ZASADY STATYKI

1. Zasada równoległoboku – dwie siły
przyłożone do jednego punktu możemy
zastąpić jedną siłą wypadkową, która jest
przekątną równoległoboku zbudowanego na
tych wektorach
2. Dwie siły przyłożone do ciała sztywnego są
w równowadze gdy działają wzdłuż jednej
prostej i mają te same wartości, ale przeciwne
zwroty. Układ taki nazywamy zerowym.
3. Działanie układu sił nie ulegnie zmianie,
gdy do układu tego dodamy układ wzajemnie
równoważących się sił.
4. Zasada zesztywnienia działanie układu sił
nie ulegnie zmianie przez zesztywnienie ciała
na które działają te siły.
5. Każdemu działaniu towarzyszy równe co do
wartości o przeciwnym zwrocie i leżące na tej
samej prostej przeciwdziałanie.
6. Zasada oswobodzenia z więzów – każde
ciało nieswobodne można oswobodzić z
więzów zastępując je reakcjami. Wówczas
można rozpatrywać takie ciało jako swobodne
znajdujące się pod działaniem sił sztywnych i
biernych.

Momentem siły P względem punktu 0

nazywamy iloczyn wektorowy tej siły przez
promień – wektor łączący 0 z dowolnym
punktem na linii działania tej siły.

Momentem siły P względem osi l

nazywamy

rzut wektora momentu siły obliczonego
względem dowolnego punktu na osi l na
kierunek tej siły.

Para sił

to układ sił równoległych o tych

samych wartościach liczbowych lecz zwrotach
przeciwnych.
Własności
-moment pary sił nie zależy od wyboru
bieguna względem którego wyznaczamy i jest
wartością stałą.
-każdą parę sił działającą w dowolnej
płaszczyźnie możemy zastąpić inną parą sił
działającą w tej samej płaszczyźnie o
momencie równym momentowi pierwotnemu.
-pary sił działające w jednej płaszczyźnie
możemy zastąpić jedną parą sił o momencie
równym sumie momentów poszczególnych par
sił
-pary sił działające w różnych płaszczyznach
możemy zastąpić parą o momencie równym
sumie geometrycznej momentów sił.

REDUKCJA DOWOLNEGO UKŁADU SIŁ
M

o

=



a=1

n

M

a

– moment główny układu sił

S=



k=1

n

P

k

– wektor główny układu sił

M

01

=M

0

-r



s -

wzór Bosma

(moment siły S

względem bieguna O gdzie r = OO

1

)

M

O1



S= M

O

S=k=const Iloczyn momentu

głównego względem dowolnego punktu ciała i
wektora głównego układu jest równy
iloczynowi mom. gł. układu względem
bieguna redukcji O i jest stały = k.
S jest pierwszym niezmiennikiem układu sił.
k

–

parametr

układu

jest

drugim

niezmiennikiem układu sił.

Skrętnik

– wynik redukcji dla którego wektor

momentu głównego M.

O

jest wektorem

równoległym do wektora głównego S

Oś centralna układu

– prosta równoległa do

wektora głównego S, na której leżą wszystkie
bieguny redukcji, względem których układ
redukuje się do skrętnika.

Równanie parametryczne osi centralnej
(M

x

-(yS

z

-zSy))/S

x

= (M

y

-(zS

x

-xS

z

))/S

y

= (M

z

-

(xS

y

-yS

x

))/S

z

TABLICA REDUKCJI

S

M.

O

K

Wynik

S



0

M.

O



0

K



0

Skrętnik lub 2 siły
równoległe

S



0

M.

O



0

K=
0

Wypadkowa

S



0

M.

O

=

0

K=
0

Wypadkowa

S=
0

M.

O



0

K=
0

Para sił

S=
0

M.

