4. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

1

4. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

4.1 Wiadomości podstawowe

W niniejszym rozdziale będziemy rozpatrywać naprężenia normalne i styczne, które powstają w

przekroju pręta od działania siły normalnej, siły poprzecznej i momentu zginającego.

Wszystkie siły przekrojowe będziemy rozpatrywać w układzie osi głównych bezwładności. Wszystkie siły
czynne i bierne (reakcje) działające na układ prętowy będą działały w płaszczyźnie XZ. Przykładowy przekrój
pręta oraz część pręta z działającymi siłami czynnymi i reakcjami oraz siłami przekrojowymi przedstawia
rysunek 4.1.

Y=Y

0

=Y

gl

Z=Z

0

=Z

gl

T=T

Z

M=M

Y

Y=Y

0

=Y

gl

Z=Z

0

=Z

gl

X

P

q(x)

N

M=M

Y

T=T

Z

sc

Rys. 4.1. Część pręta oraz jego przekrój z siłami czynnymi, biernymi i przekrojowymi.

Rysunek 4.2 przedstawia wektor dodatniego momentu zginającego, który jak wiadomo rozciąga dolną część
przekroju pręta. Zwrot wektora momentu zginającego ma ten sam kierunek co wkręcająca się śruba
prawoskrętna, która kręci się od dolnej do górnej części przekroju pręta.

Y=Y

0

=Y

gl

Z=Z

0

=Z

gl

X

P

q(x)

N

Y=Y

0

=Y

gl

Z=Z

0

=Z

gl

X

P

q(x)

N

M=M

Y

T=T

Z

M

=M

Y

T=T

Z

Rys. 4.2. Część pręta oraz jego przekrój z siłami czynnymi, biernymi i przekrojowymi. Dodatni moment zginający.

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

4. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

2

Jeżeli na część pręta z rysunków 4.1 i 4.2 będziemy patrzeć z boku tak jak to przedstawia rysunek 4.3 to
dodatnia siła poprzeczna, która jak wiadomo musi kręcić odciętą częścią pręta zgodnie z ruchem wskazówek
zegara będzie będzie miała zwrot zgodny ze zwrotem osi Z.

Układ, w którym będziemy wyznaczać naprężenia będzie to układ ZX. Moment zginający będzie dodatni
jeżeli będzie rozciągał punkty o dodatnich współrzędnych z. Siłą poprzeczna będzie dodatnia, jeżeli
będzie miała zwrot zgodny ze zwrotem osi Z.

X

N

T

=

T

Z

M=M

Y

Z=Z

0

=Z

gl

Rys. 4.3. Widok z boku części pręta z zaznaczonymi dodatnimi zwrotami sił przekrojowych.

4.2 Naprężenia normalne

Naprężenia normalne

σ

X

jakie powstają w przekroju pręta są spowodowane działaniem siły normalnej i

momentu zginającego. Oblicza się je ze wzoru



X

=

N

A



M

Y

I

Y

⋅z

,

(4.1)

w którym A oznacza pole powierzchni przekroju pręta, I

Y

oznacza główny moment bezwładności względem osi

Y=Y

gl

. Jak widać wartość naprężeń normalnych

σ

X

zależy tylko od zmiennej z. Równanie (4.1) przedstawia

funkcję liniową, której wykres przedstawia rysunek 4.4. Oś, na której naprężenie normalne

σ

X

osiąga wartość

zero nazywa się osią obojętną. W przypadku przekroju pręta będzie ona miała postać

N

A



M

Y

I

Y

⋅z

0

=0

,

(4.2)

czyli

z

0

=−

N

A

⋅

I

Y

M

Y

.

(4.3)

Pewnego komentarza wymaga sprawa jednostek poszczególnych wielkości fizycznych we wzorach (4.1), (4.2)
i (4.3). Jednostką siły normalnej jest kN. Pole powierzchni najlepiej wyrażać w cm

2

. Stąd też naprężenie

normalne

σ

X

od działania siły normalnej będziemy wyrażać w

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

4. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

3

[

kN

cm

2

]

.

(4.4)

Żeby naprężenie normalne od działania momentu zginającego było wyrażone w (4.4) moment bezwładności
musi być wyrażony w cm

4

, współrzędna z punktu, w którym liczymy naprężenie normalne w cm natomiast

moment zginający musi być wyrażony w kNcm, która to jednostka ma się do kNm jak

1 kNm

=100 kNcm

.

(4.5)

Rachunek jednostek dla naprężeń normalnych

σ

X

spowodowanych działaniem momentu zginającego ma postać

[

kNcm

cm

4

⋅cm

]

=

[

kN

cm

2

]

.

(4.6)

Najczęściej naprężenia jak wiadomo wyraża się w MPa, gdzie

1 MPa

=

1 MN

1 m

2

=

10

−3

kN

10

−4

cm

2

=10

kN

cm

2

.

(4.7)

Rysunek 4.4 przedstawia przykładowy wykres naprężeń normalnych

σ

X

od działania dodatniej siły normalnej i

dodatniego momentu zginającego.

Y=Y

0

=Y

gl

Z=Z

0

=Z

gl

M=M

Y

sc

z



X

N

A

N>0

z

0



X

 z

Rys. 4.4. Wykres naprężeń normalnych

σ

X

w przekroju pręta.

Jak widać naprężenia normalne

σ

X

osiągają ekstremalne wartości w punktach leżących na krawędzi dolnej i

górnej przekroju pręta. Dla wszystkich punktów mających współrzędną z naprężenie normalne

σ

X

będzie

miało wartość



X

 z

.

(4.8)

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

4. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

4

W punktach znajdujących się na osi głównej bezwładności Y=Y

gl

naprężenia normalne

σ

X

będą miały wartość

N

A

.

