Elektrodynamika
Część 5
Pola magnetyczne w materii
Ryszard Tanaś
Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas
Spis treści
6 Pola magnetyczne w materii 3
6.1 Magnetyzacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
6.2 Pole namagnesowanego ciała . . . . . . . . . . . . . 14
6.3 Natężenie pola magnetycznego H . . . . . . . . . . . 22
6.4 Ośrodki liniowe i nieliniowe . . . . . . . . . . . . . . 26
6 Pola magnetyczne w materii
6.1 Magnetyzacja
6.1.1 Diamagnetyki, paramagnetyki, ferromagnetyki
" Paramagnetyki  materiały, dla których namagnesowanie M
ma ten sam kierunek i zwrot co wektor indukcji B
" Diamagnetyki  materiały, dla których namagnesowanie M
ma ten sam kierunek, ale zwrot przeciwny do wektora B
" Ferromagnetyki  materiały, które zachowują
namagnesowanie M nawet wtedy, gdy zniknie zewnętrzne pole
6 Pola magnetyczne w materii
6.1 Magnetyzacja
6.1.1 Diamagnetyki, paramagnetyki, ferromagnetyki
" Paramagnetyki  materiały, dla których namagnesowanie M
ma ten sam kierunek i zwrot co wektor indukcji B
" Diamagnetyki  materiały, dla których namagnesowanie M
ma ten sam kierunek, ale zwrot przeciwny do wektora B
" Ferromagnetyki  materiały, które zachowują
namagnesowanie M nawet wtedy, gdy zniknie zewnętrzne pole
6 Pola magnetyczne w materii
6.1 Magnetyzacja
6.1.1 Diamagnetyki, paramagnetyki, ferromagnetyki
" Paramagnetyki  materiały, dla których namagnesowanie M
ma ten sam kierunek i zwrot co wektor indukcji B
" Diamagnetyki  materiały, dla których namagnesowanie M
ma ten sam kierunek, ale zwrot przeciwny do wektora B
" Ferromagnetyki  materiały, które zachowują
namagnesowanie M nawet wtedy, gdy zniknie zewnętrzne pole
6 Pola magnetyczne w materii
6.1 Magnetyzacja
6.1.1 Diamagnetyki, paramagnetyki, ferromagnetyki
" Paramagnetyki  materiały, dla których namagnesowanie M
ma ten sam kierunek i zwrot co wektor indukcji B
" Diamagnetyki  materiały, dla których namagnesowanie M
ma ten sam kierunek, ale zwrot przeciwny do wektora B
" Ferromagnetyki  materiały, które zachowują
namagnesowanie M nawet wtedy, gdy zniknie zewnętrzne pole


F = I ( dl � B) = I dl � B = 0
W polu jednorodnym siła wypadkowa działająca na pętlę z
prądem znika
F = "(m � B)
Siła dla infinitezymalnej pętli o momencie dipolowym m
umieszczonej w polu magnetycznym o indukcji B.
w nieobecności pola magnetycznego siła
1 e2 v2
= me dośrodkowa pochodzi wyłącznie od ładunków
4Ą 0 R2 R
elektrycznych
w nieobecności pola magnetycznego siła
1 e2 v2
= me dośrodkowa pochodzi wyłącznie od ładunków
4Ą 0 R2 R
elektrycznych
dodatkowa siła w polu magnetycznym;
-e(v � B)
elektron przyspiesza i zwalnia
me me
eŻ = (v2 - v2) = (Ż + v)(Ż - v)
vB Ż v v
R R
me me
eŻ = (v2 - v2) = (Ż + v)(Ż - v)
vB Ż v v
R R
eRB
�v = elektron przyspiesza
2me
me me
eŻ = (v2 - v2) = (Ż + v)(Ż - v)
vB Ż v v
R R
eRB
�v = elektron przyspiesza
2me
1 e2R2
�m = - e(�v)R ę = - B zmiana momentu dipolowego
2 4me
me me
eŻ = (v2 - v2) = (Ż + v)(Ż - v)
vB Ż v v
R R
eRB
�v = elektron przyspiesza
2me
1 e2R2
�m = - e(�v)R ę = - B zmiana momentu dipolowego
2 4me
Zmiana momentu magnetycznego m ma przeciwny zwrot niż
sama indukcja B  diamagnetyzm
6.1.4 Magnetyzacja
M a" magnetyczny moment dipolowy na jednostkę objętości
6.1.4 Magnetyzacja
M a" magnetyczny moment dipolowy na jednostkę objętości
M  magnetyzacja, namagnetyzowanie, polaryzacja magnetyczna
Ć
1 R
" =
R R2
Ć
1 R
" =
R R2


