Matematyka A, egzamin, 21 czerwca 2007, 12:30 – 15:45
Rozwia
,
zania r´o˙znych zada´
n maja
,
znale´z´c sie
,
na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be
,
da
,
r´o˙zne osoby.
Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´
ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pisza
,
cego, jego
nr. indeksu oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza
,
cej ´cwiczenia .
Nie wolno korzysta´
c z kalkulator´
ow, telefon´
ow kom´
orkowych ani innych urza
,
dze´
n elektro-
nicznych; je´sli kto´s ma, musza
,
by´
c schowane i wy la
,
czone! Nie dotyczy rozrusznik´ow serca.
Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie
,
na twierdzenia, kt´ore zosta ly
udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.
1. Znale´z´c wszystkie takie funkcje f : R −→ R , ˙ze dla dowolnej liczby rzeczywistej x styczna do
wykresu funkcji f w punkcie x, f (x)
przecina o´s OX w punkcie
x
2
, 0
.
2. (a) Znale´z´c rozwia
,
zanie og´olne r´ownania r´o˙zniczkowego
t
2
x
0
(t) + tx(t) + 1 = 0 .
(b) Znale´z´c rozwia
,
zanie x spe lniaja
,
ce warunek x(−1) = 2 .
3. Znale´z´c pole i ´srodek masy jednorodnego obszaru G = {(x, y):
1 −
2
π
x ≤ y ≤ cos x, 0 ≤ x ≤
π
2
} .
4. Znale´z´c rozwia
,
zanie og´olne r´ownania
x
00
(t) + x
0
(t) − 2x(t) = −18te
−2t
+ 16te
2t
− 20 sin(2t).
5. Znale´z´c rozwia
,
zanie og´olne uk ladu r´owna´
n:
x
0
(t) =
2x(t) − 7y(t) − z(t),
y
0
(t) = −3x(t) + 3y(t) − 6z(t),
z
0
(t) = −5x(t) − 2y(t) + z(t).
Znale´z´c rozwia
,
zanie uk ladu spe lniaja
,
ce warunek x(0) = 2 , y(0) = 0 , z(0) = 0 wiedza
,
c, ˙ze
(1) jednym z pierwiastk´ow wielomianu charakterystycznego macierzy, kt´ora jest interesuja
,
ca dla
rozwia
,
zuja
,
cych ten uk lad r´owna´
n jest liczba −6
(2) oraz ˙ze suma dwu pozosta lych warto´sci w lasnych r´owna jest 12 a ich iloczyn 45 .
6. Znale´z´c punkty zerowania sie
,
gradientu funkcji f i lokalne ekstrema tej funkcji oraz wyja´sni´c, kt´ore
z nich sa
,
minimami, a kt´ore maksimami, je´sli f (x, y) = x
4
− y
4
− 4xy
2
− 2x
2
dla (x, y) ∈ R
2
.
Wskaz´owka. W otoczeniu tego z punkt´ow krytycznych, kt´orego charakteru nie da sie
,
wyja´sni´c za
pomoca
,
og´olnego twierdzenia, nale˙zy rozwa˙zy´c f na dowolnie wybranej prostej przechodza
,
cej przez
k lopotliwy punkt oraz na paraboli y
2
+ x = 0 .
7. Niech C = {(x, y):
0 ≤ x, 0 ≤ y, 3x + y ≤ 7} i f (x, y) = x
3
+ 3xy
2
− 15x − 12y .
Wiadomo, ˙ze
∂f
∂x
(x, y) = 3(x
2
+ y
2
− 5) i
∂f
∂y
(x, y) = 6(xy − 2) .
Znale´z´c lokalne ekstrema funkcji f .
Znale´z´c najwie
,
ksza
,
i najmniejsza
,
warto´s´c funkcji f w zbiorze C lub wykaza´c, ˙ze funkcja nie przyj-
muje kt´orej´s warto´sci ekstremalnej w tym zbiorze.