(4.9)

W belkach jak wiadomo najczęściej siła normalna wynosi zero. Rysunek 4.5 przedstawia wykres naprężeń

σ

X

w belkach.

Y=Y

0

=Y

gl

Z=Z

0

=Z

gl

M=M

Y

sc

z



X

0

N=0



X

z

Rys. 4.5. Wykres naprężeń normalnych

σ

X

w belkach przy zerowej sile normalnej.

4.3 Projektowanie przekroju pręta

Projektowanie pręta ograniczymy tylko do przypadku działania momentu zginającego, ponieważ

naprężenie normalne

σ

X

od działania siły normalnej jest z reguły dużo mniejsze niż naprężenie normalne

σ

X

od

działania momentu zginającego. Rysunek 4.6 przedstawia wykres naprężeń normalnych od działania tylko
momentu zginającego.

Y=Y

0

=Y

gl

Z=Z

0

=Z

gl

M=M

Y

sc

z

d



X

0

N=0

z

g



X

d 



X

g 

Rys. 4.6. Wykres naprężeń normalnych

σ

X

w belkach przy zerowej sile normalnej.

Ogólnie możemy powiedzieć, że materiał ulegnie zniszczeniu, wtedy gdy ekstremalne (maksymalne lub
minimalne) naprężenie normalne

σ

X

przekroczy wartość dopuszczalną

σ

dop

nazywaną wytrzymałością

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

4. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

5

materiału. W dalszej części będziemy przyjmowali, że belka lub rama wykonana jest ze stali, dla której
przyjmujemy jednakową wartość wytrzymałości dla naprężeń normalnych ściskających jak i rozciągających.
Dla typowej stali budowlanej wytrzymałość wynosi 215 MPa.

Największa bezwzględna wartość naprężenia normalnego

σ

X

wynosi

∣



X

EXT

∣

=max

{

∣



X

g

∣

∣



X

d

∣

.

(4.10)

Warunek wytrzymałości będzie miał więc postać

∣



X

EXT

∣

≤

dop

,

(4.11)

w którym

σ

dop

oznacza właśnie wytrzymałość materiału.

Na długości pręta naprężenia normalne

σ

X

będą największe w tym przekroju pręta, w którym moment

zginający M(x) osiąga wartość ekstremalną czyli

M

Z

EXT

=max

∣

M

x

∣

.

(4.12)

Wartość bezwzględna największego naprężenia normalnego

σ

X

na krawędzi dolnej wynosi

∣



X

d 

∣

=

M

Y

EXT

I

Y

⋅z

d 

.

(4.13)

Wzór (4.13) można przedstawić jako

∣



X

d 

∣

=

M

Y

EXT

I

Y

z

d 

.

(4.14)

Wyrażenie

W

Y

d 

=

I

Y

z

d 

(4.15)

nazywamy wskaźnikiem wytrzymałości materiału na zginanie dla krawędzi dolnej przekroju pręta.

Wartość bezwzględna największego naprężenia normalnego

σ

X

na krawędzi dolnej ostatecznie wynosi

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

4. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

6

∣



X

d 

∣

=

M

Y

EXT

W

Y

d 

.

(4.16)

Wartość bezwzględna największego naprężenia normalnego

σ

X

na krawędzi górnej wynosi

∣



X

g 

∣

=−

M

Y

EXT

I

Y

⋅z

g 

.

(4.17)

Znak minus we wzorze (4.17) wynika z tego, że współrzędna punktów na krawędzi górnej przekroju pręta z

g

jest ujemna. Wzór (4.17) można przedstawić jako

∣



X

g 

∣

=

M

Y

EXT

−

I

Y

z

g 

.

(4.18)

Wyrażenie

W

Y

g 

=−

I

Y

z

g

(4.19)

nazywamy wskaźnikiem wytrzymałości materiału na zginanie dla krawędzi górnej przekroju pręta.

Dla przekrojów, w których oś Y=Y

gl

jest drugą osią symetrii wskaźniki wytrzymałości dla krawędzi

dolnej i górnej są równe.

Wartość bezwzględna największego naprężenia normalnego

σ

X

na krawędzi górnej ostatecznie wynosi

∣



X

g 

∣

=

M

Y

EXT

W

Y

g 

.

(4.20)

Podstawiając (4.16) i (4.20) do (4.10) otrzymamy



X

EXT

=max

{

M

Y

EXT

W

Y

d 

M

Y

EXT

W

Y

g 

.

(4.21)

Analizując wzór (4.21) dochodzimy do wniosku, że największa wartość bezwzględna naprężenia
normalnego jest na tej krawędzi, dla której wskaźnik wytrzymałości na zginanie osiąga wartość
minimalną czyli wskaźnik wytrzymałości przekroju wynosi ostatecznie

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

4. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

7

W

Y

=min

{

W

Y

d 

W

Y

g 

.

(4.22)

Wzór na największe naprężenie normalne na całej długości pręta i w całym przekroju pręta ma postać



X

EXT

=

M

Y

EXT

W

Y

.

(4.23)

Naprężenie (4.23) powinno być mniejsze lub równe wytrzymałości materiału

σ

dop

czyli



X

EXT

=

M

Y

EXT

W

Y

≤

dop

.

(4.24)

Czyli wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie powinien wynosić

W

Y

≥

M

Y

EXT



dop

.

(4.25)

Procedura projektowania składa się z następujących kroków:

1. Na wykresie momentów zginających szukamy największej wartości bezwzględnej momentu zginającego

(4.12).

2. Korzystając ze wzoru (4.25) wyznaczamy warunek, który musi spełniać wskaźnik wytrzymałości

przekroju na zginanie.

