X L V I I I K O N F E R E N C J A N AU K O W A

KOMITETU INŻ YNIERII LĄ DOWEJ I WODNEJ PAN

I KOMITETU NAUKI PZITB

Opole – Krynica

2002

Zbigniew KOWAL

1

Andrzej SZYCHOWSKI

2

O DOŚ WIADCZALNYM WYZNACZANIU NOŚ NOŚ CI

KRYTYCZNEJ PŁ YT NA MODELACH OBARCZONYCH

IMPERFEKCJAMI GEOMETRYCZNYMI

1. Wprowadzenie

W pracy [1] zbadano numerycznie i pokazano przyczyny niezgodnoś ci wyników badań
doś wiadczalnych, noś noś ci krytycznej prę tów ś ciskanych klasyczną metodą Southwella,
z rezultatami teoretycznymi.

Metoda Southwella jest stosowana również w przypadku doś wiadczalnych badań

statecznoś ci płyt np.[2, 3], przy czym, dokładnoś ć uzyskiwanych przez badaczy wyników
zależ y silnie od postaci wstę pnych niedokładnoś ci geometrycznych płyty.

Niedostatki metody Southwella w zastosowaniu do badań doś wiadczalnych płyt

polegają na tym, ż e postać losowych imperfekcji geometrycznych spotykanych w praktyce
pasm płytowych, jak wykazano w licznych badaniach eksperymentalnych, znacznie odbiega
od uporządkowanego kształtu utraty statecznoś ci płyty.

Tereszkowski w pracy [4] skrytykował doś wiadczalne wyznaczanie noś noś ci

krytycznej płyt na podstawie klasycznej metody Southwella, podając własną metodę
wyznaczania obciąż enia krytycznego. Postę p wprowadzony przez Tereszkowskiego [4]
(wzory wyprowadzone na podstawie nieliniowej teorii płyt) czę ś ciowo kompensuje wpływ
losowych imperfekcji geometrycznych płyty (tzn. o postaci odmiennej od spodziewanej
postaci wyboczenia) na wynik eksperymentu.

W badaniach doś wiadczalnych lokalnej noś noś ci krytycznej nieswobodnie skrę canych

prę tów cienkoś ciennych zbudowanych z pasm płytowych [5] zauważ ono, ż e postać
imperfekcji geometrycznych istotnie wpływa na dokrytyczną postać przemieszczeń
wyboczenia lokalnego prę ta. Przy bardzo bliskich kolejnych wartoś ciach własnych lokalnych
noś noś ci krytycznych moż e to prowadzić do niewykrycia w eksperymencie najmniejszej
noś noś ci krytycznej klasycznymi metodami, gdyż każ dy model doś wiadczalny jest
obarczony indywidualną realizacją losowych imperfekcji geometrycznych. Analiza takich
sytuacji doś wiadczalnych doprowadziła do zaobserwowania istotnoś ci zjawiska tzw.
"porządkowania przemieszczeń" [5].

1

Prof.zw.dr hab.inż ., Wydział Budownictwa Politechniki Świę tokrzyskiej

2

Dr inż ., Wydział Budownictwa Politechniki Świę tokrzyskiej

102

W niniejszej pracy zaję to się identyfikacją przyczyn i eliminacją błę dów wynikających

z wpływu indywidualnej (konkretnej) realizacji losowych imperfekcji geometrycznych płyty
(wywołujących czę sto również efekt zmiany znaku przemieszczeń) na doś wiadczalne
wyznaczanie noś noś ci krytycznej płyt.

2. Wyznaczanie "przedziału przemieszczeń uporzą dkowanych"

Niezgodnoś ć wyników doś wiadczalnych wyznaczanych klasyczną metodą Southwella

z rezultatami teoretycznymi wystę puje w płytach, których postać imperfekcji wstę pnych
odbiega od kształtu wyboczenia płyty właś ciwego dla pierwszej noś noś ci krytycznej
(wartoś ci własnej).

