12/3/2008
architektura komputerów
w. 2
Wiadomości i kody
Wiadomości (Informacje)
u� dyskretne
u� ciągłe
Kod - zbiór ciągów kodowych oraz reguła przyporządkowania ich
wiadomościom.
Ciąg kodowy - sygnał mający postać ciągu sygnałów elementarnych
zbiór sygnałów elementarnych - alfabet kodu
architektura komputerów w 2 1
12/3/2008
Dane
Wartości logiczne
Znaki pisarskie
Liczby
u� Całkowite
u� Całkowite ze znakiem
u� Niecalkowite
F� Stałopozycyjne
F� zmiennopozycyjne
Dz
więki i inne sygnały jednowymiarowe
Obrazy
Dane
komputery działają w systemie binarnym. Wszystkie dane, na
których operuje komputer, są zapisane w postaci ciągów cyfr
binarnych o długości najczęściej 2n*8.
Wszelkie dane o charakterze nieliczbowym muszą być zapisane
(zakodowane) w postaci ciągów binarnych.
architektura komputerów w 2 2
12/3/2008
Dane alfanumeryczne (znaki
pisarskie)
Znak pisarski reprezentowany jest przez liczbę, która odpowiada
jego pozycji w tablicy kodowej
Kody binarne
Dla słowa n bitowego istnieje 2n kombinacji bitów
kod - sposób przypisania znaczeń poszczególnym
kombinacjom
7-mio bitowy kod ASCII i jego odmiany narodowe
B7 B6 B5 B4 B3 B2 B1 B0
architektura komputerów w 2 3
12/3/2008
Kod ASCII
B7 0 0 0 0 0 0 0 0
B6 0 0 0 0 1 1 1 1
B5 0 0 1 1 0 0 1 1
B3 B2 B1 B0\B4 0 1 0 1 0 1 0 1
0 0 0 0 NL DLE SP 0 @ P ` p
0 0 0 1 SOH DC1 ! 1 A Q a q
0 0 1 0 STX DC2 " 2 B R b r
0 0 1 1 ETX DC3 # 3 C S c s
0 1 0 0 EOT DC4 $ 4 D T d t
0 1 0 1 ENQ NAK % 5 E U e u
0 1 1 0 ACK SYN & 6 F V f v
0 1 1 1 BEL ETB ' 7 G W g w
1 0 0 0 BS CAN ( 8 H X h x
1 0 0 1 HT EM ) 9 I Y i y
1 0 1 0 LF SUB * : J Z j z
1 0 1 1 VT ESC + ; K [ k {
1 1 0 0 FF FS , < L \ l |
1 1 0 1 CR GS - = M ] m }
1 1 1 0 SOH RS . > N ^ n ~
1 1 1 1 SI US / ? O _ o DEL
kody
Przykłady kodowania
u� Kod Grey a
Dec Gray Binary
0 000 000
1 001 001
2 011 010
3 010 011
4 110 100
5 111 101
6 101 110
7 100 111
Kod RGB
architektura komputerów w 2 4
12/3/2008
Inne kody
" EBCDIC na 8 bitach,kod kart perforowanych, duże systemy IBM
" TELETEL VIDEOTEX na 7 bitach, minitel, ASCII i znaki graficzne
" ANSI (American National Standard Institute) na 8 bitach, używany
w DOS i Windows 3 - ASCII + strony kodowe krajowe
(fran�ais = page no 437)
" ISO 8859-1 (latin1) na 8 bitach, ASCII + znaki europejskie,
Windows 95, Unix, Internet (HTML)
!"#$%& ()*+,-./0123456789:;<=>?@
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ[\]^_
abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|}
!cLńYŚż��a�Ź
 �Ż�ą�ł��ś��ą�ź��ż
A��A�AA�E�E�I��I?NOÓ�O� �OU�U�Ż?�
a��a�aa�e�e�i��i?noó�o� �ouśu�ż?y
" Kody korekcyjne
Unikod
" uniwersalny
" wersja 4.0.0 z września 2003 definiuje 96248 znaków
" znak posiada nazwę i numer (liczbę szesnastkową), zapisywany jest w
postaci U+0000 & . Nie definiuje postaci graficznej.
