WYTRZYMAŁO
ŚĆ
MATERIAŁÓW
W
YBOCZENIE PR
Ę
TÓW
Wykład 5
WYTRZYMAŁO
ŚĆ
MATERIAŁÓW
W
YBOCZENIE PR
Ę
TÓW
Wykład 5
W
YBOCZENIE
Wyboczenie
to niekontrolowane ugi
ę
cie osiowo
ś
ciskanego pr
ę
ta.
Teoretycznie, gdy pr
ę
t jest idealnie symetryczny, a
siła
ś
ciskaj
ą
ca idealnie osiowa i centryczna,
wyboczenie nie ma prawa wyst
ą
pi
ć
.
W rzeczywistych układach taki warunek jest jednak
bardzo rzadko spełniony.
WYBOCZENIE
Przy rozpatrywaniu zagadnienia
ś
ciskania ciał
zakładali
ś
my,
Ŝ
e
ś
ciskaj
ą
ca siła P działa
równomiernie na wszystkie przekroje poprzeczne
ś
ciskanego ciała.
Zało
Ŝ
enie takie mo
Ŝ
e mie
ć
miejsce tylko w tym
przypadku, je
Ŝ
eli:
W
ARUNKI BRAKU WYBOCZENIA
Materiał
ś
ciskany jest wsz
ę
dzie jednorodny,
Ś
ciskaj
ą
ca siła P działa
ś
ci
ś
le w kierunku
geometrycznej osi ciała,
Nie wyst
ę
puj
ą
Ŝ
adne siły, które działałyby nie w
kierunku geometrycznej osi ciała.
Pr
ę
ty zawsze maj
ą
pewne niedokładno
ś
ci
wykonania, siły mog
ą
by
ć
przykoszone lub obci
ąŜ
a
ć
pr
ę
ty ekscentrycznie.
W takiej sytuacji przy odpowiednio du
Ŝ
ym
obci
ąŜ
eniu, wi
ę
kszym ni
Ŝ
obci
ąŜ
enie dopuszczalne
P
dop
, istnieje niebezpiecze
ń
stwo wyboczenia.
spr
ęŜ
yste
, to znaczy takie, gdy po odci
ąŜ
eniu pr
ę
ta
wraca on do pierwotnego, wyprostowanego
kształtu, lub
Wyboczenie mo
Ŝ
e by
ć
:
niespr
ęŜ
yste
, gdy pr
ę
t utrzymuje swój wyboczony
kształt tak
Ŝ
e po odci
ąŜ
eniu.
O
BCI
Ąś
ENIE DOPUSZCZALNE
Obci
ąŜ
enie dopuszczalne oblicza si
ę
ze wzoru:
n
kryt
dop
P
P
=
gdzie:
P
kryt
– obci
ąŜ
enie krytyczne,
n
– współczynnik bezpiecze
ń
stwa.
Współczynnik bezpiecze
ń
stwa – liczba niemianowana (dla materiałów
elastycznych od 1,5 do 3, dla materiałów kruchych od 8 do 12) mówi
ą
ca,
ile razy napr
ęŜ
enie
σ
wyst
ę
puj
ą
ce podczas normalnej pracy konstrukcji
jest mniejsze od napr
ęŜ
enia niebezpiecznego
σ
n
.
D
ŁUGO
ŚĆ
WYBOCZENIOWA
Innym wa
Ŝ
nym parametrem
ś
ciskanego pr
ę
ta, ze
wzgl
ę
du na wyboczenie jest jego
długo
ść
wyboczeniowa
l
l
w
⋅
=
µ
µ
– współczynnik zale
Ŝ
ny od sposobu podparcia (mocowania pr
ę
ta) na
obu ko
ń
cach;
obu ko
ń
cach;
l
– długo
ść
pr
ę
ta.
S
MUKŁO
ŚĆ
PR
Ę
TA
Smukło
ść
pr
ę
ta to bezwymiarowa liczba:
min
i
l
w
=
λ
gdzie:
l
– długo
ść
wyboczeniowa, [m];
gdzie:
l
w
– długo
ść
wyboczeniowa, [m];
i
min
– najmniejszy promie
ń
bezwładno
ś
ci przekroju [m]
wyznaczony z zale
Ŝ
no
ś
ci:
A
I
i
min
min
=
gdzie:
I
min
– najmniejszy główny centralny moment bezwładno
ś
ci
przekroju [m
4
];
A
– pole przekroju [m
2
]
S
MUKŁO
ŚĆ
GRANICZNA
Dla wi
ę
kszo
ś
ci materiałów, smukło
ś
ci
ą
graniczn
ą
dla wyboczenia niespr
ęŜ
ystego jest
E
⋅
=
π
λ
n
R
⋅
=
π
λ
gdzie:
E
– współczynnik spr
ęŜ
ysto
ś
ci wzdłu
Ŝ
nej ,
R
n
– maksymalne napr
ęŜ
enie, dla którego mo
Ŝ
na przyj
ąć
wa
Ŝ
no
ść
prawa Hooke’a.
