KINEMATYKA

Zadanie 1

Ruch punktu A poruszającego się wzdłuż osi Ox ,określony jest równaniem

W którym odcięta wyrażona jest w metrach a t to czas w sekundach. Wyznaczyć prędkości i przyspieszenie tego punktu w dowolnej chwili t oraz znaleźć wartości prędkości i przyspieszenia w chwili początkowej

I w chwilach

Sporządzić wykresy przebytej drogi ,prędkości i przyspieszenia w funkcji czasu.

Rozwiązanie :

Punkt A porusza się wzdłuż osi Ox według równania

dzięki temu równaniu możemy określić jego położenie w dowolnej chwili t. W chwili początkowej to = 0 punkt ten znajdował się w punkcie B , leżącym w odległości xo = 5m od punktu O (rys.a). Dalszy ruch punktu odbywa się w dodatnim kierunku osi Ox.

W dowolnej chwili t punkt A znajdzie się w punkcie C o współrzędnej x. Różnica współrzędnych x - xo jest drogą przebytą przez punkt od chwili początkowej : s = x -xo

Równanie tej drogi ma postać:

Wykres przebytej drogi w zależności od czasu przedstawia rys.b

Miarą prędkości punktu A w jego ruchu wzdłuż osi Ox jest pochodna względem czasu. Różniczkując równanie

względem czasu otrzymamy wyrażenie określające prędkość punktu A w zależności od czasu

t.

Wykresem tej zależności jest krzywa przedstawiona na rys.C. w chwilach to = 0,

t1 = 2s i t2 = 4s wartości prędkości punktu A wynoszą odpowiednio Vo = 0 m/s

V1 = 24 m/s i V2 = 96 m/s.

Miarą przyspieszenia punktu A jest pochodna względem czasu jego prędkości lub druga pochodna względem czasu odciętej x .Różniczkując Vx = x' = 6t* m/s względem czasu otrzymamy wyrażenie określające przyspieszenie punktu A w zależności od czasu t.

Przyspieszenie zmienia się liniowo (rys.d) i w chwilach to = 0, t1 = 2s i t2 = 4s wynosi odpowiednio ao = 0 ,a1 = 24 m/s* i a2 = 48 m/s

Analogicznie można rozwiązać podobne zadanie:

Równanie ruchu punktu A poruszającego się po lini prostej ma postać

Przy czym odcięta x wyrazona jest w metrach a czas t w sekundach.

- znaleźć prędkość i przsyspieszenie

• określić czas tk w którym prędkość punktu A spadnie do zera , oraz droge przebyta w tym czasie

• obliczyć jaka największą prędkość miał punkt A w przedziale czasu tk-to

Rozwiązanie:

Prędkość punktu A znajdziemy różniczkując względem czasu równanie ruchu tego punktu.

Przyspieszenie znajdziemy różniczkując względem czasu równanie

Otrzymujemy:

Jak wynika z otzrymanego wyrażenia przyspieszenie punktu A liniowo maleje w miare uplywu czasu a zmiana prędkośi zachodzi według paraboli.Rys a i b

W chwili tk prędkość punktu ma być równa zero:

Z równania tego otrzymujemy

Sens fizyczny ma tylko drugi pierwiastek równania , gdyż tylko on odpowiada chwili po rozpoczęciu się ruchu punktu A . Więc

W chwili to=0 punkt A znajdował się punkcie o współrzędnej

więc droga przebyta przez ten punkt w czasie tk-to będzie równa wartości odciętej x w chwili

i wynosi ona

w przedziale czasu

prędkość punktu a jest dodatnia przy czym rośnie do chwili t = tp a następnie maleje do zera w chwili t = tk . W chwili t = tp przyspieszenie jest równe zeru a więc

wtedy

przyspieszenie jest pochodną prędkości względem czasu zatem w chwili

prędkość punktu A osiąga ekstremum które wynosi:

Zadanie 2

Tłok B , mogący się poruszać w pionowym cylindrze , połączony jest sztywnym prętem AB o długości

Z tuleją A , która porusza się ruchem harmonicznym po poziomej prowadnicy. Znaleźć amplitudę ruchu b i pulsację ω ruchu tulei A wiedząc ,że w chwili początkowej to=0

Znajdowała się ona w punkcie C o współrzędnej xo=a/2 a jej ruch odbywał się w dodatnim kierunku osi x.

Rozwiązanie

Tuleja A porusza się ruchem harmonicznym po poziomej prowadnicy według równania:

Rozpoczęła swój ruch z punktu C o współrzędnej x = xo = a/2 w dodatnim kierunku osi Ox.

Dla chwili początkowej to = 0 musi być spełnione równanie

Z którego otrzymujemy

Więc

Równanie ruchu tulei ma postać

Na podstawie tego równania znajdujemy:

Okres ruchu tulei wynosi

Tłok B połączony jest z tuleją A za pomocą sztywnego pręta więc ruch tłoka będzie zależał od ruchu tulei A. Tłok porusza się w pionowym cylindrze a jego współrzędna y określająca jego położenie w dowolnej chwili t wyraża się wzorem:

Ruch tłoka jest ruchem okresowym odbywającym się miedzy punktami o współrzędnych

I

Amplituda ruchu tłoka wynosi:

Okres jego ruchu jest równy:

Ponieważ na jeden okres ruchu tulei przypadają dwa okresy ruchu tłoka.

Prędkość V tłoka , określoną pochodną współrzędnej y względem czasu t , znajdziemy wyrażając tę pochodną w zależności od współrzędnej x położenia tulei A.