" kody zgrupowane sa w 16 warstw po 65536 numerów kazda
" warstwa 0 zawiera znaki niemal wszystkich współczesnych alfabetów
" Początkowe 127 znaków warstwy 0 jest identyczne z kodem ASCII
" warstwa 1 zawiera m. in. symbole matematyczne i muzyczne
" przykłady
" U+0035 DIDGIT FIVE (cyfra 5)
" U+0067 LATIN SMALL LETTER G (g)
" U+05D0 HEBREW LETTER ALEF (�)
" U+264F SCORPIUS (znak zodiaku
skorpion)
architektura komputerów w 2 5
12/3/2008
Dane użytkowe
Trzy podstawowe typy danych użytkowych
skalarne (ilościowy opis wielkości jednowymiarowych)
u� jakościowe
u� dyskretne o ustalonej dokładności
u� pseudorzeczywiste
strukturalne (uporządkowane zestawy danych skalarnych)
u� zbiory nieuporządkowane
u� wektory i tablice
u� rekordy
wskaz
nikowe (adresujące dane skalarne lub strukturalne)
Reprezentacja danych
Informacja w komputerze reprezentowana jest w postaci ciągów elementarnych
jednostek zwanych bitami o długości i strukturze odpowiedniej dla jej typu.
Reprezentacja jest kwestią umowy. Typy skalarne takie jak
znaki - reprezentowane są przez umowny kod. Sposób kodowania alfabetu
polskiego określa norma PN-91/T-42115 (ISO 8859-2)
wartości logiczne - reprezentowane są dwuwartościowo, przez stan co najmniej
jednego bitu przy czym prawdzie (True) odpowiada 1, fałszowi (False) - 0
liczby
u� naturalne - w kodzie dwójkowym
u� całkowite - w kodzie uzupełnieniowym
u� dziesiętne - w kodzie dwójkowo-dziesiętnym
u� rzeczywiste - jako liczby stało lub zmiennoprzecinkowe
architektura komputerów w 2 6
12/3/2008
Reprezentacja liczb
Systemy pozycyjne
Systemy pozycyjne
Definicja
System pozycyjny definiuje wektor wag W={wk-1,...,w1,w0,...,w-m}
odpowiadający poszczególnym pozycjom liczby i określony dla
każdej pozycji zbiór dozwolonych cyfr Di={di p-1,...,di1,di0}. W
systemie
pozycyjnym wartością liczby X= {xk-1,...,x1,x0,...,x-m} gdzie xi �� Di
jest X=X.W.
W systemie stałobazowym każda waga wi jest potęgą stałej
całkowitej b�>=2 zwanej podstawą (bazą) sytemu. Wartość
liczby w systemie stałobazowym oblicza się ze wzoru
X = S�xib�i
architektura komputerów w 2 7
12/3/2008
Systemy pozycyjne
system dwójkowy jest systemem stałobazowym. Zbiór liczb
dozwolonych jest dwuelementowy D={0,1}.
Wektor wag W={& 23,22,21,2,1, 2-1,2-2,2-2 & }
przykład:
10110.1 = 1*24+ 0*23 +1*22+ 1*21+ 0*20+1*2-1
system dziesiętny jest systemem stałobazowym. Zbiór liczb
dozwolonych jest dziesięcioelementowy D={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Wektor wag W={& 103,102,101,10,1, 10-1,10-2,10-2 & }
przykład:
83678,15 = 8*104+ 3*103 +6*102+ 7*101+ 8*100+1*10-1+ 5*10-2
Systemy pozycyjne
b�=16 - system szestnastkowy.
D={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}
AF013.1 = 10*164+ 15*163 +0*162+ 1*161+ 3*160+1*16-1
architektura komputerów w 2 8
12/3/2008
Systemy pozycyjne
Zamiana z sytemu dziesiętnego na dwójkowy
3487|1 177|1 177=10110001
1743|1 88|0
871|1 44|0
435|1 22|0
217|1 11|1
108|0 5|1
54|0 2|0
27|1 1|1
13|1
6|0
3|1
1|1
Systemy pozycyjne
Zamiana z sytemu dziesiętnego na dwójkowy
0,56|0, =0,1000111101011& 0,3125|0, =0,0101
,12|1 ,625|0
,24|0 ,25|1
,48|0 ,5|0
,96|0 ,0|1
,92|1
,84|1
,68|1
,36|1
,72|0
,44|1
,88|0
,76|1
,52|1
architektura komputerów w 2 9
12/3/2008
Systemy pozycyjne - system
dwójkowo-dziesiętny
Każda cyfra liczby dziesiętnej reprezentowana jest przez jej odpowiednik
binarny na 4 pozycjach bitowych, np.