Dla wyboczenia spr
ęŜ
ystego mo
Ŝ
na wyznaczy
ć
sił
ę
krytyczn
ą
z zale
Ŝ
no
ś
ci:
S
MUKŁO
ŚĆ
GRANICZNA
min
2
I
E
⋅
⋅
=
π
P
2
min
l
I
E
kryt
⋅
⋅
=
µ
π
P
P
RZYKŁAD
Pr
ę
t o przekroju prostok
ą
tnym utwierdzony dolnym
ko
ń
cem jest obci
ąŜ
ony na swobodnym, górnym
ko
ń
cu sił
ą
F
. Zaprojektowa
ć
wymiary pr
ę
ta na
podstawie kryterium wyboczenia.
Dane:
F
= 550 kN,
l
= 50 cm, stałe materiałowe dla
stali w
ę
glowej (o zawarto
ś
ci 0,28-0,37% C)
a
= 463
MPa,
b
= 3,62 MPa,
E
= 200000 MPa,
l
gr
= 100 oraz
n
w
= 3.
Kryterium wyboczenia pr
ę
ta:
n
F
F
kryt
dop
=
Poniewa
Ŝ
geometryczny moment bezwładno
ś
ci
wzgl
ę
dem osi
y
jest mniejszy ni
Ŝ
moment
wzgl
ę
dem osi
y
jest mniejszy ni
Ŝ
moment
bezwładno
ś
ci wzgl
ę
dem osi
z
, to utrata
stateczno
ś
ci pr
ę
ta nast
ą
pi w płaszczy
ź
nie
xz
, a
wi
ę
c kryterium wyboczenia Eulera przyjmie
posta
ć
:
2
2
w
y
l
n
I
E
F
⋅
⋅
⋅
≤
π
gdzie: geometryczny moment bezwładno
ś
ci dla
przekroju prostok
ą
tnego:
6
12
2
4
3
h
h
h
I
y
=
⋅
⋅
=
długo
ść
wyboczeniowa pr
ę
ta (zamocowanie
długo
ść
wyboczeniowa pr
ę
ta (zamocowanie
sztywne pr
ę
ta) wynosi:
l
l
l
w
⋅
=
⋅
=
2
µ
wówczas:
( )
6
2
2
4
2
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
≤
l
n
h
E
F
π
st
ą
d:
4
2
2
24
E
l
n
F
h
⋅
⋅
⋅
⋅
≥
π
czyli:
cm
7
,
4
≥
h
Załó
Ŝ
my,
Ŝ
e wymiar
h
= 4,7 cm.
Załó
Ŝ
my,
Ŝ
e wymiar
h
= 4,7 cm.
Smukło
ść
pr
ę
ta:
3
,
73
3
4
2
1
6
2
2
4
min
min
=
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
=
=
h
l
h
h
l
A
I
l
i
l
w
w
λ
Poniewa
Ŝ
smukło
ść
pr
ę
ta przy wymiarze h = 4,7 cm jest mniejsza od
smukło
ś
ci granicznej
l
gr
<
l
, to obliczenia nale
Ŝ
y powtórzy
ć
przy
zastosowaniu
wzoru Tetmajera-Jasi
ń
skiego
.
Kryterium wyboczenia pr
ę
ta przy zastosowaniu
wzoru Tetmajera-Jasi
ń
skiego
n
kryt
σ
σ
≤
n
b
a
A
F
λ
⋅
−
≤
czyli
Po podstawieniu:
l
Po podstawieniu:
h
l
h
A
3
4
;
2
2
=
⋅
=
λ
otrzymujemy zale
Ŝ
no
ść
:
n
h
l
b
a
h
F
3
4
2
2
⋅
−
≤
⋅
st
ą
d:
po podstawieniu danych nierówno
ść
ma posta
ć
: