Z1/8. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 4

1

Z1/8. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 4

Z1/8.1 Zadanie 4

Narysować wykresy sił przekrojowych w ramie wspornikowej przedstawionej na rysunku Z1/8.1.

Następnie sprawdzić równowagę sił przekrojowych we wszystkich węzłach oraz w utwierdzeniu. Wymiary
ramy podane są w metrach.

F

E

D

C

B

A

8,0 kN

8,0 kN

4,0 kN/m

5,

0

kN

/m

8,

0

kN

/m

2,0

2,0

2,

0

3,

0

Rys. Z1/8.1. Rama wspornikowa.

Z1/8.2 Wyznaczenie reakcji podporowych

Wykresy sił przekrojowych w ramie wspornikowej jesteśmy w stanie narysować bez wyznaczania

wartości i zwrotów reakcji w utwierdzeniu. Jednak w niniejszym przykładzie dla sprawdzenia obliczeń
wyznaczymy reakcje w utwierdzeniu. Rysunek Z1/8.2 przedstawia założone zwroty reakcji w utwierdzeniu.

Reakcję V

F

wyznaczymy z warunku sumy rzutów wszystkich sił działających na ramę wspornikową na oś

pionową Y.

Y =0

V

F

−8,0−4,0⋅2,0=0

V

F

=16,0 kN

.

(Z1/8.1)

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

Z1/8. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 4

2

F

E

D

C

B

A

8,0 kN

8,0 kN

4,0 kN/m

5,

0

kN

/m

8,

0

kN

/m

2,0

2,0

2,

0

3,

0

V

F

H

F

M

F

Rys. Z1/8.2. Założone zwroty reakcji w utwierdzeniu.

Reakcja posiada zwrot zgodny z założonym. Reakcję H

F

wyznaczymy z warunku sumy rzutów wszystkich sił

działających na ramę wspornikową na oś poziomą X.

 X =0
H

F

8,05,0⋅2,0−8,0⋅3,0=0

H

F

=6,0kN

.

(Z1/8.2)

Reakcja posiada zwrot zgodny z założonym. Moment w utwierdzeniu M

F

wyznaczymy z warunku sumy

momentów wszystkich sił działających na ramę wspornikową względem punktu F.

 M

F

=0

M

F

8,0⋅3,04,0⋅2,0⋅

1
2

⋅2,05,0⋅2,0⋅



3,0



1
2

⋅2,0



−8,0⋅2,0−8,0⋅3,0⋅

1
2

⋅3,0=0

M

F

=−20,0 kNm

.

(Z1/8.3)

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

Z1/8. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 4

3

Moment w utwierdzeniu posiada więc zwrot przeciwny do założonego. Rysunek Z1/8.3 przedstawia
prawidłowe zwroty i wartości reakcji w utwierdzeniu.

F

E

D

C

B

A

8,0 kN

8,0 kN

4,0 kN/m

5,

0

kN

/m

8,

0

kN

/m

2,0

2,0

2,

0

3,

0

6,0 kN

16,0 kN

20,0 kNm

Rys. Z1/8.3. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji w utwierdzeniu.

Z1/8.3 Siły przekrojowe w przedziale AB

W przedziale AB nie działa żadne obciążenie ciągłe więc siła poprzeczna i normalna będą stałe w całym

przedziale natomiast moment zginający będzie liniowy. Rysunek Z1/8.4 przedstawia równowagę siły
normalnej i poprzecznej w przedziale AB.

Siła normalna w przedziale AB wynosi

N

 AB

=0,0 kN

.

(Z1/8.4)

Siła poprzeczna w przedziale AB wynosi

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

Z1/8. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 4

4

A

N

(AB)

T

(AB)

8,0 kN

Rys. Z1/8.4. Równowaga siły normalnej i poprzecznej w przedziale AB.

A

8,0 kN

2,

0

M

B

(AB)

A

8,0 kN

M

A

a)

b)

Rys. Z1/8.5. Równowaga momentów w przedziale AB.

T

AB 

=−8,0 kN

.

(Z1/8.5)

Rysunek Z1/8.5 przedstawia równowagę momentów w punktach A i B. Zgodnie z rysunkiem Z1/8.5 a)
moment zginający w punkcie A wynosi

M

A

=0,0 kNm

.

(Z1/8.6)

Zgodnie z rysunkiem Z1/8.5 b) moment zginający w punkcie B przedziału AB wynosi

M

B

 AB

=8,0⋅2,0=16,0kNm

.

(Z1/8.7)

Znak plus we wzorze (Z1/8.7) oznacza, że moment zginający w punkcie B rozciąga część przekroju pręta
znajdującą się po lewej stronie. Wykresy sił przekrojowych w przedziale AB przedstawiają rysunki Z1/7.17,
Z1/7.18 i Z1/7.19.