3. Dobieramy przekrój pręta.

4. Wyznaczmy główny moment bezwładności przekroju I

Y

.

5. Wyznaczamy wskaźniki przekroju na zginanie dla krawędzi dolnej (4.15) i krawędzi górnej (4.19).

6. Ze wzoru (4.22) wyznaczamy wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie dla przyjętego przekroju.

7. Sprawdzamy czy wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie dla przekroju dobranego spełnia warunek

(4.25)

8. Jeżeli warunek (4.25) nie jest spełniony to całą procedurę od kroku numer 3 wykonujemy ponownie, aż do

skutku.

Projektując przekroje wykonane z kształtowników walcowanych możemy z tablic do projektowania
konstrukcji metalowych odczytać odpowiednie wartości wskaźników wytrzymałości i tak dobrać przekrój
belki lub ramy aby spełniał on warunek (4.25). Należy pamiętać, że podany w tablicach do projektowania
konstrukcji stalowych wskaźnik jest wskaźnikiem minimalnym. Należy także zwrócić uwagę na oznaczenia osi
zastosowane w tablicach. Najczęściej należy przyjmować wskaźniki wytrzymałości oznaczone jako W

X

,

ponieważ oś X w tablicach pokrywa się z naszą osią główną Y=Y

gl

.

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

4. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

8

5.4 Naprężenia styczne

Naprężenia styczne w przekroju pręta będzie powodowała siła poprzeczna T=T

Z

. Będą to naprężenia

τ

XZ

. Przyjmuje się, że naprężenia styczne w punktach o jednakowej współrzędnej z są stałe na szerokości

przekroju pręta. Rysunek 4.7 przedstawia przekrój pręta obciążony siła poprzeczną.

Y=Y

0

=Y

gl

Z=Z

0

=Z

gl

T=T

Z

sc

z



XZ

 z

Rys. 4.7. Przekrój obciążony siłą poprzeczną.

Wartość bezwzględną naprężenia stycznego

τ

XZ

w punktach o jednakowej współrzędnej z wyznacza się ze

wzoru

∣



XZ

∣

=

∣

T

Z

∣

⋅

∣

S

Y

 z

∣

b

 z⋅I

Y

,

(4.26)

w którym

S

Y

 z

jest momentem statycznym względem głównej osi bezwładności Y=Y

gl

części przekroju

pręta leżącej poniżej lub powyżej punktu, w którym wyznaczamy naprężenia styczne

τ

XZ

natomiast

b

 z

jest szerokością przekroju w miejscu, w którym wyznaczmy naprężenia styczne

τ

XZ

. Część przekroju pręta

oraz szerokość pręta

b

 z

przedstawia rysunek 4.8. Momenty statyczne względem osi Y części przekroju

zaznaczonych na rysunku 4.8 mają te same wartości bezwzględne. Jednak moment dolnej części jest dodatni
górnej ujemny. W sumie muszą dać zero, ponieważ oś Y=Y

gl

jest osią środkową przekroju pręta.

Y=Y

0

=Y

gl

Z=Z

0

=Z

gl

T=T

Z

sc

z

Y=Y

0

=Y

gl

Z=Z

0

=Z

gl

T=T

Z

sc

z

LUB

b

z

b

 z

S

Y

d 

z

S

Y

g 

z=−S

Y

d 

 z

Rys.4.8. Szerokość przekroju oraz pole wykorzystywane we wzorze (4.26).

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

4. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

9

Naprężenie styczne

τ

XZ

ma zawsze ten sam zwrot co siła poprzeczna. Jeżeli siła poprzeczna działa w dół

to naprężenie styczne

τ

XZ

działa w dół czyli jest dodatnie. Jeżeli siła poprzeczna działa do góry to i

naprężenie styczne

τ

XZ

działa do góry czyli jest ujemne.

Największą wartość naprężenia styczne

τ

XZ

osiągną w punktach znajdujących się na wysokości środka

ciężkości przekroju pręta. Natomiast w punktach znajdujących się na krawędzi dolnej i górnej przekroju pręta
naprężenia styczne

τ

XZ

osiągną wartość zero. Rysunek 4.9 przedstawia wykres naprężeń stycznych

τ

XZ

na

wysokości przekroju pręta. Dla przekroju, w którym oś Y=Y

gl

jest drugą osią symetrii wykres naprężeń

stycznych

τ

XZ

będzie względem niej symetryczny.

Y=Y

0

=Y

gl

Z=Z

0

=Z

gl

T=T

Z

sc

z



XZ



XZ

z

Rys. 4.9. Wykres naprężeń stycznych

τ

XZ

w przekroju pręta.

W przekrojach cienkościennych czyli składających się z figur, których jeden wymiar jest dużo większy niż
drugi pod wpływem siły poprzecznej T=T

Z

wystąpią także naprężenia styczne

τ

XY.

. Naprężenia te wystąpią w

półkach przekroju dwuteowego, teowego lub skrzynkowego. Rysunek 4.10 przedstawia przekrój dwuteowy,
teowy i skrzynkowy obciążony siłą poprzeczną T=T

Z

, w którym powstają naprężenia styczne

τ

XZ

i

τ

XY

.

Y=Y

0

=Y

gl

Z=Z

0

=Z

gl



XY



XZ

Y=Y

0

=Y

gl

Z=Z

0

=Z

gl



XY



XZ



XY



XY



XY



XY

Y=Y

0

=Y

gl

Z=Z

0

=Z

gl



XY



XY



XZ



XZ



XY



XY

Rys. 4.10. Naprężenia styczne

τ

XY

i

τ

XZ

w przekroju teowym, dwuteowym i skrzynkowym.

