1.Postulaty

statyki

1)Zasada
równoległoboku
R=P

1

+P

2

2)

Dwie siły przyłożone do

ciała

sztywnego

równoważą

się

tylko

wtedy,

gdy

działają

wzdłuż tej samej prostej,
są przeciwnie skierowane
i mają te same wartości
liczbowe

3)

Działanie

układu sił przyłożonych
do ciał sztyw. nie ulegnie
zmianie, gdy do układu
dodamy

lub

odejm.

dowolny

układ

równoważących się sił
tzw.

układ

zerowy

4)Zasada zesztywnienia
–

równowaga

sił

działających

na

ciało

odkształcalne

nie

zostanie naruszona przez
zesztywnienie tego ciała
5)

Każdemu

działaniu

towarzyszy równe co do
wartości

i

przeciwnie

skierowane wzdłuż tej
samej

prostej

przeciwdziałanie 6)Każde
ciało

nieswobodne

można

myślowo

oswobodzić od więzów,
zastępując przy tym ich
działanie

odpowiednimi

reakcjami.
2. Twierdzenie o trzech
siłach-

Aby

3

nierównoległe do siebie
siły działające na ciało
sztyw.

były

w

równowadze,

linie

działania tych sił muszą
się przecinać w jednym
punkcie, a same siły
tworzyć

trójkąt

zamknięty.

3. Varignon Moment
względem

dowolnego

punktu O wypadkowej
dwóch sił równy jest
sumie

momentów

sił

wypadkowych

względem

tego punktu.
4. Para sił - Układ dwóch
sił

równoległych

nie

leżących

na

jednej

prostej. Aby pary sił
działające

w

jednej

płaszczyźnie znajdowały
się w równowadze, suma
momentów tych par musi
być równa zeru.
5.Moment siły – Aby siły
zbieżne leżące w jednej
płaszczyźnie

były

w

równowadze,

sumy

rzutów tych sił na osie
układu muszą być równe
zero.

M

o

=rFsin(r,F)

∑M

i

=0

6. Kratownica

– jest to

układ złożony z prętów
połączonych
przegubowo,

mający

niezmienną

postać

geometryczną. Warunek
sztywności p=2w-3

7. Redukcja płaskiego
układu sił

P’=P
a’=-a

8.

Redukcja

przestrzennego ukł. Sił
– dowolny układ sił
przyłożonych do jednego
punktu zastąpić możemy
jedną siłą wypadkową
przyłożoną w tym punkcie
i

równą

sumie

geometrycznej sił.

9.Tarcie

–

zjawisko

powstawania

sił

stycznych do powierzchni
styku dwóch ciał. Siły te
nazywamy siłami tarcia.
Możemy je opisać jako
siły oporu zapobiegające
ruchowi, który by powstał
gdyby tarcia nie było

10.

Kinematyczne

równania

ruchu

–

x=f

1

(t), y=f

2

(t), z=f

3

(t)

–

równania parametryczne

toru punktu lub

11.

Definicja prędkości -

Prędkość punktu jest
wektorem

określonym

przez pierwszą pochodną
wektora

położenia

względem czasu.

12.

Definicja

przyspieszenia - Wektor
dany

przez

pierwszą

pochodną

wektora

prędkości

lub

dugą

pochodną

wektora

położenia

względem

czasu

13.

Przyspieszenie

styczne; p. normalne

–

przysp. styczne -

; przysp. normalne

-

, gdzie p-

promień krzywizny

14. Droga

– s=∫vdt

15. Rzut pionowy

– rzut

punktu materialnego z
daną

prędkością

w

kierunku

pionowym.

Szczególnym
przypadkiem jest spadek
swobodny

x=0
y=(gt

2

)/2

16. Rzut poziomy

x=V

o

t

y=(gt

2

)/2

17. Rzut ukośny

x=V

o

tcosα

y=V

o

tsinα

18 Rodzaj

e ruchów bryły

Ruch postępowy- jeżeli bryła
porusza się tak że jej chwilowe
położenia są równoległe do
położenia początkowego.
Ruch obrotowy-

Jeżeli dwa

punkty bryły są stałe, tworzą
wtedy oś obrotu bryły
Ruch płaski- traktujemy jako
chwilowy ruch obrotow

y wokół

chwilowego środka obrotu

19 Prędkość i przyspieszenie
Punktu

bryły

w

ruchu

postępowym
Prędkość:

Prędkości wszystkich punktów
bryły poruszającej się ruchem
postępowym są w danej chwili
wektorami równoległymi.
Przyspieszenie:

Przyspieszenia

wszystkich

punktów

bryły

w

ruchu

postępowym są w danej
chwili wektorami równoległymi.

