LISTA ZADAC
Z INDUKCJI MATEMATYCZNEJ
1. Udowodnij indukcyjnie, że
n n(n+1)
(a) k = ,
k=1 2
n
1
(b) k2 = n(n + 1)(1 + 2n),
k=1 6 n
n
1
(c) k3 = n2(n + 1)2 = ( k)2.
k=1 4 k=1
(n-1)n(n+1)
2. Udowodnij, że 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + ... + (n - 1) · n = .
3
n
3. Wykaż, że 12 + 32 + . . . + (2n - 1)2 = (4n2 - 1).
3
4. Wykaż, że 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2.
5. Uzasadnij, że 1 · 1! + 2 · 2! + · · · + n · n! = (n + 1)! - 1.
6. Udowodnij, że:
(a) 6 | n3 - n,
(b) 6 | 10n - 4,
(c) 3 | n3 + 2n,
(d) 133 | 11n+2 + 122n+1,
(e) 9 | n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3.
sin 2n+1Ä…
7. Udowodnij, że cos Ä… · cos 2Ä… · cos 4Ä… · · · cos 2nÄ… = dla Ä… =

2n+1 sin Ä…
kĄ, k " Z. Wsk. sin 2ą = 2 sin ą cos ą. Inny sposób może polegać na
przemnożeniu obu stron równości przez sin ą i ponownym wielokrot-
nym wykorzystaniu formu sin 2Ä… = 2 sin Ä… cos Ä….
ly
8. Pokaż, że (przy stosownych za
lożeniach)
n+1 nx
sin x·sin
2 2
(a) sin x + sin 2x + sin 3x + . . . + sin nx = x ,
sin
2
n+1 nx
cos x·sin
2 2
(b) cos x + cos 2x + cos 3x + . . . + cos nx = .
x
sin
2
Wsk. wykorzystaj wzory na sumy funkcji trygonometrycznych typu
x+y x-y
sin x + sin y = 2 sin cos . Możesz również spróbować obliczyć
2 2
n
sume eikx i popatrzeć na jej cześć urojona i rzeczywista.
k=1
   
9. Udowodnij, że
n

1 1
= 1 -
k(k + 1) n + 1
k=1
dwoma sposobami:
1
(a) indukcyjnie,
1 1 1
(b) wykorzystujac tożsamość = - .
k(k+1) k k+1

10. Pokaż, że dla n > 1
1 1 1 1 13
+ + + · · · + > .
n + 1 n + 2 n + 3 2n 24
1 1 1 1
Wsk. + - = .
2k+1 2k+2 k+1 2(k+1)(2k+1)
11. Udowodnij indukcyjnie, że dla n e" 3 zachodzi 2n > 2n + 1.
12. Udowodnij indukcyjnie, że dla n e" 5 zachodzi 2n > n2.
13. Udowodnij nierówność Bernoulliego: (1 + ą)n > 1 + ną dla n > 1 i
Ä… > -1, Ä… = 0.

"
1 1 1 1
" " " "
14. Wykaż, że dla n > 1 zachodzi + + + · · · + > n.
n
1 2 3
15. Udowodnij, że (a + b)n < 2n-1(an + bn) dla a, b > 0, a = b i n > 1.

16. Za óżmy, że liczby x1, x2, . . . , xn sa tego samego znaku i że wszystkie
l

sa wieksze od -1. Udowodnij, że
 
(1 + x1)(1 + x2) . . . (1 + xn) e" 1 + x1 + x2 + . . . + xn.
17. Niech {Fn}n"N bedzie ciagiem Fibonacciego zdefiniowanym rekuren-
 
cyjnie za pomoc¸ wzorów F0 = 0, F1 = 1, Fn = Fn-1 + Fn-2 (n e" 2).
a
Udowodnij indukcyjnie, że
(a) F1 + F3 + . . . + F2n-1 = F2n,
(b) F2 + F4 + . . . + F2n = F2n+1 - 1,
(c) F1 - F2 + F3 - F4 + . . . + (-1)n+1Fn = (-1)n+1Fn-1 + 1,
n
1 1 Fn+1 Fn
(d) = dla n e" 1.
1 0 Fn Fn-1
2