mgr inż. Sebastian Pakuła - Katedra Mechaniki i Wibroakustyki AGH

Strona 1

Materiały do zajęć:

Więzy, współrzędne uogólnione, d'Alambert

mgr inż.

Sebastian Pakuła

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Katedra Mechaniki i Wibroakustyki

mail: [e-mail]

mgr inż. Sebastian Pakuła - Katedra Mechaniki i Wibroakustyki AGH

Strona 2

Ogólne równanie więzów:

1

1

( ,..., , ,..., , )

0

k

n

n

f r

r r

r t

=

&

&

dla

1,...,

k

w

=

gdzie:

i

x

y

z

r

r i

r j

r k

=

+

+

Podział więzów:

•

geometryczne (holonomiczne) i kinematyczne (nieholonomiczne)

•

skleronomiczne i reonomiczne

W więzach geometrycznych przemieszczenia wirtualne (przygotowane) są takie same jak
przemieszczenia rzeczywiste. W przypadku więzów reonomicznych tak już nie jest.
Przemieszczenia wirtualne są to przemieszczenia związane z więzami zamrożonymi (dla
konkretnej chwili czasowej).

1

0

k

n

i

i

i

f

x

x

δ

=

∂

=

∂

∑

Przemieszczenia:

RZECZYWISTE

WIRTUALNE

x

2

+y

2

-r(t)

2

=0

x

2

+y

2

-r(t)

2

=0

2

2

2

xx

yy

rr

+

=

&

&

&

2

2

0

x x

y y

∂ +

∂ =

xdx

ydy

rdr

+

=

0

x x

y y

∂ + ∂ =

1

1

1

( ,

, )

x y z

3

3

3

( ,

,

)

x y z

2

2

2

( ,

,

)

x y z

Równania więzów:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

2

2

2

2

2

3

2

3

2

3

2

2

2

2

2

3

1

3

1

3

1

3

3

0

0

0

f

x

x

y

y

z

z

l

f

x

x

y

y

z

z

l

f

x

x

y

y

z

z

l



=

−

+

−

+

−

−

=





=

−

+

−

+

−

−

=





=

−

+

−

+

−

−

=



Liczba stopni swobody:
s =3 n - w s=9-3=6

Zasada prac wirtualnych (przygotowanych) stosuje się w statyce czyli układach w położeniu
równowagi.
Zasada d'Alemberta stosowana jest do układów holonomiczno-skleronomicznych w przypadku więzów
idealnych dwustronnych. Mówi ona:

Zasada d'Alemberta

1

1

(

)

0

(

)

(

)

(

)

0

n

i

i i

i

i

n

ix

i

i

i

iy

i

i

i

iz

i i

i

i

L

P

m r

r

L

P

m x

x

P

m y

y

P

m z

z

δ

δ

δ

δ

δ

δ

=

=

=

−

=





=

−

+

−

+

−

=





∑

∑

&&

&&

&&

&&

mgr inż. Sebastian Pakuła - Katedra Mechaniki i Wibroakustyki AGH

Strona 3

Przykład 1. Znaleźć przyśpiesznie każdej z brył.

Q

P

2

Q

x

g

&&

1

P

x

g

&&

0

I

ϕ

&&

2

x

δ

1

x

δ

δϕ

2

0

2

Qr

I

g

=

1

2

x

x

r

ϕ

=

+

1

2

0

x

x

r

ϕ

−

−

=

1

2

0

x

x

r

δ

δ

δϕ

−

−

=

2

1

x

x

r

ϕ

=

− &&

&&

&&

2

1

x

x

r

δ

δ

δϕ

=

−

(

)

(

)

(

)

(

)

1

1

2

2

0

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

0

0

0

0

P

Q

F

x

x

x

x

I

g

g

P

Q

Q

F

x

x

x

r

x

x

r R

I

g

g

g

P

Q

Q

Q

Q

F

x

x

r

x

x

r

I

g

g

g

g

g

δ

δ

ϕ δϕ

δ

ϕ δ

ϕ

δϕ

ϕ δϕ

ϕ

δ

ϕ

ϕ δϕ









−

−

−

=





















−

−

−

−

−

−

=

















−

−

+

−

−

+

=

















&&

&&

&&

&&

&&

&&

&&

&&

&&

&&

&&

&&

&&

&&

&&

1

1

1

0

0

0

P

Q

Q

F

x

x

r

g

g

g

Q

Q

x

r

I

g

g

ϕ

ϕ

ϕ



−

−

+

=









−

+

=



&&

&&

&&

&&

&&

&&

Ostatecznie rozwiązując układ równań i uwzględniając równania więzów:

(

)

1

2

2

3

3

3

3

Fg

P

Q R

Fg

x

P

Q

Fg

x

P

Q

ϕ



=



+





=



+





=



+



&&

&&

&&

mgr inż. Sebastian Pakuła - Katedra Mechaniki i Wibroakustyki AGH

Strona 4

Przykład 2. Znaleźć przyśpiesznie każdej z brył.

1

Q

x

g

&&

2

P

x

g

&&

Q

P

T

µ

0

I

ϕ

&&

2

0

2

Pr

I

g

=

r

2

2

,

x

x

δ

1

x

3

3

,

x

x

δ

2

x

δ

3

G

x

g

&&

2

G

x

g

&&

δϕ

G

( )

cos

T

Q

µ

α

=

1

2

1

2

2

2

3

3

1

2

3

,

x

x

x

x

x

r

x

r

x

r

x

r

x

x

x

x

x

r

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

δ

δ

δ

δ

δ

δϕ

=

=









=

=









=

=





=

=

=

=

&&

&&

&&

&&

&&

&&

( )

( )

2

1

cos

sin

0

2

Q

P

P

x

x

G

G

x

Q

Q

x

x

r

x G

x

x

g

g

g

r r

g

g

δ

µ

α

α

δ

δ

δ









−

+

+

−

−

−

−

+

=

















&&

&&

&&

&&

(

)

(

)

2

2

cos

sin

3

cos

sin

2

2

3

G

P

G

x

G

Q

g

g

P

G

Q

x

G

P

G

g

g

P

µ

α

α

µ

α

α





+

+

=

−

+









−

+

=

+

+

&&

&&

Przykład 3. Znaleźć przyśpiesznie każdej z brył.

M

M R

ϕ

&&

F

P

Q

Q

x

g

&&

P

x

g

&&

δϕ

x

δ

0

I

ϕ

&&

ϕ

Mx

&&

mgr inż. Sebastian Pakuła - Katedra Mechaniki i Wibroakustyki AGH

Strona 5

(

)

2

0

0

P

Q

x

x

Mx

M R

F

x

I

M R

MxR

g

g

ϕ

δ

ϕ

ϕ

δϕ





−

+

+

−

−

−

+

−

=









&&

&&

&&

&&

&&

&&

&&

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

P

Q

x

M

M

F

g

g

Q

R

M R

MxR

g

M gx

R

Q

Mg

Fg

x

M g

P

Q

Mg

Q

Mg

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

 



+

+

=

+

 



 







+

=



=

+

=

+

+

−

+

&&

&&

&&

&&

&&

&&

&&

&&

mgr inż. Sebastian Pakuła - Katedra Mechaniki i Wibroakustyki AGH

Strona 6