20 Prędkość i przyspieszenie
punktu

bryły

w

ruchu

obrotowym
Prędkość:

Prędkość liniowa dowolnego
punktu bryły w ruchu obrotowym
jest

równa

iloczynowi

wektorowemu

wektora

prędkości
kątowej przez wektor położenia
punktu (początek układu na
osi obrotu).
Przyspieszenie:

Całkowite

przyspieszenie

dowolnego punktu bryły w ruchu
obrotowym

jest

sumą

geometryczną przyspieszeń:
Obrotowego i poosiowego

21

Prędkość kątowa

22

Przyspieszenie kątowe

jest wektorem leżącym na osi
obrotu i skierowanym zgodnie z
regułą śruby prawoskrętnej.
Jeśli współrzędną kątową ciała
określa kąt α, a wartość
prędkości kątowej oznaczymy
jako

ω,

to

wartość

przyspieszenia

kątowego

ε

wynosi:

d

dt

d

2

dt

2

2

4 Prędkość i przyspieszenie

bryły w ruchu płaskim
Prędkość:

Przyspieszenie

26 Chwilowy środek obrotu
Punkt, którego prędkość w
danej chwili jest równa zeru.
Wyznaczenie środka obrotu
W układzie ruchomym

W

układzie nie ruchomym

r

c

o'

r

c

'

27 Centroida
Krzywa łącząca chwilowe środki
obrotu
Ruchoma

Miejsce

geometryczne

chwilowych

środków obrotu figury płaskiej w

układzie

ruchomym

Nieruchoma

Miejsce

geometryczne (nie ściągaj!!)
chwilowych

środków

obrotu

figury

płaskiej

w

układzie

nieruchomym

28 Prędkość i przyspieszenie
bryły w ruchu kulistym
prędkość

przyspieszenie

29 Układ Eulera
Prędkość

31 Przyspieszeni kątowe w
przypadku precesji regularnej

32 Ruch ogólny
Podstawowy + kulisty 6 stopni
swobody

33 ruch złożony punktu
Ruch punktu względem układu
nieruchomego

nazywamy

ruchem

bezwzględnym,

a

względem układu ruchomego
ruchem

względnym.

Ruch

układu ruchomego względem
układu

nieruchomego

nazywamy ruchem unoszenia

34 Prędkość bezwzględna

Jest

wypadkową

prędkości

unoszenia i prędkości względnej

35 Przyspieszenie bezwz.
Jest

sumą

wektorową

przyspieszenia

unoszenia,

względnego i przyspieszenia
Coriolisa

a

b

a

u

a

w

a

c

36.Przyspieszenie

Coriolisa,

dodatkowe

przyspieszenie

liniowe, które ma w ruchomym
układzie

odniesienia

(np.

związanym z obracającą się
Ziemią)

poruszające

się

względem niego ciało dzięki
ruchowi

obrotowemu

tego

układu.
37 Prawa ruchu Newtona
Prawo pierwsze.

Każde ciało

trwa w stanie spoczynku lub w
stanie

ruchu

jednostajnego

prostoliniowego dopóty, dopóki
siły nań działające tego stanu
nie zmienią.
Prawo drugie.

Zmiana ilości

ruchu (czyli pędu lub impulsu)
jest proporcjonalna do siły
działającej i ma kierunek prostej,
wzdłuż której ta siła działa.
Oznaczając

przez

P

siłę

działającą na punkt materialny,
a przez mv

jego pęd (m - masa,

v -

prędkość), treść drugiego

prawa

Newtona

możemy

Î

®

=

d

w

®

dt

=

w

2

®

‰

w

1

®

+

w

2

®

=

w

2

®

‰

w

1

®

r

c

'

=

w

‰

n

o

'

w

2

wyrazić

następującym

równaniem

wektorowym

Jeżeli m=const. To P=ma
Prawo

trzecie.