O

=

0

K=
0

Równowaga układu
sił

SZCZEGÓLNE UKŁADY SIŁ

Zbieżny układ sił

– układ sił których linie

działania przecinają się w jednym punkcie.
Jeżeli wszystkie siły układu zbieżnego leżą w
jednej płaszczyźnie układ taki nazywamy
płaskim zbieżnym układem sił.

Każdy płaski układ sił można zredukować do
wypadkowej
M

0

-(x



i=1

n

P

iy

-P

ix

)=0

– równanie prostej

działania wypadkowej

Warunki równowagi płaskiego układu sił
M.

O

=0 , S=0

Układ sił równoległych

– układ sił których

linie działania są do siebie równoległe. Układ
sił da się zredukować do wypadkowej k=0 lub
pary sił gdy S=0. Środek sił równoległych to
punkt zaczepienia ich wypadkowej

Środek sił równoległych

– określa się jako

współrzędne x

s

, y

s

, z

s

x

s

=(



x

i

P

i

)/



P

i

;

y

s

==(



y

i

P

i

)/



P

i

; z

s

=(



z

i

P

i

)/



P

i

;

Moment

statyczny

punktu

materialnego

względem dowolnej płaszczyzny to iloczyn
masy tego punktu i jego odległości od
płaszczyzny.

Środek ciężkości

to punkt w którym skupiona

masa układu ma względem dowolnej
płaszczyzny lub osi taki sam moment
statyczny jak cały układ materialny

TWIERDZENIA DOTYCZĄCE ŚRODKA
MASY:
1)środek masy układu płaskiego leży w
płaszczyźnie tego układu
2)środek masy linii prostej leży na tej linii
3)środek masy dwóch punktów materialnych
leży na prostej łączącej te punkty i dzieli ją na
odcinki

o

długościach

odwrotnie

proporcjonalnych do ich mas.
4)Środek masy układu mającego środek
symetrii leży w tym środku. Jeżeli układ ma 2
lub więcej osi symetrii to środek leży w
punkcie przecięcia się tych osi
5)Rzut środka ciężkości figury płaskiej na
dowolną płaszczyznę jest środkiem ciężkości
rzutu tej figury na dowolną płaszczyznę.
6)Moment statyczny względem osi lub
płaszczyzny przechodzącej przez środek
ciężkości jest zawsze równy 0.
7)Moment statyczny nie zmieni się jeżeli
zamiast części układu wprowadzimy punkt
materialny o masie równej masie danej części
leżący w środku ciężkości tej części masy.

TARCIE KINETYCZNE


Q

GR

=



G; T

MAX

=



T; 0



Q



Q

GR

; 0



T



T

GR

tg



gr

= T

GR

/N=



N/N=



;



gr

=arctg



;

0



GR

Tarcie na równi pochyłej


Suma P

X

=0 Gsin



-T=0

Suma P

Y

=0 N-Gcos



=0

T

MAX

=



T; T

MAX

=

Gsin



max

; tg



max

=





max

=arctg



warunek samohamowalności

równi

Tarcie przy toczeniu

QR=NT f- współ. tarcia przy toczeniu

Nf

Max

=M

T

moment tarcia przy toczeniu

0



M

T



QR=Nf

Tarcie pasów o koła
S=S

1

e



;



- kąt opasania; S,S

1

– siła

naciągu pasa
PRĘT

Pręt – bryła której jeden wymiar wyraźnie
dominuje nad pozostałymi. Pręt powstaje w
wyniku przesuwania figury płaskiej A wzdłuż
krzywej k, tak że figura pozostaje zawsze
prostopadła do krzywej k, a jej środek
ciężkości zawsze znajduje się na krzywej k.
Figurę

płaską

nazywamy

przekrojem

normalnym pręta a krzywą k – osią pręta.
T- siła poprzeczna
N – siła normalna
M

s

– moment skręcający

M

g

– moment gnący

Siłą normalną w przekroju aa nazywamy
sumę rzutów wszystkich sił znajdujących się
po jednej stronie przekroju na kierunek

