teraz T bedzie cia

‘

g le w 0 oraz x

n

→ x

0

, x

0

∈ X dowolny punkt.

Wtedy x

n

− x

0

→ 0. Sta

‘

d T (x

n

) − T (x) = T (x

n

− x) → (0) = 0.

W konsekwencji, T (x

n

) → T (x

0

). Zatem T jest cia

‘

g le w x

0

. 

Przyk lady

(a) Niech T : L

1

([0, 1]) → R, T (x) =

R

1

0

tx(t) dt. T jest liniowe

i cia

‘

g le (wzgl. normy ca lkowej). Dow´

od

. Niech x

n

→ 0, tj.

||x

n

|| → 0. Wtedy ||T (x

n

)|| = |

R

1

0

tx

n

(t) dt| ≤

R

1

0

|x

n

(t)| dt =

||x

n

|| → 0. Sta

‘

d T (x

n

) → 0 = T (0).

AF 2012/2013, 3. Cia

‘

g lo´s´

c, zwarto´s´

c i domknie

‘

to´s´

c

13

(b) Niech T : C

1

([0, 2π]) → C([0, 2π]), T (x) = x

′

pochodna. T

jest liniowe lecz niecia

‘

g le wzgl. normy supremum. Dow´

od

. Dla

x

n

(t) = (1/n) sin nt mamy: ||x

n

|| = sup

t

|x

n

(t)| = 1/n → 0 ale

||T (x

n

)|| = sup

t

| cos nt| = 1 6→ 0.

2. Normy r´

ownowa ˙zne

Normy ||·||

1

, ||·||

2

w X nazywamy r´

ownowa˙znymi, je´sli okre´slaja

‘

one te same cia

‘

gi zbie˙zne, tj. je´sli:

||x

n

− x||

1

→ 0 ⇔ ||x

n

− x||

2

→ 0.

Normy sa

‘

r´

ownowa˙zne ⇔ gdy okre´slaja

‘

te same cia

‘

gi zbie˙zne do

zera.

Przyk lady

(a) W R

k

r´ownowa˙zne sa

‘

normy: euklidesowa, taks´

owkowa i

maksimum poniewa˙z:

max{|x

1

|, . . . , |x

k

|} ≤

px

2
1

+ . . . + x

2
k

≤ |x

1

| + . . . + |x

k

| ≤ k max{|x

1

|, . . . , |x

k

|},

tj. ||x||

max

≤ ||x||

e

≤ ||x||

tax

≤ k||x||

max

.

(b) W C[0, 1] normy supremum i ca lkowa, nie sa

‘

r´

ownowa˙zne.

Dow´

od

. Niech x

n

be

‘

dzie funkcja

‘

, kt´

orej wykresem jest lamana

o wierzcho lkach: (0, 1), (1/n, 0), (1, 0), n = 1, 2, . . . . Wtedy x

n

∈

C[0, 1].

Niech ||x||

1

= sup

t

|x(t)| norma supremum, ||x||

2

=

R

1

0

|x(t)| dt

norma ca lkowa. Wtedy ||x

n

||

2

= 1/(2n) → 0. Zatem x

n

→ 0

wzgle

‘

dem || · ||

2

. Natomiast ||x

n

||

1

= 1 → 1 6= 0. Zatem x

n

6→ 0

wzgle

‘

dem || · ||

1

.

AF 2012/2013, 3. Cia

‘

g lo´s´

c, zwarto´s´

c i domknie

‘

to´s´

c

14

Kryterium r´

ownowa ˙zno´

sci norm

Normy || · ||

1

, || · ||

2

w X sa

‘

r´

ownowa˙zne ⇔ sa

‘

por´

ownywalne,

tj. je´sli istnieja

‘

sta le c

1

, c

2

> 0 takie, ˙ze dla ka˙zdego x ∈ X:

(*)

||x||

1

≤ c

2

||x||

2

||x||

2

≤ c

1

||x||

1

Dow´

od

. Dostateczno´s´c (*) jest oczywista: (*) implikuje, ˙ze obie

normy wyznaczaja

‘

te same cia

‘

gi zbie˙zne do zera.

Przypu´s´cmy teraz, ˙ze normy sa

‘

r´

ownowa˙zne ale (*) nie zachodzi.

Niech ∀c > 0 ∃x 6= 0 ||x||

1

> c||x||

2

. Wtedy ∀ n ∃x

n

6= 0 ||x

n

||

1

>

n||x||

2

. Sta

‘

d

||x||

2

||x||

1

<

1

n

,

||

x

n

||x

n

||

1

||

2

<

1

n

→ 0.

Wobec r´

ownowa˙zno´sci norm mamy

||

x

n

||x

n

||

1

||

1

→ 0

ale ||

x

n

||x

n

||

1

||

1

= 1 → 1 6= 0.