Każdemu

działaniu towarzyszy równe i
przeciwne

zwrócone

oddziaływanie, czyli wzajemne
działania dwóch ciał są zawsze
równe i skierowane przeciwnie.
Prawo czwarte.

Jeżeli na punkt

materialny o masie m

działa

jednocześni kilka sił, to każda z
nich działa niezależnie od
pozostałych, a wszystkie razem
działają tak, jak jedna tylko siła
równa

wektorowej

sumie

wektorów

danych

sił.

Prawo

piąte

(grawitacji).

Każde dwa punkty materialne
przyciągają się wzajemnie z siłą
wprost

proporcjonalną

do

iloczynu ich mas (m

1

, m

2

) i

odwrotnie proporcjonalną do
kwadratu odległości r między
nimi. Kierunek siły leży na
prostej łączącej te punkty.

P

k

m

1

m

2

r

2

38 Zasada d’Alemberta
W ruchu punktu materialnego
układ sił czynnych i reakcji
więzów

równoważy

się

z

pomyślaną siłą bezwładności.

39.Zasada zachowania pędu:

Równanie:

Wyraża zasadę pędu dla punktu
materialnego. Pochodna pędu
punktu materialnego jest równa
sumie sił działających na dany
punkt. Powyższe równanie jest
ogólniejszym

sformułowaniem

drugiej zasady dynamiki. Jeżeli
teraz:

Jest to zasada zachowania
pędu dla punktu.

40.Zasada pędu i popędu.
Zasada pędu i popędu (lub
inaczej,

prawo

zmienności

pędu)
Przyrost

pędu

układu

materialnego w skończonym
przedziale czasu jest równy
popędowi wektora głównego sił
zewnętrznych działających na
ten układ.







t

dt

W

p

t

p

0

)

0

(

)

(

41.Zasada zachowania krętu.
Pochodna

względem

czasu

krętu

punktu

materialnego

względem

nieruchomego

bieguna

O

jest

równa

momentowi

względem

tego

bieguna

wypadkowej

sił

działających na dany punkt
materialny.
dK

0

/ dt = M

0

42.Zasada krętu i pokrętu.

Zasada krętu i pokrętu
Przyrost

krętu

układu

materialnego

względem

dowolnego

nieruchomego

punktu jest równy pokrętowi
momentu

głównego

sił

zewnętrznych względem tego
samego punktu.







t

O

O

O

dt

M

k

t

k

0

)

0

(

)

(

43.Dynamiczne

równania

ruchu punktu materialnego.

44.Definicja pracy.
Praca

jest

to

mechaniczny

sposób

przekazu

energii.Jednostką pracy jest Jul.

45.Moc mechaniczna.
Mocą siły nazywamy pracą
wykonaną w jednostce czasu.
Jeśli praca siły zmienia się z
czasem to wówczas moc jest
pochodna

pracy

względem

czasu: M=

dt

dL

[W]

46.Zasada

równoważności

pracy i energii kinetycznej.
Jeżeli na poruszający się punkt
materialny o masie m działa siła
czynna

P

to

przyrost

en.

kinetycznej tego punktu jest
równy pracy wykonanej przez
siłę działającą na ten punkt:
L=1/2mV

2

k

- 1/2mV

2

p

48.Potencjalne
(zachowawcze) pole sił.
POLE JEST POTENCJALNYM
POLEM SIL, GDY PRACA PRZY
PRZESOWANIU PUNKTU NIE
ZALEZY

OD

DROGI

(TZN

PRACA

PO

DRODZE

ZAMKNIETEJ = 0)
CENTRALNE POLE SIL:
POLE SIL O TEJ WLASNOSCI
ZE LINIE DZIALANIA SIL TEGO
POLA ZAWSZE PRZECHODZA
PRZEZ JEDEN PUNKT
Zdolność do wykonania pracy
ciała

znajdującego

się

w

spoczynku

nazywamy

en.

potencjalną E

p

: E

p

=mgh.

49.Twierdzenie

o

ruchu

środka masy układu punktów
materialnych.