0101 1001 0011 0000 ,1000 = 5930,810
5 9 3 0 , 8
operacje arytmetyczne odbywają się z zachowaniem reguł arytmetyki dziesiętnej
Systemy pozycyjne
Zamiana z sytemu dwójkowego na szesnastkowy
1001 1111 0100 1010 1111 = 9F4AF
9 F 4 A F
Zamiana z sytemu szesnastkowego na dwójkowy
10AC85 = 1 0000 1010 1100 1000 0101
architektura komputerów w 2 10
12/3/2008
Systemy pozycyjne -
dodawanie w systemie
dwójkowym
100101001001110010101
100111101000001000
Systemy pozycyjne -
dodawanie w systemie
dwójkowym
100101001001110010101
100111101000001000
101010000110110011101
architektura komputerów w 2 11
12/3/2008
Arytmetyka maszyn cyfrowych -
reprezentacja liczb
Liczby naturalne są w sposób przedstawiony na poprzednich slajdach
zakres liczb możliwy do zapisania na n bitach jest równy [0,2n -1]
Arytmetyka maszyn cyfrowych -
reprezentacja liczb
Liczby całkowite
architektura komputerów w 2 12
12/3/2008
Arytmetyka maszyn cyfrowych -
reprezentacja liczb
Liczby naturalne są w sposób przedstawiony na poprzednich slajdach
zakres liczb możliwy do zapisania na n bitach jest równy [0,2n -1]
Liczby całkowite (dodatnie i ujemne) są reprezentowane na 3 sposoby:
sposób1. Kodowanie znaku i modułu.
W systemie tym skrajny lewy bit reprezentuje znak liczby, pozostałe wartość modułu liczby
Przykład: 1 00000101 ma wartość -5
0 00000101 ma wartość 5
u� zakres liczb możliwy do zapisania na n bitach = [-2n-1-1,2n-1-1]
u� istnieją dwie reprezentacje zera (+0 i -0)
u� realizacja działań arytmetycznych jest skomplikowana.
Arytmetyka maszyn cyfrowych -
reprezentacja liczb
sposób2. Metoda uzupełnień do jedynki.
reguła tworzenia reprezentacji n-bitowej jest następująca:
X=
{x dla x>=0
2n - 1 + x dla x <=0
Jeżeli x jest pewną liczbą dwójkową dodatnią to kod U1 liczby -x (ujemnej) tworzy
się poprzez zanegowanie wszystkich pozycji liczby x.
przykład: 127 = 01111111
-127 = 10000000
u� zakres liczb możliwy do zapisania na n bitach [-2n-1-1,2n-1-1]
u� występują 2 wartości odpowiadające 0 (ujemna i dodatnia) 00000000 i
111111111
u� skomplikowana realizacja działań arytmetycznych wymagająca korekty wyniku
architektura komputerów w 2 13
12/3/2008
Arytmetyka maszyn cyfrowych -
reprezentacja liczb
sposób3. Metoda uzupełnień do dwóch.(kod U2)
reguła tworzenia reprezentacji n-bitowej jest następująca:
X=
{x dla x>=0
2n + x dla x <0
przykład: 01111111 = 127
10000001 = -127
W U2 przyjmuje się, że waga skrajnej lewej pozycji n bitowej reprezentacji liczby dwójkowej
ma wartość
-2n-1
natomiast pozostałe bity reprezentują liczbę dodatnią z zakresu [0,2n-1-1]. Wartość liczby
dwójkowej przestawionej zgodnie z tą metodą oblicza się ze wzoru
n-2
A= -2n-1 an-1 + Ł2i ai gdzie a jest i-tą pozycja liczby
i
i=0
u� zakres liczb możliwy do zapisania na n bitach = [-2n-1,2n-1-1]
u� Zachowany jest arytmetyczny porządek kodów w całym zakresie liczb.