Wytłumaczenie tego zjawiska moż na oprzeć na hipotezie "zaburzeń oczekiwanych

przemieszczeń" odpowiadających pierwszej noś noś ci krytycznej (

1

cr

N ), przez dokrytyczne

powię kszanie ugię ć na "kierunkach" składowych imperfekcji wstę pnych, zwłaszcza
zbliż onych do postaci odpowiadających wyż szym wartoś ciom własnym noś noś ci krytycznej
płyty (

j

cr

N ,

,...

,

j

3

2

=

). Powię kszanie składowych przemieszczeń na "kierunkach" imper-

fekcji wstę pnych jest sterowane kombinacją kolejnych wartoś ci własnych.

Hipotezę "zaburzeń oczekiwanych przemieszczeń" wyboczenia płyty udowodniono za

pomocą eksperymentów numerycznych, w których płyty obarczono geometrycznymi
imperfekcjami wstę pnymi (rozwinię tymi w szereg) o kształcie zbliż onym do przemieszczeń
stowarzyszonych z wyż szymi wartoś ciami własnymi noś noś ci krytycznej płyty.

Eksperymenty numeryczne pozwoliły na wysuniecie tezy, iż podczas badań statecznoś ci

płyt obarczonych losowymi realizacjami imperfekcji geometrycznych, dominacja przyrostów
przemieszczeń "uporządkowanych" wg kształtu wyboczenia stowarzyszonego z pierwszą
noś noś cią krytyczną płyty (

1

cr

N ), odbywa się w indywidualnie realizowanym przedziale

obciąż enia, który nazwano "przedziałem przemieszczeń uporządkowanych".

W celu doś wiadczalnego oszacowania noś noś ci krytycznej płyt, obarczonych

realizacjami losowych imperfekcji geometrycznych, należ y zatem wyznaczyć każ dorazowo
"przedział przemieszczeń uporządkowanych", w którym kształtowana postać ugię ć płyty
zmierza do postaci wyboczenia z warunku minimum całkowitej energii potencjalnej układu.

2.1. Model eksperymentu numerycznego

W celu "doś wiadczalnego" wyznaczenia noś noś ci krytycznej płyty obarczonej

indywidualną realizacją imperfekcji geometrycznych, rozpatrzono jednokierunkowo ś ciskaną
siłami

x

N płytę przegubowo podpartą na obwodzie.

Przemieszczeniowe równanie róż niczkowe nieliniowego zginania płyty obarczonej

indywidualną realizacją losowych imperfekcji geometrycznych

)

y

,

x

(

w

o

ma postać (1):

2

1

2

4

1

4

2

2

1

4

4

1

4

2

x

)

w

w

(

D

N

y

w

y

x

w

x

w

o

x

¶

+

¶

×

=

¶

¶

+

¶

¶

¶

+

¶

¶

,

(1)

Każ dą realizację losowych imperfekcji geometrycznych płyty przegubowo podpartej na

obwodzie da się opisać szeregiem (2):

)

b

y

n

sin(

)

l

x

m

sin(

a

)

y

,

x

(

w

o

m

m

o

n

n

mn

o

åå

=

=

×

=

1

1

p

p

.

(2)

103

Płyty jednokierunkowo ś ciskane szczególnie nadają się do "badań numerycznych"

wpływu konkretnej realizacji losowych imperfekcji geometrycznych na "doś wiadczalną
noś noś ć krytyczną", z uwagi na niewielkie róż nice pomię dzy kolejnymi obciąż eniami
krytycznymi (wartoś ciami własnymi) stowarzyszonymi z odmiennymi postaciami
wyboczenia płyty.

Teoretyczne noś noś ci krytyczne rozumiane jako wartoś ci własne płyty przegubowo

podpartej na obwodzie i ś ciskanej siłami

x

N moż na wyznaczyć ze znanego wzoru (3) wg [2]:

2

2

2

2

2

1

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

×

+

=

b

l

m

m

l

D

N

T

cr

,

x

p

(3)

gdzie: l, b - długoś ć, szerokoś ć płyty, D - sztywnoś ć zginania płyty, m - liczba "fal" wybo-

czenia w kierunku długoś ci płyty.