normalny do przekroju (dodatnia jeżeli
powoduje rozciąganie).
Siłą poprzeczną w przekroju aa nazywamy
sumę wszystkich sił znajdujących się po jednej
stronie przekroju (względem jego środka
ciężkości) na kierunek prostopadły do osi
przekroju.
Moment zginający przekroju aa nazywamy
rzut wektora momentu będącego sumą
momentów wszystkich sił znajdujących się po
jednej stronie przekroju na kierunek styczny
do przekroju (dodatni gdy powoduje wygięcie
wypukłe w dół).
Tw. Schwedlera. pochodna momentu gnącego
względem współrzędnej pokrywającej się z
osią pręta jest równa sile poprzecznej
dM

g

/ds.=T; d

2

M.

g

/dx

2

=dT/dx=-q; q –

gęstość obciążenia
KRATOWNICE
Pręt prosty nieobciążony na długości i
zakończony przegubami to pręt przegubowy
Kratownica to układ prętów przegubowych
połączonych ze sobą przegubami. Kratownica
jest płaska jeśli pręty i obciążenia leżą w
jednej płaszczyźnie
Warunek konieczny na to aby kratownica
była geometrycznie niezmienna – P=2W-3;
P- pręty; W – węzły (przeguby)
Metody wyznaczania sił w prętach kratownicy
analogiczne
1)równoważenia węzłów – wycinamy węzły w
kratownicach i piszemy warunki równowagi
dla każdego z osobna
2)przecięć Rittera – piszemy 3 warunki
momentów (tylko 1 niewiadoma)
wykreślne
1)Cremana
2)Cluman

KINEMATYKA
Prędkości i przyspieszenia
V=dr/dt=dr/ds. * ds./dt=ds./dt *



|V|=ds./dt V=V*



a=dV/dt=d/dt(V*



)=dV/dt *



+ V*d



/dt

a= d

2

s/dt

2

*



+ V

2

/r * n

Stopnie swobody – liczba niezależnych
parametrów

potrzebnych

do

określenia

położenia ciała sztywnego w przestrzeni.
Ciało swobodne (nie poddawane działaniu
więzów posiada 6 stopni swobody) n = 6 – w .
Funkcje określające położenie ciała nazywamy
równaniami ruchu ciała sztywnego (ich ilość
równa jest ilości stopni swobody)
Ruch kulisty – taki ruch ciała sztywnego,
podczas którego jeden jego punkt pozostaje
nieruchomy (środek ruchu kulistego). W
ruchu kulistym torami punktu ciała są krzywe,
które leżą na powierzchniach kul o
promieniach równych odległościom tych
punktów od punktu nieruchomego.
v =





r ; a =





r

Ruch obrotowy – ruch wokół prostej łączącej
dwa nieruchome punkty ciała sztywnego.
Prostą nazywamy osią obrotu.



= d



/dt ; |a



| =



*r = [d

2



/dt

2

]*r |a

n

| =



2

*r

; v =





r

Ruch postępowy – ruch, w którym dowolna
prosta sztywno związana z poruszającym się
ciałem pozostaje stale równoległa do
położenia, jakie zajmowała w dowolnie
obranej chwili czasu t, na przykład w chwili
początkowej.
Ruch płaski – ruch, w którym wszystkie
punkty ciała poruszają się w płaszczyznach
równoległych do pewnej płaszczyzny zwanej
płaszczyzną kierującą.

