Matematyka A, egzamin, 21 czerwca 2007, 12:30 – 15:45

Rozwia

,

zania r´o˙znych zada´

n maja

,

znale´z´c sie

,

na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be

,

da

,

r´o˙zne osoby.

Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pisza

,

cego, jego

nr. indeksu oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza

,

cej ´cwiczenia .

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n elektro-

nicznych; je´sli kto´s ma, musza

,

by´

c schowane i wy la

,

czone! Nie dotyczy rozrusznik´ow serca.

Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

,

na twierdzenia, kt´ore zosta ly

udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

1. Znale´z´c wszystkie takie funkcje f : R −→ R , ˙ze dla dowolnej liczby rzeczywistej x styczna do

wykresu funkcji f w punkcie x, f (x)

przecina o´s OX w punkcie

x

2

, 0

.

2. (a) Znale´z´c rozwia

,

zanie og´olne r´ownania r´o˙zniczkowego

t

2

x

0

(t) + tx(t) + 1 = 0 .

(b) Znale´z´c rozwia

,

zanie x spe lniaja

,

ce warunek x(−1) = 2 .

3. Znale´z´c pole i ´srodek masy jednorodnego obszaru G = {(x, y):

1 −

2

π

x ≤ y ≤ cos x, 0 ≤ x ≤

π

2

} .

4. Znale´z´c rozwia

,

zanie og´olne r´ownania

x

00

(t) + x

0

(t) − 2x(t) = −18te

−2t

+ 16te

2t

− 20 sin(2t).

5. Znale´z´c rozwia

,

zanie og´olne uk ladu r´owna´

n:







x

0

(t) =

2x(t) − 7y(t) − z(t),

y

0

(t) = −3x(t) + 3y(t) − 6z(t),

z

0

(t) = −5x(t) − 2y(t) + z(t).

Znale´z´c rozwia

,

zanie uk ladu spe lniaja

,

ce warunek x(0) = 2 , y(0) = 0 , z(0) = 0 wiedza

,

c, ˙ze

(1) jednym z pierwiastk´ow wielomianu charakterystycznego macierzy, kt´ora jest interesuja

,

ca dla

rozwia

,

zuja

,

cych ten uk lad r´owna´

n jest liczba −6

(2) oraz ˙ze suma dwu pozosta lych warto´sci w lasnych r´owna jest 12 a ich iloczyn 45 .

6. Znale´z´c punkty zerowania sie

,

gradientu funkcji f i lokalne ekstrema tej funkcji oraz wyja´sni´c, kt´ore

z nich sa

,

minimami, a kt´ore maksimami, je´sli f (x, y) = x

4

− y

4

− 4xy

2

− 2x

2

dla (x, y) ∈ R

2

.

Wskaz´owka. W otoczeniu tego z punkt´ow krytycznych, kt´orego charakteru nie da sie

,

wyja´sni´c za

pomoca

,

og´olnego twierdzenia, nale˙zy rozwa˙zy´c f na dowolnie wybranej prostej przechodza

,

cej przez

k lopotliwy punkt oraz na paraboli y

2

+ x = 0 .

7. Niech C = {(x, y):

0 ≤ x, 0 ≤ y, 3x + y ≤ 7} i f (x, y) = x

3

+ 3xy

2

− 15x − 12y .

Wiadomo, ˙ze

∂f
∂x

(x, y) = 3(x

2

+ y

2

− 5) i

∂f
∂y

(x, y) = 6(xy − 2) .

Znale´z´c lokalne ekstrema funkcji f .

Znale´z´c najwie

,

ksza

,

i najmniejsza

,

warto´s´c funkcji f w zbiorze C lub wykaza´c, ˙ze funkcja nie przyj-

muje kt´orej´s warto´sci ekstremalnej w tym zbiorze.