ZASADY STATYKI
1. Zasada równoległoboku – dwie siły
przyłożone do jednego punktu możemy
zastąpić jedną siłą wypadkową, która jest
przekątną równoległoboku zbudowanego na
tych wektorach
2. Dwie siły przyłożone do ciała sztywnego są
w równowadze gdy działają wzdłuż jednej
prostej i mają te same wartości, ale przeciwne
zwroty. Układ taki nazywamy zerowym.
3. Działanie układu sił nie ulegnie zmianie,
gdy do układu tego dodamy układ wzajemnie
równoważących się sił.
4. Zasada zesztywnienia działanie układu sił
nie ulegnie zmianie przez zesztywnienie ciała
na które działają te siły.
5. Każdemu działaniu towarzyszy równe co do
wartości o przeciwnym zwrocie i leżące na tej
samej prostej przeciwdziałanie.
6. Zasada oswobodzenia z więzów – każde
ciało nieswobodne można oswobodzić z
więzów zastępując je reakcjami. Wówczas
można rozpatrywać takie ciało jako swobodne
znajdujące się pod działaniem sił sztywnych i
biernych.
Momentem siły P względem punktu 0
nazywamy iloczyn wektorowy tej siły przez
promień – wektor łączący 0 z dowolnym
punktem na linii działania tej siły.
Momentem siły P względem osi l
nazywamy
rzut wektora momentu siły obliczonego
względem dowolnego punktu na osi l na
kierunek tej siły.
Para sił
to układ sił równoległych o tych
samych wartościach liczbowych lecz zwrotach
przeciwnych.
Własności
-moment pary sił nie zależy od wyboru
bieguna względem którego wyznaczamy i jest
wartością stałą.
-każdą parę sił działającą w dowolnej
płaszczyźnie możemy zastąpić inną parą sił
działającą w tej samej płaszczyźnie o
momencie równym momentowi pierwotnemu.
-pary sił działające w jednej płaszczyźnie
możemy zastąpić jedną parą sił o momencie
równym sumie momentów poszczególnych par
sił
-pary sił działające w różnych płaszczyznach
możemy zastąpić parą o momencie równym
sumie geometrycznej momentów sił.
REDUKCJA DOWOLNEGO UKŁADU SIŁ
M
o
=
a=1
n
M
a
– moment główny układu sił
S=
k=1
n
P
k
– wektor główny układu sił
M
01
=M
0
-r
s -
wzór Bosma
(moment siły S
względem bieguna O gdzie r = OO
1
)
M
O1
S= M
O
S=k=const Iloczyn momentu
głównego względem dowolnego punktu ciała i
wektora głównego układu jest równy
iloczynowi mom. gł. układu względem
bieguna redukcji O i jest stały = k.
S jest pierwszym niezmiennikiem układu sił.
k
–
parametr
układu
jest
drugim
niezmiennikiem układu sił.
Skrętnik
– wynik redukcji dla którego wektor
momentu głównego M.
O
jest wektorem
równoległym do wektora głównego S
Oś centralna układu
– prosta równoległa do
wektora głównego S, na której leżą wszystkie
bieguny redukcji, względem których układ
redukuje się do skrętnika.
Równanie parametryczne osi centralnej
(M
x
-(yS
z
-zSy))/S
x
= (M
y
-(zS
x
-xS
z
))/S
y
= (M
z
-
(xS
y
-yS
x
))/S
z
TABLICA REDUKCJI
S
M.
O
K
Wynik
S
0
M.
O
0
K
0
Skrętnik lub 2 siły
równoległe
S
0
M.
O
0
K=
0
Wypadkowa
S
0
M.
O
=
0
K=
0
Wypadkowa
S=
0
M.
O
0
K=
0
Para sił
S=
0
M.
O
=
0
K=
0
Równowaga układu
sił
SZCZEGÓLNE UKŁADY SIŁ
Zbieżny układ sił
– układ sił których linie
działania przecinają się w jednym punkcie.
