SIMR 2010/11, Analiza 1, wykład 9, 2010-12-02

Całka nieoznaczona

Definicja: Niech dana będzie funkcja f : I → R, gdize I ⊂ R jest przedziałem. Funkcją
pierwotną tej funkcji nazywamy każdą funkcję F : I → R taką, że (∀x ∈ I)

F

0

(x) = f (x).

Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f nazywamy całką nieoznaczoną i oznaczamy
symbolem:

Z

f (x)dx

Uwaga 1: Przedział I może być domknięty I =< a, b > . Wtedy w końcach przedziału
F

0

(a) i F

0

(b) są pochodnymi jednostronnymi.

Uwaga 2: Jeżeli istnieje funkcja pierwotna funkcji f , to istnieje nieskończenie wiele funkcji
pierwotnych różniących się tylko o stałą:
Jeżeli F

0

1

(x) = f (x) i F

0

2

(x) = f (x) to (F

1

(x) − F

2

(x))

0

= 0 czyli F

1

(x) − F

2

(x) = C na

przedziale I.
Uwaga 3: Operacją obliczania całki nieoznaczonej nazywamy całkowaniem. Całkowanie jest
operacją odwrotną do różniczkowania. Większość technik obliczania pochodnych ma swoje
odpowiedniki obliczania całek.

Całki nieoznaczone funkcji elementarnuch

1.

Z

x

α

dx =

x

α+1

α + 1

+ C , α 6= −1

2.

Z

1

x

dx = ln |x| + C

3.

Z

e

x

dx = e

x

+ C

4.

Z

sin xdx = − cos x + C

5.

Z

cos xdx = sin x + C

6.

Z

1

cos

2

x

dx = tg x + C

7.

Z

1

sin

2

x

dx = − ctg x + C

8.

Z

1

1 + x

2

dx = arc tg x + C

9.

Z

1

√

1 − x

2

dx = arc sin x + C

10.

Z

sinh xdx = cosh x + C

11.

Z

cosh xdx = sinh x + C

12.

Z

1

cosh

2

x

dx = tgh x + C

1

13.

Z

1

sinh

2

x

dx = − ctgh x + C

Podstawowe własności całki nieoznaczonej

Zakładamy, że funkcje f, g : I → R są całkowalne. Wtedy:

1.

Z

af (x)dx = a

Z

f (x)dx

2.

Z

(f (x) + g(x))dx =

Z

f (x)dx +

Z

g(x)dx

3.

Z

(f (x) − g(x))dx =

Z

f (x)dx −

Z

g(x)dx

Przykłady:

Z

12x

3

− 6x

2

+ 4x − 5

dx = 12

Z

x

3

dx − 6

Z

x

2

dx + 4

Z

x

1

dx − 5

Z

x

0

dx = 12

x

4

4

− 6

x

3

3

+

4

x

2

2

− 5

x

1

1

+ C = 3x

4

− 2x

3

+ 2x

2

− 5x + C

Z

2x + 6

√

x +

3

√

x

−

4

x

+

2

x

2

!

dx = 2

Z

x

1

dx+6

Z

x

1
2

dx+3

Z

x

−

1
2

dx−4

Z

x

−1

dx+2

Z

x

−2

dx =

x

2

+ 6

x

3
2

3
2

+ 3

x

1
2

1
2

− 4 ln |x| + 2

x

−1

−1

+ C = x

2

+ 4x

√

x + 6

√

x − 4 ln |x| −

2

x

+ C

Z

sin

2

x

cos

2

x

dx =

Z

1 − cos

2

x

cos

2

x

dx =

Z

1

cos

2

x

− 1

dx =

Z

1

cos

2

x

dx −

Z

dx = tg x − x + C

Z

x

2

x

2

+ 1

dx =

Z

x

2

+ 1 − 1

x

2

+ 1

dx =

Z

dx −

Z

1

x

2

+ 1

dx = x − arc tg x + C

Całkowanie przez podstawienie

Jeśli g : I

1

→ I

2

jest różniczkowalna, f : I

2

→ R, i F : I

2

→ R jest fukcją pierwotną f

((∀t ∈ I

2

)

F

0

(t) = f (t)) to istnieje poniższa całka:

Z

f (g(x)) · g

0

(x)dx = F (g(x)) + C

Uwaga: Technika ta jest odpowiednikiem obliczania pochodnej funkcji złożonej.

Przykład:

Z

x

x

2

+ 5

dx

Podstawiamy:

(

t = x

2

+ 5

dt = 2xdx

)

, stąd xdx =

1

2

dt

Z

x

x

2

+ 5

dx =

1

2

Z

1

t

dt =

1

2

ln |t| + C

Wracamy do zmiennej x

Z

x

x

2

+ 5

dx =

1

2

ln |x

2

+ 5| + C

Uwaga: W tym przykładzie t = g(x) = x

2

+ 5 , g

0

(x) = 2x , f (t) =

1

2t

Przykłady:

Z

xe

x

2

dx =











t = x

2

dt = 2xdx
xdx =

1
2

dt











=

Z

1

2

e

t

dt =

1

2

e

t

+ C =

1

2

e

x

2

+ C

2

Z

sin x

cos

2

x + 1

dx =











t = cos x
dt = − sin xdx
sin xdx = −dt











=

Z

−1

t

2

+ 1

dt = − arc tg t + C = − arc tg(cos x) + C

Z

e

x

√

1 − e

2x

dx =

(

t = e

x

dt = e

x

dx

)