 





W

F

mr '

'

,

gdzie



F

-R,



W

=0

0

2

2

2

2

Mr

dt

d

mr

dt

d





; Mr

0

’’=R

Ruch

układów

punktów

materialnych odbywa się tak
jakby cała masa układu skupiona
była w jego środku masy i na
który to punkt działają wszystkie
siły zewnętrzne.

→ →

M ro = R

50.Pęd

układu

punktów

materialnych.

R

MV

dt

d



0

;

Q=MV

0

=



mV

-

pęd

ukł.

punktów_materialnych;

R

dt

dQ



-

zasada pędu

Na pęd ma tylko wpływ siła zew,
a nie wew.
R=0 >> Q=const
Jeżeli jedno ciało zyskuje pęd to
drugie też go zyskuje lecz z
przeciwnym znakiem.
PED DOTYCZY TYLKO RUCHU
POSTEPOWEGO,

NIE

OBROTOWEGO, BO NIE MA
MASY

BEZWLADNOSCI

PREDKOSCI KATOWEJ
ZASADA ZACHOWANIA PEDU:
JEŻELI

NA

UKLAD

NIE

DZIALAJA

SILY

LUB

DZIALAJACE SILY SIĘ ZNOSZA
TO PED JEST STALY CZYLI
ZACHOWANY R=0 TO Q=const.
OKRESLA SIĘ GO TYLKO
PRZY RUCHU POSTEPOWYM,
PRZY RUCHU OBROTOWYM
NIE ISTNIEJE.

51.Kręt

układu

punktów

materialnych.

K

s

=



ρ

i

*mV

i

– kręt

c

c

M

dt

dK



Zmiana krętu ukł. punktów mat.
W czasie wywołana jest przez
moment główny działający na
układ

brany

względem

nieruchomego

punktu

lub

środka masy.
M

c

=0 >> K

c

=const

52.Energia kinetyczna układu
punktów materialnych.
Energia

kinetyczna

układu

punkt

ów

materialnych

jest

równa sumie energii kinetycznej
w ruch postępowym i energii
kinetycznej w ruchu względnym
dookoła środka masy C układu.
E =½V

c

p+½ωK

c

; p=mV

c

;

K

c

=I

c

ω

53.Twierdzenie Koeniga.
Energia

kinetyczna

układu

punk

tów materialnych równa

jest sumie energii kinetycznej,
jaką miałby pkt materialny o
masie

całego

układu,

poruszający się z prędkością
środka masy oraz energii
kinetycznej

tegoż

układu

względem środka masy.

54.

Zasada

zachowania

energii mechanicznej - w
układzie

izolowanym

suma

składników wszystkich rodzajów
energii całości (suma energii
wszystkich jego części) układu
jest stała (nie zmienia się w
czasie).

55. Wahadło matematyczne

0

sin

"

0

sin

"

sin

"

sin

2

2































l

g

g

ml

ml

mgl

ml

mgl

M

z

56. Wahadło fizyczne
Wahadłem fizycznym nazywamy
s

wobodnie obracające się ciało

materialne względem stałego
punktu.

0

sin

"

sin

"

sin





























g

I

ms

mgs

I

mgs

M

y

F

M

z

z

z

z

Porównując to równanie z
wahadłem

matematycznym

otrzymujemy

ms

I

l

z

red



długość

zredukowana
Okres wahadła

mgs

I

g

l

g

l

T

z

red







2

2

2









Rozwiązanie:

)

cos(

0











t

A

57. Drgania swobodne
Aby wystąpiły drgania, punkt
musi poruszać się ruchem
prostoliniowym pod wpływem
siły F



przyciągającej ten punkt

do stałego punktu O zwanego
środkiem drgań.
Siła

sprężystości

jest

proporcjonalna do wychylenia
punktu
F = -kx, k-

stała sprężystości.