V

B

= V

A

+





AB ; V

B

= V

A

+ V

BA

; a

B

=

a

A

+ a

BA

; a

B

= a

A

+ a

s

BA

+ a

n

BA

Chwilowy środek prędkości w ruchu płaskim
– jeżeli chwilowa prędkość kątowa jest
niezerowa to musi istnieć taki punkt, którego
prędkość jest równa zero.
Chwilowy środek przyśpieszeń – w ruchu
płaskim jeżeli



i



nie są jednocześnie równe

zero istnieje punkt, którego przyśpieszenie jest
równe zero.
Ruch unoszenia – ruch układu ruchomego
względem nieruchomego układu odniesienia.
Ruch względny – ruch punktu względem
układu ruchomego.
Ruch bezwzględny – ruch punktu względem
układu nieruchomego.
Prędkość bezwzględna – jest równa
wektorowej sumie prędkości względnej i
unoszenia V

b

= V

w

+ V

u

Przyśpieszenie

bezwzględne

–

jest

wektorową sumą przyśpieszenia względnego,
unoszenia i Coriolisa
a

b

= a

w

+

a

u

+ a

c

gdzie a

w

– przyśpieszenie punktu względem

ruchomego układu odniesienia
a

u

– przyśpieszenie punktu układu ruchomego

pokrywającego się z danym punktem
a

c

= 2



V

w

przyśp. Coriolisa

D Y N A M I K A
Zasada pędu – pochodna wektora pędu
względem czasu t jest równa sile działającej na
punkt materialny
F = dp/dt
Zasada zachowania pędu – jeżeli na ciało nie
działają żadne siły lub działające pozostają w
równowadze (P = 0) to pęd ciała jest stały p =
const.
Prawa dynamiki Newtona
1)Jeżeli na punkt materialny w pewnym
okresie czasu nie działają żadne siły lub siły
działające wzajemnie się równoważą, to punkt
pozostaje w spoczynku, lub porusza się
ruchem jednostajnym po linii prostej.
2)Przyśpieszenie punktu materialnego ma
wartość wprost proporcjonalną do wartości
działającej siły i ma jej kierunek i zwrot F =
ma
3)Jeżeli na punkt materialny A działa punkt
materialny B to również punkt materialny B
działa na punkt materialny A siłą równą co do
wartości i kierunku o zwrocie przeciwnym.
Siły te leżą na prostej łączącej oba te punkty.
Prawo powszechnego ciążenia – dwa punkty
materialne oddziaływują na siebie siłami



(m

1

m

2

)/r

2

; |P| = k*(m

1

m

2

)/r

2

Siła bezwładności. Zasada d’Alamberta: P +
B = 0 Siły działające na ciało są w
równowadze z siłą bezwładności.
Prawo superpozycji: ma = P

1

+ P

2

+ ... + P

n

przyśpieszenie punktu materialnego na który
działają siły P

1

...P

n

równe jest sumie

geometrycznej przyśpieszeń, które miałby ten
punkt gdyby każda siła działała z osobna
Bezwładnościowy układ odniesienia – układ
względem

którego

obowiązują

prawa

dynamiki Newtona. Każdy układ odniesienia
poruszający

się

względem

układu

bezwładnościowego jednostajnym ruchem
postępowym

jest

także

układem

bezwładnościowym.
Zasada krętu – pochodna wektora krętu
względem czasu t jest równa momentowi siły
działającej na punkt materialny obliczanego
względem tego samego punktu co kręt.
dK

0

/dt = M

0

Zasada zachowania krętu – jeżeli w pewnym
okresie czasu moment siły działającej na punkt
materialny jest stale równy 0, wówczas kręt
jest stały.
Zasada względności mechaniki klasycznej –
Za pomocą żadnych zjawisk mechanicznych
nie

możemy

wykazać

istnienia

prostoliniowego

jednostajnego

ruchu

postępowego układu odniesienia.

PRACA, MOC, ENERGIA

Praca mechaniczna – praca siły stałej na
drodze prostoliniowej, kierunek działania siły
pokrywa się z drogą.
Przesunięcie elementarne – nieskończenie
mały wektor ds o wielkości równej różniczce
łuku drogi.
ds = d

x

i +d

y

j + d

z

k

Elementarną praca siły zmiennej P na
elementarnym przesunięciu ds nazywamy
iloczyn skalarny tej siły przez przesunięcie.



