1

WNUM S1 – 27 listopada 2009 r. (piątek)

Zadanie 1 (6 pkt): Pokazać, że algorytm:

1

:

2

1

2

2

2

3

1

1

2

1

+

=

→

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

=

→

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

v

v

y

x

v

x

v

x

x

A

jest numerycznie poprawny.

Rozwiązanie: Analiza A daje następujący wynik:

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

(

)

(

)

1

2

1

3

1

1

1

1

1

1

1

1

1

~

2

2

2

3

1

1

2

2

2

1

3

1

2

2

2

1

3

1

+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

−

+

=

+

+

+

−

+

=

+

+

+

+

+

=

η

η

η

η

η

η

η

η

η

η

η

η

x

x

x

x

x

x

y

d

s

d

s

d

s

Co oznacza, że skutek błędów zaokrągleń jest równoważny skutkowi błędów reprezentacji danych
nie przekraczających eps.

Zadanie 2 (8 pkt):

Oszacować względny błąd wyznaczenia wartości wyrażenia:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

2

1

ln

x

x

y

dla

2

2

1

2

x

e

x

x

e

<

<

⋅

i

1

2

>

x

za pomocą algorytmu:

( )

[

]

v

y

x

x

v

x

x

A

ln

:

2

1

2

1

=

→

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

→

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

Pominąć błędy reprezentacji danych.

Rozwiązanie: Analiza A daje następujący wynik:

( )(

)

( )(

)

[

]

(

)

( )

( )

(

)

( )

( )

(

)

[

]

(

)

o

o

x

x

x

x

x

x

y

η

η

η

η

η

η

+

−

+

−

=

+

+

−

+

=

1

ln

ln

ln

ln

1

1

ln

1

ln

~

2

2

1

1

2

1

2

2

1

1

( )

( )

(

)

[

]

(

)

( )

( )

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

−

+

=

+

−

+

=

o

o

y

x

x

y

x

x

y

y

η

η

η

η

η

η

2

2

1

1

2

2

1

1

ln

ln

1

1

ln

ln

~

[ ]

( )

( )

o

y

x

x

y

η

η

η

δ

+

−

=

2

2

1

1

ln

ln

~

[ ]

( )

( )

( )

( )

(

)

eps

x

x

x

x

eps

y

x

x

eps

y

x

x

y

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

=

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

+

+

≤

1

ln

ln

1

ln

ln

1

ln

ln

~

2

1

2

1

2

1

2

1

δ

[ ]

(

)

[

]

( )

( )

eps

eps

e

e

eps

x

x

x

x

y

3

1

ln

ln

1

ln

inf

ln

sup

~

2

2

1

2

1

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

=

⎟

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛

+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

≤

δ

Zadanie 3 (6 pkt):

Wyznaczyć parametry lokalnej zbieżności,

C

i

ρ

, nastepującego algorytmu

iteracyjnego:

( )

1

ln

1

1

i

i

i

i

x

x

x

x

+

−

=

+

2

umożliwiającego rozwiązanie równania:

( )

0

ln

=

+ x

x

.

Rozwiązanie: Jedyny punkt stacjonarny AI z definicji spełnia równanie

( )

x

x

−

=

ln

. Funkcja

definiująca ten algorytm ma postać:

( )

( )

1

ln

1

x

x

x

x

+

−

=

ϕ

Jej pierwszą pochodną jest:

( )

( )

(

)

0

1

ln

2

⎯

⎯ →

⎯

+

−

−

=

′

→x

x

x

x

x

x

ϕ

Jej drugą pochodną jest:

( )

(

)

( )

(

)

(

)

0

1

1

1

ln

2

1

1

3

≠

+

−

⎯

⎯ →

⎯

+

+

+

+

−

=

′′

→

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

ϕ

A zatem:

2

=

ρ

i

(

)

x

x

C

+

−

=

1

2

1

.