Arytmetyka maszyn cyfrowych -
reprezentacja liczb
Metoda zamiany liczby na jej uzupełnienie do 2:
liczba dodatnia zapisana w kodzie znak/moduł i w kodzie U2 jest identyczna
reprezentacje liczby ujemnej tworzy się na dwa równoważne sposoby:
u� poprzez zanegowanie wszystkich bitów odpowiadającej jej liczby dodatniej począwszy od
najstarszego do ostatniej najmniej znaczącej jedynki i pozostawienie jej i zer po niej
następujących bez zmian.
Przykład (-70)
70 = 01000110
negujemy bity od lewej do najmniej znaczącej jedynki
10111010
u� poprzez zanegowanie wszystkich bitów odpowiadającej jej liczby dodatniej i do utworzonej
liczby dodanie 1.
Przykład (-70)
70 = 01000110
negujemy każdy bit
10111001
dodajemy 1 1
10111010
architektura komputerów w 2 14
12/3/2008
Arytmetyka maszyn cyfrowych -
reprezentacja liczb
sposób4. Kod przesunięty.(spolaryzowany)
reguła tworzenia reprezentacji n-bitowej jest następująca:
x =x+k gdzie k jest przesunięciem
przykład: (kod  +128 ) 127 = 11111111
-127 = 00000001
u� zakres zależy od wartości k. zwykle wartość k jest tak dobierana by zakres był
zbliżony do symetrycznego (w przykładzie zakres = [-128,127]
u� kod wykorzystywany do celów specjalnych (np. przedstawienie wykładnika w
kodzie zmiennoprzecinkowym)
Arytmetyka maszyn cyfrowych -
reprezentacja liczb
Konwersja między różnymi długościami bitowymi
u� reprezentacja znak-moduł - bit znaku jest bitem najstarszym. dodatkowe bity uzupełniane
są zerami
u� uzupełnienie do 1 i uzupełnienie do 2 - bit znaku zostaje powielony na wszystkie
dodatkowe pozycje.
Przykład (kod U2):
-18 = 11101110 (8bitów)
1111111111101110 (16 bitów).
architektura komputerów w 2 15
12/3/2008
Arytmetyka maszyn cyfrowych -
operacje stałoprzecinkowe
Operacja dodawania w kodzie znak-moduł wymaga sprawdzenia zgodności znaków i
porównania modułów, po czym wykonuje się dodawanie lub odejmowanie modułów dla
uzyskania modułu wyniku. Dodatkowo należy obliczyć znak wyniku.
Operacja dodawania w kodzie U1 daje od razu poprawy wynik jeżeli nie wystąpiło
przeniesienie z pozycji znaku. Jeżeli przeniesienie wystąpiło, wynik trzeba skorygować
dodając do niego 1.
Operacja dodawania w kodzie U2 daje od razu poprawy wynik.
W każdej reprezentacji konieczne jest sprawdzenie, czy wynik mieści się w zakresie.
Przekroczenie zakresu nosi nazwę przepełnienia (overflow) i powinno być wykrywane. W
kodzie znak-moduł mamy do czynienia z przepełnieniem, jeżeli wystąpi przeniesienie na
pozycję znakową.
W kodzie U2 przepełnienie występuje, jeżeli wystąpiło przeniesienie tylko na jednej pozycji:
na pozycję znakową lub z pozycji znakowej. Jeżeli nie wystąpiło żadne przeniesień lub
wystąpiły równocześnie oba wynik jest poprawny.
Arytmetyka maszyn cyfrowych -
operacje stałoprzecinkowe
Dodawanie w notacji uzupełnienie do 2 daje w wyniku liczbę zapisaną w tej samej notacji
będącą wynikiem operacji
Przykład (liczby 4 bitowe)
-7+5 1001
0101
1110 = -2
-2-5 1110
1011
1001 = -7 Przeniesienie na pozycję znakową=1, z pozycji znakowej również 1.