Wartość bezwzględną naprężenia stycznego

τ

XY

wyznaczać będziemy ze wzoru

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

4. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

10

∣



XY

∣

=

∣

T

Z

∣

⋅

∣

S

Y

 y 

∣

h

 y⋅I

Y

,

(4.27)

w którym

S

Y

 y

jest momentem stycznym względem głównej osi bezwładności Y=Y

gl

części przekroju

półki znajdującego po lewej lub prawej stronie punktu (w zależności od tego, w której z półek obliczamy
naprężenie styczne

τ

XY

), w którym wyznaczamy naprężenia styczne

τ

XY

. Natomiast

h

 y

jest grubością

półki w miejscu, w którym wyznaczamy naprężenia styczne

τ

XY

. Rysunki 4.11, 4.12 i 4.13 przedstawiają część

przekroju półki oraz jej grubość wykorzystywaną we wzorze (4.27) do obliczenia naprężenia stycznego w
punkcie A.

Y=Y

0

=Y

gl

Z=Z

0

=Z

gl

y

Y=Y

0

=Y

gl

Z=Z

0

=Z

gl

y

h

y

h

y

A

A

Rys.4.11. Szerokość półki oraz pole wykorzystywane we wzorze (4.27) dla przekroju teowego.

Y=Y

0

=Y

gl

Z=Z

0

=Z

gl

y

Y=Y

0

=Y

gl

Z=Z

0

=Z

gl

y

h

y

h

y

A

A

Rys.4.12. Szerokość półki oraz pole wykorzystywane we wzorze (4.27) dla przekroju dwuteowego.

Ze wzoru (4.27) możemy wyznaczyć tylko wartość bezwzględną naprężenia stycznego

τ

XY

. Chcąc wyznaczyć

znak tego naprężenia możemy się posłużyć modelem systemu rurek, w których płynie woda. Dla przekrojów
dwuteowego oraz teowego usuwamy najkrótsze krawędzie, którymi woda będzie wpływać i wypływać. Jej
wpływanie i wypływanie musi być takie, żeby w środniku woda płynęła zgodnie ze zwrotem naprężeń
stycznych

τ

XZ

. Dla przekroju skrzynkowego robimy małą dziurkę w miejscu, w którym półka przecina oś

Z=Z

gl

. Naprężenie styczne

τ

XY

będzie dodatnie, jeżeli będzie miało taki sam zwrot jak główna oś

bezwładności Y=Y

gl

. Będzie natomiast ujemne, jeżeli jego zwrot będzie przeciwny do zwrotu głównej osi

bezwładności Y=Y

gl

. Rysunki 4.14, 4.15 oraz 4.16 przedstawiają kierunki przepływu wody w systemie rurek

w kształcie teownika, dwuteownika i przekroju skrzynkowego. Strzałki pokazują kierunek przepływu wody.

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

4. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

11

y

Y=Y

0

=Y

gl

Z=Z

0

=Z

gl

y

Y=Y

0

=Y

gl

Z=Z

0

=Z

gl

h

y

h

y

A

A

Rys.4.13. Szerokość półki oraz pole wykorzystywane we wzorze (4.27) dla przekroju skrzynkowego.

Y=Y

0

=Y

gl

Z=Z

0

=Z

gl

T=T

Z

Y=Y

0

=Y

gl

Z=Z

0

=Z

gl

T=T

Z

Rys. 4.14. Analogia wodna do ustalenia zwrotów naprężeń stycznych

τ

XY

w przekroju teowym.

Y=Y

0

=Y

gl

Z=Z

0

=Z

gl

Y=Y

0

=Y

gl

Z=Z

0

=Z

gl

T=T

Z

T=T

Z

Rys. 4.15. Analogia wodna do ustalenia zwrotów naprężeń stycznych

τ

XY

w przekroju dwuteowym.

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

4. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

12

T=T

Z

Y=Y

0

=Y

gl

Z=Z

0

=Z

gl

T=T

Z

Y=Y

0

=Y

gl

Z=Z

0

=Z

gl

Rys. 4.16. Analogia wodna do ustalenia zwrotów naprężeń stycznych

τ

XY

w przekroju skrzynkowym.

4.5 Stan naprężenia w przekroju belki lub ramy

Podstawowym założeniem w analizie stanu naprężenia jest założenie ciągłości ośrodka. Oznacza to, że

materia jest rozłożona w ciele w sposób ciągły. Dzięki temu założeniu możemy w ciele wyodrębnić dowolnie
mały element, w którym nie będzie „dziur”. Jak wiadomo założenie to jest sprzeczne z cząsteczkową budową
materii. Jednak jest to założenie, które powoduje, że rozwiązania teoretyczne nie odbiegają znacznie od
zjawisk obserwowanych w rzeczywistości. Założenie ciągłości ośrodka pozwala na wprowadzenie pojęcia
gęstości, które definiuje się jako

= lim

 V 0

m
V

=

dm
dV

,

(4.28)

w którym

∆

m oznacza masę zawartą w objętości

∆

V. Najczęściej zakłada się, że gęstość jest stała w całym

ciele.

Opisane dalej zależności są słuszne tylko dla materiałów izotropowych, które to materiały mają takie same
właściwości we wszystkich kierunkach. Inaczej mówiąc, jeżeli wytniemy próbkę z większej całości materiału i
poddamy ją badaniom to niezależnie od orientacji tej próbki w całej bryle materiału jej właściwości są zawsze
takie same. Przyjmuje się, że materiałami izotopowymi są przede wszystkim metale w tym stal budowlana.

