07 09 05 egz ch

background image

Matematyka A, egzamin, 21 czerwca 2007, 12:30 – 15:45

Rozwia

,

zania r´o˙znych zada´

n maja

,

znale´z´c sie

,

na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be

,

da

,

r´o˙zne osoby.

Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pisza

,

cego, jego

nr. indeksu oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza

,

cej ´cwiczenia .

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n elektro-

nicznych; je´sli kto´s ma, musza

,

by´

c schowane i wy la

,

czone! Nie dotyczy rozrusznik´ow serca.

Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

,

na twierdzenia, kt´ore zosta ly

udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

1. Znale´z´c wszystkie takie funkcje f : R −→ R , ˙ze dla dowolnej liczby rzeczywistej x styczna do

wykresu funkcji f w punkcie x, f (x)

przecina o´s OX w punkcie

x

2

, 0

.

2. (a) Znale´z´c rozwia

,

zanie og´olne r´ownania r´o˙zniczkowego

t

2

x

0

(t) + tx(t) + 1 = 0 .

(b) Znale´z´c rozwia

,

zanie x spe lniaja

,

ce warunek x(1) = 2 .

3. Znale´z´c pole i ´srodek masy jednorodnego obszaru G = {(x, y):

1

2

π

x ≤ y ≤ cos x, 0 ≤ x ≤

π

2

} .

4. Znale´z´c rozwia

,

zanie og´olne r´ownania

x

00

(t) + x

0

(t) 2x(t) = 18te

2t

+ 16te

2t

20 sin(2t).

5. Znale´z´c rozwia

,

zanie og´olne uk ladu r´owna´

n:

x

0

(t) =

2x(t) 7y(t) − z(t),

y

0

(t) = 3x(t) + 3y(t) 6z(t),

z

0

(t) = 5x(t) 2y(t) + z(t).

Znale´z´c rozwia

,

zanie uk ladu spe lniaja

,

ce warunek x(0) = 2 , y(0) = 0 , z(0) = 0 wiedza

,

c, ˙ze

(1) jednym z pierwiastk´ow wielomianu charakterystycznego macierzy, kt´ora jest interesuja

,

ca dla

rozwia

,

zuja

,

cych ten uk lad r´owna´

n jest liczba 6

(2) oraz ˙ze suma dwu pozosta lych warto´sci w lasnych r´owna jest 12 a ich iloczyn 45 .

6. Znale´z´c punkty zerowania sie

,

gradientu funkcji f i lokalne ekstrema tej funkcji oraz wyja´sni´c, kt´ore

z nich sa

,

minimami, a kt´ore maksimami, je´sli f (x, y) = x

4

− y

4

4xy

2

2x

2

dla (x, y) R

2

.

Wskaz´owka. W otoczeniu tego z punkt´ow krytycznych, kt´orego charakteru nie da sie

,

wyja´sni´c za

pomoca

,

og´olnego twierdzenia, nale˙zy rozwa˙zy´c f na dowolnie wybranej prostej przechodza

,

cej przez

k lopotliwy punkt oraz na paraboli y

2

+ x = 0 .

7. Niech C = {(x, y):

0 ≤ x, 0 ≤ y, 3x + y ≤ 7} i f (x, y) = x

3

+ 3xy

2

15x − 12y .

Wiadomo, ˙ze

∂f
∂x

(x, y) = 3(x

2

+ y

2

5) i

∂f
∂y

(x, y) = 6(xy − 2) .

Znale´z´c lokalne ekstrema funkcji f .

Znale´z´c najwie

,

ksza

,

i najmniejsza

,

warto´s´c funkcji f w zbiorze C lub wykaza´c, ˙ze funkcja nie przyj-

muje kt´orej´s warto´sci ekstremalnej w tym zbiorze.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Kryon 07 09 05 Public Channeling
07 10 10 egz ch
07 06 21 egz ch
Kryon Przekazy Kryona od 06 04 05 do 07 09 05 (j polski)
EGZ-07-09-09, Farmakologia, pytania
05 09 16 egz
MN energetyka zadania od wykładowcy 09-05-14, STARE, Metody Numeryczne, Część wykładowa Sem IV
eco-sciaga, wains knsia 07-09, Ekonomia
ekonomia do 2 kolokwium, wains knsia 07-09, Ekonomia
09 05
(07) 402 05 i 415 05 Kadi kom pras
Ekonomika ochrony srodowiska 09.05.05, administracja, II ROK, III Semestr, rok II, sem IV, Ekonomika
egz ch
formy opieki 09.05, Formy opieki zdrowotnej
09 05 2013
2015 08 20 07 43 05 01
Mechanika budowli I egzamin (03 07 09)(2)
wp a3yw+bezrobocia+na+skal ca+przest capczo 8cci+licencjat+10 09 05 XUMQLVUF4ZYDFAYGT3GWUGGIYNGFHUCI
ppok materiały 09 05 2012

więcej podobnych podstron