L = P



ds ;



L =P

x

dx + P

y

dy + P

z

dz ; L

AB

=



AB

(



L) =



AB

(P

x

dx + P

y

dy + P

z

dz)

dla toru kołowego:



L = M

0

d



; L

AB

=





A



B

(M

0

d



)

Moc – praca odniesiona do jednostki czasu
N = dW/dt = P*(dr/dt) = P



v

dla ruchu obrotowego: N = (M

0

d



)/dt = M

0



Sprawność – stosunek pracy użytecznej do
pracy włożonej
L

c

= L



+ L

st

- straty



= (L



/L

c

) < 1

Zasada równoważności pracy i energii
kinetycznej: Skończony przyrost energii
kinetycznej układu mechanicznego ciał
materialnych z położenia o konfiguracji
elementów A do położenia o konfiguracji
elementów B jest równy sumie prac
całkowitych układów sił zewnętrznych i
zewnętrznych na tym przemieszczeniu
mV

B

2

/2 – mV

A

2

/2 = L

AB

; E

kB

– E

kA

= L

AB

Przyrost E

k

w czasie od t

1

do t

2

jest równy

pracy wykonanej przez siłę działającą na punkt
materialny w tym samym czasie.

P O L A P O T E N C J A L N E
Pole wektorowe - ograniczony obszar w
którym każdemu punktowi przyporządkowano
wektor.
Pole

wirowe

niezachowawcze,

niepotencjalne – pola, w których praca zależy
od kształtu toru.
L

AB

=



AB

(P

x

dx + P

y

dy + P

z

dz)

Pole potencjalne – to pole sił, w którym praca
nie zależy od drogi przejścia, lecz tylko od
położenia punktu początkowego i końcowego.
Praca po linii zamkniętej w polu potencjalnym
wynosi 0. Jeżeli istnieje funkcja pola F(x,y,z),
z której różniczka: dF = (



F/



x)dx + (



F/



y)dy

+ (



F/



z)dz , to pole nazywamy potencjalnym.

Potencjał pola sił – taka skalowana funkcja
położenia V(x,y,z), której pochodne cząstkowe
podług odpowiednich kierunków są równe
składowym siły pola w tych kierunkach
wziętych ze znakiem „-”. Miejsce
geometryczne punktów, w których funkcja V
przyjmuje jednakową wartość, nazywamy
powierzchnią

izoskalarną,

lub

ekwipotencjalną. Aby pole było potencjalne
to: rotP = 0 ; rotP = (



P

z

/



y -



P

y

/



z)i +

(



P

x

/



z -



P

z

/



x)j + (



P

y

/



x -



P

x

/



y)k

Zasada zachowania energii mechanicznej –
w

polu

potencjalnym

suma

energii

kinetycznych i potencjalnej jest wartością
stałą.
E

kA

+ V

A

= E

kB

+ V

B

Wnioski dotyczące pól potencjalnych:
1)Potencjał jest to skalarna funkcja położenia,
określona jako: gradV = -P
2)Potencjał istnieje w polu, w którym: rotP =
0
3)W polu potencjalnym praca elementarna jest
równa różniczce zupełnej potencjału ze
znakiem „-”



L = -dV

4)Praca całkowita w polu potencjalnym jest
równa różnicy potencjałów i nie zależy od
kształtu drogi
5)Praca całkowita w polu potencjalnym po
torze zamkniętym jest równa 0
6)Siły pola są prostopadłe do powierzchni
izoskalarnych
7)Siły pola są zwrócone od powierzchni
wyższego potencjału do powierzchni niższego
potencjału.
Pole stałe – pole, w którym siła jest stała co do
kierunku, zwrotu i wartości.
Pole centralne (środkowe) – wielkość siły w
dowolnym punkcie pola zależy tylko od
odległości od jego środka.
Moment bezwładności punktu materialnego
względem płaszczyzny, osi lub bieguna
nazywamy iloczyn masy punktu przez kwadrat
odległości tego punktu od danej płaszczyzny
osi, czy bieguna.
Promień bezwładności – taka odległość od
płaszczyzny, osi lub bieguna, której kwadrat
pomnożony przez masę układu da nam jego
moment bezwładności.
Masa zredukowana – masa, która pomnożona
przez kwadrat odległości od osi, płaszczyzny
lub bieguna da nam moment bezwładności.
Momentem zboczenia (dewiacji) układu
punktów materialnych względem dwóch
wzajemnie