Opisane poniżej zależności są także słuszne w zakresie sprężystym pracy materiału. Oznacza to, że po
przyłożeniu obciążenia ciało ulegnie deformacjom. Jednak po odciążeniu ciało to powróci do swej pierwotnej
postaci czyli nie ulegnie deformacjom trwałym.

Wielkością, która służy do opisu stanu naprężenia jest wektor naprężenia. Wyobraźmy sobie elementarne
pole powierzchni dS i wektor normalny (prostopadły) do tej powierzchni

n

. Na elementarnym polu

powierzchni działa siła

d F

. Wektor naprężenia definiuje się jako

f

n 

=

d F

dS

.

(4.29)

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

4. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

13

Rysunek 4.17 przedstawia wektor naprężenia na płaszczyźnie o normalnej

n

.

dS

n

f

n 

Rys. 4.17. Wektor naprężenia.

Wektor naprężenia możemy rozłożyć na dwie składowe: normalną



n

i styczną



n

. Rozkład wektora

naprężenia na dwie składowe przedstawia rysunek 4.18. Składowe wektora naprężenia nazywają się
naprężeniem normalnym

σ

i naprężeniem stycznym

τ

. Jednostką naprężenia w układzie SI jest Pa (Pascal).

My będziemy używać wielokrotności MPa.

Aby jednoznacznie określić stan naprężenia w dowolnym punkcie należy znać wektory naprężenia na
trzech wzajemnie prostopadłych płaszczyznach.

dS

n

f

n 



n



n

Rys. 4.18. Rozkład wektora naprężenie na składową normalną i styczną.

Na każdej z tych trzech płaszczyzn określa się naprężenie normalne oraz dwie składowe naprężenia stycznego.
Graficznie stan naprężenia przedstawia się na ściankach elementarnego sześcianu w kartezjańskim układzie
współrzędnych X

1

X

2

X

3

. Pierwszy indeks składowej stanu naprężenia opisuje nam wektor normalny do

płaszczyzny, na której działa dana składowa naprężenia, drugi indeks określa nam zwrot danej składowej
stanu naprężenia. Naprężenia normalne mają indeksy jednakowe czyli

σ

11

,

σ

22

oraz

σ

33

natomiast naprężenia

styczne mają różne indeksy czyli

σ

12

,

σ

21

,

σ

13

,

σ

31

,

σ

23

oraz

σ

32

. Rysunek 4.19 przedstawia składowe stanu

naprężenia zaznaczone na elementarnym sześcianie. Dana składowa stanu naprężenia jest dodatnia jeżeli na
ściankach dodatnich ma zwrot zgodny ze zwrotem osi układu współrzędnych X

1

X

2

X

3

. Ścianki dodatnie

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

4. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

14

zostały przedstawione na rysunku 4.19. Jak widać są to ścianki, które są widoczne, jeżeli patrzymy na
elementarny sześcian z punktu, który ma wszystkie współrzędne dodatnie. Natomiast rysunek 4.20
przedstawia dodatnie naprężenia na ściankach ujemnych. Dodatnie naprężenia na ściankach ujemnych będą
miały zwroty przeciwne do zwrotów osi układu współrzędnych X

1

X

2

X

3

.

X

1

X

2

X

3



11



22



33



12



21



23



32



13



31

Rys. 4.19. Dodatnie składowe stanu naprężenia w układzie X

1

X

2

X

3

na ściankach dodatnich.

X

1

X

2

X

3



11



22



33



12



21



23



32



13



31

Rys. 4.20. Dodatnie składowe stanu naprężenia w układzie X

1

X

2

X

3

na ściankach ujemnych.

Innym sposobem zapisu jest zapis składowych stanu naprężenia w układzie XYZ. Naprężenia normalne
zapisuje się jako

σ

X

,

σ

Y

, oraz

σ

Z

. Naprężenia styczne określa się jako

τ

XY

,

τ

YX

,

τ

XZ

,

τ

ZX

,

τ

YZ

oraz

τ

ZY

. Rysunek

4.21 przedstawia składowe stanu naprężenia w układzie XYZ na ściankach dodatnich natomiast rysunek 4.22
przedstawia składowe stanu naprężenia w układzie XYZ na ściankach ujemnych.

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

4. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

15

X

Y

Z



X



Y



Z



XY



YX



XZ



ZX



YZ



ZY

Rys. 4.21. Dodatnie składowe stanu naprężenia w układzie XYZ na ściankach dodatnich.

X

Y

Z



X



Y



Z



XY



YX



XZ



ZX



YZ



ZY

Rys. 4.22. Dodatnie składowe stanu naprężenia w układzie XYZ na ściankach ujemnych.

Wszystkie dziewięć składowych stanu naprężenia zapisuje się w tablicy nazywanej tensorem naprężenia.
Tensor ma więc postać

=

[



11



12



13



21



22



23



31



32



33

]

=

[



X



XY



XZ



YX



Y



YZ



ZX



ZY



Z

]

.

(4.30)

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

4. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

16

Pierwszą kolumnę tensora (4.30) stanowią składowe wektora naprężenia na płaszczyźnie o normalnej X

1

(X),

drugą składowe wektora naprężenia na płaszczyźnie o normalnej X

2

(Y) trzecią natomiast składowe wektora

naprężenia na płaszczyźnie o normalnej X

3

(Z).

Tensor naprężenia posiada ponadto właściwość, że jest symetryczny względem przekątnej, na której
znajdują się naprężenia normalne. Zachodzą więc zależności



12

=

21



13

=

31



23

=

32

(4.31)

lub w układzie XYZ



XY

=

YX



XZ

=

ZX



YZ

=

ZY

.