Równanie będzie miało postać
mx” = F
mx” = -kx lub







m

k

x

m

k

x

0

"

Otrzymujemy

równanie

różniczkowe drgań swobodnych











,

0

"

2

x

x

częstość

ruchu.
Otrzymane

równanie

jest

równaniem

liniowym,

jednorodnym drugiego rzędu.
Rozwiązanie:

)

sin(



 



t

a

x

(a-
amplituda(max.wychylenie),



-

faza początkowa ruchu drgań

)

(



 

t

-

faza drgań)

Ruch określony powyższym
wzorem jest okresowy o okresie

k

m

T

m

k

T









2

,

2







58. Drgania tłumione
Drgania tłumione występują w
ośrodku stawiającym opór. Siły
oporu są proporcjonalne do
prędkości

'

*

x

R

x













-

siła

tłumiąca.
Równania ruchu:

m

n

m

k

x

nx

x

x

kx

mx

























2

,

0

'

2

"

'

"

2

Ponieważ

równanie

charakterystyczne

0

2

2

2













n

jest kwadratowe, to mogą zajść

3

przypadki(delta

większa,

mniejsza, równa 0)
1.Małe

tłumienie

0









n



Rozwiązanie:

)

sin(

2

2













t

n

ae

x

nt

Jeżeli

0

,







tox

t

-

drgania

zanikają.

d

dt

=

m

n

1

+

m

n

2

...

+

m

n

n

=

P

1

+

P

2

+

...

+

P

n

d

m

n

dt

=

P

Okres:

2

2

2

2

,

2

n

n

T

t

















2.Duże

tłumienie.

0









n



Mamy rozw.

rzeczywiste nie będzie drgań.
Rozwiązanie

)

sinh(

2

2













t

n

ae

x

nt

Ruch ten nie jest ruchem
okresowym, nie ma drgań.
3.Tłumienie krytyczne

0









n



Rozwiązanie:

)

(

2

1

t

C

C

e

x

nt







Brak okresowości, brak drgań.

60. Drgania wymuszone
Jeżeli na punkt dodatkowo
działa

siła

wymuszająca

okresowa to występują drgania
wymuszone.
Siła wymuszająca S=H sin(pt),
p-

czestość siły wymuszającej.

Równanie ruchu tych drgań

m

H

h

m

k

pt

h

nx

x

pt

H

kx

mx















,

)

sin(

'

2

"

)

sin(

"



Rozwiązanie ostateczne tych
drgań

)

sin(

)

sin(

2

2

pt

p

h

t

a

x















Jest to złożenie dwóch drgań:
własnych

i

wymuszonych.

Widzimy, że amplituda drgań
wymuszonych

2

2

p

h

B







zależy od częstości drgań
wymuszonych.

Jeżeli







toB

p

,



i

występuje

rezonans.

W

przypadku

rezonansu

rozwiązanie drgań będzie miało
postać.

)

cos(

2

)

sin(

t

t

h

t

a

x















61.

Rezonans-

zjawisko

fizyczne zachodzące dla drgań
wymuszonych, objawiające się
pochłanianiem energii poprzez
wykonywanie drgań o dużej
amplitudzie

przez

układ

drgający

dla

określonych

częstotliwości drgań.
62.

Amplituda-

nieujemna

wartość określająca wielkość
przebiegu funkcji okresowej.
63.

Okres drgań, dla ruchu

periodycznego czas, po jakim
układ drgający znajduje się
ponownie w takiej samej fazie.
64.

Częstotliwość określa

liczb

ę cykli zjawiska

okresowego występujących w
jednostce czasu. W układzie SI
jednostką częstotliwości jest
herc (Hz)

.

65.

ω

o

– częstość własna

drgań oscylatora – określa
liczbę pełnych drgnięć w
jednostce czasu.

66.

Dla drgań harmonicznych

opisanych
równaniem

fazą drgań określa się argument
funkcji sinus, czyli

lub

resztę z dzielenia tego kąta
przez miarę kąta
pełnego

Faza drgań
nieharmonicznych.

Dla drgań nieharmonicznych w
których można wyróżnić drganie
o najdłuższym okresie, fazę
drgań określa się jako fazę
drgania składowego o
najdłuższym okresie.
67.

Kąt

φ nazywa się fazą

początkową drgań, czyli fazą w
chwili początkowej t = 0.

71. Reakcje dynamiczne

dynamiczne

reakcje

R

R

const

B

A

_

,

.