Z1/8.4 Siły przekrojowe w przedziale BC

W przedziale BC działa obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone prostopadłe do osi pręta więc siła

normalna będzie stała w tym przedziale, siła poprzeczna będzie liniowa natomiast moment zginający będzie
parabolą.

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

Z1/8. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 4

5

B

A

8,0 kN

4,0 kN/m

2,

0

2,0

T

C

(BC)

B

A

8,0 kN

2,

0

T

B

(BC)

a)

b)

N

B

(BC)

N

C

(BC)

Rys. Z1/8.6. Równowaga siły normalnej i poprzecznej w przedziale BC.

B

A

8,0 kN

4,0 kN/m

2,

0

2,0

M

C

(BC)

B

A

8,0 kN

2,

0

M

B

(BC)

a)

b)

Rys. Z1/8.7. Równowaga momentów w przedziale BC.

Rysunek Z1/8.6 przedstawia równowagę siły normalnej i poprzecznej w przedziale BC. Zgodnie z rysunkiem
Z1/8.6 a) i b) siła normalna w przedziale BC wynosi

N

B

BC

=N

C

BC

=N

BC

=8,0 kN

.

(Z1/8.8)

Zgodnie z rysunkiem Z1/8.6 a) siła poprzeczna w punkcie B przedziału BC wynosi

T

B

BC 

=0,0 kN

.

(Z1/8.9)

Zgodnie z rysunkiem Z1/8.6 b) siła poprzeczna w punkcie C przedziału BC wynosi

T

C

BC 

=4,0⋅2,0=8,0 kN

.

(Z1/8.10)

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

Z1/8. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 4

6

Zgodnie z rysunkiem Z1/8.7 a) moment zginający w punkcie B przedziału BC wynosi

M

B

BC

=8,0⋅2,0=16,0 kNm

.

(Z1/8.11)

Zgodnie z rysunkiem Z1/8.7 b) moment zginający w punkcie C przedziału BC wynosi

M

C

BC

=8,0⋅2,0−4,0⋅2,0⋅

1
2

⋅2,0=8,0kNm

.

(Z1/8.12)

Znak plus we wzorach (Z1/8.11) i (Z1/8.12) oznacza, że moment zginający rozciąga dolną część przekroju
ramy w tych punktach. Ekstremum paraboli będzie się znajdowało w punkcie B natomiast „brzuszek” paraboli
będzie zwrócony w stronę obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego czyli w dół. Wykresy sił
przekrojowych w przedziale BC przedstawiają rysunki Z1/7.17, Z1/7.18 i Z1/7.19.

Z1/8.5 Siły przekrojowe w przedziale CD

W przedziale CD działa obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone prostopadłe do osi pręta więc siła

normalna będzie stała w tym przedziale, siła poprzeczna będzie liniowa natomiast moment zginający będzie
parabolą.

C

B

A

8,0 kN

4,0 kN/m

5,

0

kN

/m

2,0

2,

0

N

D

(CD)

C

B

A

8,0 kN

4,0 kN/m

2,0

2,

0

N

C

(CD)

a)

b)

T

C

(CD)

T

D

(CD)

Rys. Z1/8.8. Równowaga siły normalnej i poprzecznej w przedziale CD.

Rysunek Z1/8.8 przedstawia równowagę siły normalnej i poprzecznej w przedziale CD. Zgodnie z rysunkiem
Z1/8.8 a) i b) siła normalna w przedziale CD wynosi

N

C

CD 

=N

D

CD

=N

CD

=−4,0⋅2,0=−8,0 kN

.

(Z1/8.13)

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

Z1/8. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 4

7

Zgodnie z rysunkiem Z1/8.8 a) siła poprzeczna w punkcie C przedziału CD wynosi

T

C

CD

=8,0 kN

.

(Z1/8.14)

Zgodnie z rysunkiem Z1/8.8 b) siła poprzeczna w punkcie D przedziału CD wynosi

T

D

CD

=8,05,0⋅2,0=18,0 kN

.

(Z1/8.15)

C

B

A

8,0 kN

4,0 kN/m

5,

0

k

N

/m

2,0

2,

0

M

D

(CD)

C

B

A

8,0 kN

4,0 kN/m

2,0

2

,0

M

C

(CD)

a)

b)

Rys. Z1/8.9. Równowaga momentów w przedziale CD.

Zgodnie z rysunkiem Z1/8.9 a) moment zginający w punkcie C przedziału CD wynosi

M

C

CD 

=8,0⋅2,0−4,0⋅2,0⋅

1
2

⋅2,0=8,0 kNm

.