Wynik jest poprawny.
ale 5+4 0101
0100
1001 = -7 Przeniesienie na pozycję znakową=1, z pozycji znakowej 0. Wynik jest
niepoprawny z powodu przepełnienia.
architektura komputerów w 2 16
12/3/2008
Arytmetyka maszyn cyfrowych -
operacje stałoprzecinkowe
Mnożenie liczb całkowitych wykonywane jest w sposób naturalny. Mnożenie w ten sposób
liczb w notacji uzupełnieniowej daje wynik niepoprawny.
Jeżeli mnożna i mnożnik są liczbami n bitowymi to iloczyn będzie liczbą 2n bitową
1011 (liczby binarne bez znaku)
x 0101
1011
1011
110111
Arytmetyka maszyn cyfrowych -
reprezentacja liczb rzeczywistych
Ułamki i temu podobne
architektura komputerów w 2 17
12/3/2008
Arytmetyka maszyn cyfrowych -
reprezentacja liczb rzeczywistych
Reprezentacja stałoprzecinkowa liczb (o ustalonej dokładności i zakresie).
Liczba taka przy ustalonej liczbie r pozycji części ułamkowej może być
reprezentowana jako iloczyn liczby całkowitej i stałego współczynnika
Arytmetyka maszyn cyfrowych -
reprezentacja liczb rzeczywistych
Reprezentacja stałoprzecinkowa - zamiana ułamka dziesiętnego na
dwójkowy
0,72 = 0,1011100001... 0,84375 = 0,11011
0,72 0,84375
1,44 1,6875
0,88 1,375
1,76 0,75
1,52 1,5
1,04 1,0
0,08
0,16
0,32
0,64
1,28
architektura komputerów w 2 18
12/3/2008
Arytmetyka maszyn cyfrowych -
reprezentacja liczb rzeczywistych
Reprezentacja zmiennoprzecinkowa
u� Masa elektronu 9,11*10-28 g w tzw. notacji naukowej 9,11E-28
u� Stała Plancka 6,63*10-34 J.s
u� A
adunek elektronu 1,6022*10-19
Arytmetyka maszyn cyfrowych -
reprezentacja liczb rzeczywistych
Reprezentacja zmiennoprzecinkowa
liczba rzeczywista może być przedstawiona przez trójkę : znak (z - liczba o
wartości 1 reprezentującej - lub 0 reprezentującej +), cechę (c -wykładnik
potęgi) i mantysę ( m - z założenia ułamek)
c
X= (-1)z m*b� mantysę gdzie m jest mantysą a c cechą
znak
Mantysa cecha
Przykład.
1101101111 = 11011011,11 x22 = 1,101101111 x29 = 0,1101101111 x210 - reprezentacja zgodna z
powyższą definicją to z = 0, m = 0,1101101111, c = 1010
b� jest podstawą systemu liczenia. Zwykle 2 (w IBM system370 - 16)
w celu zwiększenia dokładności liczby są normalizowane. W ten sposób zawsze
spełniona jest nierówność
-1
b� <= |m| <1
architektura komputerów w 2 19
12/3/2008
Arytmetyka maszyn cyfrowych -
reprezentacja liczb rzeczywistych
Reprezentacja zmiennoprzecinkowa
Przykład.
11101110=1,110111*27 = 0,1110111*28 = 0,001110111*210
mantysa wykładnik
0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1
0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0
przecinek
Arytmetyka maszyn cyfrowych -
reprezentacja liczb rzeczywistych
Reprezentacja zmiennoprzecinkowa
w celu zwiększenia dokładności liczby są normalizowane.
Przykład.
11110011,01001101 =
0,0001111001101001101 *211
0,01111001101001101 *29
0,1111001101001101 *28
0,1111001101001101 *28
0,1111001101001101 *28
0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0
architektura komputerów w 2 20
12/3/2008
Arytmetyka maszyn cyfrowych -
reprezentacja liczb rzeczywistych
Reprezentacja zmiennoprzecinkowa - dokładność.
u� Liczby zmiennoprzecinkowe (znormalizowane) nie są rozłożone równomiernie na osi liczbowej. Odstęp
pomiędzy poszczególnymi wartościami rośnie dwukrotnie wraz ze wzrostem wartości cechy (wykładnika)
o 1.
