ZGINANIE PRĘTÓW KRĘPYCH PRZY ISTNIENIU SIŁ WZDŁUŻNYCH
Zg
inanie z jednoczesnym ściskaniem lub rozciąganiem występuje min. wtedy gdy na belkę
działają siły ukośne. Rozłóżmy belkę na przypadki proste
Naprężenia składowe:
od M
g
y
J
M
z
g
od N
A
N
od T
b
J
S
T
z
z
Sumaryczne naprężenia normalne
y
J
M
A
N
z
g
Ekstremalne naprężenia normalne występują we włóknach skrajnych (punkty D
, D
)
z
g
W
M
A
N
min
z
g
W
M
A
N
max
w przypadku ukośnego zginania i działania siły osiowej:
z
J
M
y
J
M
A
N
y
gy
z
gz
Szczególnym przypadkiem zginania i jednoczesnego rozciągania (ściskania) jest mimośrodowe
rozciąganie lub ściskanie. Bardzo często materiały wykazują wysokie
naprężenia dopuszczalne na ściskanie, natomiast wytrzymałość na
rozciąganie jest znacznie niższa – są to materiały sprężysto-kruche:
żeliwo, beton itp. Przy tego typu materiałach chodzi o to aby w
przekroju poprzecznym pręta nie powstały naprężenia rozciągające.
Rozpatrzmy pręt o przekroju kołowym obciążony siłą ściskającą P
działającą na pewnym mimośrodzie e.
2
r
A
A
P
c
4
4
r
J
e
P
M
y
J
M
z
z
z
z
r
J
M
z
z
c
r
Naprężenia sumaryczne w punkcie A:
r
e
r
P
r
r
e
P
r
P
r
C
A
4
1
4
1
2
4
2
aby zni
kły naprężenia rozciągające
0
4
1
2
r
e
r
P
A
czyli
0
4
1
r
e
→
4
r
e
-
rdzeń przekroju
Miejsce geometryczne punktów przyłożenia siły (działającej osiowo),
dla których w przekroju wystąpią naprężenia wyłącznie jednego znaku,
nazywa się rdzeniem (jądrem) przekroju.
Dla pręta o przekroju prostokątnym
Naprężenia we włóknach skrajnych
zniosą się gdy:
0
2
12
2
3
b
hb
Pe
bh
P
b
J
M
A
P
z
g
A
Przykład. Śruba fundamentowa zabetonowana jednym końcem, ma średnicę d i łeb o średnicy
1,8d
. Śruba opiera się jedną stroną łba o skośną powierzchnię kształtownika
odrywanego od fundamentu siłą P. Określić o ile podwyższone jest największe
naprężenie w śrubie w porównaniu z przypadkiem w którym łeb opierałby się całym
swoim obwodem równomiernie.
W przypadku równomiernego oparcia łba o
podłoże, mamy proste rozciąganie
2
4
d
P
A
P
r
Prz
y skośnej powierzchni wypadkowa nie
leży na osi śruby, mamy więc zginanie z
rozciąganiem.
r
g
g
g
r
d
P
d
P
d
d
P
d
P
d
d
J
W
d
P
M
gdzie
W
M
A
P
2
,
8
2
,
8
4
9
,
0
8
1
4
32
9
,
0
4
32
2
2
8
,
1
2
2
3
2
max
3
max
max
6
b
e
NAPRĘŻENIA PRZY ZGINANIU SIŁĄ POPRZECZNĄ
Ponieważ M
g
nie zachowuje wzdłuż osi wartości stałej – jest to zginanie nierównomierne.
Siła poprzeczna
const
dx
dM
T
g
Naprężenia normalne
y
J
M
z
g
(rys.a)
W przekroju przesuniętym o dx względem pierwotnego (rys.b),
moment gnący wzrośnie o dM
g
,
a naprężenie o d
y
J
dM
d
z
g
W płaszczyźnie przekroju BCHD pojawią się naprężenia styczne
yx
~ (ich średnia wartość)
(w płaszczyznach pionowych działająca siła poprzeczna powoduje powstanie naprężeń
xy
,
a ponieważ musi być spełniony postulat Boltzmanna – stąd naprężenia
yx
).
Napiszmy dla odciętej części elementu warunek równowagi – suma rzutów sił na oś X.
0
)
(
~
)
(
y
dxb
A
d
A
d
d
yx
A
A
b(y)
– szerokość przekroju zależna od y
)
(
)
(
)
(
~
y
b
J
S
T
y
dxb
A
yd
J
dM
y
dxb
A
d
d
z
z
A
z
g
A
yx
gdzie
A
y
g
A
yd
S
dx
dM
T
,
S
y
– moment statyczny odciętej części przekroju względem osi obojętnej z.
Równomierny rozkład naprężeń
yx
na szerokości otrzymamy:
)
( y
b
J
S
T
z
z
xy
-
wzór Żurawskiego
Przykład Wyznaczyć naprężenia styczne w belce o przekroju prostokątnym
Ze względu na kształt przekroju
)
0
(
xz
xy
)
4
(
2
2
4
2
;
)
(
;
12
;
)
(
2
2
3
y
h
b
y
by
h
h
b
S
b
y
b
bh
J
y
b
J
S
T
z
z
z
z
2
2
2
2
4
1
2
3
,
4
1
6
h
y
to
A
T
bh
T
gdy
h
y
bh
T
śr
śr
wartość maksymalna na osi obojętnej
śr
2
3
max
dla przekroju kołowego
śr
3
4
max
b
z
y
h
max
y