Jeżeli wszystkie siły układu zbieżnego leżą w
jednej płaszczyźnie układ taki nazywamy
płaskim zbieżnym układem sił.
Każdy płaski układ sił można zredukować do
wypadkowej
M
0
-(x
i=1
n
P
iy
-P
ix
)=0
– równanie prostej
działania wypadkowej
Warunki równowagi płaskiego układu sił
M.
O
=0 , S=0
Układ sił równoległych
– układ sił których
linie działania są do siebie równoległe. Układ
sił da się zredukować do wypadkowej k=0 lub
pary sił gdy S=0. Środek sił równoległych to
punkt zaczepienia ich wypadkowej
Środek sił równoległych
– określa się jako
współrzędne x
s
, y
s
, z
s
x
s
=(
x
i
P
i
)/
P
i
;
y
s
==(
y
i
P
i
)/
P
i
; z
s
=(
z
i
P
i
)/
P
i
;
Moment
statyczny
punktu
materialnego
względem dowolnej płaszczyzny to iloczyn
masy tego punktu i jego odległości od
płaszczyzny.
Środek ciężkości
to punkt w którym skupiona
masa układu ma względem dowolnej
płaszczyzny lub osi taki sam moment
statyczny jak cały układ materialny
TWIERDZENIA DOTYCZĄCE ŚRODKA
MASY:
1)środek masy układu płaskiego leży w
płaszczyźnie tego układu
2)środek masy linii prostej leży na tej linii
3)środek masy dwóch punktów materialnych
leży na prostej łączącej te punkty i dzieli ją na
odcinki
o
długościach
odwrotnie
proporcjonalnych do ich mas.
4)Środek masy układu mającego środek
symetrii leży w tym środku. Jeżeli układ ma 2
lub więcej osi symetrii to środek leży w
punkcie przecięcia się tych osi
5)Rzut środka ciężkości figury płaskiej na
dowolną płaszczyznę jest środkiem ciężkości
rzutu tej figury na dowolną płaszczyznę.
6)Moment statyczny względem osi lub
płaszczyzny przechodzącej przez środek
ciężkości jest zawsze równy 0.
7)Moment statyczny nie zmieni się jeżeli
zamiast części układu wprowadzimy punkt
materialny o masie równej masie danej części
leżący w środku ciężkości tej części masy.
TARCIE KINETYCZNE
Q
GR
=
G; T
MAX
=
T; 0
Q
Q
GR
; 0
T
T
GR
tg
gr
= T
GR
/N=
N/N=
;
gr
=arctg
;
0
GR
Tarcie na równi pochyłej
Suma P
X
=0 Gsin
-T=0
Suma P
Y
=0 N-Gcos
=0
T
MAX
=
T; T
MAX
=
Gsin
max
; tg
max
=
max
=arctg
warunek samohamowalności
równi
Tarcie przy toczeniu
QR=NT f- współ. tarcia przy toczeniu
Nf
Max
=M
T
moment tarcia przy toczeniu
0
M
T
QR=Nf
Tarcie pasów o koła
S=S
1
e
;
- kąt opasania; S,S
1
– siła
naciągu pasa
PRĘT
Pręt – bryła której jeden wymiar wyraźnie
dominuje nad pozostałymi. Pręt powstaje w
wyniku przesuwania figury płaskiej A wzdłuż
krzywej k, tak że figura pozostaje zawsze
prostopadła do krzywej k, a jej środek
ciężkości zawsze znajduje się na krzywej k.
Figurę
płaską
nazywamy
przekrojem
normalnym pręta a krzywą k – osią pręta.
T- siła poprzeczna
N – siła normalna
M
s
– moment skręcający
M
g
– moment gnący
Siłą normalną w przekroju aa nazywamy
sumę rzutów wszystkich sił znajdujących się
po jednej stronie przekroju na kierunek
normalny do przekroju (dodatnia jeżeli
powoduje rozciąganie).