Wstawiając realizację

)

y

,

x

(

w

o

wg (2) losowych imperfekcji geometrycznych płyty do

równania róż niczkowego (1) otrzymujemy przyrost przemieszczeń

)

y

,

x

(

w

1

płyty

obarczonej ugię ciem wstę pnym

)

y

,

x

(

w

o

, wywołany równomiernie rozłoż onym na krawę -

dziach

0

=

x

i

l

x

=

obciąż eniem ś ciskającym

x

N w obszarze dokrytycznym postaci (4) [2]:

åå

=

=

×

=

o

m

m

o

n

n

mn

)

b

y

n

sin(

)

l

x

m

sin(

b

)

y

,

x

(

w

1

1

1

p

p

(4)

gdzie:

x

x

mn

mn

N

b

l

m

n

m

l

D

N

a

b

-

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

×

+

=

2

2

2

2

2

2

p

(5)

Wyznaczając z równania (4) przemieszczenia poprzeczne płyty

)

y

,

x

(

w

u

i

i

i

1

=

w

funkcji obciąż enia

x

N uzyskano numerycznie punkty pomiarowe (w obszarze

dokrytycznym) nadające się do analizy "doś wiadczalnego" szacowania noś noś ci krytycznej
w zależ noś ci od postaci geometrycznych imperfekcji wstę pnych.

Badane płyty obarczano realizacjami imperfekcji rozwinię tymi w szereg (2) o postaci

zbliż onej do przemieszczeń stowarzyszonych z wyż szymi noś noś ciami krytycznymi płyty
(

j

cr

N ,

...

,

,

j

4

3

2

=

).

W badaniach numerycznych analizowano wpływ kształtu imperfekcji oraz miejsc

"pomiaru ugię ć" na dokrytyczny zakres "przedziału przemieszczeń uporządkowanych", oraz
dokładnoś ć "doś wiadczalnego" oszacowania noś noś ci krytycznej płyty.

Algorytm przeprowadzania "eksperymentu numerycznego" przedstawiono na

przykładzie tak dobranym, aby pokazać wpływ właś ciwego przyję cia "przedziału
przemieszczeń uporządkowanych" na wynik eksperymentu.

Przykład. Przegubowo podparta na obwodzie płyta prostokątna o wymiarach

b = 200mm, l = 400mm i gruboś ci t = 2mm ś ciskana na krawę dziach x = 0 i x = l
równomiernym obciąż eniem

x

N , jest obarczona geometryczną imperfekcją wstę pną postaci

(2) o nastę pujących składowych (n = 1, m = 6): a

11

= 0.0475, a

21

= 0.015, a

31

= -0.005,

a

41

= 0.005, a

51

= 0.0035, a

61

= 0.0025 [mm], (rys.1 dla y = b/2).

104

Wyznaczyć "doś wiadczalną" noś noś ć krytyczną na podstawie "pomiaru" ugię ć w

dokrytycznym zakresie obciąż enia.

Z uwagi na dominację składowej a

11

, postać imperfekcji geometrycznych jest zbliż ona

do kształtu wyboczenia płyty wg m=1 "fali" w kierunku jej długoś ci, co odpowiada 3-ciej
wartoś ci własnej teoretycznej noś noś ci krytycznej (

6

231

3

.

N

,

T

cr

,

x

=

N/mm) wyznaczonej z (3).

Rys. 1. Postać imperfekcji wstę pnych (w

o

) płyty wg (2) dla y = b/2

Ugię cia (u

i

) płyty "mierzono" w miejscach przemieszczeń ekstremalnych teoretycznej

pierwszej postaci utraty statecznoś ci dla

2

=

m

(

2

=

b

l

) "fal" wyboczenia w kierunku

długoś ci płyty. Ugię cia u

1

wyznaczono dla współrzę dnych:

4

l

x

=

=100mm,

2

b

y

=

,

ugię cia u

2

dla:

4

3 l

x

×

=

=300mm,

2

b

y

=

, oraz ugię cia u

3

w ś rodku rozpię toś ci płyty w

pobliż u ekstremalnej współrzę dnej imperfekcji wstę pnych:

2

l

x

=

=200mm,

2

b

y

=

.