Korzystamy

z

zasady

d’Alemberta
Siły odśrodkowe muszą się
równoważyć z siłami reakcji.
Równania będą

0

0

0

0

_

2

2

2

2





























xzdm

l

R

yzdm

l

R

momenty

ydm

R

R

xdm

R

R

sił

równania

Bx

By

By

Ay

Bx

Ax









Oznaczając

















xz

yz

c

c

D

xzdm

D

yzdm

my

ydm

mx

xdm

,

,

mamy

0

0

0

0

2

2

2

2





















xz

Bx

yz

By

c

By

Ay

c

Bx

Ax

D

l

R

D

l

R

my

R

R

mx

R

R









2

2

2

2

By

Bx

B

Ay

Ax

A

R

R

R

R

R

R









Reakcje znikają tylko wtedy, gdy

0

,

0

,

0

,

0









yz

xz

c

c

D

D

y

x

Aby reakcje dynamiczne były
równe zeru oś obrotu musi być
centralną

główną

osią

bezwładności

72

Długość

zredukowana

wahadła fizycznego
Wahadłem fizycznym nazywamy
swobodnie obracające się ciało
materialne względem stałego
punktu.

73 Kręt bryły w ruchu
obrotowym

74 Energia kinetyczna bryły w
ruchu obrotowym

75 Energia kinetyczna bryły w
ruchu płaskim

76 Środek masy bryły

77

Środek

masy

układu

punktów materialnych
Środek masy określony jest
następująco:

Zgodnie z III zasadą dynamiki
Newtona

ponieważ

występują parami.

Pi -

siły zewnętrzne;

Wi -

siły wewnętrzne;

78

Definicja

momentu

bezwładności
Momentem

bezwładności

punktu materialnego względem
płaszczyzny,
osi lub bieguna nazywamy
iloczyn masy tego punktu przez
kwadrat odległości tego punktu
od płaszczyzny, osi lub bieguna.
I = mr

2

79

Główny

moment

bezwładności
Momenty

bezwładności

względem punktu
I

xx

=



x

2

dm

I

yy

=



y

2

dm

I

zz

=



z

2

dm

Momenty

bezwładności

względem osi
I

x

=



(y

2

+ z

2

) dm = I

yy

+ I

zz

I

y

=



(x

2

+ z

2

) dm = I

xx

+ I

zz

I

z

=



(x

2

+ y

2

) dm = I

xx

+ I

yy

Momentem dewiacji (zboczenia)

80

Dewiacyjne

momenty

bezwładności
Momentem dewiacji (zboczenia)
w płaszczyźnie dwóch osi
układu

współrzędnych

karteziańskich

jest

całka

iloczynów mas i ich odległości
od płaszczyzn. Jest on zależny
od rozkładu mas i kierunku osi
trzeciej.
I

xy

= I

yx

=



xy dm

I

yz

= I

zy

=



yz dm

I

zx

= I

xz

=



zx dm

81 Tw. Steinera
Moment

bezwładności

względem dowolnej osi jest
równy momentowi względem osi
równoległej

przechodzącej

przez

środek

masy

powiększonemu o iloczyn masy
całkowitej
układu przez kwadrat odległości
obu osi.
I

z

= I

xx

+ I

yy

= I

z’

+ md

2

I

l

= I

0

= md

2

82

Moment

bezwładności

względem

dowolnie

skierowanej osi
Moment

bezwładności

względem osi: I=



V

r

2

dm, zatem:

I = I

x

cos

2

α + I

y

cos

2

β + I

z

cos

2

γ−2Dxy cos α cos β − 2Dyz

cos β cos γ − 2Dzx cos γ cos α

83 Główna oś bezwładności
Można

przyjąć

układ

współrzędnych taki, ze Dαβ =0.
I

1

x

2

+ I

2

y

2

+ I

3

z

2

= k

2

gdzie I

1

,

2

,

3

-

główne momenty

bezwładności
Takimi osiami są: każda oś
symetrii, każda prosta

⊥ do

płaszczyzny symetrii, każda
prosta, na której leżą środki mas
warstw

elementarnych,

otrzymanych przez podział ciała
płaszczyznami prostopadłymi do
tej prostej.
84.

Centralna

oś

bezwładności

85. Główna centralna oś
bezwładności
Są to osie główne przechodzące
przez środek masy
86. Macierz bezwładności
Macierz

bezwładności

jest

macierzą

symetryczną.

Elementy na przekątnej –
momenty

bezwładności.

Elementy poza przekątną –
momenty

dewiacyjne

bądź

iloczyny bezwładności.