Siłą poprzeczną w przekroju aa nazywamy
sumę wszystkich sił znajdujących się po jednej
stronie przekroju (względem jego środka
ciężkości) na kierunek prostopadły do osi
przekroju.
Moment zginający przekroju aa nazywamy
rzut wektora momentu będącego sumą
momentów wszystkich sił znajdujących się po
jednej stronie przekroju na kierunek styczny
do przekroju (dodatni gdy powoduje wygięcie
wypukłe w dół).
Tw. Schwedlera. pochodna momentu gnącego
względem współrzędnej pokrywającej się z
osią pręta jest równa sile poprzecznej
dM
g
/ds.=T; d
2
M.
g
/dx
2
=dT/dx=-q; q –
gęstość obciążenia
KRATOWNICE
Pręt prosty nieobciążony na długości i
zakończony przegubami to pręt przegubowy
Kratownica to układ prętów przegubowych
połączonych ze sobą przegubami. Kratownica
jest płaska jeśli pręty i obciążenia leżą w
jednej płaszczyźnie
Warunek konieczny na to aby kratownica
była geometrycznie niezmienna – P=2W-3;
P- pręty; W – węzły (przeguby)
Metody wyznaczania sił w prętach kratownicy
analogiczne
1)równoważenia węzłów – wycinamy węzły w
kratownicach i piszemy warunki równowagi
dla każdego z osobna
2)przecięć Rittera – piszemy 3 warunki
momentów (tylko 1 niewiadoma)
wykreślne
1)Cremana
2)Cluman
KINEMATYKA
Prędkości i przyspieszenia
V=dr/dt=dr/ds. * ds./dt=ds./dt *
|V|=ds./dt V=V*
a=dV/dt=d/dt(V*
)=dV/dt *
+ V*d
/dt
a= d
2
s/dt
2
*
+ V
2
/r * n
Stopnie swobody – liczba niezależnych
parametrów
potrzebnych
do
określenia
położenia ciała sztywnego w przestrzeni.
Ciało swobodne (nie poddawane działaniu
więzów posiada 6 stopni swobody) n = 6 – w .
Funkcje określające położenie ciała nazywamy
równaniami ruchu ciała sztywnego (ich ilość
równa jest ilości stopni swobody)
Ruch kulisty – taki ruch ciała sztywnego,
podczas którego jeden jego punkt pozostaje
nieruchomy (środek ruchu kulistego). W
ruchu kulistym torami punktu ciała są krzywe,
które leżą na powierzchniach kul o
promieniach równych odległościom tych
punktów od punktu nieruchomego.
v =
r ; a =
r
Ruch obrotowy – ruch wokół prostej łączącej
dwa nieruchome punkty ciała sztywnego.
Prostą nazywamy osią obrotu.
= d
/dt ; |a
| =
*r = [d
2
/dt
2
]*r |a
n
| =
2
*r
; v =
r
Ruch postępowy – ruch, w którym dowolna
prosta sztywno związana z poruszającym się
ciałem pozostaje stale równoległa do
położenia, jakie zajmowała w dowolnie
obranej chwili czasu t, na przykład w chwili
początkowej.
Ruch płaski – ruch, w którym wszystkie
punkty ciała poruszają się w płaszczyznach
równoległych do pewnej płaszczyzny zwanej
płaszczyzną kierującą.
V
B
= V
A
+
AB ; V
B
= V
A
+ V
BA
; a
B
=
a
A
+ a
BA
; a
B
= a
A
+ a
s
BA
+ a
n
BA
Chwilowy środek prędkości w ruchu płaskim
– jeżeli chwilowa prędkość kątowa jest
niezerowa to musi istnieć taki punkt, którego
prędkość jest równa zero.
Chwilowy środek przyśpieszeń – w ruchu
płaskim jeżeli
i
nie są jednocześnie równe
zero istnieje punkt, którego przyśpieszenie jest
równe zero.
Ruch unoszenia – ruch układu ruchomego
względem nieruchomego układu odniesienia.