Na rys. 2 pokazano wykres przemieszczenie - obciąż enie (u

i

-

1

,

T

cr

,

x

x

N

N

) uzyskany w

"eksperymencie

numerycznym"

jednokierunkowego ś ciskania

płyty

obarczonej

geometryczną imperfekcją wstę pną (w

o

) wg rys.1 w dokrytycznym zakresie obciąż enia

(

1

96

0

,

T

cr

,

x

x

N

.

N

×

£

). Teoretyczną pierwszą noś noś ć krytyczną

2

148

1

.

N

,

T

cr

,

x

=

N/mm wyzna-

czono z (3) przyjmując m = 2.

Rys. 2. "Numeryczna" ś cież ka dokrytycznej równowagi statycznej płyty

Na rys.2 nie pokazano przemieszczeń nadkrytycznych płyty, których nie da się

wyznaczyć z równań małych przemieszczeń (1,4). Nie utrudnia to numerycznej analizy
zbież noś ci metody w dokrytycznym zakresie obciąż enia, dla płyty obarczonej realizacją

-

0.3

-

0.2

-

0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.2

0.4

0.6

0.8

u

3

u

2

u

1

1

,

T

cr

,

x

x

N

N

[mm]

i

u

100

200

300

400

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

[mm]

x

[mm]

o

w

2

u

3

u

1

u

2

b

y

=

105

losowych imperfekcji geometrycznych, o kształcie zbliż onym do "postaci wyboczenia" wg
wyż szej (drugiej, trzeciej itd.) noś noś ci krytycznej.

Postać przemieszczeń płyty

1

w

w

w

o

+

=

dla

2

b

y

=

w dokrytycznym zakresie

obciąż enia

1

a

,

T

cr

,

x

x

N

N

×

=

, (a = 0.5, 0.7, 0.8, 0.9, 0.95) pokazano

na rys.3.

Rys. 3. Postać przemieszczeń płyty z przykładu

W zakresie obciąż enia do ok. 0.75

1

,

T

cr

,

x

N

płyta z imperfekcjami geometrycznymi (w

o

)

"szuka" postaci przemieszczeń stowarzyszonych z minimalną noś noś cią krytyczną. Wpływ
przyrostów przemieszczeń na "kierunkach" składowych imperfekcji wstę pnych wg wyż szych
postaci wyboczenia (wyż szych noś noś ci krytycznych) w tym zakresie obciąż enia jest
znaczny, wywołując błę dne wskazania klasycznych "wykresów Southwella".

Na rys. 4 pokazano w układzie współrzę dnych (

x

i

N

u

,

i

u ) liniową aproksymację

"punktów pomiarowych" wyznaczonych na podstawie ugię ć u

1

, u

2

i u

3

w klasycznie

stosowanym zakresie obciąż enia

1

75

0

,

T

cr

,

x

x

N

.

N

×

£

.

Przedstawienie wykresów w układzie współrzę dnych (

x

i

N

u

,

i

u ) umoż liwia

bezpoś rednie wyznaczenie poszukiwanego obciąż enia krytycznego na podstawie
współczynnika kierunkowego "prostej Southwella" aproksymującej wyniki pomiarów.
Współczynniki kierunkowe uzyskanych prostych (rys.4) wyznaczają "doś wiadczalne"
obciąż enia krytyczne obarczone znacznym błę dem w stosunku do teoretycznej pierwszej
noś noś ci krytycznej rozpatrywanej płyty:

mm

N

.

N

,

T

cr

,

x

2

148

1

=

.

Tak znaczne rozbież noś ci wynikają z niewielkich róż nic pomię dzy kolejnymi

wartoś ciami własnymi noś noś ci krytycznych płyty, stowarzyszonymi z odmiennymi
postaciami utraty statecznoś ci, które dopełniając (amplifikując) składowe przemieszczeń na
"kierunkach" imperfekcji wstę pnych, wyznaczają w początkowym zakresie obciąż enia doś ć
skomplikowaną ś cież kę gię tnych przemieszczeń równowagi układu.

Na rys. 5 pokazano "wpływ" poszczególnych wyrazów (m =1, 2, 3 i 4 ) szeregu (2) na

przemieszczenia u

1

w zakresie obciąż enia (0.1

¸

0.9

1

,

T

cr

,

x

N

).