�0 1
A(r) = M(r ) � " d�
4Ą R
Ć
1 R
" =
R R2


�0 1
A(r) = M(r ) � " d�
4Ą R
" � (fA) = f(" � A) - A � ("f) pochodne iloczynów
Ć
1 R
" =
R R2


�0 1
A(r) = M(r ) � " d�
4Ą R
" � (fA) = f(" � A) - A � ("f) pochodne iloczynów
ńł �ł


żł
�0 �ł 1 M(r )
A(r) = [" � M(r )] d� - " � d�
ół �ł
4Ą R R
Ć
1 R
" =
R R2


�0 1
A(r) = M(r ) � " d�
4Ą R
" � (fA) = f(" � A) - A � ("f) pochodne iloczynów
ńł �ł


żł
�0 �ł 1 M(r )
A(r) = [" � M(r )] d� - " � d�
ół �ł
4Ą R R

(" � A) d� = - A � da twierdzenie
V S
�0 1 �0 1
A(r) = [" � M(r )] d� + [M(r ) � da ]
4Ą R 4Ą R
�0 1 �0 1
A(r) = [" � M(r )] d� + [M(r ) � da ]
4Ą R 4Ą R
Ć
Jzw = " � M Kzw = M � n
�0 1 �0 1
A(r) = [" � M(r )] d� + [M(r ) � da ]
4Ą R 4Ą R
Ć
Jzw = " � M Kzw = M � n
�0 Jzw(r ) �0 Kzw(r )
A(r) = d� + da
4Ą R 4Ą R
V S
dla obracającej się sfery,
Ć
K = �v = ��R sin � Ć
patrz wcześniejszy przykład
dla obracającej się sfery,
Ć
K = �v = ��R sin � Ć
patrz wcześniejszy przykład
Pole jednorodnie namagnesowanej kuli jest takie samo, jak pole
obracającej się jednorodnie naładowanej sfery, po podstawieniu
�R� M.
dla obracającej się sfery,
Ć
K = �v = ��R sin � Ć
patrz wcześniejszy przykład
Pole jednorodnie namagnesowanej kuli jest takie samo, jak pole
obracającej się jednorodnie naładowanej sfery, po podstawieniu
�R� M.
2
B = �0M wewnątrz sfery, pole jednorodne
3
dla obracającej się sfery,
Ć
K = �v = ��R sin � Ć
patrz wcześniejszy przykład
Pole jednorodnie namagnesowanej kuli jest takie samo, jak pole
obracającej się jednorodnie naładowanej sfery, po podstawieniu
�R� M.
2
B = �0M wewnątrz sfery, pole jednorodne
3
4
m = ĄR3M na zewnątrz sfery, pole dipola m
3
dla obracającej się sfery,
Ć
K = �v = ��R sin � Ć
patrz wcześniejszy przykład
Pole jednorodnie namagnesowanej kuli jest takie samo, jak pole
obracającej się jednorodnie naładowanej sfery, po podstawieniu
�R� M.
2
B = �0M wewnątrz sfery, pole jednorodne
3
4
m = ĄR3M na zewnątrz sfery, pole dipola m
3
Podobieństwo do pola elektrycznego spolaryzowanej kuli, ale tu
2
mamy zamiast -1.
3 3
6.2.2 Fizyczna interpretacja prądów związanych
"Mz "My
(Jzw)x = -
"y "z
"Mz "My
(Jzw)x = -
"y "z
Jzw = " � M ogólnie
"Mz "My
(Jzw)x = -
"y "z
Jzw = " � M ogólnie
" � Jzw = " � (" � M) = 0 równanie ciągłości
"Mz "My
(Jzw)x = -
"y "z
Jzw = " � M ogólnie
" � Jzw = " � (" � M) = 0 równanie ciągłości
6.2.3 Pole magnetyczne w materii
Mówiąc o polu magnetycznym w materii mamy na myśli pole
makroskopowe (uśrednione po obszarze wytarczająco dużym by
zawierał bardzo wiele atomów)
6.3 Natężenie pola magnetycznego H
6.3.1 Prawo AmpŁre a w materiałach magnetycznych
J = Jzw + Jsw
6.3 Natężenie pola magnetycznego H
6.3.1 Prawo AmpŁre a w materiałach magnetycznych
J = Jzw + Jsw
1
(" � B = J = Jsw + Jzw = Jsw + (" � M)
�0
6.3 Natężenie pola magnetycznego H
6.3.1 Prawo AmpŁre a w materiałach magnetycznych
J = Jzw + Jsw
1
(" � B = J = Jsw + Jzw = Jsw + (" � M)
�0