0
+Ą�
u� Normalizacja oznacza, że dla danego systemu przedstawienia zmiennoprzecinkowego (chodzi o ilość
bitów przeznaczonych na mantysę oraz cechę) istnieje największa znormalizowana liczba ujemna i
najmniejsza znormalizowana liczba dodatnia. Obszar pomiędzy tymi dwoma wartościami na osi
liczbowej nosi nazwę niedomiaru (underflow) zmiennoprzecinkowego. Liczby wewnątrz tego obszaru
mogą być przedstawione jako liczby nieznormalizowane. Pozostaje jednak obszar liczb ułamkowych
wokół zera niereprezentowalny w systemie zmiennoprzecinkowym.
0
-Ą� +Ą�
Nadmiar niedomiar Nadmiar
zmiennopozycyjny zmiennopozycyjny
Arytmetyka maszyn cyfrowych -
reprezentacja liczb rzeczywistych
Typowy format 32 bitowy (IEEE754):
8 bitowa cecha (wykładnik) w kodzie binarnym przesuniętym
23 bitowa mantysa
u� mantysa jest znormalizowana, w postaci znormalizowanej najstarszy bit = 1 zatem nie musi i nie
jest przechowywany. Tym samym na 23 bitowym polu przeznaczonym na mantysę zapamiętana
jest liczba 24 bitowa. Oznacza to jednak niemożność zapisania zera. Zero reprezentowane jest
umownie poprzez liczbę o m =0 i c = 0.
0
30 23 22
znak
wykładnik mantysa
Zakresy:
u� liczby ujemne od -(1-2-24)*2127 do -0,5*2-128
u� liczby dodatnie od 0,5*2-128 do (1-2-24)*2127
Przykłady:
0,10110011*211010 = 0 10011010 0110011000000000000000
-0,10110011*211010 = 1 10011010 0110011000000000000000
0,10110011*2-11010 = 0 01101100 0110011000000000000000
-0,10110011*2-11010 = 1 01101100 0110011000000000000000
architektura komputerów w 2 21
12/3/2008
Arytmetyka maszyn cyfrowych -
reprezentacja liczb rzeczywistych
W większości jednostek zmiennoprzecinkowych implementowany jest standard IEEE754
Znak (s) Wykładnik (e) Mantysa (f)
Liczby zmiennoprzecinkowe reprezentowane są zgodnie z nim w 4 formatach:
SINGLE (32bity)
SINGLE EXTENDED
DOUBLE (64bity)
DOUBLE EXTENDED (128 bitów)
Arytmetyka maszyn cyfrowych -
reprezentacja liczb rzeczywistych
W większości jednostek zmiennoprzecinkowych implementowany jest standard IEEE754
Znak (s) Wykładnik (e) Mantysa (f)
1 8 23
em =� 0, eM =� 255
Słowo może przedstawiać:
em <� e <� eM
Liczbę znormalizowaną
-�1s ��2e-�127 �� (1. f )
Liczbę nieznormalizowaną e =� em, f ą� 0
-�1s �� 2-�126 ��(0. f )
e =� em, f =� 0
zero
e =� eM , f =� 0
Nieskończoność
nieliczbe e =� eM , f ą� 0
architektura komputerów w 2 22
12/3/2008
Arytmetyka maszyn cyfrowych -
reprezentacja liczb rzeczywistych
standard IEEE754 w architekturze IA-32
Short real (32b)
s e f
1 8 23
Long real (64b)
s e f
1 11 52
Temporary real (80b) (liczby nieznormalizowane)
s e 1 f
1 15 1 63
-�1s �� 2e-�16383 ��(i. f )
Arytmetyka maszyn cyfrowych - IEEE754
SINGLE
Obraz bitowy Wartość
0 < e < 255 (-1)s x 2e-127 x 1.f (liczby
znormalizowane)
(-1)s x 2-126 x 0.f (liczby
e = 0; f ą� 0 (przynajmniej 1 bit
w f nierówny zero) nnieznormalizowane)
e = 0; f = 0 (-1)s x 0.0 (zero ze znakiem)
s = 0; e = 255; f = 0 +Ą�
s = 1; e = 255; f = 0 -Ą�
