Analiza Matematyczna - I Rok Inf. Lic.
LISTA 1
Indukcja matematyczna
n(n+1)
Zadanie 1. Pokazać, że dla dowolnego n " N zachodzi wzór: 1 + 2 + ... + n = .
2
n(n+1)(2n+1)
Zadanie 2. Pokazać, że 12 + 22 + ... + n2 = dla dowolnego n " N.
6
Zadanie 3. Udowodnić, że 13 + 23 + ... + n3 = (1 + 2 + ... + n)2 dla dowolnego n " N.
Zadanie 4. Pokazać, że dla dowolnego n " N liczba 8n + 6 jest podzielna przez 7.
Zadanie 5. Pokazać, że dla dowolnego n " N liczba n3 - n jest podzielna przez 6.
Zadanie 6. Pokazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x -1 oraz dla dowolnej liczby
n " N prawdziwa jest nierówność Bernoulliego:
(1 + x)n 1 + nx.
Zadanie 7. Udowodnić, że dla dowolnej liczby n " N takiej, że n 6 zachodzi nierówność
n
n
n! < .
2
Zadanie 8. Udowodnić, że dla dowolnej liczby n " N takiej, że n 5 zachodzi 2n > n2.
Zadanie 9. Pokazać, że dla dowolnego n " N zachodzi tożsamość:
Ą 2Ą nĄ nĄ n + 1
sin + sin + ... + sin = 2 sin sin Ą.
3 3 3 6 6
Zadanie 10. Udowodnić, że dla dowolnego n " N oraz x " R mamy: | sin(nx)| n| sin x|.
Zadanie 11. Udowodnić, że dowolną kwotę pieniędzy złożoną z n złotych (n 4)można
wypłacić monetami 2 i 5 złotowymi.
Zadanie 12. Wyznaczyć liczbę odcinków łączących n punktów na płaszczyz
nie, z których
żadne trzy nie są współliniowe.
n3 n2 n
Zadanie 13. Udowodnić, że suma + + jest liczbą naturalną dla każdego n " N.
6 2 3
1