(4.32)

Jeżeli jeden z trzech wektorów naprężenia, które opisują stan naprężenia w punkcie, jest równy zero to stan
taki nazywamy płaskim stanem naprężenia. Właśnie z takim stanem naprężenia mamy do czynienia w
przekroju belki lub ramy płaskiej. Wektor na płaszczyźnie o normalnej Y wynosi zero. Rysunek 4.23
przedstawia składowe płaskiego stanu naprężenia na ściankach dodatnich w obu układach współrzędnych.
Rysunek 4.24 przedstawia składowe płaskiego stanu naprężenia na ściankach ujemnych w obu układach
współrzędnych.

X

Y

Z

X

1

X

2

X

3



11



33



13



31



X



Z



XZ



ZX

Rys. 4.23. Dodatnie składowe płaskiego stanu naprężenia na ściankach dodatnich.

W dalszej części będziemy rozpatrywali już stan naprężenia w układzie XYZ, ponieważ taki układ jest
związany z przekrojem pręta. Dla uproszczenia będziemy przedstawiać płaski stan naprężenia na

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

4. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

17

elementarnym kwadracie w układzie ZX, który przedstawiony jest na rysunku 4.25. Położenie osi Z w dół jest
spowodowane tym, że płaski stan naprężenia będziemy rozpatrywać w płaskich układach prętowych (belkach i
ramach płaskich), w których jak wiadomo oś Z skierowana jest w dół (porównaj rysunek 1.2). W układach
tych naprężenia powstają od działania siły normalnej, poprzecznej i momentu zginającego.

X

Y

Z

X

1

X

2

X

3



11



33



13



31



X



Z



XZ



ZX

Rys. 4.24. Dodatnie składowe płaskiego stanu naprężenia na ściankach ujemnych.

bok dodatni

b

ok

d

od

a

tn

i

bok ujemny

bo

k

uj

em

n

y

X

Z

X

Z



X



X



Z



Z



XZ



XZ



ZX



ZX

Rys. 4.25. Składowe płaskiego stanu naprężenia.

Tensor naprężenia będzie miał w płaskim stanie naprężenia postać

=

[



X

0



XZ

0

0

0



ZX

0



Z

]

.

(4.33)

W przypadku płaskiego stanu naprężenia w belkach i ramach płaskich naprężenie normalne

σ

Z

wynosi zero.

Rysunek 4.26 przedstawia składowe stanu naprężenia punkcie przekroju belki lub ramy płaskiej.

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

4. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

18

X

Z



X



X



XZ



XZ



ZX



ZX

Rys. 4.26. Składowe płaskiego stanu naprężenia w punkcie przekroju belki lub ramy płaskiej.

Tensor naprężenia będzie miał w punkcie przekroju belki lub ramy płaskiej postać

=

[



X

0



XZ

0

0

0



ZX

0

0

]

.

(4.34)

4.6 Naprężenia główne w belce lub ramie płaskiej

Układ ZX może się obracać wokół początku układu. Taki obrót nazywamy transformacją układu

współrzędnych. Transformację układu będziemy definiowali za pomocą kąta obrotu. Dodatni kąt obrotu
kręci osią Z w kierunku osi X. Dodatni i ujemny kąt obrotu przedstawia rysunek 4.27.

X

Z

X'

Z'

0

X

Z

X'

Z'

0

Rys. 4.27. Dodatni i ujemny kąt obrotu.

Pod wpływem obrotu układu współrzędnych składowe tensora naprężenia w płaskim stanie naprężenia
zmienią swoje wartości. Rysunek 4.28 przedstawia płaski stan naprężenia w układzie obróconym.

Naprężenia normalne w układzie obróconym wyznacza się ze wzorów



Z '

=



Z



X

2





Z

−

X

2

⋅cos2⋅

XZ

⋅sin2⋅

(4.35)

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

4. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

19

X

Z

X'

Z'

α



X '



X '



Z '



Z '



X ' Z

'



X ' Z

'



Z ' X

'



Z ' X

'

Rys. 4.28. Płaski stan naprężenia w układzie obróconym.

oraz



X '

=



Z



X

2

−



Z

−

X

2

⋅cos2⋅−

XZ

⋅sin2⋅

.

(4.36)

Naprężenie styczne wyznacza się ze wzoru



X 'Z '

=−



Z

−

X

2

⋅sin2⋅

XZ

⋅cos2⋅

.

(4.37)

Tensor naprężenia w układzie obróconym będzie miał postać

 '=

[



X '

0



X 'Z '

0

0

0



Z ' X '

0



Z'

]

.

(4.38)

Wiadomo, że przy obrocie układu współrzędnych ZX składowe stanu naprężenia zmieniają swoje wartości.
Istnieje taki układ współrzędnych, w którym naprężenia normalne przyjmują wartości ekstremalne (największą
i najmniejszą z możliwych) natomiast naprężenie styczne przyjmuje wartość zero. Taki układ współrzędnych
nazywa się układem osi głównych. Natomiast ekstremalne naprężenia normalne nazywają się naprężeniami
głównymi. Przyrównując do zera wzór (4.37) możemy otrzymać wzór na kąt obrotu układu osi głównych w
postaci

tg

2⋅

gl

=

2

⋅

XZ



Z

−

X

.

(4.39)

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

4. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

20

Naprężenia główne będziemy wyznaczać ze wzorów



Zgl

=



Z



X

2





Z

−

X

2

⋅cos2⋅

gl



XZ

⋅sin2⋅

gl



(4.40)

oraz



Xgl

=



Z



X

2

−



Z

−

X

2

⋅cos2⋅

gl

−

XZ

⋅sin2⋅

gl



.

(4.41)

W celu sprawdzenia obliczeń naprężeń głównych będziemy stosować następujący wzór



1

/2

=



Z



X

2

±







Z

−

X

2



2



XZ

2

,

(4.42)

w którym

σ

1

oznacza maksymalne naprężenie główne natomiast

σ

2

oznacza minimalne naprężenie główne.

Rysunek 4.29 przedstawia elementarny kwadrat z zaznaczonymi dodatnimi naprężeniami głównymi.

X

Z

X

gl

Z

gl



gl



Xgl



Xgl



Zgl



Zgl

Rys. 4.29. Elementarny kwadrat w układzie głównym.

Tensor naprężenia w przypadku naprężeń głównych będzie miał postać



gl

=

[



Xgl

0

0

0

0

0

0

0



Zgl

]

.

(4.43)

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

4. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

21

4.7 Czyste ścinanie

Stan naprężenia nazywany czystym ścinaniem polega na tym, że w punkcie działają tylko naprężenia

styczne. Rysunek 4.30 przedstawia elementarny kwadrat poddany czystemu ścinaniu. Naprężenie styczne jest
dodatnie.

X

Z









Rys. 4.30. Czyste ścinanie (naprężenie styczne dodatnie).

Tensor naprężenia będzie miał postać

=

[

0

 0

 0 0
0 0 0

]

.

(4.44)

Naprężenia główne będą nachylone pod kątem

tg

2⋅

gl

=

2

⋅

0

−0

=∞

.

(4.45)

Jak wiadomo funkcja tangens dąży do nieskończoności dla kąta równego 90

o

. Kąt nachylenia osi głównych

wynosi



gl

=45

o

.

(4.46)

Naprężenia główne wynoszą



Zgl

=⋅sin



2

⋅45

o



=

(4.47)

oraz



Xgl

=−⋅sin



2

⋅45

o



=−

.

(4.48)

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

4. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

22

Rysunek 4.31 przedstawia naprężenia główne przy czystym ścinaniu dla dodatniego naprężenia stycznego.

X

Z

X

gl

Z

gl

45

o









Rys. 4.31. Naprężenia główne przy czystym ścinaniu dla dodatniego naprężenia stycznego.

Rysunek 4.32 przedstawia elementarny kwadrat poddany czystemu ścinaniu. Naprężenie styczne jest ujemne.

X

Z









Rys. 4.32. Czyste ścinanie (naprężenie styczne ujemne).

Tensor naprężenia będzie miał postać

=

[

0

− 0

−

0

0

0

0

0

]

.

(4.49)

Naprężenia główne będą nachylone pod kątem

tg

2⋅

gl

=

2

⋅



−



0

−0

=−∞

.

(4.50)

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

4. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

23

Jak wiadomo funkcja tangens dąży do minus nieskończoności dla kąta równego -90

o

. Kąt nachylenia osi

głównych wynosi



gl

=−45

o

.

(4.51)

Naprężenia główne wynoszą



Zgl

=−⋅sin



2

⋅



−45

o





=

(4.52)

oraz



Xgl

=−



−



⋅sin



2

⋅



−45

o





=−

.

(4.53)

Rysunek 4.33 przedstawia naprężenia główne przy czystym ścinaniu dla ujemnego naprężenia stycznego.

X

Z

X

gl

Z

gl

45

o









Rys. 4.33. Naprężenia główne przy czystym ścinaniu dla ujemnego naprężenia stycznego.

a)

b)

c)

przekątna rozciągana

przekątna ściskana









Rys. 4.34. Analogia mechaniczna do wyznaczenia kierunków głównych naprężeń rozciągających i ściskających.

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

4. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

24

Jak więc widać w przypadku czystego ścinania naprężenia główne nachylone są zawsze pod kątem plus
lub minus 45 stopni i mają wartość bezwzględną naprężenia stycznego. Aby łatwiej zapamiętać, które z
naprężeń głównych jest rozciągające a które ściskające posłużymy się pewną analogią. Wyobraźmy sobie, że
elementarny kwadrat zamieniamy w mechanizm wprowadzając w narożnikach przeguby. Układ ten
przedstawia rysunek 4.34 a. Układ ten może się poruszać, ponieważ posiada jeden stopnień swobody. Na
pionowy pręt układu działa siła o zwrocie naprężenia stycznego, która powoduje jego ruch. Jedna z
przekątnych układu zwiększa swoją długość (jest rozciągana) natomiast druga przekątna zmniejsza swoją
długość (jest ściskana). Położenie tych przekątnych pokazuje nam, który kierunek ma rozciągające naprężenie
główne a który kierunek ma ściskające naprężenie główne.

4.8 Naprężenia główne na wysokości przekroju pręta

Naprężenia główne w belkach, w których siła normalna równa się zero układają się w dość logiczny

sposób na wysokości przekroju pręta.

Rysunek 4.35 przedstawia naprężenia główne od działania dodatniego momentu zginającego i dodatniej siły
poprzecznej. Punkty, w których przedstawiono naprężenia główne to od góry: górna krawędź, punkt pośredni
między górną krawędzią a środkiem ciężkości, środek ciężkości, punkt pośredni pomiędzy środkiem ciężkości
a dolną krawędzią, dolna krawędź. Jak widać na rysunku 4.35, jeżeli będziemy poruszać się od góry do dołu to
główne naprężenie ściskające

σ

2

obraca się przeciwnie do ruchu wskazówek, od położenia poziomego do

pionowego (w którym wynosi zero).

Tak samo główne naprężenie rozciągające

σ

1

będzie się obracać przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od

położenia pionowego (w którym wynosi zero) do położenia poziomego. Ponadto naprężenia główne na
krawędziach przekroju równają się naprężeniu normalnemu

σ

X

natomiast w środku ciężkości naprężenia

główne równają się naprężeniu stycznemu

τ

XZ

a ich kierunek możemy wyznaczyć posługując się metodami

przedstawionymi w punkcie 4.7.