(Z1/8.16)

Zgodnie z rysunkiem Z1/8.9 b) moment zginający w punkcie D przedziału CD wynosi

M

D

CD 

=−4,0⋅2,0⋅

1
2

⋅2,0−5,0⋅2,0⋅

1
2

⋅2,0=−18,0kNm

.

(Z1/8.17)

Znak plus we wzorze (Z1/8.16) oznacza, że moment zginający rozciąga prawą część przekroju ramy w
punkcie C natomiast minus we wzorze (Z1/8.17) oznacza, że moment zginający rozciąga lewą część przekroju
ramy w punkcie D. Ekstremum paraboli będzie się znajdowało poza przedziałem CD, ponieważ na końcach
przedziału liniowa siła poprzeczna posiada wartości dodatnie. Natomiast „brzuszek” paraboli będzie
zwrócony w stronę obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego czyli w prawo. Wykresy sił przekrojowych
w przedziale CD przedstawiają rysunki Z1/7.17, Z1/7.18 i Z1/7.19.

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

Z1/8. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 4

8

Z1/8.6 Siły przekrojowe w przedziale DE

W przedziale DE nie działa żadne obciążenie ciągłe więc siła poprzeczna i normalna będą stałe w całym

przedziale natomiast moment zginający będzie liniowy. Rysunek Z1/8.10 przedstawia równowagę siły
normalnej i poprzecznej w przedziale DE.

E

8,0 kN

N

(DE)

T

(DE)

Rys. Z1/8.10. Równowaga siły normalnej i poprzecznej w przedziale DE.

E

8,0 kN

2,0

M

D

(DE)

E

8,0 kN

M

E

a)

b)

Rys. Z1/8.11. Równowaga momentów w przedziale DE.

Siła normalna w przedziale DE wynosi

N

DE 

=0,0 kN

.

(Z1/8.18)

Siła poprzeczna w przedziale DE wynosi

T

DE 

=−8,0 kN

.

(Z1/8.19)

Zgodnie z rysunkiem Z1/8.11 a) moment zginający w punkcie E wynosi

M

E

=0,0 kNm

.

(Z1/8.20)

Zgodnie z rysunkiem Z1/8.11 b) moment zginający w punkcie D przedziału DE wynosi

M

D

DE

=−8,0⋅2,0=−16,0 kNm

.

(Z1/8.21)

Znak minus we wzorze (Z1/8.21) oznacza, że moment zginający w punkcie D rozciąga górną część przekroju
pręta. Wykresy sił przekrojowych w przedziale DE przedstawiają rysunki Z1/7.17, Z1/7.18 i Z1/7.19.

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

Z1/8. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 4

9

Z1/8.7 Siły przekrojowe w przedziale DF

W przedziale DF działa obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone prostopadłe do osi pręta więc siła

normalna będzie stała w tym przedziale, siła poprzeczna będzie liniowa natomiast moment zginający będzie
parabolą.

E

D

C

B

A

8,0 kN

8,0 kN

4,0 kN/m

5

,0

k

N

/m

2,0

2,0

2

,0

N

D

(DF)

T

D

(DF)

Rys. Z1/8.12. Równowaga siły normalnej i poprzecznej w punkcie D.

Zgodnie z rysunkiem Z1/8.12 i Z1/8.13 siła normalna w przedziale DF wynosi

N

D

DF 

=N

F

DF 

=N

DF 

=−4,0⋅2,0 −8,0=−16,0 kN

.

(Z1/8.22)

Zgodnie z rysunkiem Z1/8.12 siła poprzeczna w punkcie D przedziału DF wynosi

T

D

DF 

=8,05,0⋅2,0=18,0 kN

.

(Z1/8.23)

Zgodnie z rysunkiem Z1/8.13 siła poprzeczna w punkcie F przedziału DF wynosi

T

F

=8,05,0⋅2,0−8,0⋅3,0=−6,0 kN

.

(Z1/8.24)

Siła poprzeczna w przedziale DF posiada na końcach przedziału wartości przeciwnych znaków więc w tym
przedziale będzie ona miała miejsce zerowe. Zgodnie ze wzorem (1.62) znajduje się ono w odległości

x

0

=

18,0

8,0

=2,25 m

(Z1/8.25)

od punktu D. Zgodnie z rysunkiem Z1/8.14 moment zginający w punkcie D przedziału DF wynosi

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

Z1/8. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 4

10

E

D

C

B

A

8,0 kN

8,0 kN

4,0 kN/m

5

,0

k

N

/m

8

,0

k

N

/m

2,0

2,0

2

,0

3,

0

N

F

T

F

Rys. Z1/8.13. Równowaga siły normalnej i poprzecznej w punkcie F.

