3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
18.01.1997 r.
___________________________________________________________________________
1
Zadanie 1.
5R]ZD*P\ ]GDU]HQLD ORVRZH
2
1
, A
A
oraz C
WDNLH *H
( )
3
1
Pr
1
=
A
C
,
( )
2
1
Pr
2
=
A
C
,
( )
( )
2
1
Pr
Pr
2
1
=
=
A
A
,
zdarzenia
1
A i
2
A
V QLH]DOH*QH RUD]
∅
=
∩
∩
C
A
A
2
1
.
= SRZ\*V]\FK GDQ\FK Z\QLND *H
(A)
(
)
3
2
Pr
2
1
=
∪
A
A
C
(B)
zdarzenia
2
1
, A
A
i C
V QLH]DOH*QH
(C)
(
)
9
5
Pr
2
1
=
∪
A
A
C
(D)
GDQH ]DZLHUDM VSU]HF]QRü WDND V\WXDFMD MHVW QLHPR*OLZD
(E)
(
)
12
5
Pr
2
1
=
∪
A
A
C
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
18.01.1997 r.
___________________________________________________________________________
2
Zadanie 2.
-HOL GOD ]PLHQQHM ORVRZHM R UR]NáDG]LH Poissona mamy
(
)
(
)
2
Pr
9
8
1
Pr
=
⋅
=
≤
N
N
, to:
(A)
( )
9
17
=
N
E
(B)
( )
3
=
N
E
(C)
( )
2
=
N
VAR
(D)
( )
3
2
=
N
E
(E)
( )
9
8
=
N
E
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
18.01.1997 r.
___________________________________________________________________________
3
Zadanie 3.
=Dáy*P\ *H ]PLHQQH ORVRZH
735
2
1
,
,
,
X
X
X
oraz
880
2
1
,
,
,
Y
Y
Y
V
QLH]DOH*QH R UR]NáDGDFK
(
)
7
3
0
Pr
=
=
i
X
,
(
)
7
4
1
Pr
=
=
i
X
,
(
)
(
)
2
1
1
Pr
0
Pr
=
=
=
=
i
i
Y
Y
.
3UDZGRSRGRELHVWZR WHJR *H
∑
∑
=
=
<
880
1
735
1
i
i
i
i
Y
X
,
SROLF]RQH Z SU]\EOL*HQLX SU]\ SRPRF\ DSURNV\PDFML UR]NáDGHP QRUPDOQ\P Z\QRVL
A)
0.01
(B)
0.99
(C)
0.16
(D)
0.50
(E)
0.84
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
18.01.1997 r.
___________________________________________________________________________
4
Zadanie 4. Zmienne losowe
1
X ,
2
X i
3
X
PDM áF]Q\ UR]NáDG QRUPDOQ\ JG]LH
( )
0
=
i
X
E
,
( )
1
=
i
X
VAR
dla
3
,
2
,
1
=
i
.
-HOL
(
)
(
)
(
)
0
,
,
,
3
2
2
1
3
2
2
1
=
+
+
=
=
X
X
X
X
COV
X
X
COV
X
X
COV
, to:
(A)
Z\QLND VWG *H
(
)
0
Pr
3
1
=
−
=
X
X
(B)
Z\QLND VWG *H
(
)
1
Pr
3
1
=
=
X
X
(C)
Z\QLND VWG *H
(
)
2
1
Pr
3
1
=
−
>
X
X
(D)
Z\QLND VWG *H
(
)
1
Pr
3
1
=
−
=
X
X
(E)
QLH PXVL VWG Z\QLNDü *DGQH ]H VWZLHUG]H $'
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
18.01.1997 r.
___________________________________________________________________________
5
Zadanie 5. Zmienne losowe X i Y
V QLH]DOH*QH
X
PD UR]NáDG R JVWRFL
( )
≤
≤
⋅
=
przypadku
przeciwnym
w
x
dla
x
x
f
0
1
0
2
Y
PD UR]NáDG R JVWRFL
( )
≤
=
−
przypadku
przeciwnym
w
y
dla
e
y
g
y
0
0
-HOL
Y
X
S
+
=
to
≤
2
1
X
S
E
wynosi:
(A)
2
(B)
2
3
(C)
3
4
(D)
3
1
(E)
12
13
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
18.01.1997 r.
