Wytrzymałość materiałów:

1. Naprężenia tnące przy zginaniu belek.

Część rozciągana jest dłuższa od części ściskanej. Na granicy dwóch plastrów powstaje poślizg. Naprężenia tnące redukują ten poślizg.

2. Istota metody obciążeń granicznych:

Założenia metody OG:

- materiał nie może odpowiadać większą plastycznością jak granica plastyczności

- materiał musi spełniać warunki nośności granicznych:

a) P ≤ P_gr^*, gdzie P_gr^* = Re  A - pewna siła graniczna powodująca że materiał dalej nie popłynie,

P = A ⋅ σ_x – siła działająca na materiał, Re – granica plastyczności

b) σ_x ≤ Re, w momencie gdy wartości są równe to w każdym punkcie momentu rozciągającego materiał jest w takim samym stanie

Podsumowanie metody OG

- metoda ta umożliwia znacznie bardziej precyzyjne projektowanie konstrukcji z optymalnym współczynnikiem bezpieczeństwa

( dod. Współczynnik bezpieczeństwa n - liczba mówiąca, ile razy naprężenie σ występujące podczas normalnej pracy konstrukcji jest mniejsze od naprężenia niebezpiecznego σ_n.)

- przez analizę dwóch stanów granicznych zapewnia właściwą pracę konstrukcji zarówno pod względem nośności, jak i cech użytkowych ;

- konieczność sprawdzania dwóch stanów granicznych — nośności i użytkowania, jak również uwzględnienie w normie wielu czynników mających wpływ na wystąpienie tych stanów w konstrukcji.

3. Twierdzenie Castigliano, Menabre ’a. Przykłady zastosowania.

Twierdzenie Castigliano: stosuje się do obliczania statycznie wyznaczalnych ram i belek.

I. Pochodna energii sprężystej układu Clapeyrona względem siły zewnętrznej równa się składowej przemieszczenia punktu przyłożonego do tej siły w kierunku działania siły.

δ_i = $\frac{\ \text{Ep}}{\ \text{Pi}}$ = $\frac{1}{\text{EI}}\ \int_{}^{}{M\ \frac{\ M}{\ \text{Pi}}}\ \text{dx}$ ( gdzie : po wykonaniu rachunku P_i = 0 )

II. Twierdzenie można rozszerzyć na momenty:

Pochodna energii sprężystej względem siły zew. jest równa kątowi obrotu dookoła osi wyznaczonej przez moment fragmentu materiału w rejonie przyłożenia momentu.

δ_A = $\frac{\ \text{Ep}}{\ Q}\ $ = $\frac{1}{\text{EI}}\ \int_{}^{}{M\ \frac{\ M}{\ Q}}\ \text{dx}$ ( gdzie: po wykonaniu rachunku Q = 0 )

• W Tw. Castigliano w miejsce energii potencjalnej można wziąć pracę sił zewnętrznych i wewnętrznych.

(dod. Clapeyrona układ, układ mech., w którym występujące odkształcenia są proporcjonalne do odpowiadających im sił.)

Twierdzenie Menabre ’a stosuje się do obliczania statycznie niewyznaczalnych ram i belek.

Pochodna energii odkształcenia sprężystego względem wielkości hiperstatycznej (wielkości niewyznaczalnej) równa się 0.

a) do wyliczenia reakcji w punkcie założenie mówi że przemieszczenie jest zerowe:

δ_i = 0 = $\frac{1}{\text{EI}}\ \int_{}^{}{M\ \frac{\ M}{\ \text{Pi}}}\ \text{dx}$ , P_i – szukana reakcja

b) do wyliczenia momentu w punkcie założenie mówi że kąt obrotu jest zerowy:

δ_A = 0 = $\frac{1}{\text{EI}}\ \int_{}^{}{M\ \frac{\ M}{\ Q}}\ \text{dx}$ , Q – szukany moment

4. Opisać metodę sił lub metodę Maxwella-Mohra.

Metoda sił:

Istota metody opiera się na pozbawieniu rozpatrywanego, obciążonego układu nadliczbowych więzów, dbając jednak przy tym o to, aby pozostał on geometrycznie niezmienny. W miejsce myślowo usuniętych więzów wstawiamy niewiadome siły. Następnie, aby zachować kinematyczną identyczność układu rzeczywistego z nowym, nazywanym dalej układem podstawowym w metodzie sił, określamy sumaryczne przemieszczenia po kierunkach działania tych sił. Ponieważ w rzeczywistości w tych miejscach istniały więzy,

przemieszczenia te są równe zero. Układając te warunki w równania otrzymujemy wyznaczalny układ, a zatem możemy obliczyć wartości nadliczbowych niewiadomych .

Układ podstawowy, który na ogół jest układem statycznie wyznaczalnym, musi spełniać również trzy warunki odpowiedniości:

– identyczność geometryczna (zgodność wymiarów),

– identyczność kinematyczna (zgodność przemieszczeń – równania kanoniczne),

– identyczność statyczna (zgodność obciążeń).

Metoda Maxwella – Mohra:

Metoda M-M ma zastosowanie przy wyznaczaniu przemieszczeń w konstrukcjach statycznie wyznaczalnych oraz do wyznaczania reakcji w układach statycznie niewyznaczalnych.

Cechą charakterystyczną metody M-M jest obciążanie rozpatrywanej konstrukcji jednostkową siłą uogólnioną (siła punktowa lub moment punktowy) działającą na kierunku poszukiwanego przemieszczenia.