Na podstawie wykresu moż na twierdzić, iż dopiero przy obciąż eniu powyż ej ok.

0.85

1

,

T

cr

,

x

N

przemieszczenia płyty ulegają "uporządkowaniu", i decydującego znaczenia

nabiera drugi (m=2) wyraz szeregu (2), zgodny z pierwszą postacią wyboczenia płyty.

100

200

300

400

-

0.2

-

0.1

0.1

0.2

0.3

w

o

0.95

0.9

0.8

0.7

0.5

a

=

1

w

w

w

o

+

=

[mm]

1

a

,

T

cr

,

x

x

N

N

×

=

2

b

y

=

[mm]

x

106

Rys. 4. "Wykresy Southwella" wyznaczone na podstawie ugię ć u

1

, u

2

, u

3

, w początkowym,

klasycznie stosowanym zakresie obciąż enia (

1

75

0

,

T

cr

,

x

x

N

.

N

×

£

)

Rys. 5. Wpływ wyrazów m =1, 2, 3 i 4 szeregu (2) na przemieszczenia u

1

Wyznaczony dokrytyczny obszar "przemieszczeń uporządkowanych" (zakres

obciąż enia

1

96

0

86

0

,

T

cr

,

x

N

.

.

×

¸

) jest potwierdzony przez: 1) liniowoś ć "wykreś lanych" w ukła-

dzie współrzę dnych (

x

i

N

u

, u

i

) kolejnych punktów pomiarowych (wsp. korelacji powyż ej

0.999), 2) symetrię błę dów resztkowych współrzę dnych klasyfikowanego przedziału wyzna-
czonych wzglę dem linii regresji, oraz 3) dokładnoś ć oszacowania noś noś ci krytycznej.

0.0001

0.0002

0.0003

0.0004

0.0005

0.0006

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

3

2

1

u

3

u

2

u

1

i

u

x

i

N

u

054

0

6

221

)

3

000

0

7

103

)

2

035

0

5

170

)

1

3

3

2

2

1

1

.

)

N

u

(

.

u

.

)

N

u

(

.

u

.

)

N

u

(

.

u

x

x

x

-

×

=

-

×

=

-

×

=

0

0.025 0.05

0.075

0.1

0.125

0.2

0.4

0.6

0.8

0.9

m

=

4

m

=

3

m

=

2

m

=

1

1

,

T

cr

,

x

x

N

N

1

u

107

Wyznaczone dla dokrytycznego obszaru "przemieszczeń uporządkowanych"

"doś wiadczalne" siły krytyczne (rys. 6) wynoszą:

- dla ugię ć u

1

:

1

,

d

cr

,

x

N

=149.9

mm

N

(w stosunku do

1

,

T

cr

,

x

N

błąd =1.16 %),

- dla ugię ć u

2

:

1

,

d

cr

,

x

N

=146.3

mm

N

(w stosunku do

1

,

T

cr

,

x

N

błąd =1.27 %).

Rys. 6. Współrzę dne pomiarowe w "przedziale przemieszczeń uporządkowanych"

W przypadku ugię ć u

3

, również w zakresie obciąż enia powyż ej 0.86

1

,

T

cr

,

x

N

, uzyskane

"doś wiadczalne" obciąż enie krytyczne

1

,

d

cr

,

x

N

=209.9

mm

N

znacznie odbiega od

najmniejszej noś noś ci krytycznej płyty. Przyczyną tego jest kształt imperfekcji wstę pnych
(rys.1) oraz wyznaczenie przemieszczeń u

3

w ś rodku rozpię toś ci płyty, gdzie dla postaci

wyboczenia wg najmniejszej noś noś ci krytycznej (wg (3) dla m = 2) ugię cia nie wystę pują.