=

Z

1

√

1 − t

2

dt = arc sin t + C = arc sin(e

x

) + C

Z

x

x

4

+ 1

dx =











t = x

2

dt = 2xdx
xdx =

1
2

dt











=

Z

1
2

dt

t

2

+ 1

dt =

1

2

arc tg t + C =

1

2

arc tg(x

2

) + C

Z

x

√

x

2

+ 1dx =











t = x

2

+ 1

dt = 2xdx
xdx =

1
2

dt











=

Z

1

2

√

tdt =

1

2

t

3
2

3
2

+ C =

1

3

√

x

2

+ 1

3

+ C

Z

ln

3

x

x

dx =







t = ln x

dt =

dx

x







=

Z

t

3

dt =

1

4

t

4

+ C =

1

4

ln

4

x + C

Z

sin x cos x

sin

2

x + 4

dx =

(

t = sin x
dt = cos xdx

)

=

Z

t

t

2

+ 4

dt =











s = t

2

dt = 2sds
sds =

1
2

dt











=

Z

1

2

1

s

ds =

1

2

ln |s| +

C =

1

2

ln |t

2

+ 4| + C =

1

2

ln | sin

2

x + 4| + C

Podstawienie liniowe: t = ax + b

Jeżeli F

0

(t) = f (t) oraz a, b ∈ R , a 6= 0 to

Z

f (ax + b)dx =

1

a

F (ax + b) + C

Przykłady:

Z

1

2x + 7

dx = {t = 2x + 7} =

1

2

ln |2x + 7| + C

Z

sin(4x − 1)dx = {t = 4x − 1} = −

1

4

cos(4x − 1) + C

Z

e

−2x

dx = {t = −2x} = −

1

2

e

−2x

+ C

Z

1

x

2

+ 4

dx =

Z

1

4(

x

2

4

+ 1)

dx =

1

4

Z

1

x

2

2

+ 1

dx = {t =

x

2

} =

1

2

arc tg(

x

2

) + C

Z

1

x

2

+ 4x + 13

dx =

Z

1

(x + 2)

2

+ 9

dx =

Z

1

9(

(x + 2)

2

9

+ 1)

dx =

1

9

Z

1

x + 2

3

2

+ 1

dx =

{t =

x + 2

3

} =

1

3

arc tg(

x + 2

3

) + C

Podstawienie za mianownik

Jeżeli licznik funkcji podcałkowej jest pochodną mianownika pomnożoną przez stałą, to
podstawiając nową zmienną za mianownik mamy:

Z

af

0

(x)

f (x)

dx =

(

t = f (x)
dt = f

0

(x)dx

)

=

Z

a

t

dt = a ln |t| + C = a ln |f (x)| + C

Przykłady:

Z

sin x

cos x

dx =











t = cos x
dt = − sin xdx
sin xdx = −dt











=

Z

−1

t

dt = − ln |t| + C = − ln | cos x| + C

Z

6x

2

+ 8

x

3

+ 4x

dx =











t = x

3

+ 4x

dt = (3x

2

+ 4)dx

dx = 2dt











=

Z

2

t

dt = 2 ln |t| + C = 2 ln |x

3

+ 4x| + C

Z

e

x

e

x

− 2

dx =

(

t = e

x

− 2

dt = e

x

dx

)

=

Z

1

t

dt = ln |t| + C = 2 ln |e

x

− 2| + C

3

Z

1

x ln x

dx =







t = ln x

dt =

1

x

dx







=

Z

1

t

dt = ln |t| + C = 2 ln | ln x| + C

Całkowanie przez części

Jeśli I jest przedziałem, f, g : I → R są różniczkowalne oraz funkcja f

0

g jest całkowalna to:

Z

f (x) · g

0

(x)dx = f (x) · g(x) −

Z

f

0

(x) · g(x)dx

Uwaga: Technika ta jest odpowiednikiem obliczania pochodnej iloczynu funkcji.

Przykład:

Z

x ln xdx

Całkujemy przez części:

(

f (x) = ln x g

0

(x) = x

f

0

(x) =

1
x

g(x) =

R

xdx =

x

2

2

)

Z

x ln xdx = ln x ·

x

2

2

−

Z

1

x

· xdx =

x

2

2

ln x −

Z

xdx =

x

2

2

ln x − x + C

Przykłady:

Z

x sin xdx =

(

f (x) = x

g

0

(x) = sin x

f

0

(x) = 1 g(x) = − cos x

)

= −x cos x−

Z

− cos xxdx = −x cos x+sin x+

C

Z

e

x

sin xdx =

(

f (x) = e

x

g

0

(x) = sin x

f

0

(x) = e

x

g(x) = − cos x

)

= −e

x

cos x −

Z

−e

x

cos xdx = −e

x

cos x +

Z

e

x

cos xdx

Obliczamy:

Z

e

x

cos xdx =

(

f (x) = e

x

g

0

(x) = cos x

f

0

(x) = e

x

g(x) = sin x

)

= e

x

sin x −

Z

e

x

sin xdx

Stąd mamy:

Z

e

x

sin xdx = −e

x

cos x + e

x

sin x −

Z

e

x

sin xdx

2

Z

e

x

sin xdx = e

x

(sin x − cos x) + C

Z

e

x

sin xdx =

1

2

e

x

(sin x − cos x) + C

Z

arc tg xdx =







f (x) = arc tg x g

0

(x) = 1

f

0

(x) =

1

1 + x

2

g(x) = x







= x arc tg x −

Z

x

1 + x

2

dx = {t = 1 +

x

2

,

dt = 2xdx} = x arc tg x −

Z

1

2t

dt = x arc tg x −

1

2

ln |1 + x

2

| + C

4