___________________________________________________________________________
6
Zadanie 6.
10
2
1
,
,
,
x
x
x
MHVW SUyE ORVRZ ] UR]NáDGX
(
)
2
,
σ
µ
N
, gdzie
µ
i
2
σ
V
nieznanymi parametrami. Niech
[
]
U
L,
EG]LH SU]HG]LDáHP XIQRFL GOD SDUDPHWUX
µ
WDNLP *H
(
)
(
)
025
.
0
Pr
Pr
,
,
=
<
=
>
µ
µ
σ
µ
σ
µ
U
L
GOD ND*G\FK
µ
i
2
σ
.
Niech
(
]
W
,
∞
−
EG]LH MHGQRVWURQQ\P SU]HG]LDáHP XIQRFL GOD SDUDPHWUX
µ
WDNLP *H
(
)
01
.
0
Pr
,
=
<
µ
σ
µ
W
GOD ND*G\FK
µ
i
2
σ
.
2ED SU]HG]LDá\ ]EXGRZDQH V Z VWDQGDUGRZ\ VSRVyE Z RSDUFLX R UHGQL L ZDULDQFM ]
próbki x i
2
s
-H*HOL
262
.
0
−
=
L
i
262
.
4
=
U
WR ZDUWRü W wynosi:
(A)
4.262
(B)
4.821
(C)
5.169
(D)
3.833
(E)
QLH PR*QD SRGDü ZDUWRFL W na podstawie tych danych
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
18.01.1997 r.
___________________________________________________________________________
7
Zadanie 7. Niech
n
X
X
X
,
,
,
2
1
, gdzie
1
>
n
EG]LH SUyE ORVRZ ] UR]NáDGX
Z\NáDGQLF]HJR R JVWRFL
( )
≤
=
−
przypadku
przeciwnym
w
x
dla
e
x
f
x
0
0
1
µ
µ
5R]ZD*DP\ GZD HVW\PDWRU\ QLH]QDQHJR SDUDPHWUX
0
>
µ
:
∑
=
⋅
=
=
n
i
i
X
n
X
1
1
1
ˆ
µ
{
}
n
X
X
X
n
,
,
,
min
ˆ
2
1
2
⋅
=
µ
.
(A)
Estymator
1
ˆ
µ
MHVW QLHREFL*RQ\ ]D
2
ˆ
µ
MHVW REFL*RQ\
(B)
Estymator
1
ˆ
µ
MHVW REFL*RQ\ ]D
2
ˆ
µ
MHVW QLHREFL*RQ\
(C)
Oba
HVW\PDWRU\ V QLHREFL*RQH L PDM UyZQH ZDULDQFMH
(D)
2ED HVW\PDWRU\ V QLHREFL*RQH GOD SHZQ\FK ZDUWRFL
µ
estymator
1
ˆ
µ
ma
ZLNV] ZDULDQFM QL*
2
ˆ
µ
.
(E)
2ED HVW\PDWRU\ V QLHREFL*RQH
1
ˆ
µ
PD ]DZV]H PQLHMV] ZDULDQFM QL*
2
ˆ
µ
.
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
18.01.1997 r.
___________________________________________________________________________
8
Zadanie 8.
n
x
x
x
,
,
,
2
1
MHVW SUyE ORVRZ ] UR]NáDGX R G\VWU\EXDQFLH
( )
(
)
α
α
x
e
x
F
−
+
=
1
1
,
(
)
0
,
>
∞
<
<
∞
−
α
x
.