prostopadłych

płaszczyzn

nazywamy sumę iloczynów mas tych punktów
przez odległości od tych płaszczyzn.
I

xy

=



i=1

m

(m

i

x

i

y

i

) ; I

yz

=



i=1

m

(m

i

y

i

z

i

) ; I

zx

=



i=1

m

(m

i

z

i

x

i

) ; I

xy

=



m

(xy)dm ...

Twierdzenie

Steinera

–

moment

bezwładności względem dowolnej osi jest
równy

momentowi

osi

równoległej

i

przechodzącej przez środek masy układu
powiększonemu o iloczyn masy całkowitej i

kwadratu odległości między tymi osiami. I =
I

0

+ md

2

Główne momenty bezwładności – pierwiastki
równania sekularnego
I

1

>I

2

>I

3

, gdzie I

1

= I

max

, I

3

= I

min

1)Każda oś symetrii jest osią główną.
2)Każda prosta prostopadła do płaszczyzny
symetrii jest też osią główną.
3)Każda prosta, na której leżą środki mas
warstw elementarnych otrzymywanych przez
podział ciała płaszczyznami prostopadłymi do
tej prostej też jest osią główną.
4)Momenty dewiacji względem głównych osi
bezwładności są równe zero.
5)Jeżeli główne osie bezwładności przechodzą
przez środek masy układu to nazywamy je
centralnymi.
Ruch i własności dynamiczne środka masy
6)Pęd ogólny układu punktów materialnych
równa się pędowi masy całkowitej układu
umieszczonej w środku masy.
7)Środek masy układu punktów materialnych
porusza się tak jakby była w nim skupiona
całkowita masa układu poddana działaniu
sumy wszystkich sił.
8)Pochodna pędu głównego układu punktów
materialnych równa się sumie wszystkich sił
działających na układ.
Twierdzenie Kóniga – energia kinetyczna
ciała sztywnego równa się sumie energii
kinetycznej ruchu postępowego całej masy
skupionej w środku masy oraz energii
kinetycznej ruchu obrotowego ciała sztywnego
dookoła osi przechodzącej przez środek masy.
E

k

= mu

2

/2 + I

k



2

Reakcje dynamiczne łożysk osi obrotu
R

Az

= (-



2

/l)I

yz

; R

Ax

= (-



2

/l)I

xy

; R

Ox

=

(



2

/l)I

xy

-



2

x

s

m ; R

Oz

= (



2

/l)I

yz

-



2

z

s

m

Jeżeli reakcje dynamiczne są niezerowe układ
jest dynamicznie nie wyważony. Reakcje
dynamiczne będą zerowe jeżeli oś obrotu
będzie jedną z głównych centralnych osi
bezwładności wirującego ciała.
Żyroskop – ciało symetryczne obracające się
dookoła materialnej osi symetrii, przy czym
jeden z punktów osi jest nieruchomy.
Precesja – ruch, jaki powstaje jeżeli ciało
wprowadzimy w obrót z prędkością kątową
wokół

materialnej

osi

symetrii,

a

równocześnie osi symetrii nadamy ruch
obrotowy dookoła osi w ustalonej przestrzeni.

TEORIA UDERZENIOWA
Siły chwilowe – siły które działając na ciało
materialne w ciągu bardzo krótkiego czasu
osiągają bardzo duże wartości w porównaniu z
siłami np. ciężkości.