Z uwagi na postać imperfekcji wstę pnych zbliż onych do kształtu utraty statecznoś ci

płyty dla m = 1 (jedna "fala" wyboczenia), "doś wiadczalne" współrzę dne obciąż enie-
przemieszczenie (

3

u

N

x

-

) przybliż ają wyż szą (3-cią) noś noś ć krytyczną

=

3

,

T

cr

,

x

N

231.6

N/mm, którą moż na wyznaczyć z wzoru (3) dla m = 1. W tym przypadku "przedział
przemieszczeń uporządkowanych" odpowiada propagacji ugię ć na "kierunku" składowej a

11

imperfekcji wstę pnych stowarzyszonych z kształtem utraty statecznoś ci wg wyż szej (3-ciej)
noś noś ci krytycznej płyty.

3. Wnioski, uwagi i zalecenia

Jeż eli w realizacji imperfekcji geometrycznych płyty dominują składowe postaci

odpowiadającej wyż szym obciąż eniom krytycznym, prawdopodobieństwo dokładnego
oszacowania doś wiadczalnej najmniejszej (pierwszej) noś noś ci krytycznej znanymi
metodami, w klasycznie stosowanych przedziałach obciąż enia, istotnie się zmniejsza. Błąd

0.001

0.0015

0.002

0.0025

0.003

0.2

0.3

0.4

2

1

u

2

u

1

[mm]

i

u

x

i

N

u

010

0

3

146

)

2

021

0

9

149

)

1

2

2

1

1

.

)

N

u

(

.

u

.

)

N

u

(

.

u

x

x

-

×

=

-

×

=

108

oszacowania jest tym wię kszy, im mniejsza jest róż nica pomię dzy kolejnymi wartoś ciami
własnymi noś noś ci krytycznej płyty.

Dostatecznie dokładne szacowanie najmniejszej noś noś ci krytycznej na podstawie

modelu płyty obarczonej indywidualną realizacją losowych imperfekcji geometrycznych jest
moż liwe, jeż eli współrzę dne pomiarowe obciąż enie - przemieszczenie (

i

i

u

N

-

) wybierzemy

z "przedziału przemieszczeń uporządkowanych", w którym postać przyrostów ugię ć płyty
zmierza do postaci utraty statecznoś ci wg pierwszej noś noś ci krytycznej.

Wykorzystanie "przedziału przemieszczeń uporządkowanych" ma znaczenie ogólne we

wszystkich przypadkach doś wiadczalnego szacowania noś noś ci krytycznej ustrojów,
obarczonych indywidualnymi realizacjami losowych imperfekcji geometrycznych.

Literatura

[1] KOWAL Z., SZYCHOWSKI A., Doś wiadczalne wyznaczanie noś noś ci krytycznej

prę tów obarczonych losowymi realizacjami imperfekcji geometrycznych, X Mię -
dzynarodowa Konferencja Naukowo-Techniczna "Konstrukcje Metalowe", Gdańsk 2001.

[2] TIMOSHENKO S.P., GERE J.M., Teoria stateczności sprę żystej, Arkady, Warszawa,

1963.

[3] JAKUBOWSKI S., Analiza stanu zakrytycznego tarczy prostoką tnej poddanej działaniu

mimośrodowego ściskania, praca doktorska, Politechnika Ł ódzka, Ł ódź 1981.

[4] TERESZKOWSKI Z., Doś wiadczalna metoda wyznaczania obciąż eń krytycznych w

płytach. Archiwum Budowy Maszyn. 1970, Tom XVII, Z 3.

[5] SZYCHOWSKI A., Lokalna nośność krytyczna nieswobodnie skrę canych prę tó w

cienko-ściennych o przekroju otwartym, praca doktorska, Politechnika Świę tokrzyska,
Kielce 2001.

THE EXPERIMENTAL DETERMINATION

OF CRITICAL BEARING CAPACITY OF SLABS ON MODELS

WITH GEOMETRICAL IMPERFECTIONS

Summary

This paper investigates in the numerical way and reports the incompatibility between the
results of the experimental tests of the critical bearing capacity of slabs by classical methods
and the theoretical results. It is also shown that in order to determine experimentally the
critical bearing capacity of slabs with individual, random geometrical imperfections, it is
necessary to determine the so-called "range of ordered displacements", where the shaped
form of slab flexures tends to the stability loss from the condition of minimum total potential
energy of the system. The method and significance of the determination of the "range of
ordered displacements" are shown by an example.