Sprzeczno´s´c. Analogicznie otrzymujemy sprzeczno´s´c w drugim
przypadku. 

Twierdzenie

W ka˙zdej przestrzeni sko´

nczenie wymiarowej wszystkie

normy sa

‘

r´ownowa˙zne.

Dow´

od

. Niech dim X = k, {b

1

, . . . , b

k

} baza Hamela w (X, || · ||).

Ka˙zdy x ∈ X ma jednoznaczne przedstawienie w postaci x =
α

1

b

1

+ . . . + α

k

b

k

. Funkcjona l ||x||

e

=

pα

2
1

+ . . . + α

2
k

jest norma

‘

w X. Pozostaje wykaza´c, ˙ze normy || · || i || · ||

e

sa

‘

r´

ownowa˙zne

(por´ownywalne). Poka˙zemy najpierw, ˙ze istnieje c > 0 takie, ˙ze

(1)

||x|| ≤ c · ||x||

e

dla ka˙zdego x ∈ X.

Dla x = α

1

b

1

+ . . . + α

k

b

k

mamy

||x|| ≤ |α

1

| ||b

1

|| + . . . + |α

k

| ||b

k

|| ≤ [Nier.Schwarza]

(|α

1

|

2

+ . . . + |α

k

|

2

)

1

/2

· (||b

1

||

2

+ . . . + ||b

k

||

2

)

1

/2

≡ c · ||x||

e

.

Pozostaje pokaza´c, ˙ze istnieje c > 0 takie, ˙ze:

AF 2012/2013, 3. Cia

‘

g lo´s´

c, zwarto´s´

c i domknie

‘

to´s´

c

15

(2)

||x||

e

≤ c · ||x|| dla ka˙zdego x ∈ X.

Przypu´s´cmy, ˙ze (2) nie zachodzi. Wtedy

∀ c > 0 ∃ x 6= 0 ||x||

e

> c · ||x||.

R´ownowa˙znie:

∀ c > 0 ∃ x 6= 0 ||

x

||x||

e

||

e

= 1 > c · ||

x

||x||

e

||.

R´

ownowa˙znie:

∀ c > 0 ∃ y ||y||

e

= 1,

c · ||y|| < 1.

Dla c = n, n = 1, 2, . . . , otrzymamy cia

‘

g (y

n

) taki, ˙ze:

||y

n

||

e

= 1,

n · ||y

n

|| < 1 dla n = 1, 2, . . . .

Sta

‘

d ||y

n

|| < 1/n → 0, tj. y

n

→ 0 w normie || · ||. Ale (y

n

) jest

cia

‘

giem || · ||

e

-ograniczonym. Cia

‘

g (y

n

) ma wie

‘

c podcia

‘

g || · ||

e

-

zbie˙zny do pewnego y ∈ X [CW].

Mo˙zemy za lo˙zy´c , ˙ze y

n

→ y w normie || · ||

e

. W konsekwencji

1 = ||y

n

||

e

→ ||y||

e

= 1. W szczeg´

olno´sci, y 6= 0. Ale na podstawie

1-szej cze

‘

´sci dowodu mamy:

∃ c > 0 ||y

n

− y|| ≤ c · ||y

n

− y||

e

→ 0.

Poniewa˙z | ||y

n

|| − ||y|| | ≤ ||y

n

− y||, to ||y

n

|| → ||y||. Jednocze´snie

||y

n

|| → 0 ska

‘

d ||y|| = 0. Zatem y = 0. Sprzeczno´s´c.



Uwaga

.

Zbie˙zno´s´c w R

k

(wzgle

‘

dem dowolnej normy) jest r´

ow-

nowa˙zna zbie˙zno´sci po wsp´

o lrze

‘

dnych:

(x

n1

, . . . , x

nk

) → (x

1

, . . . , x

k

) ⇔ x

ni

→ x

i

dla i = 1, . . . , k.

Dow´

od

. Na podstawie Twierdzenia wystarczy pokaza´c, ˙ze zbie˙z-

no´s´c w normie ||·||

e

jest r´

ownowa˙zna zbie˙zno´sci po wsp´

o lrze

‘

dnych.

Dla k = 2 mamy

||(x

n

, y

n

) − (x, y)||

e

=

p(x

n

− x)

2

+ (y

n

− y)

2

→ 0

⇔ x

n

− x → 0 i y

n

− y → 0.

Podobnie dla k > 2. 