W analogiczny sposób można znaleźć przyspieszenie tłoka B

Po wykonaniu rachunków otrzymamy

Przyspieszenie to osiąga największe wartości dla y = ymax oraz y = ymin którym odpowiadają położenia tulei x = 0 i x = *a

Największą bezwzględnie wartość przyspieszenia osiąga tłok w dolnym położeniu ymin

Największa prędkość osiąga tłok w tych położeniach w których a=0 . odpowiadające

im współrzędne x' położenia tulei muszą więc spełniać warunek:

Z tego możemy otrzymać

Ponieważ sens fizyczny - dla rozpatrywanego zagadnienia ma jedynie wartość

Gdyż

zatem ostatecznie współrzędne x' położenia tulei A dla których tłok B osiąga maksymalną prędkość wynoszą

Prędkość wtedy jest maksymalna i wynosi:

Zadanie 3

Na koło o promieniu R , obracające się ze stałą prędkością kątową *o dookoła punktu A

nałożono mały pierścień P nawlekając go jednocześnie na nieruchomą prostą poziomą n.

Obliczyć prędkość i przyspieszenie pierścienia w jego ruchu po prostej n w funkcji odległości x.

Rozwiązanie:

Jak wynika z trójkąta AOP między kątem * obrotu koła a tą współrzędną istnieje związek

Ponieważ

Zatem równanie ruchu pierścienia P ma postać:

Różniczkujemy to równanie względem czasu i otrzymamy prędkość z jaką porusza się pierścień po prostej n.

Różniczkując ponownie wyrażenie względem czasu t otrzymamy przyspieszenie pierścienia

Otrzymane wyrażenia wyrazić można w funkcji współrzędnej x położenia pierścienia P na prostej n. Z trójkąta AOB :

Stad

Podstawiając znalezione wyrażenia do równań prędkości i przyspieszenia otrzymamy:

oraz

Największa wartość współrzędnej x może być równa 2R

W tym położeniu prędkość P jest równa zeru a przyspieszenie ma największą wartość:

Zadanie 4

Koło będące w ruchu obrotowym i wykonujące n =300obr/min zaczęło hamować tak, że po 25 obrotach zatrzymało się. Obliczyć przyspieszenie i czas hamowania przyspieszenie (opóźnienie) kątowe koła było stałe.

Rozwiązanie

Początkowa prędkość koła wynosi:

Prędkość koła po upływie czasu t od początku hamowania :

Po czasie t koło zatrzymało się ,czuli * = 0 :

Stąd czas hamowania:

Koło zatrzymało się po 25 obrotach czyli po obrocie o kąt :

Ten sam kąt można wyrazić za pomocą wzoru:

Stąd przyspieszenie kątowe

Czas hamowania:

Podobnie można rozwiązać zadanie

Na bęben o promieniu R=0,5 m nawinięta jest nierozciągliwa lina.

Koniec liny (punkt A) porusza się w kierunku pionowym ze stałym przyspieszeniem .

Koniec A wyruszył bez prędkości początkowej , a po przebyciu drogi h = 1/3m uzyskał prędkość V = 1m/s.Obliczyć dla tego położenia całkowite przyspieszenie punktu leżącego na obwodzie bębna.

Rozwiązanie

Ruch punktu A jest ruchem jednostajnie przyspieszonym

Przyspieszenie tego punktu można znaleźć ze wzoru:

Przyspieszenie punktu leżącego na obwodzie bębna jest sumą geometryczną składowej stycznej pt i składowej normalnej pn. Przyspieszenie styczne punktu leżącego na obwodzie

bębna równa się przyspieszeniu punktu A.

Przyspieszenie normalne w badanej chwili:

A przyspieszenie całkowite w badanej chwili:

Zadanie 5

Wzdłuż średnicy tarczy kołowej o promieniu R obracającej się ze stałą prędkością kątową

* porusza się punkt ruchem harmonicznym o równaniu:

Znaleźć przyspieszenie całkowite punktu ruchomego , w chwili gdy przechodzi on przez środek tarczy i w chwili gdy znajduje się na jaj obwodzie

Rozwiązanie:

Znajdujemy najpierw prędkość i przyspieszenie w ruchu względnym.

Otrzymamy je przez zróżniczkowanie względem czasu równania ruchu względnego.

Przyspieszenie względne w chwili gdy punkt przechodzi przez środek tarczy jest równe zero

bo x =0

Przyspieszenie unoszenia równa się zero bo punkt przechodzi przez nieruchomy punkt tarczy.

Przyspieszenie Coriolisa wynosi:

Prędkość względna w tym położeniu :

Więc

Przyspieszenie Coriolisa jest całkowitym przyspieszeniem w tym położeniu i jest ono prostopadłe do średnicy , po której porusza się punkt.

W momencie gdy punkt znajduje się na obwodzie tarczy (punkt A1) wartość przyspieszenia względnego:

A przyspieszenia unoszenia:

Przyspieszenie Coriolisa w tym punkcie równa się zero z uwagi na to , że w tym położeniu prędkość względna:

Więc

Wartość przyspieszenia całkowitego:

Zadanie 6

Dane są równania ruchu punktu:

Wyznaczyć tor punktu i prędkość oraz przyspieszenie , jeśli współrzędne podane są w centymetrach a czas w sekundach

Rozwiązanie

Z równań ruchu można otrzymać:

Korzystając z zależności

Więc:

Jest to równanie hiperboli przedstawionej na rysunku.

Na podstawie równań ruchu znajdujemy:

Prędkość:

Przyspieszenie: