Analiza matematyczna 2.3

Wykład 11

Wzór całkowy Fouriera. Transformata Fouriera

1. Wzór całkowy Fouriera

Jeśli funkcja f : (−∞, ∞) → (−∞, ∞) jest nieokresowa, nie można stosować szeregów

Fouriera i wielomianów trygonometrycznych do przybliżania wartości funkcji. Załóżmy dla
potrzeb całego wykładu, że funkcja spełnia takie warunki jak w twierdzeniu Dirichleta dot.
szeregów Fouriera.

Warunki Dirichleta
W każdym przedziale skończonym (a, b):

1. funkcja jest przedziałami monotoniczna,

2. funkcja ma co najwyżej skończenie wiele punktów nieciągłości i to pierwszego rodzaju.

Twierdzenie 1 (Wzór całkowy Fouriera). Jeżeli f spełnia w każdym przedziale skońc-
zonym (a, b) warunki Dirichleta oraz

R

∞

−∞

|f (x)| dx, to w każdym punkcie ciągłości funkcji

f prawdziwy jest następujący wzór:

f (x) =

Z

∞

0

(a(ω) cos(ωx) + b(ω) sin(ωx)) dω,

(1)

gdzie

a(ω) =

1

π

Z

∞

−∞

f (t) cos ωt dt

b(ω) =

1

π

Z

∞

−∞

f (t) sin ωt dt

Uwaga. Tak jak dla szeregów Dirichleta w każdym punkcie nieciągłości x

0

całka (1) wynosi

f (x

0

+)+f (x

0

−)

2

.

Definicja 1. Prawą stronę wzoru (1) nazywamy całką Fouriera.

Inna postać wzoru Fouriera wynika z prawa cos ωx · cos ωt + sin ωx · sin ωt = cos ω(x − t):

f (x) =

1

π

Z

∞

0

dω

Z

∞

−∞

f (t) cos ω(x − t) dt.

(2)

Przykład (do samodzielnego rozwiązania)

Wyrazić zgodnie ze wzorem Fouriera funkcję

f (x) =

(

1

dla |x| < 1

0

dla |x| ≥ 1

1

2. Transformata Fouriera.

Ze względów rachunkowych wygodnie jest przenieść rozważania do teorii funkcji ze-

spolonych.

Definicja 2. Transformatą Fouriera funkcji f nazywamy funkcję o wartościach zespolonych
określoną wzorem

ˆ

f (ω) =

Z

∞

−∞

f (t)e

−iωt

dt

Po co taka definicja? Otóż analogicznie do alternatywnej postaci wzoru Fouriera możemy
dla ustalonych t i x obliczyć całkę

Z

∞

−∞

f (t) sin ω(x − t) dt = g(ω).

Powyższa funkcja jest nieparzystą funkcją zmiennej ω, więc

Z

T

−T

g(ω) dω = 0.

Umówmy się, że przez całkę

R

∞

−∞

g(ω) dω będziemy rozumieć wartość główną całki, czyli

lim

T →∞

R

T

−T

g(ω) dω. To nie to samo co całka niewłaściwa, ale jeśli niewłaściwa istnieje to

ta też i obie są równe. Wtedy

0 =

1

2π

Z

∞

−∞

g(ω) dω.

Z kolei całka we wzorze (2) jest parzystą funkcją zmiennej ω, więc

f (x) =

1

2π

Z

∞

−∞

dω

Z

∞

−∞

f (t) cos ω(x − t) dt.

Mnożąc pierwszą równość przez i, dodając równości stronami i pamiętając, że

e

iα

= cos α + i sin α

mamy

f (x) =

1

2π

Z

∞

−∞

ˆ

f (ω)e

iωx

d ω.

Definicja 3. f nazywamy wtedy transformatą odwrotną funkcji zespolonej ˆ

f (ω).

| ˆ

f (ω)| to widmo amplitudowe funkcji f , a arg( ˆ

f (ω)) to widmo fazowe, a samą transformatę

nazywa się też widmem, gęstością widmową lub charakterystyką widmową funkcji f .

Przykład Obliczyć transformatę Fouriera funkcji

f (x) = x ·

1

[−1,1]

(x).

Odp. ˆ

f (ω) =

2i

ω

2

(ω cos ω − sin ω).

Własności transformaty Fouriera:

1. jest liniowa:

\

af + bg = a ˆ

f + bˆ

g,

2. transformatą przesunięcia funkcji: f (x − x

0

) jest e

−iωx

0

ˆ

f (ω),

2

3. Podobnie, dla g(x) = e

iω

0

x

f (x), gdzie ω

0

jest ustaloną liczbą, transformatą jest

ˆ

g(ω) = ˆ

f (ω − ω

0

),

4. Transformatą funkcji g(x) = f (ax) jest

1

|a|

ˆ

f (

ω

a

).

5. Jeśli funkcja x

n

f (x), n ∈ N spełnia na każdym przedziale warunki Dirichleta, to dla

k = 1, ..., n zachodzi

d

k

ˆ

f

dω

k

= (−i)

k

\

x

k

f (x),

gdzie przez \

x

k

f (x) rozumiemy transformatę ˆ

g(ω) funkcji g(x) = x

k

f (x).

6. Jeśli funkcja f i pochodne

d

k

f

dx

k

, k = 1, ..., n, spełniają na każdym przedziale warunki

Dirichleta i są całkowalne, to transformata n-tej pochodnej wynosi

(iω)

n

ˆ

f (ω)

Ważne transformaty

1. f (x) =

1

[−a,a]

, to ˆ

f (ω) =

2 sin aω

ω

2. f (x) =

1

[0,1]

, to ˆ

f (ω) =

sin ω

ω

+

i

ω

(cos ω − 1)

3. f (x) = e

−cx

, gdzie x > 0, c > 0, to ˆ

f (ω) =

1

iω+c

4. f (x) = e

−c|x|

, to ˆ

f (ω) =

2c

ω

2

+c

2

5. f (x) = e

−x

2

, to ˆ

f (ω) =

√

πe

−ω2

4

6. f (x) = cos x, |x| <

π

2

to ˆ

f (ω) =

2 cos

π

2

ω

1−ω

2

7. f (x) =

1

1+x

2

, to ˆ

f (ω) = πe

−|ω|

3