M

D

DF 

=−4,0⋅2,0⋅

1
2

⋅2,0−5,0⋅2,0⋅

1
2

⋅2,08,0⋅2,0=−2,0kNm

.

(Z1/8.26)

Zgodnie z rysunkiem Z1/8.15 ekstremalny moment zginający w przedziale DF wynosi

M

1

=−8,0⋅2,25 −4,0⋅2,0⋅

1
2

⋅2,0−5,0⋅2,0⋅



2,25



1
2

⋅2,0



8,0⋅2,0

8,0⋅2,25⋅

1
2

⋅2,25=−22,25 kNm

.

(Z1/8.27)

Zgodnie z rysunkiem Z1/8.16 moment zginający w punkcie F przedziału DF wynosi

M

F

=−8,0⋅3,0−4,0⋅2,0⋅

1
2

⋅2,0−5,0⋅2,0⋅



3,0



1
2

⋅2,0



8,0⋅2,0

8,0⋅3,0⋅

1
2

⋅3,0=−20,0 kNm

.

(Z1/8.28)

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

Z1/8. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 4

11

E

D

C

B

A

8,0 kN

8,0 kN

4,0 kN/m

5

,0

k

N

/m

2,0

2,0

2,

0

M

D

(DF)

Rys. Z1/8.14. Równowaga momentów w punkcie D.

E

D

C

B

A

8,0 kN

8,0 kN

4,0 kN/m

5

,0

k

N

/m

8,

0

kN

/m

2,0

2,0

2

,0

2,

25

M

1

Rys. Z1/8.15. Równowaga momentów w miejscu zerowym siły poprzecznej.

Znak minus we wzorach (Z1/8.26), (Z1/8.27) oraz (Z1/8.28) oznacza, że moment zginający rozciąga lewą
część przekroju ramy w przedziale DF. Wykresy sił przekrojowych w przedziale DF przedstawiają rysunki
Z1/7.17, Z1/7.18 i Z1/7.19.

Z1/7.8 Równowaga węzłów i utwierdzenia

W celu sprawdzenia wykresów sił przekrojowych przedstawionych na rysunkach Z1/7.17, Z1/7.18 i

Z1/7.19 wykonamy sprawdzenie równowagi sił przekrojowych w węzłach B, C, D oraz w utwierdzeniu F.

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

Z1/8. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 4

12

E

D

C

B

A

8,0 kN

8,0 kN

4,0 kN/m

5

,0

k

N

/m

8

,0

k

N

/m

2,0

2,0

2

,0

3,

0

M

F

Rys. Z1/8.16. Równowaga momentów w punkcie F.

N [kN]

+8,0

-8

,0

-1

6,

0

0

,0

0,0

Rys. Z1/8.17. Wykres siły normalnej w ramie wspornikowej.

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

Z1/8. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 4

13

T [kN]

0,

75

2,

25

-8

,0

0

,0

+

8,

0

+8,0

+18,0

-8,0

0,0

-6,0

Rys. Z1/8.18. Wykres siły poprzecznej w ramie wspornikowej.

M [kNm]

0,

7

5

2,

25

0,0

16,0

16

,0

8,0

8,

0

16

,0

18,0

2,0

22,25

20,0

Rys. Z1/8.19. Wykres momentu zginającego w ramie wspornikowej.

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

Z1/8. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 4

14

8,0 kN

16,0 kNm

8,0 kN

B

B

16,0 kNm

Rys. Z1/8.20. Równowaga węzła B.

8,0 kN

8,0 kN

8,0 kNm

8,0 kNm

C

C

8,0 kN

8,0 kN

Rys. Z1/8.21. Równowaga węzła C.

D

8,0 kN

18,0 kNm

16,0 kN

18,0 kN

18,0 kN

8,0 kN

D

2,0 kNm

16,0 kNm

Rys. Z1/8.22. Równowaga węzła D.

Jak łatwo zauważyć na rysunkach Z1/8.20, Z1/8.21 oraz Z1/8.22 wszystkie siły przekrojowe w węzłach B, C
i D znajdują się w równowadze. Rysunek Z1/8.23 pokazuje także, ze wszystkie siły przekrojowe oraz reakcje
w utwierdzeniu znajdują się także w równowadze. Możemy więc stwierdzić, że wykresy sił przekrojowych są
poprawne.

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

Z1/8. ANALIZA RAM PŁASKICH – ZADANIE 4

15

F

6,0 kN

20,0 kNm

20,0 kNm

6,0 kN

16,0 kN

16,0 kN

Rys. Z1/8.23. Równowaga sił przekrojowych i reakcji w utwierdzeniu.

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM