1
WNUM S1 – 27 listopada 2009 r. (piątek)
Zadanie 1 (6 pkt): Pokazać, że algorytm:
1
:
2
1
2
2
2
3
1
1
2
1
+
=
→
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
=
→
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
v
v
y
x
v
x
v
x
x
A
jest numerycznie poprawny.
Rozwiązanie: Analiza A daje następujący wynik:
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
(
)
1
2
1
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
~
2
2
2
3
1
1
2
2
2
1
3
1
2
2
2
1
3
1
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
+
=
+
+
+
−
+
=
+
+
+
+
+
=
η
η
η
η
η
η
η
η
η
η
η
η
x
x
x
x
x
x
y
d
s
d
s
d
s
Co oznacza, że skutek błędów zaokrągleń jest równoważny skutkowi błędów reprezentacji danych
nie przekraczających eps.
Zadanie 2 (8 pkt):
Oszacować względny błąd wyznaczenia wartości wyrażenia:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
2
1
ln
x
x
y
dla
2
2
1
2
x
e
x
x
e
<
<
⋅
i
1
2
>
x
za pomocą algorytmu:
( )
[
]
v
y
x
x
v
x
x
A
ln
:
2
1
2
1
=
→
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
→
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Pominąć błędy reprezentacji danych.
Rozwiązanie: Analiza A daje następujący wynik:
( )(
)
( )(
)
[
]
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
[
]
(
)
o
o
x
x
x
x
x
x
y
η
η
η
η
η
η
+
−
+
−
=
+
+
−
+
=
1
ln
ln
ln
ln
1
1
ln
1
ln
~
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
( )
( )
(
)
[
]
(
)
( )
( )
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
+
=
+
−
+
=
o
o
y
x
x
y
x
x
y
y
η
η
η
η
η
η
2
2
1
1
2
2
1
1
ln
ln
1
1
ln
ln
~
[ ]
( )
( )
o
y
x
x
y
η
η
η
δ
+
−
=
2
2
1
1
ln
ln
~
[ ]
( )
( )
( )
( )
(
)
eps
x
x
x
x
eps
y
x
x
eps
y
x
x
y
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
≤
1
ln
ln
1
ln
ln
1
ln
ln
~
2
1
2
1
2
1
2
1
δ
[ ]
(
)
[
]
( )
( )
eps
eps
e
e
eps
x
x
x
x
y
3
1
ln
ln
1
ln
inf
ln
sup
~
2
2
1
2
1
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
≤
δ
Zadanie 3 (6 pkt):
Wyznaczyć parametry lokalnej zbieżności,
C
i
ρ
, nastepującego algorytmu
iteracyjnego:
( )
1
ln
1
1
i
i
i
i
x
x
x
x
+
−
=
+