Ruch względny – ruch punktu względem
układu ruchomego.
Ruch bezwzględny – ruch punktu względem
układu nieruchomego.
Prędkość bezwzględna – jest równa
wektorowej sumie prędkości względnej i
unoszenia V
b
= V
w
+ V
u
Przyśpieszenie
bezwzględne
–
jest
wektorową sumą przyśpieszenia względnego,
unoszenia i Coriolisa
a
b
= a
w
+
a
u
+ a
c
gdzie a
w
– przyśpieszenie punktu względem
ruchomego układu odniesienia
a
u
– przyśpieszenie punktu układu ruchomego
pokrywającego się z danym punktem
a
c
= 2
V
w
przyśp. Coriolisa
D Y N A M I K A
Zasada pędu – pochodna wektora pędu
względem czasu t jest równa sile działającej na
punkt materialny
F = dp/dt
Zasada zachowania pędu – jeżeli na ciało nie
działają żadne siły lub działające pozostają w
równowadze (P = 0) to pęd ciała jest stały p =
const.
Prawa dynamiki Newtona
1)Jeżeli na punkt materialny w pewnym
okresie czasu nie działają żadne siły lub siły
działające wzajemnie się równoważą, to punkt
pozostaje w spoczynku, lub porusza się
ruchem jednostajnym po linii prostej.
2)Przyśpieszenie punktu materialnego ma
wartość wprost proporcjonalną do wartości
działającej siły i ma jej kierunek i zwrot F =
ma
3)Jeżeli na punkt materialny A działa punkt
materialny B to również punkt materialny B
działa na punkt materialny A siłą równą co do
wartości i kierunku o zwrocie przeciwnym.
Siły te leżą na prostej łączącej oba te punkty.
Prawo powszechnego ciążenia – dwa punkty
materialne oddziaływują na siebie siłami
(m
1
m
2
)/r
2
; |P| = k*(m
1
m
2
)/r
2
Siła bezwładności. Zasada d’Alamberta: P +
B = 0 Siły działające na ciało są w
równowadze z siłą bezwładności.
Prawo superpozycji: ma = P
1
+ P
2
+ ... + P
n
przyśpieszenie punktu materialnego na który
działają siły P
1
...P
n
równe jest sumie
geometrycznej przyśpieszeń, które miałby ten
punkt gdyby każda siła działała z osobna
Bezwładnościowy układ odniesienia – układ
względem
którego
obowiązują
prawa
dynamiki Newtona. Każdy układ odniesienia
poruszający
się
względem
układu
bezwładnościowego jednostajnym ruchem
postępowym
jest
także
układem
bezwładnościowym.
Zasada krętu – pochodna wektora krętu
względem czasu t jest równa momentowi siły
działającej na punkt materialny obliczanego
względem tego samego punktu co kręt.
dK
0
/dt = M
0
Zasada zachowania krętu – jeżeli w pewnym
okresie czasu moment siły działającej na punkt
materialny jest stale równy 0, wówczas kręt
jest stały.
Zasada względności mechaniki klasycznej –
Za pomocą żadnych zjawisk mechanicznych
nie
możemy
wykazać
istnienia
prostoliniowego
jednostajnego
ruchu
postępowego układu odniesienia.
PRACA, MOC, ENERGIA
Praca mechaniczna – praca siły stałej na
drodze prostoliniowej, kierunek działania siły
pokrywa się z drogą.
Przesunięcie elementarne – nieskończenie
mały wektor ds o wielkości równej różniczce
łuku drogi.
ds = d
x
i +d
y
j + d
z
k
Elementarną praca siły zmiennej P na
elementarnym przesunięciu ds nazywamy
iloczyn skalarny tej siły przez przesunięcie.
L = P
ds ;
L =P
x
dx + P
y
dy + P
z
dz ; L
AB
=
AB
(
L) =
AB
(P
x
dx + P
y
dy + P
z
dz)