Impuls -



0



Pdt = s

Przyrost krętu ciała materialnego względem
dowolnego bieguna wywołamy działaniem siły
chwilowej jest równy momentowi jej impulsu
względem przyjętego bieguna.

Uderzenie proste – przypadek w którym
prędkości punktów stykających się ciał leżą na
jednej prostej normalnej do powierzchni obu
ciał.
Uderzenie środkowe – jeżeli normalna
uderzeniowa przechodzi przez środek mas
uderzających o siebie ciał.

Hipoteza

Poissona

–

Impuls

s’’

odpowiadający drugiemu okresowi uderzenia
(prędkości są sobie równe siła wzajemnego
oddziaływania maleje do 0) związany jest z
impulsem s’ odpowiadającemu pierwszemu
okresowi uderzenia (rozpoczynającym się w
momencie zetknięcia, aż do momentu w
którym prędkości na skutek odkształceniom
nie zrównają się) związkiem:

s’’ = k * s’ k – współczynnik restytucji
wyznaczmy na podstawie doświadczeń
k=1 dla ciał doskonale
sprężystych

Więzy – czynniki ograniczające ruch ciała
Reakcje – siły oddziaływania więzów
Klasyfikacja więzów :
Geometryczne - równanie więzów zawiera
tylko współrzędne punktów
Kinematyczne - równanie więzów zależy od
prędkości
Reonomicze, niestacjonarne - zależy od czasu
Skleronomiczne, stacjonarne - niezależne od
czasu
Auholonomiczne – zależne od prędkości

Gładkie, idealne – więzy w których nie
występują reakcje sztywne
Obustronne



j

(x, y, z ... x

n

, y

n

, z

n

) = 0

Jednostronne



j

(x, y, z ... x

n

, y

n

, z

n

) =< 0, >=

0
Holonomiczne – niezależne od prędkości

Współrzędne uogólnione – odpowiednio
dobrane niezależne parametry pozwalające
określić położenie nieswobodnego układu
materialnego.

Ilość

współrzędnych

uogólnionych jest równa liczbie swobody
układu.
Przesunięcia możliwe – zgodne z więzami

Przesunięcia przygotowane (wirtualne) –
przesunięcia proporcjonalne do prędkości
możliwych (zgodnych z więzami).
Praca przygotowana – elementarna praca siły
P na przygotowanym przesunięciu jej punktu
przyłożenia
Zasada

Lagrange’a-d’Alemberta

(prac

przygotowanych) – WKW równowagi układu
materialnego

jest,

aby

suma

prac

przygotowanych z wszystkich sił czynnych i
reakcji więzów przy dowolnym przesunięciu
przygotowanym była równa zero.



i=1

n

P

i



r

i

=

0
Siły uogólnione - siły wykonujące pracę
elementarną na odpowiadającej współrzędnej
uogólnionej



L =



k=1

L

Q

k



q

k

Q

j

=

d/dt(



E

k

/



q

j

) -



E

k

/



q

j

Siła uogólniona jest równa zmianie w czasie
pochodnej E

k

układu względem odpowiedniej

prędkości uogólnionej, pomniejszonej o
pochodną

E

k

względem

współrzędnej

uogólnionej.

Równanie Lagrange’a I rodzaju:
R

i

x =



j=1

f



j

*(



F

j

/



x

j

) = m

i

x’’

i

- x

i

R

i

y =



j=1

f



j

*(



F

j

/



y

j

) = m

i

y’’

i

- y

i

R

i

z =



j=1

f



j

*(



F

j

/



z

j

) = m

i

z’’

i

- z

i

Równanie Lagrange’a II rodzaju:
Q

j

= d/dt(



E

k

/



q

j

) -



E

k

/



q

j

j=1,2,,....,k

Twierdzenie Vorginiona – moment siły
wypadkowej dowolnego układu sił względem
dowolnego punktu

równy

jest

sumie

momentów wszystkich sił składowych tego
układu względem tego punktu.
Kręt k=r



p; k=r



mV