architektura komputerów w 2 23
12/3/2008
Arytmetyka maszyn cyfrowych - IEEE754
SINGLE
Obraz bitowy Wartość
+0 00000000 0.0
-0 80000000 -0.0
1 3f800000 1.0
2 40000000 2
Maksymalna liczba 7f7fffff 3.40282347e+38
znormalizowana
Minimalna liczba 00800000 1.17549435e-38
znormalizowana
(dodatnia)
Maksymalna liczba 007fffff 1.17549421e-38
nieznormalizowana
Minimalna liczba 00000001 1.40129846e-45
nieznormalizowana
(dodatnia)
Arytmetyka maszyn cyfrowych - IEEE754
DOUBLE
Obraz bitowy Wartość
0 < e < 2047 (-1)s x 2e-1023 x 1.f
(liczba znormalizowana)
(-1)s x 2-1022 x 0.f
e = 0; f ą� 0 (przynajmniej 1 bit
w f nierówny zero) (liczba nieznormalizowana)
e = 0; f = 0 (-1)s x 0.0 (zero ze znakiem)
s = 0; e = 2047; f = 0 +Ą�
s = 1; e = 2047; f = 0 -Ą�
architektura komputerów w 2 24
12/3/2008
Arytmetyka maszyn cyfrowych - IEEE754
DOUBLE
Obraz bitowy Wartość
+0 00000000 00000000 0.0
-0 80000000 00000000 -0.0
1 3ff00000 00000000 1.0
2 40000000 00000000 2.0
Maksymalna liczba 7fefffff ffffffff 1.7976931348623157e+308
znormalizowana
Minimalna liczba 00100000 00000000 2.2250738585072014e-308
znormalizowana
(dodatnia)
Maksymalna liczba 00ffffff ffffffff 2.2250738585072009e-308
nieznormalizowana
Minimalna liczba 00000000 00000001 4.9406564584124654e-324
nieznormalizowana
(dodatnia)
Arytmetyka maszyn cyfrowych - IEEE754
DOUBLE EXTENDED (SPARC)
Obraz bitowy Wartość
0 < e < 32767 (-1)s x 2e-16383 x 1.f
(liczba znormalizowana)
(-1)s x 2-16382 x 0.f
e = 0; f ą� 0 (przynajmniej 1 bit
w f nierówny zero) (liczba nieznormalizowana)
e = 0; f = 0 (-1)s x 0.0 (zero ze znakiem)
s = 0; e = 32767; f = 0 +Ą�
s = 1; e = 32767; f = 0 -Ą�
architektura komputerów w 2 25
12/3/2008
Arytmetyka maszyn cyfrowych - IEEE754
DOUBLE EXTENDED (SPARC)
Obraz bitowy Wartość
+0 00000000 00000000 0.0
-0 80000000 00000000 -0.0
00000000 00000000
1 3fff00000 00000000 1.0
00000000 00000000
2 40000000 00000000 2.0
00000000 00000000
Maksymalna liczba 7fefffff ffffffff ffffffff 1.1897314953572317650857593
znormalizowana ffffffff 266280070e+4932
Minimalna liczba 00010000 00000000 3.3621031431120935062626778
znormalizowana 00000000 00000000 173217526e-4932
(dodatnia)
Maksymalna liczba 00ffffff ffffffff ffffffff 3.3621031431120935062626778
nieznormalizowana ffffffff 173217520e-4932
Minimalna liczba 00000000 00000000 6.4751751194380251109244389
nieznormalizowana 00000000 00000001 582276466e-4966
(dodatnia)
Arytmetyka maszyn cyfrowych -
reprezentacja liczb rzeczywistych
w mc Odra1003/1013 zarówno mantysa jak i cecha były kodowane w U2.
Mantysa na 32 bitach, cecha na 7
przykładowe dokładności i zakresy obliczeń IBM 370. Podstawą systemu jest
16!.
Rozmiar pola Wartości graniczne Dokładn
ość (cyfr
10)
Format L C m -LM -Lm Lm LM
krótki 32 7 24 7,2*10 75 5,4*10 -79 5,4*10 -79 7,2*10 75 7
Długi 64 7 56 7,2*10 75 5,4*10 -79 5,4*10 -79 7,2*10 75 17
rozszerz 128 7 112 7,2*10 75 5,4*10 -79 5,4*10 -79 7,2*10 75 34
ony
architektura komputerów w 2 26