mgr inż. Sebastian Pakuła - Katedra Mechaniki i Wibroakustyki AGH
Strona 1
Materiały do zajęć:
Więzy, współrzędne uogólnione, d'Alambert
mgr inż.
Sebastian Pakuła
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Katedra Mechaniki i Wibroakustyki
mail: spakula@agh.edu.pl
mgr inż. Sebastian Pakuła - Katedra Mechaniki i Wibroakustyki AGH
Strona 2
Ogólne równanie więzów:
1
1
( ,..., , ,..., , )
0
k
n
n
f r
r r
r t
=
&
&
dla
1,...,
k
w
=
gdzie:
i
x
y
z
r
r i
r j
r k
=
+
+
Podział więzów:
•
geometryczne (holonomiczne) i kinematyczne (nieholonomiczne)
•
skleronomiczne i reonomiczne
W więzach geometrycznych przemieszczenia wirtualne (przygotowane) są takie same jak
przemieszczenia rzeczywiste. W przypadku więzów reonomicznych tak już nie jest.
Przemieszczenia wirtualne są to przemieszczenia związane z więzami zamrożonymi (dla
konkretnej chwili czasowej).
1
0
k
n
i
i
i
f
x
x
δ
=
∂
=
∂
∑
Przemieszczenia:
RZECZYWISTE
WIRTUALNE
x
2
+y
2
-r(t)
2
=0
x
2
+y
2
-r(t)
2
=0
2
2
2
xx
yy
rr
+
=
&
&
&
2
2
0
x x
y y
∂ +
∂ =
xdx
ydy
rdr
+
=
0
x x
y y
∂ + ∂ =
1
1
1
( ,
, )
x y z
3
3
3
( ,
,
)
x y z
2
2
2
( ,
,
)
x y z
Równania więzów:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
2
2
2
2
3
2
3
2
3
2
2
2
2
2
3
1
3
1
3
1
3
3
0
0
0
f
x
x
y
y
z
z
l
f
x
x
y
y
z
z
l
f
x
x
y
y
z
z
l
=
−
+
−
+
−
−
=
=
−
+
−
+
−
−
=
=
−
+
−
+
−
−
=
Liczba stopni swobody:
s =3 n - w s=9-3=6
Zasada prac wirtualnych (przygotowanych) stosuje się w statyce czyli układach w położeniu
równowagi.
Zasada d'Alemberta stosowana jest do układów holonomiczno-skleronomicznych w przypadku więzów
idealnych dwustronnych. Mówi ona:
Zasada d'Alemberta
1
1
(
)
0
(
)
(
)
(
)
0
n
i
i i
i
i
n
ix
i
i
i
iy
i
i
i
iz
i i
i
i
L
P
m r
r
L
P
m x
x
P
m y
y
P
m z
z
δ
δ
δ
δ
δ
δ
=
=
=
−
=
=
−
+
−
+
−
=
∑
∑
&&
&&
&&
&&
mgr inż. Sebastian Pakuła - Katedra Mechaniki i Wibroakustyki AGH
Strona 3
Przykład 1. Znaleźć przyśpiesznie każdej z brył.
Q
P
2
Q
x
g
&&
1
P
x
g
&&
0
I
ϕ
&&
2
x
δ
1
x
δ
δϕ
2
0
2
Qr
I
g
=
1
2
x
x
r
ϕ
=
+
1
2
0
x
x
r
ϕ
−
−
=
1
2
0
x
x
r
δ
δ
δϕ
−
−
=
2
1
x
x
r
ϕ
=
− &&
&&
&&
2
1
x
x
r
δ
δ
δϕ
=
−
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
2
2
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
P
Q
F
x
x
x
x
I
g
g
P
Q
Q
F
x
x
x
r
x
x
r R
I
g
g
g
P
Q
Q
Q
Q
F
x
x
r
x
x
r
I
g
g
g
g
g
δ
δ
ϕ δϕ
δ
ϕ δ
ϕ
δϕ
ϕ δϕ
ϕ
δ
ϕ
ϕ δϕ
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−
=
−
−
+
−
−
+
=
&&
&&
&&
&&
&&
&&
&&
&&
&&
&&
&&
&&
&&
&&
&&
1
1
1
0
0
0
P
Q
Q
F
x
x
r
g
g
g
Q
Q
x
r
I
g
g
ϕ
ϕ
ϕ
−
−
+
=
−
+
=
&&
&&
&&
&&
&&
&&
Ostatecznie rozwiązując układ równań i uwzględniając równania więzów:
(
)
1
2
2
3
3
3
3
Fg
P
Q R
Fg
x
P
Q
Fg
x
P
Q
ϕ
=
+
=
+
=
+
&&
&&
&&
mgr inż. Sebastian Pakuła - Katedra Mechaniki i Wibroakustyki AGH
Strona 4
Przykład 2. Znaleźć przyśpiesznie każdej z brył.
1
Q
x
g
&&
2
P
x
g
&&
Q
P
T
µ
0
I
ϕ
&&
2
0
2
Pr
I
g
=
r
2
2
,
x
x
δ
1
x
3
3
,
x
x
δ
2
x
δ
3
G
x
g
&&
2
G
x
g
&&
δϕ
G
( )
cos
T
Q
µ
α
=
1
2
1
2
2
2
3
3
1
2
3
,
x
x
x
x
x
r
x
r
x
r
x
r
x
x
x
x
x
r
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
δ
δ
δ
δ
δ
δϕ
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
&&
&&
&&
&&
&&
&&
( )
( )
2
1
cos
sin
0
2
Q
P
P
x
x
G
G
x
Q
Q
x
x
r
x G
x
x
g
g
g
r r
g
g
δ
µ
α
α
δ
δ
δ
−
+
+
−
−
−
−
+
=
&&
&&
&&
&&
(
)
(
)
2
2
cos
sin
3
cos
sin
2
2
3
G
P
G
x
G
Q
g
g
P
G
Q
x
G
P
G
g
g
P
µ
α
α
µ
α
α
+
+
=
−
+
−
+
=
+
+
&&
&&
Przykład 3. Znaleźć przyśpiesznie każdej z brył.
M
M R
ϕ
&&
F
P
Q
Q
x
g
&&
P
x
g
&&
δϕ
x
δ
0
I
ϕ
&&
ϕ
Mx
&&
mgr inż. Sebastian Pakuła - Katedra Mechaniki i Wibroakustyki AGH
Strona 5
(
)
2
0
0
P
Q
x
x
Mx
M R
F
x
I
M R
MxR
g
g
ϕ
δ
ϕ
ϕ
δϕ
−
+
+
−
−
−
+
−
=
&&
&&
&&
&&
&&
&&
&&
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
P
Q
x
M
M
F
g
g
Q
R
M R
MxR
g
M gx
R
Q
Mg
Fg
x
M g
P
Q
Mg
Q
Mg
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
+
+
=
+
+
=
=
+
=
+
+
−
+
&&
&&
&&
&&
&&
&&
&&
&&
mgr inż. Sebastian Pakuła - Katedra Mechaniki i Wibroakustyki AGH
Strona 6