AF 2012/2013, 3. Cia

‘

g lo´s´

c, zwarto´s´

c i domknie

‘

to´s´

c

16

3. Zwarto´

s´

c kuli jednostkowej

Niech X p.unormowana. Zbi´

or A ⊂ X jest zwarty ⇔ ka˙zdy

cia

‘

g x

n

∈ A ma podcia

‘

g zbie˙zny do pewnego x ∈ A. Zwarto´s´c

zbioru A implikuje:

(1) domknie

‘

to´s´c zbioru A: x

n

∈ A, x

n

→ x ∈ X ⇒ x ∈ A,

(2) ograniczono´s´c zbioru A: ∃M > 0 ∀x ∈ A ||x|| ≤ M .

[CW]

W przestrzeniach sko´

nczenie wymiarowych (R

k

) zbi´

or jest zwar-

ty iff jest domknie

‘

ty i ograniczony.

Je´sli dim X = ∞, to zbiory domknie

‘

te i ograniczone moga

‘

nie

by´c zwarte.

Twierdzenie

Domknie

‘

ta kula jednostkowa K = {x ∈ X : ||x|| ≤ 1}

jest zbiorem domknie

‘

tym i ograniczonym.

Kula K jest zwarta ⇔ dim X < ∞.

W konsekwencji, zbiory zwarte w przestrzeniach niesko´

nczenie

wymiarowych maja

‘

puste wne

‘

trze.



4. Domknie

‘

to´

s´

c podprzestrzeni liniowych

Podprzestrzenie liniowe w R

2

to proste przechodza

‘

ce przez 0.

Latwo sprawdzi´c, ˙ze sa

‘

to zbiory domknie

‘

te w R

2

. Podobnie jest

w R

k

.

Twierdzenie

Niech X be

‘

dzie p.unormowana

‘

. Ka˙zda sko´

nczenie wymiarowa

podprzestrze´

n liniowa Y ⊂ X jest zbiorem domknie

‘

tym.

Dow´

od

. Niech (X, || · ||) p.unormowana, Y ⊂ X podp. liniowa,

dim Y < ∞, y

n

∈ Y , y

n

→ x ∈ X.

Poka˙zemy, ˙ze x ∈ Y . Niech dim Y = k i {b

1

, ..., b

k

} baza

Hamela w Y . Ka˙zdy y ∈ Y ma jednoznaczne przedstawienie w
postaci: y = α

1

b

1

+. . .+α

k

b

k

. Funkcjona l ||y||

e

=

pα

2
1

+ . . . + α

2
k

jest norma

‘

na Y . Normy || · || i || · ||

e

sa

‘

r´

ownowa˙zne a po-

nadto zbie˙zno´s´c w normie || · ||

e

jest r´

ownowa˙zna zbie˙zno´sci po

AF 2012/2013, 3. Cia

‘

g lo´s´

c, zwarto´s´

c i domknie

‘

to´s´

c

17

wsp´

o lrze

‘

dnych. Niech y

n

= α

1

n

b

1

+ . . . + α

kn

b

k

. Wtedy zbie˙zne

sa

‘

cia

‘

gi (α

1

n

), . . . , (α

kn

). Niech α

1

n

→ α

10

, ..., α

kn

→ α

k0

. Sta

‘

d

y

n

→ α

10

b

1

+ . . . + α

k0

b

k

∈ Y i mamy x = α

10

b

1

+ . . . + α

k0

b

k

.

Zatem x ∈ Y .

Uwaga

Podprzestrzenie liniowe niesko´

nczenie wymiarowe Y ⊂ X,

dim Y = ∞, moga

‘

nie by´c zbiorami domknie

‘

tymi.

Przyk lad

C([0, 1]) ⊂ L

1

([0, 1]) ≡ L

1

([0, 1])/∼ jest podprzestrzenia

‘

liniowa

‘

niesko´

nczenie wymiarowa

‘

ale nie jest zbiorem

domknie

‘

tym w L

1

([0, 1]).

Dow´

od

. Niech x

n

, lamana la

‘

cza

‘

ca punkty

(0, 0), (1/2 − 1/n, 0), (1/2 + 1/n, 1), (1, 1),

n = 4, 5, . . . .

[rys]

Wtedy x

n

→ x wzgl. normy ca lkowej, gdzie x dowolna funkcja

mierzalna r´owna 0 p.w. na [0, 1/2) i r´

owna 1 p.w. na (1/2, 1].

Istotnie, dla ka˙zdej takiej funkcji x mamy

R

1

0

|x

n

(t) − x(t)| dt =

1

n

·

1
2

·

1
2

· 2 =

1

2n

→ 0.

[rys]

Ale ˙zadna taka funkcja nie nale˙zy do C([0, 1]) bo jest niecia

‘

g la w

1/2, gdy˙z:

istnieje cia

‘

g t

n

< 1/2, t

n

→ 1/2, x(t

n

) = 0 → 0,

istnieje cia

‘

g s

n

> 1/2, s

n

→ 1/2, x(s

n

) = 1 → 1.