W przypadku wyznaczania ugięć (przesunięć) przykładamy siłę „1” do punktu konstrukcji, którego ugięcie obliczamy. Jeżeli wyznaczamy kąt ugięcia (kąt obrotu przekroju) przykładamy moment „1” w punkcie przekroju, którego kąt ugięcia obliczamy.

a. obliczenia z całki: f_A = $\frac{1}{\text{EI}}\ \int_{}^{}{M\ \ m}\ \text{dx}$ gdzie m – moment wewnętrzny dla belki po przyłożeniu siły/momentu jednostkowego

b. metoda Wereszczagina: f_A = $\frac{1}{\text{EI}}\ \int_{}^{}{M\ \ m}\ \text{dx}$ = $\frac{1}{\text{EI}}$ [ Ω_M ⋅ y_m ]

Postępowanie:

I. Sporządzić wykresy sił wewnętrznych M od obciążenia układu siłami czynnymi (rzeczywiście działającymi na konstrukcje)

II. Sporządzić wykresy sił wewnętrznych m od obciążenia układu siłą jednostkową przyłożoną w miejscu i na kierunku poszukiwanego przemieszczenia.

III. Obliczyć powierzchnię Ω i wyznaczyć środki ciężkości x_c pól wykresu M odpowiadających odcinkom prostym m

IV. Wyznaczyć rzędne (wartości funkcji) ϖ=m(x_c) odpowiadające położeniom środków ciężkości pół wykresu M

5. Hipoteza wytężeniowa Hubera.

Jest to hipoteza energii odkształcenia postaciowego , zakłada że ciało jest doskonale sprężyste i że praca naprężenia zredukowanego równa jest sumie prac wszystkich naprężeń składowych.

- Dla przestrzennego stanu naprężeń:

σ_red =$\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\sqrt{\left(_{1} - \ _{2} \right) + \left(_{2} - \ _{3} \right) + \left(_{3} - \ _{1} \right)\ }$

- Dla płaskiego stanu naprężeń:

σ_red = $\sqrt{_{x}^{2} + \ _{y}^{2} -_{x}_{y} + 3_{\text{xy}}^{2}}$

σ_red = $\sqrt{_{1}^{2} + \ _{2}^{2} -_{1}_{2}}$

6. Naprężenia w zbiornikach cienkościennych. Naprężenia zredukowane wg. Hubera i Treski dla zbiornika kulistego i walcowego.

Powłoki cienkościenne – to ciało albo ustrój, gdzie materia ciała jest położona blisko przestrzennej powierzchni która nazywamy powierzchnią środkową. Prostopadle do tej powierzchni mierzymy grubość (g). W praktyce za cienkościenne przyjmuje się te zbiorniki, dla których g < $\frac{1}{20}$ D , gdzie D-średnica zbiornika.

Element podlega rozciąganiu w dwóch wzajemnie prostopadłych kierunkach: w kierunku osiowym – wskutek naprężeń σ₁ , w kierunku stycznym do obwodu – wskutek naprężeń σ₂.

Naprężenia osiowe wynosi: σ₁ = $\frac{F_{1}}{S_{1}} = \ \frac{D\ \ p}{4g}$ , gdzie: S – przekrój , p – ciśnienie wewnętrzne

Naprężenia obwodowe: σ₂ = $\frac{F_{1}}{S_{1}} = \ \frac{D\ \ p}{2g}$

7. Teoria Eulera- stateczność prętów ściskanych.

Wyboczenie pręta ściskanego osiowo jest jednym z przykładów utraty stateczności. W przypadku wyboczenia zniszczenie pręta następuje nie poprzez przekroczenie wytrzymałości na ściskanie lecz poprzez zmianę jego kształtu i związanej z tym zmiany charakteru stanu naprężenia w pręcie.

Rozróżniamy trzy rodzaje stanu równowagi układów mechanicznych:

A)równowaga obojętna B) równowaga trwała C)równowaga chwiejna: (położenie równowagi i położenie niestateczne)

Nagłą zmianę równowagi nazywa się wyboczeniem pręta. Jeżeli oś pręta ulegnie zakrzywieniu to dla danej siły ściskającej ustali się pewna równowaga trwała czyli przemieszczenia pręta nie będą rosnąć. W punkcie w którym nastąpi zmiana równowagi wystąpi siła krytyczna P_kryt.

Siłę krytyczną wyznacza się ze wzoru nazywanego wzorem Eulera, który dla dowolnego typu pręta ściskanego osiowo ma postać: P_kryt = $\frac{\ ^{2}\ E\ \ J_{\min}}{L_{w}^{2}}$

Gdzie: L_w – długość wyboczeniowa pręta, L_w = L ⋅ α

J_min – minimalny moment bezwładności

- współczynnik zależny od warunków przegubowych zamocowania pręta

W punkcie gdzie wystąpi siła krytyczna wystąpią także naprężenia krytyczne, przy czym: σ_kryt= $\frac{P_{\text{kryt}}}{A}$ , gdzie: A – pole przekroju pręta

σ_kryt = $\frac{^{2}\ \ E}{^{2}}$ , gdzie: λ - smukłość pręta, λ = $\frac{L_{w}}{i}$

i – promień bezwładności, i = $\sqrt{\frac{J_{\min}}{A}}$