Rysunek 4.36 przedstawia naprężenia główne od działania dodatniego momentu zginającego i ujemnej siły
poprzecznej. Punkty, w których przedstawiono naprężenia główne to od góry: górna krawędź, punkt pośredni
między górną krawędzią a środkiem ciężkości, środek ciężkości, punkt pośredni pomiędzy środkiem ciężkości
a dolną krawędzią, dolna krawędź. Jak widać na rysunku 4.36, jeżeli będziemy poruszać się od góry do dołu to
główne naprężenie ściskające

σ

2

obraca się zgodnie z ruchem wskazówek, od położenia poziomego do

pionowego (w którym wynosi zero). Tak samo główne naprężenie rozciągające

σ

1

będzie się obracać zgodnie z

ruchem wskazówek zegara od położenia pionowego (w którym wynosi zero) do położenia poziomego.

Rysunek 4.37 przedstawia naprężenia główne od działania ujemnego momentu zginającego i dodatniej siły
poprzecznej. Punkty, w których przedstawiono naprężenia główne to od góry: górna krawędź, punkt pośredni
między górną krawędzią a środkiem ciężkości, środek ciężkości, punkt pośredni pomiędzy środkiem ciężkości
a dolną krawędzią, dolna krawędź. Jak widać na rysunku 4.37, jeżeli będziemy poruszać się od góry do dołu to
główne naprężenie ściskające

σ

2

obraca się zgodnie z ruchem wskazówek, od położenia pionowego (w którym

wynosi zero) do poziomego. Tak samo główne naprężenie rozciągające

σ

1

będzie się obracać zgodnie z ruchem

wskazówek zegara od położenia poziomego do położenia pionowego (w którym wynosi zero).

Rysunek 4.38 przedstawia naprężenia główne od działania ujemnego momentu zginającego i ujemnej siły
poprzecznej. Punkty, w których przedstawiono naprężenia główne to od góry: górna krawędź, punkt pośredni
między górną krawędzią a środkiem ciężkości, środek ciężkości, punkt pośredni pomiędzy środkiem ciężkości
a dolną krawędzią, dolna krawędź. Jak widać na rysunku 4.38, jeżeli będziemy poruszać się od góry do dołu to
główne naprężenie ściskające

σ

2

obraca się przeciwnie do ruchu wskazówek, od położenia pionowego (w

którym wynosi zero) do poziomego. Tak samo główne naprężenie rozciągające

σ

1

będzie się obracać

przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od położenia poziomego do położenia pionowego (w którym wynosi
zero).

Na rysunkach 4.35-4.38 zaznaczono wartości bezwzględne naprężeń normalnych, stycznych i głównych.

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

4. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

25

Z=Z

0

=Z

gl

X

T

=

T

Z

M=M

Y



X

X

Z



X



X

X

Z



X

X

Z



X

X

Z



X



X

X

Z



X

X

gl

Z

gl

X

gl

Z

gl

X

gl

Z

gl

X

gl

Z

gl

X

gl

Z

gl



gl

=45

o



2



2



2



2



1



1



XZ



XZ



XZ



XZ



1



2



1



2



1



1



XZ



XZ



XZ



XZ



XZ



XZ



XZ



XZ



XZ



XZ



XZ



XZ

Rys. 4.35. Układ naprężeń głównych dla dodatniej siły poprzecznej i dodatniego momentu zginającego.

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

4. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

26

Z=Z

0

=Z

gl

X

T

=

T

Z

M=M

Y



X

X

Z



X



X

X

Z



X

X

Z



X

X

Z



X



X

X

Z



X

X

gl

Z

gl

X

gl

Z

gl

X

gl

Z

gl

X

gl

Z

gl

X

gl

Z

gl



2



2



2



2



1



1



XZ



XZ



XZ



XZ



1



2



1



2



1



1



XZ



XZ



XZ



XZ



XZ



XZ



XZ



XZ



XZ



XZ



XZ



XZ



gl

=−45

o

Rys. 4.36. Układ naprężeń głównych dla ujemnej siły poprzecznej i dodatniego momentu zginającego.

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

4. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

27

Z=Z

0

=Z

gl

X

T

=

T

Z

M=M

Y



X

X

Z



X



X

X

Z



X

X

Z



X

X

Z



X



X

X

Z



X

X

gl

Z

gl

X

gl

Z

gl

X

gl

Z

gl

X

gl

Z

gl

X

gl

Z

gl



gl

=45

o



2



2



2



2



1



1



XZ



XZ



XZ



XZ



1



2



1



2



1



1



XZ



XZ



XZ



XZ



XZ



XZ



XZ



XZ



XZ



XZ



XZ



XZ

Rys. 4.37. Układ naprężeń głównych dla dodatniej siły poprzecznej i ujemnego momentu zginającego.

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM

4. NAPRĘŻENIA W BELKACH I RAMACH PŁASKICH

28

Z=Z

0

=Z

gl

X

T

=

T

Z

M=M

Y



X

X

Z



X



X

X

Z



X

X

Z



X

X

Z



X



X

X

Z



X

X

gl

Z

gl

X

gl

Z

gl

X

gl

Z

gl

X

gl

Z

gl

X

gl

Z

gl



2



2



2



2



1



1



XZ



XZ



XZ



XZ



1



2



1



2



1



1



XZ



XZ



XZ



XZ



XZ



XZ



XZ



XZ



XZ



XZ



XZ



XZ



gl

=−45

o

Rys. 4.38. Układ naprężeń głównych dla ujemnej siły poprzecznej i ujemnego momentu zginającego.

Dr inż. Janusz Dębiński

BDM