(VW\PDWRU QDMZLNV]HM ZLDU\JRGQRFL QLH]QDQHJR SDUDPHWUX
α
PD SRVWDü
(A)
( )
(
)
n
n
i
i
x
1
1
exp
1
ˆ
−
=
∏
−
+
=
α
(B)
( )
x
−
=
exp
ˆ
α
, gdzie
∑
=
⋅
=
n
i
i
x
n
x
1
1
(C)
( )
(
)
−
+
⋅
=
∑
=
−
n
i
i
x
n
1
1
exp
1
1
ln
ˆ
α
(D)
( )
(
)
∑
=
−
+
⋅
=
n
i
i
x
n
1
exp
1
ln
1
ˆ
α
(E)
( )
(
)
1
1
exp
1
ln
ˆ
−
=
−
+
⋅
=
∑
n
i
i
x
n
α
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
18.01.1997 r.
___________________________________________________________________________
9
Zadanie 9. Zmienna losowa X
PD JVWRü SUDZGRSRGRELHVWZD
( )
x
f
. Na podstawie
pojedynczej obserwacji X przeprowadzamy test hipotezy:
( )
≤
≤
=
przypadku
przeciwnym
w
x
dla
x
f
H
0
1
0
1
:
0
przeciwko alternatywie:
( )
≤
≤
⋅
=
przypadku
przeciwnym
w
x
dla
x
x
f
H
0
1
0
5
:
4
1
1DMPRFQLHMV]\ WHVW QD SR]LRPLH LVWRWQRFL
α
ma moc:
(A)
(
)
5
1
1
α
−
−
(B)
(
)
5
1
α
−
(C)
5
α
(D)
4
5
α
(E)
4
5
1
α
−
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
18.01.1997 r.
___________________________________________________________________________
10
Zadanie 10.
:\NRQDQR UD]\ U]XW GZLHPD NRüPL GR JU\ F]DUQ L ELDá
UD]\ QD ELDáHM NRFL Z\SDGáR ZLFHM RF]HN QL* QD F]DUQHM
UD]\ QD ELDáHM NRFL Z\SDGáR PQLHM RF]HN QL* QD F]DUQHM
UD]\ QD REX NRFLDFK Z\SDGáD WD VDPD OLF]ED RF]HN
5R]ZD*P\ KLSRWH]
0
H
ÄRELH NRFL V U]HWHOQH L Z\QLN U]XWX NRFL ELDá MHVW
QLH]DOH*Q\ RG Z\QLNX U]XWX NRFL F]DUQ´
&]\ RWU]\PDQH Z\QLNL GDM SRGVWDZ *HE\ RGU]XFLü KLSRWH]
0
H ? Przeprowadzono
test
2
χ
w oparciu o przytoczone dane.
(A)
1D SR]LRPLH LVWRWQRFL
01
.
0
=
α
test prowadzi do odrzucenia
0
H .
(B)
1D SR]LRPLH LVWRWQRFL
05
.
0
=
α
test prowadzi do odrzucenia
0
H , natomiast
dla
05
.
0
=
α
test nie prowadzi do odrzucenia
0
H .
(C)
1D SR]LRPLH LVWRWQRFL
1
.
0
=
α
test prowadzi do odrzucenia
0
H , natomiast dla
01
.
0
=
α
test nie prowadzi do odrzucenia
0
H .
(D)
1D SR]LRPLH LVWRWQRFL
1
.
0
=
α
test nie prowadzi do odrzucenia
0
H .
(E)
1D SR]LRPLH LVWRWQRFL
005
.
0
=
α
test prowadzi do odrzucenia
0
H .
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
18.01.1997 r.
___________________________________________________________________________
11
Egzamin dla Aktuariuszy z 18 stycznia 1997 r.
3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND
Arkusz odpowiedzi
*
,PL L QD]ZLVNR ./8&= 2'32:,('=,
Pesel ...........................................
Zadanie nr
2GSRZLHG( Punktacja
♦
1
C
2
B
3
E
4
D
5
C
6
B
7
E
8
E
9
A
10
D
*
2FHQLDQH V Z\áF]QLH RGSRZLHG]L XPLHV]F]RQH Z Arkuszu odpowiedzi.
♦
:\SHáQLD .RPLVMD (J]DPLQDF\MQD