Indukcja Matematyczna
Udowodnić dla n " N :
n(n + 1);
1. 1 + 2 + · · · + n =
2
n(n + 1)(2n + 1);
2. 12 + 22 + · · · + n2 =
6
n(n + 1)(n + 2);
3. 1 · 2 + 2 · 3 + · · · + n(n + 1) =
3
n(n + 1)(n + 2)(n + 3);
4. 1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + · · · + n(n + 1)(n + 2) =
4
1 1 1 1
5. + + · · · + = 1 -
1 · 2 2 · 3 n + 1;
n(n + 1)
1 1 1 1 1
6. + + · · · + = - ;
1 · 2 · 3 2 · 3 · 4 n(n + 1)(n + 2) 4 3(n + 1)(n + 2)
1 1 1 1 1
7. + +· · ·+ = - ;
1 · 2 · 3 · 4 2 · 3 · 4 · 5 n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 18 3(n + 1)(n + 2)(n + 3)
8. 13 + 23 + · · · + n3 = (1 + 2 + · · · + n)2;
9. 6|10n - 4;
10. 3|10n + 4n - 2;
11. 133|11n+1 = 122n-1;
12. 3|7n - 1;
13. 9|10n - 1;
14. 3|4n + 5;
15. 9|4n + 15n + 17;

n(n2 + 5)
16. 3 ;

2
17. 37|1000n - 1;
18. 13|1000n + (-1)n+1;
1 1 1
19. n3 + n2 + n jest liczbÄ… naturalnÄ…;
6 2 3
1 1 7
20. n5 + n3 + n jest liczbÄ… naturalnÄ…;
5 3 15
21. 2n > n2;
1
n(n-1)
2
22. 2 > n! dla n > 2;
23. 3n < n! dla n 7;
1
24. 2n < n! dla n 4;
25. n! 3n dla n 7;
sin(2n+1Ä…)
26. cos Ä… · cos(2Ä…) · · · · · cos(2nÄ…) = ;
2n+1 sin Ä…
sin2(nÄ…)
27. sin Ä… + sin(3Ä…) + · · · + sin((2n - 1)Ä…) = ;
sin Ä…
28. |a1 + a2 + · · · + an| |a1| + |a2| + · · · + |an|;

1 1 1 n + 1
29. 1 - 1 - · · · · · 1 - = dla n > 2;
4 9 n2
2n
1 1 1 n
30. + + · · · + = ;
5 · 8 8 · 11 [5 + 3(n - 1)] · [5 + 3n] 5(5 + 3n)
31. jeżeli a0 = 2, a1 = 3, an+1 = 3an - 2an-1, to an = 2n + 1;
an-1 a0
32. jeżeli an = , to an = ;
2an-1 + 1 2na0 + 1
33. Udowodnić, że dla n > 2, n " N, a > 0 zachodzi
1
(1 + a)n > 1 + na + n(n - 1)a2;
2
34. Niech u1 = 1, u2 = 1, un+2 = un+1 + un. Pokazać, że
nn+2 · un - u2 = (-1)n+1;
n+1
35. Wyznaczyć największą liczbę naturalną k taką, że dla n " N nieparzystego
2k|n6 - n4 - n2 + 1;
36. Mamy mapę narysowaną prostymi. Udowodnij, że można tak pokolorować kraje
(na mapie) 2 kredkami, że sąsiadujące państwa róznia się kolorami;
37. Udowodnić, że n prostych na płaszczyz
nie, z których każde dwie przecinają się, ale
1
żadne trzy nie przechodzą przez jeden punkt, dzieli płaszczyznę na (n2 + n + 2)
2
części;
2