1
" � B - M = Jsw
�0
6.3 Natężenie pola magnetycznego H
6.3.1 Prawo AmpŁre a w materiałach magnetycznych
J = Jzw + Jsw
1
(" � B = J = Jsw + Jzw = Jsw + (" � M)
�0

1
" � B - M = Jsw
�0
1
H a" B - M
�0
6.3 Natężenie pola magnetycznego H
6.3.1 Prawo AmpŁre a w materiałach magnetycznych
J = Jzw + Jsw
1
(" � B = J = Jsw + Jzw = Jsw + (" � M)
�0

1
" � B - M = Jsw
�0
1
H a" B - M
�0
" � H = Jsw prawo AmpŁre a

H � dl = Iswc prawo AmpŁre a w postaci całkowej

H � dl = Iswc prawo AmpŁre a w postaci całkowej
Iswc  całkowite natężenie prądu swobodnego płynącego przez
kontur AmpŁre a
6.3.2 Myląca analogia
" � H = Jsw
6.3.2 Myląca analogia
" � H = Jsw
" � H = -" � M = 0 dywergencja różna od zera

6.3.2 Myląca analogia
" � H = Jsw
" � H = -" � M = 0 dywergencja różna od zera

Natężenie pola H nie musi być zerem, kiedy Jsw = 0
6.3.3 Warunki brzegowe
W języku natężenia pola magnetycznego H i gęstości prądów
swobodnych:
Ą" Ą" Ą" Ą"
Hnad - Hpod = -(Mnad - Mpod)
6.3.3 Warunki brzegowe
W języku natężenia pola magnetycznego H i gęstości prądów
swobodnych:
Ą" Ą" Ą" Ą"
Hnad - Hpod = -(Mnad - Mpod)

Ć
Hnad - Hpod = Ksw � n
6.3.3 Warunki brzegowe
W języku natężenia pola magnetycznego H i gęstości prądów
swobodnych:
Ą" Ą" Ą" Ą"
Hnad - Hpod = -(Mnad - Mpod)

Ć
Hnad - Hpod = Ksw � n
Ą" Ą"
Bnad - Bpod = 0
6.3.3 Warunki brzegowe
W języku natężenia pola magnetycznego H i gęstości prądów
swobodnych:
Ą" Ą" Ą" Ą"
Hnad - Hpod = -(Mnad - Mpod)

Ć
Hnad - Hpod = Ksw � n
Ą" Ą"
Bnad - Bpod = 0

Ć
Bnad - Bpod = �0(K � n)
6.4 Ośrodki liniowe i nieliniowe
6.4.1 Podatność i przenikalność magnetyczna
1
M = �mB (niepoprawnie!)
�0
6.4 Ośrodki liniowe i nieliniowe
6.4.1 Podatność i przenikalność magnetyczna
1
M = �mB (niepoprawnie!)
�0
M = �mH ośrodki liniowe
6.4 Ośrodki liniowe i nieliniowe
6.4.1 Podatność i przenikalność magnetyczna
1
M = �mB (niepoprawnie!)
�0
M = �mH ośrodki liniowe
�m  podatność magnetyczna, dodatnia dla paramagnetyków,
ujemna dla diamagnetyków; typowe wartości są rzędu 10-5
6.4 Ośrodki liniowe i nieliniowe
6.4.1 Podatność i przenikalność magnetyczna
1
M = �mB (niepoprawnie!)
�0
M = �mH ośrodki liniowe
�m  podatność magnetyczna, dodatnia dla paramagnetyków,
ujemna dla diamagnetyków; typowe wartości są rzędu 10-5
B = �0(H + M) = �0(1 + �m)H
6.4 Ośrodki liniowe i nieliniowe
6.4.1 Podatność i przenikalność magnetyczna
1
M = �mB (niepoprawnie!)
�0
M = �mH ośrodki liniowe
�m  podatność magnetyczna, dodatnia dla paramagnetyków,
ujemna dla diamagnetyków; typowe wartości są rzędu 10-5
B = �0(H + M) = �0(1 + �m)H
B = �H, � a" �0(1 + �m) przenikalność magnetyczna
Przykład:
Nieskończenie długi solenoid (o n zwojach na jednostkę długości, przez
który płynie prąd o natężeniu I) wypełniony jest substancją liniową o
podatności �m. Znalez
ć indukcję pola we wnętrzu solenoidu.