POCHODNE

Def.

Niech

: , → ,

∈ , ,

+ ℎ ∈ , , wtedy granica (jeśli istnieje):

lim

→

+ ℎ −

ℎ

=

Tw.

Równanie

−

=

−

jest równaniem stycznej do funkcji = w punkcie

,

Def.

Jeżeli funkcja w

posiada pochodną to o takiej funkcji będziemy mówili, że jest w tym punkcie

różniczkowalna.

Tw.

Każda funkcja różniczkowalna w

jest w tym punkcie ciągła. Jest to tzw. warunek konieczny ale

niewystarczający bo są funkcje ciągłe, które nie są różniczkowalne.


PODSTAWOWE WZORY!!!

Lp. Funkcje

Pochodne

1.

=

, ∈

=

a)

= √

=

"√

b)

=

1

= −

"

2.

=

$

= %

&' %

a)

= (

$

= )

3.

= *+,

= -./

4.

= 01*

= −/23

5.

= 45

=

-./

"

6.

= 045

= −

/23

"

7.

= 60*+,

=

√ −

"

8.

= 6001*

= −

√ −

"

9.

= 6045

=

+

"

10.

= 60045

=

−

+

"

11.

= 715

8

=

&' %

a)

= ln

=

= 01,*4 = 0

= :

=

=

Tw. Własności funkcji pochodnych

Niech

, 5 są różniczkowalne na , , wtedy:

1.

+ 5

=

+ 5

2.

;

= ;

3.

− 5

=

− 5

4.

5

=

5 + 5

5.

<

=$
>$

?

=

=

@

$>$=$>

@

$

A>$B

C

Tw. (O pochodnej funkcji złożonej)

Niech

, 5 będą różniczkowalne. Wtedy funkcja ℎ = 5 jest też różniczkowalna oraz zachodzi wzór:

ℎ

= 5

∗

Def.

N-ta pochodna

= <

F

?

, , = 2 …

Def.

Niech

w

∈ , będzie różniczkowalna,

+ ℎ ∈ , , wtedy wielkość

∗ ℎ nazywamy

różniczką funkcji w punkcie

i oznaczamy ją

I

, ℎ

+ ℎ ≈ I

+ ℎ +